第8讲 整式的乘法优等生讲义 (知识梳理+典例+压轴+练习) 2026-2027学年人教版八年级数学上册

第8讲 整式的乘法 优等生讲义 (知识梳理+典例+压轴+练习) 2026-2027学年人教版八年级数学上册 参考答案与试题解析 📌思维导图 · 课程内容总览 🎯 课程目标 · 精准把握学习方向 掌握同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方运算法则，能熟练进行幂的混合运算，会逆用公式求值。 掌握单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式的运算法则，能正确展开整式乘法。 理解不含某类项题型的解题思路，会令对应项系数为0求解参数。 能结合几何面积模型理解整式乘法，会用整体代入、配方法进行代数式求值。 能读懂材料归纳新运算规律，解决高阶探究、压轴类问题。 📚 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 1.同底数幂的乘法 公式：am·an=am+n（m、n为正整数，a≠0）； 逆用：am+n=am·an。 要点：底数不变，指数相加；底数互为相反数要先统一底数。 概念辨析例题：若2m=a，则2m+2等于（）A.a+2 B.a2 C.4a D.2a 解析：逆用同底数幂乘法，2m+2=2m·22=4a，选C。考察公式逆用，不要把指数加法错误当成常数加法。 ☆ 2.幂的乘方 公式：(am)n=amn（m、n为正整数）；逆用：amn=(am)n=(an)m。 要点：底数不变，指数相乘；常用于统一指数比较幂的大小。 概念辨析例题：已知a=244，b=333，c=522，比较三者大小。 解析：统一指数为11，a=(24)11=1611，b=(33)11=2711，c=(52)11=2511，得a＜c＜b。注意不要混淆幂的乘方与同底数幂乘法。 ☆ 3.积的乘方 公式：(ab)n=anbn；逆用：anbn=(ab)n。 要点：积中每一个因式分别乘方；负号要参与乘方，区分奇次、偶次符号。 概念辨析例题：计算 22025×(-½)2026。 解析：拆指数，原式=22025×(-½)2025×(-½)=[2×(-½)]2025×(-½)=(-1)2025×(-½)=½。逆用积的乘方，指数不同先拆分出相同指数部分。 ☆ 4.单项式乘以单项式 法则：系数相乘，同底数幂分别相乘，只在一个单项式中含有的字母连同指数照抄。 步骤：系数→同底数幂→独有字母。 概念辨析例题：计算 3a2bc·(-4ab2)。 解析：系数3×(-4)=12；a：a2·a=a3；b：b·b2=b3；c保留；结果12a3b3c。注意不要漏写只出现一次的字母。 ☆ 5.单项式乘以多项式 法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得积相加，m(a+b+c)=ma+mb+mc。 注意：必须乘遍多项式全部项，注意符号，负号要分配到每一项。 概念辨析例题：-3xy(4y2x1)展开，最后一项为？ 解析：3xy×(1)=3xy；注意不要漏乘常数项1，易错写成3xy。 ☆ 6.多项式乘以多项式 法则：(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb；一个多项式每一项乘另一个多项式每一项，再合并同类项。 题型重点：不含某一项 → 该项系数等于0。 概念辨析例题：(x2m)(x3n)结果不含x一次项，求m、n关系。 解析：展开得到一次项系数(2m+3n)，不含一次项即2m+3n=0。不含项不是该项等于0，是系数等于0。 ☆ 7.整式乘法几何意义与规律探究 长方形面积验证乘法公式；材料阅读归纳乘方差规律：(a1)(an1+an2+…+1)=an1。 概念辨析例题：求210+29+…+2+1。 解析：原式=(21)(210+…+1)=2111=2047。 📋知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 同底数幂乘法 am·an=am+n 底数相同；指数相加，不要和幂的乘方混淆；可逆用 幂的乘方 (am)n=amn 指数相乘；常用来统一指数比较幂大小 积的乘方 (ab)n=anbn 每个因式都要乘方；负号注意奇偶次符号；可逆用简化计算 单项式×单项式 系数相乘，同底数幂相乘，独有字母保留 不要漏掉只出现一次的字母因式 单项式×多项式 m(a+b)=ma+mb 单项式乘遍多项式全部项，符号不能错，不漏常数项 多项式×多项式 (m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb 逐项相乘再合并；不含某项令该项系数=0 【考点1】同底数幂的乘法（第15题） 直接运用公式：底数不变，指数相加。 公式逆用：am+n=am·an，已知幂的值求组合幂。 整体思想：把代数式整体当做底数，例如已知x+y的值求3x·3y。 单位换算类应用题，连续使用同底数幂乘法。 1．（2025秋•赣州期末）若2m＝a，则2m+2＝（　　） A．a+2 B．a2 C．4a D．2a 【分析】根据已知条件，逆用同底数幂相乘法则进行解答即可． 【解答】解：∵2m＝a， ∴2m+2 ＝2m•22 ＝a•4 ＝4a， 故选：C． 【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法，解题关键是熟练掌握同底数幂相乘法则． 2．（2025秋•东台市期末）已知x+y﹣3＝0，则3x•3y的值是（　　） A．9 B．27 C． D． 【分析】根据同底数幂的乘法法则进行解题即可． 【解答】解：∵x+y﹣3＝0， ∴x+y＝3， ∴3x•3y＝3x+y＝33＝27． 故选：B． 【点评】本题考查同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 3．（2025秋•伊犁州期末）若3x＝2，3y＝3，则3x+y等于（　　） A．5 B．3 C．6 D．10 【分析】根据逆用同底数幂的乘法法则：底数不变，指数相加即可求解． 【解答】解：由题意可得：3x+y＝3x•3y＝2×3＝6， 故选：C． 【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法，正确进行计算是解题关键． 4．（2023•河北区一模）计算a5•（﹣a）3的结果等于 　﹣a8 ． 【分析】利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案． 【解答】解：a5•（﹣a）3＝a5•（﹣a3）＝﹣a8． 故答案为：﹣a8． 【点评】此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键． 5．（2026春•同步）信息存储设备常用B，KB，MB，GB，TB等作为存储量的单位，其中1KB＝210B（字节），1MB＝210KB，1GB＝210MB，1TB＝210GB．例如，我们常说某计算机的硬盘容量是2TB，某移动硬盘的容量是512GB，某文件的大小是156KB等．对于一个存储量为64GB的闪存盘，其容量有多少字节？ 【分析】根据已知的各存储单位间的换算关系，从GB逐步换算到字节，通过连续的乘法运算得出结果． 【解答】解：∵1GB＝210MB，1MB＝210KB，1KB＝210B， ∴64GB＝64×210MB ＝64×210×210KB ＝26×210×210×210B ＝26+10+10+10B ＝236B， ∴一个存储量为64GB的闪存盘，其容量有236字节． 【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法运算以及存储单位间的换算关系，熟练掌握各存储单位的换算公式与同底数幂乘法法则（am×an＝am+n，a≠0，m、n为整数）是解题的关键． 【考点2】幂的乘方（第612题） 幂的乘方：底数不变，指数相乘，区分和同底数幂加法。 逆用幂的乘方统一指数，比较多个幂的大小。 结合积的乘方逆运算：形如(-2)2025×(½)2024，拆分指数构造相同指数。 已知10a、10b，求102a+3b，幂的乘方+同底数幂乘法综合。 6．（2024秋•十堰期末）下列计算正确的是（　　） A．a3•a4＝a12 B．（﹣a2）3＝﹣a6 C．（a3）2＝a5 D．（﹣3a2）3＝﹣9a6 【分析】A．根据同底数幂的乘法运算法则计算即可； BCD．根据幂的乘方与积的乘方运算法则计算即可． 【解答】解：a3•a4＝a7， ∴A不正确，不符合题意； （﹣a2）3＝﹣a6， ∴B正确，符合题意； （a3）2＝a6， ∴C不正确，不符合题意； （﹣3a2）3＝﹣27a6， ∴D不正确，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法，掌握它们的运算法则是解题的关键． 7．（2026春•湘阴县期末）计算的结果为（　　） A．2 B． C．1 D．﹣2 【分析】先变形，再根据幂的乘方与积的乘方进行计算即可． 【解答】解：原式＝（﹣2）×（﹣2）2024×（）2024 ＝﹣2×（﹣2）2024 ＝﹣2×1 ＝﹣2． 故选：D． 【点评】本题主要考查幂的乘方与积的乘方，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 8．（2026春•福田区校级期中）已知a＝244，b＝333，c＝522，那么a，b，c的大小顺序是（　　） A．a＜c＜b B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．a＜b＜c 【分析】利用幂的乘方法则将a、b、c变为指数相同的，再比较底数即可． 【解答】解：a＝244＝（24）11＝1611，b＝333＝（33）11＝2711，c＝522＝（52）11＝2511， ∵1611＜2511＜2711， ∴a＜c＜b， 故选：A． 【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，有理数大小比较，熟练掌握幂的乘方法则是解题的关键． 9．（2025秋•金山区校级期末）计算：　4　 ． 【分析】将原式中的底数转换为以2为底的幂形式，再利用同底数幂乘法运算法则，进行求解即可． 【解答】解：根据积的乘方运算，负整数指数幂，同底数幂乘法可得： ， 419＝（22）19＝238， ∴2﹣36×238＝2﹣36+38＝22＝4． 故答案为：4． 【点评】本题主要考查了积的乘方运算，负整数指数幂，同底数幂乘法，熟练掌握运算法则，是解题的关键． 10．（2025秋•平桥区期末）　　 ． 【分析】根据积的乘方的逆用，可以计算出所求式子的值． 【解答】解：32025×72025×（）2026 ＝212025×（）2026 ＝[21×（）]2025×（） ＝（﹣1）2025×（） ＝﹣1×（） ， 故答案为：． 【点评】本题考查幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 11．（2025春•常州期中）已知10a＝3，10b＝4，求： （1）102a+103b的值； （2）102a+3b的值． 【分析】（1）利用幂的乘方的运算性质解答即可； （2）利用同底数幂的乘法法则和幂的乘方的运算性质解答即可． 【解答】解：（1）102a+103b ＝（10a）2+（10b）3 ＝32+43 ＝9+64 ＝73； （2）102a+3b ＝102a•103b ＝（10a）2•（10b）3 ＝32•43 ＝9×64 ＝576． 【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法法则和幂的乘方的运算性质的应用，熟练掌握同底数幂的乘法法则和幂的乘方的运算性质是解题的关键． 12．（2026春•延庆区期中）阅读下面材料： 材料一：比较28和82的大小 材料二：比较322和411的大小 解：因为82＝（23）2＝26，且8＞6，所以28＞26，即28＞82． 解：因为411＝（22）11＝222，且3＞2，所以322＞222，即322＞411． 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小． 解决下列问题： （1）比较260，450，826的大小； （2）比较320，415，510的大小． 【分析】（1）根据材料一的结论解答本题； （2）根据材料二的结论解答本题． 【解答】解：（1）∵450＝（22）50＝2100，826＝（23）26＝278， ∵100＞78＞60， ∴450＞826＞260； （2）∵320＝（34）5＝815，415＝（43）5＝645，510＝（52）5＝255， ∵25＜64＜81， ∴510＜415＜320． 【点评】本题考查幂的乘方，有理数大小比较，掌握有理数大小的比较方法及幂的乘方运算法则是关键． 【考点3】积的乘方（第1320题） (ab)n=anbn，负数的偶次幂为正，奇次幂为负。 逆用积的乘方简化大指数计算。 混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减。 幂的乘方、积的乘方、同底数幂除法综合计算。 13．（2025秋•曲靖期末）计算的结果是（　　） A． B． C．1 D．2 【分析】先将化为，然后利用积的乘方逆运算进行计算即可． 【解答】解： ． 故选：B． 【点评】本题考查同底数幂的乘法法则以及积的乘方逆运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 14．（2026春•赣榆区期末）计算（﹣3a2b3）2的结果正确的是（　　） A．﹣3a4b6 B．9a4b9 C．﹣6a4b9 D．9a4b6 【分析】根据积的乘方法则求解即可． 【解答】解：根据积的乘方法则可得： （﹣3a2b3）2＝9a4b6； 故选：D． 【点评】本题考查了积的乘方，熟知积的乘方运算法则是解题的关键． 15．（2025秋•赣榆区期末）　﹣2　 ． 【分析】先逆用同底数幂乘法可得，再运用乘法运算律以及逆用积的乘方运算法则计算即可． 【解答】解：原式 ＝2×（﹣1）2025 ＝2×（﹣1） ＝﹣2． 故答案为：﹣2． 【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，掌握幂的乘方与积的乘方的运算法则是关键． 16．（2026•北辰区一模）计算（﹣b3）2的结果为b6 ． 【分析】根据偶正奇负得到符号，再根据底数不变，指数相乘即可求解． 【解答】解：根据偶正奇负得到符号，再根据底数不变，指数相乘计算：（﹣b3）2＝b6， 故答案为：b6． 【点评】本题考查了幂的乘方运算，掌握其运算法则是关键． 17．（2025秋•奉贤区期末）计算：（﹣2x2）3+x2•x4﹣（﹣3x3）2． 【分析】先利用幂的运算，分别化简每一项，再进行合并同类项即可． 【解答】解：原式＝﹣8x6+x6﹣9x6＝﹣16x6． 【点评】本题考查了幂的运算，包括幂的乘方，同底数幂的乘法，积的乘方，熟练掌握知识点是解题的关键． 18．（2026春•同步）计算： （1）[（﹣2a2b3）3]2； （2）（﹣2xy2）6+（﹣3x2y4）3． 【分析】（1）本题可根据积的乘方与幂的乘方运算法则来计算．先根据积的乘方运算法则计算（﹣2a2b3）3，再对所得结果进行平方运算． （2）本题同样依据积的乘方与幂的乘方运算法则分别计算（﹣2xy2）6和（﹣3x2y4）3，然后将所得结果相加． 【解答】解：（1）原式＝（﹣2a2b3）6 ＝（﹣2）6×（a2）6×（b3）6 ＝64a12b18； （2）原式＝（﹣2）6x6（y2）6+（﹣3）3（x2）3（y4）3 ＝64x6y12﹣27x6y12 ＝（64﹣27）x6y12 ＝37x6y12． 【点评】本题主要考查了积的乘方与幂的乘方运算法则．熟练掌握这些运算法则是解题的关键． 19．（2026春•同步）计算： （1）（102）8； （2）（xm）2； （3）[（﹣a）3]5； （4）﹣（x2）m． 【分析】（1）对于（102）8，可根据幂的乘方法则，即幂的乘方，底数不变，指数相乘来进行计算． （2）对于（xm）2，同样依据幂的乘方法则，底数x不变，指数m与2相乘． （3）对于[（﹣a）3]5，先根据幂的乘方法则，底数﹣a不变，指数3与5相乘，然后确定符号即可． （4）先根据幂的乘方法则计算（x2）m，再取其相反数． 【解答】解：（1）原式＝102×8 ＝1016； （2）原式＝xm×2 ＝x2m； （3）原式＝（﹣a）3×5 ＝（﹣a）15 ＝﹣a15； （4）原式＝﹣x2×m ＝﹣x2m． 【点评】本题主要考查了幂的乘方运算法则．幂的乘方，底数不变，指数相乘，用公式表示为（am）n＝amn（m、n是正整数）．熟练掌握幂的乘方运算法则是解题的关键． 20．（2026春•天宁区校级期中）计算：（﹣3x）3+（x4）2÷（﹣x）5． 【分析】根据幂的乘方与积的乘方法则进行计算即可． 【解答】解：原式＝﹣27x3+x8÷（﹣x5） ＝﹣27x3+（﹣x3） ＝﹣28x3． 【点评】本题考查的是幂的乘方与积的乘方法则，熟知以上知识是解题的关键． 【考点4】单项式乘以单项式（第2124题） 运算顺序：系数相乘，同底数幂相乘，独有字母连同指数保留。 和积的乘方混合：先算积的乘方，再算单项式相乘。 注意区分合并同类项与幂运算。 21．（2025•青原区模拟）下列计算正确的是（　　） A．a3•4a2＝4a6 B．（﹣2a3）2＝﹣4a6 C．（2a2b）3＝8a6b3 D．（﹣2ab3）2＝4a2b3 【分析】根据单项式乘单项式法则，积的乘方法则将各项计算后即可求得答案． 【解答】解：a3•4a2＝4a5，则A不符合题意； （﹣2a3）2＝4a6，则B不符合题意； （2a2b）3＝8a6b3，则C符合题意； （﹣2ab3）2＝4a2b6，则D不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查单项式乘单项式，幂的乘方及积的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 22．（2026春•东台市月考）计算：（﹣2m）2•m3＝　4m5 ． 【分析】先根据积的乘方去括号，然后再根据单项式乘单项式可进行求解． 【解答】解：根据单项式乘单项式运算法则可得： （﹣2m）2•m3＝4m2•m3＝4m5． 故答案为：4m5． 【点评】本题主要考查单项式乘单项式，熟练掌握单项式乘单项式是解题的关键； 23．（2025秋•闵行区期末）计算：2a2•a3+（﹣a3）2． 【分析】根据同底数幂的乘法法则计算前一部分，根据幂的乘方法则计算后一部分即可． 【解答】解：原式＝2a5+a6． 【点评】本题考查整式的乘法和幂的运算性质，包括同底数幂的乘法和幂的乘方，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 24．计算：3a2bc•（﹣4ab2）． 【分析】按单项式乘单项式法则计算即可． 【解答】解：3a2bc•（﹣4ab2） ＝[3×（﹣4）]•（a2•a）•（b•b2）c ＝﹣12a3b3c． 【点评】本题考查了整式的运算，掌握单项式乘单项式法则是解决本题的关键． 【考点5】单项式乘以多项式（第2530题） 分配律一定要乘满多项式每一项，负号重点。 几何面积模型验证单项式乘多项式恒等式。 不含二次项题型：对应二次项系数等于0，解参数。 结合整体代入、配方法代数式求值。 25．（2023秋•曾都区期末）在“单项式乘多项式”的课堂上，有这样一道题的计算过程：（x﹣3y）•（﹣6x）＝x•（﹣6x）□（﹣3y）•（﹣6x），你认为“□”内应填的符号为（　　） A．+ B．﹣ C．• D．÷ 【分析】运用单项式城多项式的计算方法进行求解． 【解答】解：∵（x﹣3y）•（﹣6x）＝x•（﹣6x）+（﹣3y）•（﹣6x）， ∴“□”内应填的符号是“+”， 故选：A． 【点评】此题考查了多项式乘单项式的计算能力，关键是能准确理解并运用该知识． 26．（2025秋•武乡县期末）用如图所示的几何图形的面积可以验证的数学恒等式为（　　） A．（a+b）2＝a2+2ab+b2 B．2a（a+b）＝2a2+2ab C．2a（a+2b）＝2a2+4ab D．（a+b）（2a+b）＝2a2+3ab+b2 【分析】从“整体”与“部分”分别用代数式表示图形的面积，再根据各个部分面积之间的和差关系即可得出答案． 【解答】解：从“整体上”看是边长为a，宽为（a+b）的长方形， 因此面积为2a（a+b）＝2a2+2ab， 拼成四个部分的面积分别为2a2和为2ab，面积和为2a2+2ab， 所以2a（a+b）＝2a2+2ab， 所以这个图形可以验证公式：2a（a+b）＝2a2+2ab， 故选：B． 【点评】本题考查单项式乘多项式，解题关键是找到各个部分面积之间的和差关系． 27．（2025秋•西宁期末）若m﹣n＝3，则m（n+1）的值可能是（　　） A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1 【分析】由 m﹣n＝3 得 m＝n+3，代入 m（n+1）得到m（n+1）＝n2+4n+3，利用配方法可得n2+4n+3＝（n+2）2﹣1≥﹣1，即得m（n+1）≥﹣1，据此即可求解． 【解答】解：由条件可知m＝n+3， ∴m（n+1）＝（n+3）（n+1）＝n2+4n+3＝（n+2）2﹣1， ∴m（n+1）≥﹣1， ∴m（n+1）可能取值为﹣1， 故选：D． 【点评】本题考查了配方法的应用，掌握配方法是解题的关键． 28．若关于x，y的多项式0.4x2y﹣（2m+4）xy+0.75y3+（﹣n+3）y2化简后不含二次项，则mn＝　﹣8　 ． 【分析】根据不含二次项可得m＝﹣2，n＝3，代入所求代数式计算即可． 【解答】解：0.4x2y﹣（2m+4）xy+0.75y3+（﹣n+3）y2 ∵不含二次项， ∴2m+4＝0，3﹣n＝0， ∴m＝﹣2，n＝3， ∴mn＝（﹣2）3＝﹣8． 故答案为：﹣8． 【点评】本题考查了整式的化简，熟练掌握不含几次项的做题方法是关键． 29．（2025春•汉中月考）若a+b+c＝0，a2+b2+c2＝1，则a（b+c）+b（c+a）+c（a+b）＝ 　﹣1　 ． 【分析】根据a+b+c＝0可得﹣a＝b+c，﹣b＝a+c，﹣c＝a+b，将a（b+c）+b（c+a）+c（a+b）变形为a（﹣a）+b（﹣b）+c（﹣c）＝﹣（a2+b2+c2），再将a2+b2+c2＝1整体代入计算即可． 【解答】解：∵a+b+c＝0， ∴﹣a＝b+c，﹣b＝a+c，﹣c＝a+b， ∴原式＝a（﹣a）+b（﹣b）+c（﹣c） ＝﹣（a2+b2+c2）， ∵a2+b2+c2＝1， ∴a（b+c）+b（c+a）+c（a+b）＝﹣（a2+b2+c2）＝﹣1， 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查代数式求值，熟练掌握该知识点是关键． 30．（2025秋•浦东新区期中）计算：． 【分析】先计算积的乘方运算，再由单项式乘多项式运算展开即可得到答案． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题考查整式混合运算，涉及积的乘方运算、单项式乘多项式运算，熟记整式乘法运算法则是解决问题的关键． 【考点6】多项式乘以多项式（第3136题） 逐项相乘，合并同类项；不含某一项则该项系数为0。 卡片拼图类，由面积反推卡片数量。 图形面积应用题：总面积减去挖去部分面积。 多项式展开不含x2、x3等高次项求参数。 31．（2026春•扬州期末）要使（x﹣2m）（x﹣3n）的计算结果中不含x的一次项，则m，n之间的关系为（　　） A．2m+3n＝0 B．mn＝0 C．2m﹣3n＝0 D．m+n＝﹣2 【分析】利用多项式乘多项式法则展开并合并同类项后根据计算结果中不含x的一次项即可求得答案． 【解答】解：（x﹣2m）（x﹣3n） ＝x2﹣2mx﹣3nx+6mn ＝x2﹣（2m+3n）x+6mn， ∵计算结果中不含x的一次项， ∴2m+3n＝0， 故选：A． 【点评】本题考查多项式乘多项式，合并同类项，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 32．（2025秋•綦江区期末）有如图所示的正方形和长方形卡片若干张，若要拼成一个长为2a+b、宽为a+3b的长方形，需要B类卡片（　　） A．5张 B．6张 C．7张 D．8张 【分析】根据多项式乘多项式法则求出拼成的长方形的面积，从而可得所用的B类卡片的总面积，由此即可得解． 【解答】解：长方形的面积为： （2a+b）（a+3b） ＝2a2+7ab+3b2， ∴需要B类卡片的张数为7ab÷（ab）＝7（张）． 故选：C． 【点评】本题考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的运算法则是关键． 33．（2026•唐山二模）小李同学制作了如图所示的卡片A类、B类、C类各10张，其中A、B两类卡片都是正方形，C类卡片是长方形．现要拼一个两边分别是（2a+3b）和（3a+2b）的大长方形，那么下列关于他所准备的C类卡片的张数的说法中，正确的是（　　） A．够用，剩余5张 B．够用，剩余1张 C．不够用，缺2张 D．不够用，缺3张 【分析】根据大长方形的面积公式求出拼成大长方形的面积，再对比卡片的面积，即可求解． 【解答】解：大长方形的面积为（2a+3b）（3a+2b）＝6a2+13ab+6b2，C类卡片的面积是ab， ∴需要C类卡片的张数是13， ∴不够用，还缺3张， 故选：D． 【点评】本题主要考查多项式与多项式的乘法与图形的面积，掌握多项式乘以多项式的计算方法是解题的关键． 34．（2025秋•四川期末）已知，ab＝2，则（5﹣3a）（5+3b）的值为　﹣18　 ． 【分析】利用多项式乘多项式法则展开并整理，然后将已知数值代入计算即可． 【解答】解：∵，ab＝2， ∴（5﹣3a）（5+3b） ＝25+15b﹣15a﹣9ab ＝25﹣15（a﹣b）﹣9ab ＝25﹣159×2 ＝25﹣25﹣18 ＝﹣18， 故答案为：﹣18． 【点评】本题考查多项式乘多项式，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 35．（2026春•临渭区期末）如图，某小区有一块长为（3a+2b）米，宽为（2a﹣3b）米的长方形地块，角上有四个边长为b米的小正方形空地，开发商计划将阴影部分进行绿化． （1）求该小区绿化的总面积； （2）若a＝10，b＝2，绿化成本为50元/平方米，则完成绿化共需要多少钱？ 【分析】（1）绿化的总面积＝矩形面积﹣4个正方形面积，利用多项式乘多项式法则，然后合并同类项即可得出答案； （2）将a与b的值代入求出绿化的面积，再根据绿化成本为50元/平方米，即可得出答案． 【解答】解：（1）（3a+2b）（2a﹣3b）﹣4b2 ＝6a2+4ab﹣9ab﹣6b2﹣4b2 ＝6a2﹣5ab﹣10b2， 答：该小区绿化的总面积（6a2﹣5ab﹣10b2）平方米； （2）当a＝10，b＝2时， 原式＝6×102﹣5×10×2﹣10×22＝460， ∴50×460＝23000（元）． 答：完成绿化共需要23000元． 【点评】本题考查了多项式乘多项式，以及整式的混合运算﹣化简求值，弄清题意列出相应的式子是解题的关键． 36．（2026春•盐都区期中）根据下列要求求值． （1）已知ax＝2，ay＝3，求a2x+y的值． （2）将（x3+mx+n）（x2﹣3x+4）展开的结果不含x3和x2项，求m+2n的值． 【分析】（1）根据幂的运算，逆用幂的乘法和同底数幂的乘法进行计算即可； （2）根据多项式乘以多项式不含某一项的问题，先利用多项式乘以多项式的法则，进行计算，合并同类项后，令x3和x2项的系数为0，进行求解即可． 【解答】解：（1）∵ax＝2，ay＝3， ∴a2x+y＝（ax）2•ay＝22×3＝12； （2）∵（x3+mx+n）（x2﹣3x+4）＝x5﹣3x4+4x3+mx3﹣3mx2+4mx+nx2﹣3nx+4n ＝x5﹣3x4+（4+m）x3﹣（3m﹣n）x2+（4m﹣3n）x+4n； ∵结果不含x3和x2项， ∴4+m＝0，3m﹣n＝0， ∴m＝﹣4，n＝﹣12， ∴m+2n＝﹣4+2×（﹣12）＝﹣28． 【点评】本题考查了整式的化简，熟练掌握整式运算法则是关键． 【考点7】创新及压轴题（第3739题） 阅读材料归纳多项式乘法的规律公式。 利用规律求长串2的幂次相加。 长方形减去多个正方形面积的实际应用题，包含代入求值、成本计算。 判断归纳结论的正误。 37．（2023秋•西山区期末）观察下列计算： （a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2 （a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3 （a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）＝a4﹣b4 （1）猜想：（a﹣1）（an﹣1+an﹣2+⋯+a+1）＝an﹣1　 （其中n为正整数，且n≥2）； （2）利用（1）猜想的结论计算：210+29+28+27+⋯+23+22+2+1． 【分析】（1）归纳总结得到一般性规律，写出即可； （2）利用得出的规律将原式变形，计算即可求出值． 【解答】解：（1）根据观察可得：（a﹣1）（an﹣1+an﹣2+⋯+a+1）＝an﹣1（其中n为正整数，且n≥2）； 故答案为：an﹣1； （2）原式＝（2﹣1）×（210+29+28+27+⋯+23+22+2+1） ＝（2﹣1）×（210+29×1+28×12+…+23×17+22×18+2×19+110） ＝211﹣1 ＝2047． 【点评】本题主要考查了平方差公式，多项式乘多项式以及数字的变化规律，运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方． 38．（2025秋•长春期末）某校门前有一块长为（6a+2b）米，宽为（4a+2b）米的长方形空地要铺地砖．如图所示，中间的两块正方形区域是花池，不需要铺地砖．两正方形区域的边长均为（a+b）米． （1）用代数式表示：需要铺设地砖的面积是多少平方米． （2）当a＝2，b＝3时，求需要铺地砖的面积． （3）某种道路防滑地砖的规格是：正方形，边长为0.2米，每块1.5元．在（2）的条件下，不考虑其他因素，求出铺设此种地砖需要多少钱． 【分析】（1）用长方形的面积公式减去两个正方形的面积计算即可； （2）把a、b的值代入求值即可； （3）求出铺地砖需要的正方形的数量，再求所需钱数即可． 【解答】解：（1）（6a+2b）（4a+2b）﹣2（a+b）2 ＝24a2+12ab+8ab+4b2﹣2（a2+2ab+b2） ＝24a2+12ab+8ab+4b2﹣2a2﹣4ab﹣2b2 ＝（22a2+16ab+2b2）（平方米）． 答：需要铺设地砖的面积是（22a2+16ab+2b2）平方米． （2）当a＝2，b＝3时， 22a2+16ab+2b2 ＝22×22+16×2×3+2×32 ＝88+96+18 ＝202． 答：当a＝2，b＝3时，需要铺地砖的面积202平方米． （3）202÷（0.2×0.2）×1.5 ＝5050×1.5 ＝7575（元）． 答：铺设此种地砖需要7575元． 【点评】此题考查多项式乘多项式，熟练运用多项式的乘法法则计算是关键． 39．（2023春•华容县校级期中）A同学准确计算出下列各式； ①（a﹣b）（a+b）＝a2+b2， ②（a﹣b）（a2+ab+b3）＝a2﹣b2， ③（a﹣b）（a3﹣a2b+ab2+b3）＝a4﹣b4， 请通过观察，猜想、计算判断以下结论： ①（a﹣b）（a5+a4b+a3b2+a2b3+ab4+b5）＝a6﹣b6； ②（a﹣b）（an﹣1+an﹣2b+…+abn﹣2+bn﹣1）＝an﹣bn （其中n为正整数，且n≥2）； ③211+210+29+28+27+…+23+22+2＝212﹣1； ④211+210+29+28+27+…+23+22+2＝212﹣2； 其中正确的有 　①②④　 （填序号）． 【分析】通过观察上述等式，即可得出一般规律，利用规律求解即可． 【解答】解：通过观察A同学写出的等式，总结规律得： （a﹣b）（an﹣1+an﹣2b+…+abn﹣2+bn﹣1）＝an﹣bn （其中n为正整数，且n≥2）， ∴②正确； ∴①（a﹣b）（a5+a4b+a3b2+a2b3+ab4+b5）＝a6﹣b6，故①正确； ∴211+210+29+28+27+…+23+22+2+1 ＝（2﹣1）×（211+210+29+28+27+…+23+22+2+1） ＝212﹣1， ∴211+210+29+28+27+…+23+22+2+1﹣1 ＝212﹣1﹣1 ＝212﹣2， 故③211+210+29+28+27+…+23+22+2＝212﹣1，错误， ④211+210+29+28+27+…+23+22+2＝212﹣2，正确， 故答案为：①②④． 【点评】本题考查的是多项式乘多项式，熟练掌握其运算法则并从题目中找出一般规律是解题的关键． 📝随堂检测 【练习 1】（2026•颍上县二模）下列运算正确的是（　　） A．2a2•a＝2a3 B．（ab）3＝ab3 C．a2+a3＝a5 D．（﹣a3）2＝﹣a6 【分析】利用合并同类项，同底数幂的乘法，积的乘方运算，幂的乘方运算法则逐项一一判断即可． 【解答】解：A、2a2⋅a＝2a3，原选项计算正确，符合题意； B、（ab）3＝a3b3，原选项计算错误，不符合题意； C、a2与a3不是同类项，不可以合并，不符合题意； D、（﹣a3）2＝a6，原选项计算错误，不符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，积的乘方运算，幂的乘方运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【练习 2】（2026春•常德期末）已知（x+2m）（x+3n）＝x2+5x+a（a是常数），则22m•8n的值为　32　 ． 【分析】根据多项式乘多项式运算法则化简后整体代入计算即可． 【解答】解：根据多项式乘多项式运算法则可知： （x+2m）（x+3n）＝x2+（2m+3n）x+6mn＝x2+5x+a， ∴2m+3n＝5， ∴22m•8n＝22m•23n＝22m+3n＝25＝32． 故答案为：32． 【点评】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是关键． 【练习 3】（2025秋•长清区期末）如图，某中学校园内有一块长为（x+2y）米，宽为（2x+y）米的长方形地块，学校计划在中间留下一个“T”型的图形（阴影部分）修建一个文化广场． （1）用含x，y的式子表示“T”型图形的面积并化简； （2）当x＝2，y＝3时，求文化广场的面积． 【分析】（1）根据多项式乘多项式的运算法则进行计算，再合并同类项即可作出答案； （2）将x＝2，y＝3代入即可． 【解答】解：（1）（2x+y）（x+2y）﹣2y2 ＝2x2+4xy+xy+2y2﹣2y2 ＝2x2+5xy； （2）当x＝2，y＝3时， 2x2+5xy ＝2×22+5×2×3 ＝8+30 ＝38（平方米）， 答：文化广场的面积为38平方米． 【点评】本题主要考查多项式乘多项式，解题的关键是熟练掌握多项式乘多项式的运算法则． 【练习 4】（2026春•东营期末）如图，某中学校园内有一块长为（3a+2b）米，宽为（2a+b）米的长方形地块，学校计划在中间留一块长为（2a+b）米、宽为2b米的小长方形地块修建一座雕像，然后将阴影部分进行绿化． （1）求绿化部分的面积；（用含a，b的代数式表示） （2）当a＝4，b＝1时，求绿化部分的面积． 【分析】（1）先求出长方形地块的面积，再求出修建雕像的小长方形地块的面积，进而即可求出绿化部分的面积； （2）将a＝4，b＝1代入进行计算即可求解． 【解答】解：（1）∵大长方形长（3a+2b），宽（2a+b）， ∴大长方形面积：（3a+2b）（2a+b）＝6a2+3ab+4ab+2b2＝6a2+7ab+2b2， ∵雕像小长方形长（2a+b），宽2b， ∴雕像面积：2b（2a+b）＝4ab+2b2， ∵绿化面积＝大长方形面积﹣雕像面积， ∴ ＝6a2+7ab+2b2﹣4ab﹣2b2 ＝6a2+3ab； ∴绿化部分的面积为（6a2+3ab）平方米； （2）当a＝4，b＝1时，6a2+3ab＝6×42+3×4×1＝96+12＝108（平方米）， ∴绿化部分的面积为108平方米． 【点评】题目考查了多项式乘多项式，解题的关键在于相关知识的灵活运用． 💯课后巩固 ❤复习建议 整理幂运算4条公式（同底数幂乘、幂的乘方、积的乘方），重点标记逆用公式的题型，每周复盘23道逆用公式计算题。 区分易混淆点：指数相加 vs 指数相乘；负号乘方的奇偶符号；单项式乘多项式不要漏乘常数项。 专项训练“不含某一项”题型，牢记核心逻辑：不含该项等价于该项系数=0，不要把“系数等于0”错误理解成“该项整体等于0”。 几何面积题：养成习惯，先写“总面积挖去部分面积”，再展开多项式、合并同类项，再代入数字求值。 【作业 1】（2024秋•文山市期中）数学课上，老师讲了单项式乘以多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：﹣3xy（4y﹣2x﹣1）＝﹣12xy2+6x2y+■，■的地方被钢笔水弄污了，你认为■内上应填写（　　） A．3xy B．﹣3xy C．﹣1 D．1 【分析】先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加，所得结果与等式右边的式子相对照即可得出结论． 【解答】解：根据单项式乘多项式运算法则计算得： ∵﹣3xy（4y﹣2x﹣1）＝﹣12xy2+6x2y+3xy＝﹣12xy2+6x2y+□， ∴□内上应填写3xy． 故选：A． 【点评】本题考查的是单项式乘多项式，熟知单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加是解答此题的关键． 【作业 2】（2025秋•济阳区期末）有若干张边长如图所示的长方形卡片，如果要拼一个长为（2a+3b），宽为（a+b）的矩形，则需要3类卡片共　10　 张． 【分析】通过运用多项式乘多项式的计算法则进行求解． 【解答】解：（2a+3b）（a+b） ＝2a•a+2a•b+3b•a+3b•b ＝2a2+5ab+3b2， ∴需要3类卡片各需2张，5张，3张， ∴需要3类卡片共10张， 故答案为：10． 【点评】此题考查了多项式乘多项式的应用能力，关键是能准确理解并运用该知识进行正确地计算． 【作业 3】（2025秋•黄浦区校级月考）如果x2+px+q＝（x﹣1）（x+4），那么p、q的值是（　　） A．p＝3，q＝4 B．p＝3，q＝﹣4 C．p＝﹣4，q＝3 D．p＝4，q＝﹣3 【分析】由（x﹣1）（x+4）＝x2+3x﹣4结合（x﹣1）（x+4）＝x2+px+q，即可得出p、q的值． 【解答】解：∵（x﹣1）（x+4）＝x2+3x﹣4，且（x﹣1）（x+4）＝x2+px+q， ∴p＝3，q＝﹣4， 故选：B． 【点评】本题考查了十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程． 【作业 4】（2025秋•昌都市期末）已知（x+a）（x+b）＝x2+mx+24，其中a，b为整数，则整数m可能的取值有（　　）个． A．2 B．4 C．6 D．8 【分析】先根据多项式乘多项式的计算法则得到a+b＝m，ab＝24，从而可得a、b的值，由此即可得到答案， 【解答】解：∵（x+a）（x+b）＝x2+mx+24， ∴x2+ax+bx+ab＝x2+（a+b）x+ab＝x2+mx+24， ∴a+b＝m，ab＝24， ∵a、b为整数， ∴或或或或或或或， 或或或或或或或， ∴24+1＝25，12+2＝14，8+3＝11，6+4＝10，4+6＝10，3+8＝11，﹣24﹣1＝﹣25，﹣12﹣2＝﹣14，﹣8﹣3＝﹣11，﹣6﹣4＝﹣10， ∴a+b＝25或14或11或10或﹣25或﹣14或﹣11或﹣10， ∴m的取值有8个， 故选：D． 【点评】本题考查了多项式乘以多项式的计算法则，正确得到a+b＝m，ab＝24是解题的关键． 【作业 5】（2025春•碧江区 期中）我们在学习多项式乘以多项式时，我们知道的结果是一个多项式，并且最高次项为：，常数项为4×5×（﹣6）＝﹣120．那么一次项是什么呢？要解决这个问题，就是要确定一次项的系数．通过观察，我们发现：一次项的系数就是5×（﹣6）+2×4×（﹣6）+3×4×5＝﹣3，即一次项为﹣3x． 请你参考上面的计算方法，解答下列问题： （1）计算（x+1）（3x+2）（5x﹣3）求所得多项式的一次项系数； （2）如果计算（x+5）（﹣2x+a）（3x﹣3）所得多项式中不含一次项，求常数a的值． 【分析】（1）在三个二项式相乘时，一次项的系数由每次选取一个括号中的x项，其余两个括号选取常数项，再将所有可能的组合乘积相加得到． （2）不含某项的条件：若多项式不含一次项，则一次项的系数之和为0，据此可建立方程求解参数． 【解答】解：（1）一次项的系数就是： 1×2×（﹣3）+3×1×（﹣3）+5×1×2 ＝﹣6+（﹣9）+10 ＝﹣5； （2）一次项系数为： 1×a×（﹣3）+（﹣2）×5×（﹣3）+3×5×a ＝﹣3a+30+15a ＝12a+30， 因为所得多项式中不含一次项， 所以12a+30＝0， 所以． 【点评】本题考查了多项式乘多项式、有理数的混合运算、单项式乘单项式，解决本题的关键是按照示例计算一次项系数． 【作业 6】（2025秋•上海校级月考）计算：（a2+2ab+4b2）•（a﹣2b）． 【分析】利用整式的计算法则计算． 【解答】解：（a2+2ab+4b2）•（a﹣2b） ＝a3﹣2a2b+2a2b﹣4ab2+4ab2﹣8b3 ＝a3﹣8b3． 【点评】本题考查了多项式乘多项式，解题的关键是掌握整式的计算法则． 【作业 7】（2026春•慈溪市校级期中）现有甲、乙、丙三种矩形卡片各若干张，卡片的边长如图1所示（a＞1）．某同学分别用6张卡片拼出了两个矩形（不重叠、无缝隙），如图2和图3，其面积分别为S1，S2． （1）用含a的代数式分别表示S1，S2，当a＝2时，求S1+S2的值； （2）比较S1与S2的大小，并说明理由； （3）若S1﹣S2＝4，求4a﹣2a2+3的值． 【分析】（1）根据图形中甲、乙、丙三种矩形卡片的数量求面积即可； （2）计算，再判断即可； （3）由得到a2﹣2a＝3，再整体代入求值即可． 【解答】解：（1）根据图形中甲、乙、丙三种矩形卡片的数量求面积可知： 由图2可得， 由图3可得S2＝5×1×a+1×1＝5a+1， （2）， ∵a＞1， ∴， ∴S1＞S2； （3）， ∴a2﹣2a＝3， ∴4a﹣2a2＝﹣2（a2﹣2a）＝﹣6， ∴4a﹣2a2+3＝﹣6+3＝﹣3． 【点评】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是关键。 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第8讲 整式的乘法 优等生讲义 (知识梳理+典例+压轴+练习) 2026-2027学年人教版八年级数学上册 📌思维导图 · 课程内容总览 🎯 课程目标 · 精准把握学习方向 掌握同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方运算法则，能熟练进行幂的混合运算，会逆用公式求值。 掌握单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式的运算法则，能正确展开整式乘法。 理解不含某类项题型的解题思路，会令对应项系数为0求解参数。 能结合几何面积模型理解整式乘法，会用整体代入、配方法进行代数式求值。 能读懂材料归纳新运算规律，解决高阶探究、压轴类问题。 📚 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 1.同底数幂的乘法 公式：am·an=am+n（m、n为正整数，a≠0）； 逆用：am+n=am·an。 要点：底数不变，指数相加；底数互为相反数要先统一底数。 概念辨析例题：若2m=a，则2m+2等于（）A.a+2 B.a2 C.4a D.2a 解析：逆用同底数幂乘法，2m+2=2m·22=4a，选C。考察公式逆用，不要把指数加法错误当成常数加法。 ☆ 2.幂的乘方 公式：(am)n=amn（m、n为正整数）；逆用：amn=(am)n=(an)m。 要点：底数不变，指数相乘；常用于统一指数比较幂的大小。 概念辨析例题：已知a=244，b=333，c=522，比较三者大小。 解析：统一指数为11，a=(24)11=1611，b=(33)11=2711，c=(52)11=2511，得a＜c＜b。注意不要混淆幂的乘方与同底数幂乘法。 ☆ 3.积的乘方 公式：(ab)n=anbn；逆用：anbn=(ab)n。 要点：积中每一个因式分别乘方；负号要参与乘方，区分奇次、偶次符号。 概念辨析例题：计算 22025×(-½)2026。 解析：拆指数，原式=22025×(-½)2025×(-½)=[2×(-½)]2025×(-½)=(-1)2025×(-½)=½。逆用积的乘方，指数不同先拆分出相同指数部分。 ☆ 4.单项式乘以单项式 法则：系数相乘，同底数幂分别相乘，只在一个单项式中含有的字母连同指数照抄。 步骤：系数→同底数幂→独有字母。 概念辨析例题：计算 3a2bc·(-4ab2)。 解析：系数3×(-4)=12；a：a2·a=a3；b：b·b2=b3；c保留；结果12a3b3c。注意不要漏写只出现一次的字母。 ☆ 5.单项式乘以多项式 法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得积相加，m(a+b+c)=ma+mb+mc。 注意：必须乘遍多项式全部项，注意符号，负号要分配到每一项。 概念辨析例题：-3xy(4y2x1)展开，最后一项为？ 解析：3xy×(1)=3xy；注意不要漏乘常数项1，易错写成3xy。 ☆ 6.多项式乘以多项式 法则：(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb；一个多项式每一项乘另一个多项式每一项，再合并同类项。 题型重点：不含某一项 → 该项系数等于0。 概念辨析例题：(x2m)(x3n)结果不含x一次项，求m、n关系。 解析：展开得到一次项系数(2m+3n)，不含一次项即2m+3n=0。不含项不是该项等于0，是系数等于0。 ☆ 7.整式乘法几何意义与规律探究 长方形面积验证乘法公式；材料阅读归纳乘方差规律：(a1)(an1+an2+…+1)=an1。 概念辨析例题：求210+29+…+2+1。 解析：原式=(21)(210+…+1)=2111=2047。 📋知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 同底数幂乘法 am·an=am+n 底数相同；指数相加，不要和幂的乘方混淆；可逆用 幂的乘方 (am)n=amn 指数相乘；常用来统一指数比较幂大小 积的乘方 (ab)n=anbn 每个因式都要乘方；负号注意奇偶次符号；可逆用简化计算 单项式×单项式 系数相乘，同底数幂相乘，独有字母保留 不要漏掉只出现一次的字母因式 单项式×多项式 m(a+b)=ma+mb 单项式乘遍多项式全部项，符号不能错，不漏常数项 多项式×多项式 (m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb 逐项相乘再合并；不含某项令该项系数=0 ⚠️ 核心考点 · 典型例题精讲 【考点1】同底数幂的乘法（第15题） 直接运用公式：底数不变，指数相加。 公式逆用：am+n=am·an，已知幂的值求组合幂。 整体思想：把代数式整体当做底数，例如已知x+y的值求3x·3y。 单位换算类应用题，连续使用同底数幂乘法。 1．（2025秋•赣州期末）若2m＝a，则2m+2＝（　　） A．a+2 B．a2 C．4a D．2a 2．（2025秋•东台市期末）已知x+y﹣3＝0，则3x•3y的值是（　　） A．9 B．27 C． D． 3．（2025秋•伊犁州期末）若3x＝2，3y＝3，则3x+y等于（　　） A．5 B．3 C．6 D．10 4．（2023•河北区一模）计算a5•（﹣a）3的结果等于 ________ ． 5．（2026春•同步）信息存储设备常用B，KB，MB，GB，TB等作为存储量的单位，其中1KB＝210B（字节），1MB＝210KB，1GB＝210MB，1TB＝210GB．例如，我们常说某计算机的硬盘容量是2TB，某移动硬盘的容量是512GB，某文件的大小是156KB等．对于一个存储量为64GB的闪存盘，其容量有多少字节？ 【考点2】幂的乘方（第612题） 幂的乘方：底数不变，指数相乘，区分和同底数幂加法。 逆用幂的乘方统一指数，比较多个幂的大小。 结合积的乘方逆运算：形如(-2)2025×(½)2024，拆分指数构造相同指数。 已知10a、10b，求102a+3b，幂的乘方+同底数幂乘法综合。 6．（2024秋•十堰期末）下列计算正确的是（　　） A．a3•a4＝a12 B．（﹣a2）3＝﹣a6 C．（a3）2＝a5 D．（﹣3a2）3＝﹣9a6 7．（2026春•湘阴县期末）计算的结果为（　　） A．2 B． C．1 D．﹣2 8．（2026春•福田区校级期中）已知a＝244，b＝333，c＝522，那么a，b，c的大小顺序是（　　） A．a＜c＜b B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．a＜b＜c 9．（2025秋•金山区校级期末）计算：_____ ． 10．（2025秋•平桥区期末）___________________ ． 11．（2025春•常州期中）已知10a＝3，10b＝4，求： （1）102a+103b的值； （2）102a+3b的值． 12．（2026春•延庆区期中）阅读下面材料： 材料一：比较28和82的大小 材料二：比较322和411的大小 解：因为82＝（23）2＝26，且8＞6，所以28＞26，即28＞82． 解：因为411＝（22）11＝222，且3＞2，所以322＞222，即322＞411． 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小． 解决下列问题： （1）比较260，450，826的大小； （2）比较320，415，510的大小． 【考点3】积的乘方（第1320题） (ab)n=anbn，负数的偶次幂为正，奇次幂为负。 逆用积的乘方简化大指数计算。 混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减。 幂的乘方、积的乘方、同底数幂除法综合计算。 13．（2025秋•曲靖期末）计算的结果是（　　） A． B． C．1 D．2 14．（2026春•赣榆区期末）计算（﹣3a2b3）2的结果正确的是（　　） A．﹣3a4b6 B．9a4b9 C．﹣6a4b9 D．9a4b6 15．（2025秋•赣榆区期末）_______ ． 16．（2026•北辰区一模）计算（﹣b3）2的结果为_______ ． 17．（2025秋•奉贤区期末）计算：（﹣2x2）3+x2•x4﹣（﹣3x3）2． 18．（2026春•同步）计算： （1）[（﹣2a2b3）3]2； （2）（﹣2xy2）6+（﹣3x2y4）3． 19．（2026春•同步）计算： （1）（102）8； （2）（xm）2； （3）[（﹣a）3]5； （4）﹣（x2）m． 20．（2026春•天宁区校级期中）计算：（﹣3x）3+（x4）2÷（﹣x）5． 【考点4】单项式乘以单项式（第2124题） 运算顺序：系数相乘，同底数幂相乘，独有字母连同指数保留。 和积的乘方混合：先算积的乘方，再算单项式相乘。 注意区分合并同类项与幂运算。 21．（2025•青原区模拟）下列计算正确的是（　　） A．a3•4a2＝4a6 B．（﹣2a3）2＝﹣4a6 C．（2a2b）3＝8a6b3 D．（﹣2ab3）2＝4a2b3 22．（2026春•东台市月考）计算：（﹣2m）2•m3＝________ ． 23．（2025秋•闵行区期末）计算：2a2•a3+（﹣a3）2． 24．计算：3a2bc•（﹣4ab2）． 【考点5】单项式乘以多项式（第2530题） 分配律一定要乘满多项式每一项，负号重点。 几何面积模型验证单项式乘多项式恒等式。 不含二次项题型：对应二次项系数等于0，解参数。 结合整体代入、配方法代数式求值。 25．（2023秋•曾都区期末）在“单项式乘多项式”的课堂上，有这样一道题的计算过程：（x﹣3y）•（﹣6x）＝x•（﹣6x）□（﹣3y）•（﹣6x），你认为“□”内应填的符号为（　　） A．+ B．﹣ C．• D．÷ 26．（2025秋•武乡县期末）用如图所示的几何图形的面积可以验证的数学恒等式为（　　） A．（a+b）2＝a2+2ab+b2 B．2a（a+b）＝2a2+2ab C．2a（a+2b）＝2a2+4ab D．（a+b）（2a+b）＝2a2+3ab+b2 27．（2025秋•西宁期末）若m﹣n＝3，则m（n+1）的值可能是（　　） A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1 28．若关于x，y的多项式0.4x2y﹣（2m+4）xy+0.75y3+（﹣n+3）y2化简后不含二次项，则mn＝_______ ． 29．（2025春•汉中月考）若a+b+c＝0，a2+b2+c2＝1，则a（b+c）+b（c+a）+c（a+b）＝ _______ ． 30．（2025秋•浦东新区期中）计算：． 【考点6】多项式乘以多项式（第3136题） 逐项相乘，合并同类项；不含某一项则该项系数为0。 卡片拼图类，由面积反推卡片数量。 图形面积应用题：总面积减去挖去部分面积。 多项式展开不含x2、x3等高次项求参数。 31．（2026春•扬州期末）要使（x﹣2m）（x﹣3n）的计算结果中不含x的一次项，则m，n之间的关系为（　　） A．2m+3n＝0 B．mn＝0 C．2m﹣3n＝0 D．m+n＝﹣2 32．（2025秋•綦江区期末）有如图所示的正方形和长方形卡片若干张，若要拼成一个长为2a+b、宽为a+3b的长方形，需要B类卡片（　　） A．5张 B．6张 C．7张 D．8张 33．（2026•唐山二模）小李同学制作了如图所示的卡片A类、B类、C类各10张，其中A、B两类卡片都是正方形，C类卡片是长方形．现要拼一个两边分别是（2a+3b）和（3a+2b）的大长方形，那么下列关于他所准备的C类卡片的张数的说法中，正确的是（　　） A．够用，剩余5张 B．够用，剩余1张 C．不够用，缺2张 D．不够用，缺3张 34．（2025秋•四川期末）已知，ab＝2，则（5﹣3a）（5+3b）的值为________ ． 35．（2026春•临渭区期末）如图，某小区有一块长为（3a+2b）米，宽为（2a﹣3b）米的长方形地块，角上有四个边长为b米的小正方形空地，开发商计划将阴影部分进行绿化． （1）求该小区绿化的总面积； （2）若a＝10，b＝2，绿化成本为50元/平方米，则完成绿化共需要多少钱？ 36．（2026春•盐都区期中）根据下列要求求值． （1）已知ax＝2，ay＝3，求a2x+y的值． （2）将（x3+mx+n）（x2﹣3x+4）展开的结果不含x3和x2项，求m+2n的值． 【考点7】创新及压轴题（第3739题） 阅读材料归纳多项式乘法的规律公式。 利用规律求长串2的幂次相加。 长方形减去多个正方形面积的实际应用题，包含代入求值、成本计算。 判断归纳结论的正误。 37．（2023秋•西山区期末）观察下列计算： （a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2 （a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3 （a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）＝a4﹣b4 （1）猜想：（a﹣1）（an﹣1+an﹣2+⋯+a+1）＝_________ （其中n为正整数，且n≥2）； （2）利用（1）猜想的结论计算：210+29+28+27+⋯+23+22+2+1． 38．（2025秋•长春期末）某校门前有一块长为（6a+2b）米，宽为（4a+2b）米的长方形空地要铺地砖．如图所示，中间的两块正方形区域是花池，不需要铺地砖．两正方形区域的边长均为（a+b）米． （1）用代数式表示：需要铺设地砖的面积是多少平方米． （2）当a＝2，b＝3时，求需要铺地砖的面积． （3）某种道路防滑地砖的规格是：正方形，边长为0.2米，每块1.5元．在（2）的条件下，不考虑其他因素，求出铺设此种地砖需要多少钱． 39．（2023春•华容县校级期中）A同学准确计算出下列各式； ①（a﹣b）（a+b）＝a2+b2， ②（a﹣b）（a2+ab+b3）＝a2﹣b2， ③（a﹣b）（a3﹣a2b+ab2+b3）＝a4﹣b4， 请通过观察，猜想、计算判断以下结论： ①（a﹣b）（a5+a4b+a3b2+a2b3+ab4+b5）＝a6﹣b6； ②（a﹣b）（an﹣1+an﹣2b+…+abn﹣2+bn﹣1）＝an﹣bn （其中n为正整数，且n≥2）； ③211+210+29+28+27+…+23+22+2＝212﹣1； ④211+210+29+28+27+…+23+22+2＝212﹣2； 其中正确的有 ________ （填序号）． 📝随堂检测 【练习 1】（2026•颍上县二模）下列运算正确的是（　　） A．2a2•a＝2a3 B．（ab）3＝ab3 C．a2+a3＝a5 D．（﹣a3）2＝﹣a6 【练习 2】（2026春•常德期末）已知（x+2m）（x+3n）＝x2+5x+a（a是常数），则22m•8n的值为_______ ． 【练习 3】（2025秋•长清区期末）如图，某中学校园内有一块长为（x+2y）米，宽为（2x+y）米的长方形地块，学校计划在中间留下一个“T”型的图形（阴影部分）修建一个文化广场． （1）用含x，y的式子表示“T”型图形的面积并化简； （2）当x＝2，y＝3时，求文化广场的面积． 【练习 4】（2026春•东营期末）如图，某中学校园内有一块长为（3a+2b）米，宽为（2a+b）米的长方形地块，学校计划在中间留一块长为（2a+b）米、宽为2b米的小长方形地块修建一座雕像，然后将阴影部分进行绿化． （1）求绿化部分的面积；（用含a，b的代数式表示） （2）当a＝4，b＝1时，求绿化部分的面积． 💯课后巩固 ❤复习建议 整理幂运算4条公式（同底数幂乘、幂的乘方、积的乘方），重点标记逆用公式的题型，每周复盘23道逆用公式计算题。 区分易混淆点：指数相加 vs 指数相乘；负号乘方的奇偶符号；单项式乘多项式不要漏乘常数项。 专项训练“不含某一项”题型，牢记核心逻辑：不含该项等价于该项系数=0，不要把“系数等于0”错误理解成“该项整体等于0”。 几何面积题：养成习惯，先写“总面积挖去部分面积”，再展开多项式、合并同类项，再代入数字求值。 【作业 1】（2024秋•文山市期中）数学课上，老师讲了单项式乘以多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：﹣3xy（4y﹣2x﹣1）＝﹣12xy2+6x2y+■，■的地方被钢笔水弄污了，你认为■内上应填写（　　） A．3xy B．﹣3xy C．﹣1 D．1 【作业 2】（2025秋•济阳区期末）有若干张边长如图所示的长方形卡片，如果要拼一个长为（2a+3b），宽为（a+b）的矩形，则需要3类卡片共_______ 张． 【作业 3】（2025秋•黄浦区校级月考）如果x2+px+q＝（x﹣1）（x+4），那么p、q的值是（　　） A．p＝3，q＝4 B．p＝3，q＝﹣4 C．p＝﹣4，q＝3 D．p＝4，q＝﹣3 【作业 4】（2025秋•昌都市期末）已知（x+a）（x+b）＝x2+mx+24，其中a，b为整数，则整数m可能的取值有（　　）个． A．2 B．4 C．6 D．8 【作业 5】（2025春•碧江区 期中）我们在学习多项式乘以多项式时，我们知道的结果是一个多项式，并且最高次项为：，常数项为4×5×（﹣6）＝﹣120．那么一次项是什么呢？要解决这个问题，就是要确定一次项的系数．通过观察，我们发现：一次项的系数就是5×（﹣6）+2×4×（﹣6）+3×4×5＝﹣3，即一次项为﹣3x． 请你参考上面的计算方法，解答下列问题： （1）计算（x+1）（3x+2）（5x﹣3）求所得多项式的一次项系数； （2）如果计算（x+5）（﹣2x+a）（3x﹣3）所得多项式中不含一次项，求常数a的值． 【作业 6】（2025秋•上海校级月考）计算：（a2+2ab+4b2）•（a﹣2b）． 【作业 7】（2026春•慈溪市校级期中）现有甲、乙、丙三种矩形卡片各若干张，卡片的边长如图1所示（a＞1）．某同学分别用6张卡片拼出了两个矩形（不重叠、无缝隙），如图2和图3，其面积分别为S1，S2． （1）用含a的代数式分别表示S1，S2，当a＝2时，求S1+S2的值； （2）比较S1与S2的大小，并说明理由； （3）若S1﹣S2＝4，求4a﹣2a2+3的值． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $