专题17.1 提取公因式法分解因式（讲义：考点整理+题型归纳+探究式学习+课后检测）2026-2027学年人教版八年级数学上册

本讲义聚焦“用提公因式法分解因式”核心知识点，系统梳理因式分解定义、结果规范（含标准与错误形式对比）及“一提二代三分解”基本解法，搭建从整式乘法到后续因式分解方法的学习支架。 资料通过8种分层递进题型（含例题与变式）及图形面积推导的探究式学习，培养运算能力与推理意识，以几何直观发展数学眼光。课中辅助教师教学，课后检测与复盘笔记助力学生查漏补缺，提升应用意识。

简一数理 初中专题讲义 专题17.1 用提公因式法分解因式 （新教材人教版） 知识点一、定义 2 知识点二、因式分解结果的要求 2 知识点三、因式分解基本解法 2 【题型1 判断是否是因式分解】 3 【题型2 已知因式分解的结果求参数】 3 【题型3 确定多项式的公因式（单项式公因式）】 4 【题型4 公因式为多项式（整体换元型公因式）】 4 【题型5 直接提取单项式公因式分解因式】 4 【题型6 提取多项式公因式分解因式】 5 【题型7 因式分解化简求值（提公因式整体代入）】 5 【题型8 提取公因式简便运算与简单应用】 6 【探究式学习】 7 【课后检测】 9 【复盘笔记】 11 知识点一、定义 把一个多项式化成几个既约整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也可称为将这个多项式分解因式． 知识点二、因式分解结果的要求 因式分解结果的标准形式 常见典型错误或者不规范形式 符合定义，结果一定是乘积的形式 既约整式，不能含有中括号 最后的因式的不能再次分解 单项式因式写在多项式因式的前面 相同的因式写成幂的形式 每个因式第一项系数一般不为负数 每个因式第一项系数一般不为分数 因式中不能含有分式 因式中不能含有无理数 知识点三、因式分解基本解法 “一提二代三分解”是因式分解的三种常见基本解法，“提”指的是提取公因式法，“代”指的是公式法（完全平方公式，平方差公式，立方差和立方和公式，三项完全平方公式），“分解”指的是分组分解的方法． ①提取公因式法 几个整式都含有的因式称为它们的公因式． 例如： 把每项的公因式，包括数和字母全部提出，当然有的时候把一个式子看成一个整体． ②公式法 因为因式分解和整式的乘法是互逆的，所以说常见的乘法公式要特别熟悉． 平方差公式 完全平方公式： 立方差公式： 立方和公式： 三项完全平方公式： 完全立方公式： 【题型1 判断是否是因式分解】 【例1】下列从左边到右边的变形中，因式分解正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】在下列等式中，从左边到右边的变形是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-3】下列各式中，由左向右的变形属于因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【题型2 已知因式分解的结果求参数】 【例2】已知关于的二次三项式有一个因式为，则的值为（     ） A．8 B． C． D．24 【变式2-1】关于的多项式可以分解为，则，的值为（     ） A．12，6 B．8，4 C．10，8 D．2，6 【变式2-2】若将多项式因式分解得，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】若多项式可因式分解为，其中，均为整数，则的值是（   ） A． B． C． D． 【题型3 确定多项式的公因式（单项式公因式）】 【例3】下列多项式中，各项的公因式为的是（     ） A． B． C． D． 【变式3-1】把多项式因式分解时，提取的公因式是，则k的值可能为（     ） A．1 B．2 C．3 D．5 【变式3-2】把多项式分解因式，应提的公因式是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】多项式的公因式是（　　） A． B． C． D． 【题型4 公因式为多项式（整体换元型公因式）】 【例4】把多项式，提取公因式后，余下的部分是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】与的公因式是（   ） A． B． C． D．不存在 【变式4-2】多项式，与的公因式为______． 【变式4-3】找出的公因式． 【题型5 直接提取单项式公因式分解因式】 【例5】把多项式分解因式的结果正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式5-1】将多项式分解因式时，应提取的公因式是（     ） A． B． C． D． 【变式5-2】因式分解：（     ） A． B． C． D． 【变式5-3】将多项式分解因式时，应提取的公因式为（     ） A． B．y C． D． 【题型6 提取多项式公因式分解因式】 【例6】已知，，则的值为（     ） A．6 B．8 C．12 D．18 【变式6-1】多项式因式分解的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】多项式因式分解的结果正确的是(　　) A． B． C． D． 【变式6-3】下列各式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【题型7 因式分解化简求值（提公因式整体代入）】 【例7】已知，则的值为_____． 【变式7-1】已知，，则代数式的值为____________． 【变式7-2】若，则________． 【变式7-3】先化简，再求值：，其中，． 【题型8 提取公因式简便运算与简单应用】 【例8】把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)． 【变式8-1】先化简，再求代数式的值，其中． 【变式8-2】先因式分解，再计算求值：，其中，． 【变式8-3】用提公因式法将下列各式因式分解： (1)； (2)． 【探究式学习】 1．阅读材料，探究问题． 我们可通过运算得到和． 【探索归纳】 如图，甲、乙两图是两个长和宽都相等的长方形，其中长为，宽为． （1）根据甲图、乙图的特征，用不同的方法计算长方形的面积，得到的等式是________． 【尝试运用】 利用因式分解与整式乘法的关系，我们可以逆用上述表达式得到一些二次三项式的因式分解． （2）若，则________． 【拓展延伸】 （3）已知关于的整式可以写成两个因式的积，其中一个因式是．求另一个因式和的值． （4）若可以分解成关于的两个一次式乘积的形式（每个一次式的系数与常数项都为整数），直接写出所有正整数的值． 2．方法探究： 已知二次多项式，我们把代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式（x＋3）．设另一个因式为（x＋k），多项式可以表示成，则有，因为对应项的系数是对应相等的，即，解得，因此多项式分解因式得：．我们把以上分解因式的方法叫“试根法”． 问题解决： (1)对于二次多项式，我们把x＝ 代入该式，会发现成立； (2)对于三次多项式，我们把x＝1代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式（），设另一个因式为（），多项式可以表示成，试求出题目中a，b的值； (3)对于多项式，用“试根法”分解因式． 【课后检测】 1．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 2．已知，，则的值为（     ） A．6 B．7 C．12 D．14 3．若长和宽分别为和的长方形的周长为，面积为，则代数式的值（     ） A． B． C． D． 4．如图，将两张边长为的正方形纸片和两张长、宽分别为，的矩形纸片拼成一个大的矩形．该过程所揭示的关于因式分解的等式是（     ） A． B． C． D． 5．下列因式分解正确的是（     ） A． B． C． D． 6．如图，边长为，的矩形的周长为，面积为，则的值是（    ） A． B． C． D． 7．若三边a，b，c满足，则一定是（     ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 8．下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 9．若，则的值为（   ） A．8 B．10 C．16 D．20 10．下列各等式中，从左到右的变形是因式分解且分解正确的是（    ） A． B． C． D． 11．把多项式提取公因式后，余下的部分是 _____． 12．已知是多项式的一个因式，则它的另一个因式是________________． 13．分解因式：______． 14．因式分解：______． 15．因式分解： (1) (2) 16．因式分解： (1)； (2)． 17． 先因式分解，再求值：，其中，． 18．因式分解 ，其中，，都为整数，求这样的的最大值． 【复盘笔记】 化繁为简，一通百通 第 2 页 共 27 页 第 1 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 简一数理 初中专题讲义 专题17.1 用提公因式法分解因式 （新教材人教版） 知识点一、定义 2 知识点二、因式分解结果的要求 2 知识点三、因式分解基本解法 2 【题型1 判断是否是因式分解】 3 【题型2 已知因式分解的结果求参数】 4 【题型3 确定多项式的公因式（单项式公因式）】 6 【题型4 公因式为多项式（整体换元型公因式）】 8 【题型5 直接提取单项式公因式分解因式】 9 【题型6 提取多项式公因式分解因式】 10 【题型7 因式分解化简求值（提公因式整体代入）】 11 【题型8 提取公因式简便运算与简单应用】 13 【探究式学习】 16 【课后检测】 20 【复盘笔记】 27 知识点一、定义 把一个多项式化成几个既约整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也可称为将这个多项式分解因式． 知识点二、因式分解结果的要求 因式分解结果的标准形式 常见典型错误或者不规范形式 符合定义，结果一定是乘积的形式 既约整式，不能含有中括号 最后的因式的不能再次分解 单项式因式写在多项式因式的前面 相同的因式写成幂的形式 每个因式第一项系数一般不为负数 每个因式第一项系数一般不为分数 因式中不能含有分式 因式中不能含有无理数 知识点三、因式分解基本解法 “一提二代三分解”是因式分解的三种常见基本解法，“提”指的是提取公因式法，“代”指的是公式法（完全平方公式，平方差公式，立方差和立方和公式，三项完全平方公式），“分解”指的是分组分解的方法． ①提取公因式法 几个整式都含有的因式称为它们的公因式． 例如： 把每项的公因式，包括数和字母全部提出，当然有的时候把一个式子看成一个整体． ②公式法 因为因式分解和整式的乘法是互逆的，所以说常见的乘法公式要特别熟悉． 平方差公式 完全平方公式： 立方差公式： 立方和公式： 三项完全平方公式： 完全立方公式： 【题型1 判断是否是因式分解】 【例1】下列从左边到右边的变形中，因式分解正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、等式右边含有不是整式， 不是因式分解． B、 变形为整式乘法， 不是因式分解． C、等式右边为和的形式， 不是因式分解． D、、D， 符合因式分解要求． 【变式1-1】在下列等式中，从左边到右边的变形是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】因式分解是把多项式化为几个整式乘积的形式，根据定义逐一判断即可. 【详解】解：∵因式分解要求等式左边为多项式，右边为几个整式乘积的形式； ∴选项A，左边是整式乘积，右边是多项式，属于整式乘法，不是因式分解，不符合要求； 选项B，左边是整式乘积，右边是多项式，属于整式乘法，不是因式分解，不符合要求； 选项C，右边是多项式和的形式，不是整式乘积，不是因式分解，不符合要求； 选项D，左边是多项式，右边是整式乘积，等式成立，属于因式分解，符合要求. 【变式1-2】下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据因式分解的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、是整式乘法，不属于因式分解，故选项不符合题意； BC、选项等式右边均为和的形式，不是几个整式的积，不属于因式分解，故选项不符合题意； D、，属于因式分解，故选项符合题意． 【变式1-3】下列各式中，由左向右的变形属于因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据因式分解的定义，即把一个多项式化为几个整式的积的形式，逐一判断各选项即可； 【详解】解：A：，右边是多项式加法的形式，不是几个整式的积，不符合因式分解的定义，所以A不符合题意； B：，左边是多项式，右边是两个整式的乘积，符合因式分解的定义，所以B符合题意； C：，是整式的乘法运算，是从积的形式化为多项式，不属于因式分解，所以C不符合题意； D：，右边中不是整式，不符合因式分解的要求，所以D不符合题意． 【题型2 已知因式分解的结果求参数】 【例2】已知关于的二次三项式有一个因式为，则的值为（     ） A．8 B． C． D．24 【答案】B 【分析】若多项式含有因式，则当时，该多项式的值为，代入即可求出的值. 【详解】解：∵ 二次三项式有一个因式为 ， ∴ 当时，， 将代入等式得： ， 化简计算得：， 解得：. 【变式2-1】关于的多项式可以分解为，则，的值为（     ） A．12，6 B．8，4 C．10，8 D．2，6 【答案】A 【分析】先展开分解后的因式乘积，根据多项式相等时对应项系数相等，列等式求解即可得到和的值． 【详解】解：∵，多项式可以分解为， ∴， ∴ ， 解得． 【变式2-2】若将多项式因式分解得，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先展开因式分解后的多项式，利用多项式相等时对应项系数相等求出和的值，再计算． 【详解】解： ， ， ，解得， ． 【变式2-3】若多项式可因式分解为，其中，均为整数，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了多项式的乘法运算、因式分解的意义以及解方程组，熟练掌握多项式乘法法则和对应项系数相等的方法是解题的关键．先将因式分解后的式子展开，再与原多项式的各项系数对应相等，列出方程组求出整数、的值，最后计算的值． 【详解】解：∵将展开得, 又∵, ∴, 由得, 将，代入得，符合条件, ∴, 故选：D． 【题型3 确定多项式的公因式（单项式公因式）】 【例3】下列多项式中，各项的公因式为的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】公因式是多项式各项系数的最大公约数，与各项都含有的相同字母的最低次幂的乘积，按规则求出各选项的公因式，即可得到答案． 【详解】解：根据公因式的确定规则，对各选项逐一判断： ∵ 选项A：多项式 ，系数最大公约数为，相同字母最低次幂为 ，∴ 公因式为 ，故不符合题意； ∵ 选项B：多项式，系数最大公约数为，相同字母最低次幂为，∴ 公因式为，故不符合题意； ∵ 选项C：多项式，系数和的最大公约数为，相同字母的最低次幂为，的最低次幂为，∴ 公因式为，故符合题意； ∵ 选项D：多项式 ，系数最大公约数为，相同字母最低次幂为，公因式为 ，故不符合题意． 【变式3-1】把多项式因式分解时，提取的公因式是，则k的值可能为（     ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】D 【分析】公因式中相同字母的次数取多项式各项中该字母的最低次数，据此确定k的取值范围即可得到答案． 【详解】解：∵提取的公因式为，多项式中第一项的次数为， ∴第二项中的次数满足， ∵选项中只有满足， ∴的值可能为． 【变式3-2】把多项式分解因式，应提的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分解因式，观察可知两个单项式的公因式为，据此可得答案，解答本题的关键要明确：确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式(或相同多项式因式)；③定指数，即各项相同字母因式(或相同多项式因式)的指数的最低次幂． 【详解】解：， ∴多项式分解因式，应提的公因式是， 故选：C． 【变式3-3】多项式的公因式是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂．按照公因式的确定方法，公因式的系数应取，字母x取x，字母y取y, 字z取z． 【详解】∵多项式中， 各项系数绝对值的最大公约数是4， 各项相同字母x的最低次幂是x， 各项相同字母y的最低次幂是y， 各项相同字母z的最低次幂是z， ∴多项式的公因式是． 故选：C． 【题型4 公因式为多项式（整体换元型公因式）】 【例4】把多项式，提取公因式后，余下的部分是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了提公因式法分解因式，提取公因式即可得到所求结果．熟练掌握提公因式是解决问题的关键． 【详解】， 则余下的部分是x． 故选：C． 【变式4-1】与的公因式是（   ） A． B． C． D．不存在 【答案】A 【详解】解： 第一个多项式为 ∴ 两个多项式都含有的公因式为. 【变式4-2】多项式，与的公因式为______． 【答案】 【分析】根据公因式定义，对各选项整理然后即可选出有公因式的项． 【详解】解：因为3x﹣9＝3（x﹣3），x2﹣9＝（x+3）（x﹣3），x2﹣6x+9＝（x﹣3）2， 所以多项式3x﹣9，x2﹣9与x2﹣6x+9的公因式为（x﹣3）． 故答案：． 【点睛】此题考查的是公因式的定义，找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的．在提公因式时千万别忘了“﹣1”． 【变式4-3】找出的公因式． 【答案】 【分析】本题考查了公因式：多项式各项都含有的相同因式，叫作这个多项式各项的公因式，熟记公因式的定义是解题关键．根据公因式的定义求解即可得． 【详解】解：将看成一个整体， 所以的公因式为． 【题型5 直接提取单项式公因式分解因式】 【例5】把多项式分解因式的结果正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先找出多项式的公因式，提取公因式得到结果，对比选项即可求解. 【详解】解：观察多项式， ∵两项的公因式为， ∴提取公因式得. 【变式5-1】将多项式分解因式时，应提取的公因式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：将多项式分解因式时，应提取的公因式是． 【变式5-2】因式分解：（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查提公因式法因式分解，找出多项式各项的公因式，提取公因式即可得到结果． 【详解】解：． 【变式5-3】将多项式分解因式时，应提取的公因式为（     ） A． B．y C． D． 【答案】C 【分析】先求系数的最大公约数，再找各项共有的相同字母的最低次幂，两者乘积即为公因式． 【详解】解：∵多项式的系数为和，和的最大公约数是， 又∵两项共有的相同字母为，的最低次幂是，多项式第一项不含字母， ∴应提取的公因式为． 【题型6 提取多项式公因式分解因式】 【例6】已知，，则的值为（     ） A．6 B．8 C．12 D．18 【答案】D 【分析】本题利用提公因式法对所求代数式因式分解，再整体代入已知条件计算，不需要分别求出每个未知数的值． 【详解】解：∵ 已知， ∴ 整体代入得，原式 ． 【变式6-1】多项式因式分解的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将互为相反数的项变形为相同形式，再提取公因式得到结果． 【详解】 ． 【变式6-2】多项式因式分解的结果正确的是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查运用提公因式法进行因式分解，关键是将多项式中互为相反数的因式转化为相同的形式，从而提取公因式；多项式变形后提取公因式即可． 【详解】解：对多项式因式分解， 原式=； 故选：B． 【变式6-3】下列各式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】因式分解是将一个多项式化为几个整式乘积的形式，据此对各选项进行判断即可． 【详解】解：A、左右两边都已是整式乘积的形式，仅为恒等变形，不符合因式分解定义； B、等式左右两边变形错误，等式不成立，且右边为，不是几个整式乘积的形式，不符合定义； C、，将多项式化为两个整式乘积的形式，符合因式分解定义； D、该变形是整式乘法，将乘积化为多项式，不符合因式分解定义． 【题型7 因式分解化简求值（提公因式整体代入）】 【例7】已知，则的值为_____． 【答案】 【分析】先对所求多项式提取公因式因式分解，再整体代入已知条件计算． 【详解】解： ， 将，代入上式得 ，原式． 【变式7-1】已知，，则代数式的值为____________． 【答案】 【分析】根据题意可求出，利用提公因式法把所求式子因式分解为，据此代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴，即， ∴ ． 【变式7-2】若，则________． 【答案】 【分析】先将移项为，再运用提公因式的方法求代数式的值即可． 【详解】∵， ∴，， ∴ ． 【变式7-3】先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】法一：根据完全平方公式与多项式乘以多项式进行计算，合并同类项，再将字母的值代入，法二：提公因式分解因式，再计算单项式乘以多项式，最后将字母的值代入计算即可求解． 【详解】解：法一： 当，时，原式． 法二： 当，时，原式． 【题型8 提取公因式简便运算与简单应用】 【例8】把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式； （5）解：原式； （6）解：原式； （7）解：原式； （8）解：原式． 【变式8-1】先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】， 【分析】观察代数式各项均含公因式，先提取公因式化简整式，再将代入化简后的式子求值． 【详解】解： ， 当时，原式 【变式8-2】先因式分解，再计算求值：，其中，． 【答案】 ， 【分析】先利用互为相反数的平方相等变形，提取公因式完成因式分解，再代入、的值计算即可． 【详解】解： ， 把，代入得， 原式． 【变式8-3】用提公因式法将下列各式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据提公因式法因式分解的步骤，逐步化简求解即可； （2）根据提公因式法因式分解的步骤，逐步化简求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【探究式学习】 1．阅读材料，探究问题． 我们可通过运算得到和． 【探索归纳】 如图，甲、乙两图是两个长和宽都相等的长方形，其中长为，宽为． （1）根据甲图、乙图的特征，用不同的方法计算长方形的面积，得到的等式是________． 【尝试运用】 利用因式分解与整式乘法的关系，我们可以逆用上述表达式得到一些二次三项式的因式分解． （2）若，则________． 【拓展延伸】 （3）已知关于的整式可以写成两个因式的积，其中一个因式是．求另一个因式和的值． （4）若可以分解成关于的两个一次式乘积的形式（每个一次式的系数与常数项都为整数），直接写出所有正整数的值． 【答案】（1）；（2）；（3）另一个因式为，的值为3．（4）1，7，13，29． 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，因式分解的应用，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）分别表示出图甲、图乙中长方形的面积，即可得出结果； （2）利用多项式乘以多项式的法则将展开，对应相等即可得出结果； （3）设另一个因式为，则，再分别对应相等即可得出结果； （4）设这两个一次式为和，则，从而得出，，，再结合、、、均为整数，分情况计算即可得出结果． 【详解】（1）由图甲可得，长方形的面积为， 由图乙可得，长方形的面积为， 故得到的等式是； （2） ， ∵， ∴； （3）∵关于的整式可以写成两个因式的积，其中一个因式是， ∴设另一个因式为， ∴， ∴，，， ∴，，， ∴另一个因式为，的值为； （4）∵可以分解成关于的两个一次式乘积的形式， ∴设这两个一次式为和， ∴， ∴，，， ∵、、、均为整数， ∴当，，，时，此时，不符合题意； 当，，，时，此时，符合题意； 当，，，时，此时，符合题意； 当，，，时，此时，不符合题意； 当，，，时，此时，符合题意； 当，，，时，此时，不符合题意； 当，，，时，此时，不符合题意； 当，，，时，此时，符合题意； 当，，，时，此时，不符合题意； 当，，，时，此时，符合题意； 当，，，时，此时，符合题意； 当，，，时，此时，不符合题意； 综上所述，所有正整数的值为1，7，13，29． 2．方法探究： 已知二次多项式，我们把代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式（x＋3）．设另一个因式为（x＋k），多项式可以表示成，则有，因为对应项的系数是对应相等的，即，解得，因此多项式分解因式得：．我们把以上分解因式的方法叫“试根法”． 问题解决： (1)对于二次多项式，我们把x＝ 代入该式，会发现成立； (2)对于三次多项式，我们把x＝1代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式（），设另一个因式为（），多项式可以表示成，试求出题目中a，b的值； (3)对于多项式，用“试根法”分解因式． 【答案】(1)±2 (2)a=0，b=-3； (3) 【分析】（1）将x=±2代入即可； （2）由题意得x3-x2-3x+3=x3-（1-a）x2-（a-b）x-b，再由系数关系求a、b即可； （3）多项式有因式（x-2），设另一个因式为（x2+ax+b），则x3+4x2-3x-18=x3+（a-2）x2-（2a-b）x-2b，再由系数关系求a、b即可． 【详解】（1）解：当x=±2时，x2-4=0， 故答案为：±2； （2）解：由题意可知x3-x2-3x+3=（x-1）（x2+ax+b）， ∴x3-x2-3x+3=x3-（1-a）x2-（a-b）x-b， ∴1-a=1，b=-3， ∴a=0，b=-3； （3）解：当x=2时，x3+4x2-3x-18=8+16-6-18=0， ∴多项式有因式（x-2）， 设另一个因式为（x2+ax+b）， ∴x3+4x2-3x-18=（x-2）（x2+ax+b）， ∴x3+4x2-3x-18=x3+（a-2）x2-（2a-b）x-2b， ∴a-2=4，2b=18， ∴a=6，b=9， ∴x3+4x2-3x-18=（x-2）（x2+6x+9）=（x-2）（x+3）2． 【点睛】本题考查因式分解的意义，理解“试根法”的本质，多项式乘多项式的正确展开是解题的关键． 【课后检测】 1．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】因式分解是把一个多项式化为几个整式的乘积的形式． 【详解】解：A．从左到右是整式乘法运算，将乘积化为多项式和的形式，不是因式分解，不符合要求； B．结果是和的形式，不是乘积形式，不是因式分解，不符合要求； C．右侧中不是整式，不符合要求； D．，是将多项式化为整式乘积的形式，符合因式分解的定义，符合要求． 2．已知，，则的值为（     ） A．6 B．7 C．12 D．14 【答案】C 【分析】把所求代数式因式分解得到，再代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ． 3．若长和宽分别为和的长方形的周长为，面积为，则代数式的值（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据长方形的周长和面积公式得到和的值，对所求代数式提取公因式因式分解后，整体代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵长方形的长和宽分别为，，周长为，面积为， ∴，，即， ∴． 4．如图，将两张边长为的正方形纸片和两张长、宽分别为，的矩形纸片拼成一个大的矩形．该过程所揭示的关于因式分解的等式是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】长方形的面积为，正方形的面积为，面积和为，整个长方形的面积表示为，根据同一个图形的面积相等，建立等式求解即可； 【详解】解：根据题意，得； 5．下列因式分解正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解的定义和提公因式法因式分解，只需逐一验证每个选项的分解结果即可判断． 【详解】解：选项A：，所以选项A错误，不符合题意； 选项B：，所以选项B错误，不符合题意； 选项C：因式分解要求结果化为几个因式的积的形式，该式结果为和的形式，不符合因式分解要求，所以选项C错误，不符合题意； 选项D：，选项D正确． 6．如图，边长为，的矩形的周长为，面积为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据矩形的周长公式和面积公式分别求出与的值，再代入计算即可． 【详解】解：矩形的周长为，面积为， ，， ， ∴． 7．若三边a，b，c满足，则一定是（     ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】本题考查因式分解与三角形形状判断，先对已知等式因式分解，再结合三角形三边关系得到边的等量关系，即可判断三角形形状． 【详解】∵ 是的三边长， ∴ ，即 ， ∵ ∴ ∵ ∴ ，即 ∴ 一定是等腰三角形 故选：． 8．下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】因式分解是将多项式化为几个整式的乘积的形式，且等式需成立，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、是整式乘法，左边是乘积形式，右边是多项式，不符合因式分解定义，故A选项错误，不符合题意； B、等式右边不是几个整式乘积的形式，不符合因式分解定义，故B选项错误，不符合题意； C、展开右边得，与左边不相等，因式分解错误，故C选项错误，不符合题意； D、对左边因式分解，，符合因式分解定义且变形正确，故D选项正确，符合题意． 9．若，则的值为（   ） A．8 B．10 C．16 D．20 【答案】B 【分析】把所求式子变形为，进一步可变形为，最后变形为，据此代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 10．下列各等式中，从左到右的变形是因式分解且分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解，根据因式分解的定义（把一个多项式化为几个整式的积的形式），结合因式分解的方法逐一判断选项． 【详解】解：∴A选项是整式乘法，从整式的积化为多项式，不符合因式分解定义，错误； ∵B选项右边是整式与常数的和，不是整式的积的形式，不符合因式分解定义，错误； ∵C选项中，原式分解错误，错误； ∵D选项中，提取公因式，，符合因式分解定义且分解正确； ∴故选：D． 11．把多项式提取公因式后，余下的部分是 _____． 【答案】 【详解】解： 把多项式提取公因式后，余下的部分是． 12．已知是多项式的一个因式，则它的另一个因式是________________． 【答案】/ 【分析】设出另一个因式，利用因式乘积展开后对应系数相等求解． 【详解】解：设多项式的另一个因式为，则， ， ， 解得：， 因此另一个因式为． 13．分解因式：______． 【答案】 【详解】解： ． 14．因式分解：______． 【答案】 【分析】先提出公因式x，再分组提公因式解答． 【详解】解：原式 ， ． 15．因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接提取公因式即可完成分解； （2）先凑出公因式，然后运用提取公因式法求解即可． 【详解】（1）解：． （2）解： ． 16．因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 17．先因式分解，再求值：，其中，． 【答案】 【详解】解：原式 ； ，， 原式 ． 18．因式分解 ，其中，，都为整数，求这样的的最大值． 【答案】 【分析】先由多项式乘以多项式展开，再由多项式相等得到，，结合，，都为整数，分类讨论求解即可． 【详解】解：由， ∴，， ，，都为整数， ∴当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，． ∴这样的的最大值是． 【复盘笔记】 化繁为简，一通百通 第 2 页 共 27 页 第 1 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $