第6讲 等腰三角形 优等生讲义(知识梳理+典例+压轴+练习) 2026-2027学年人教版八年级数学上册

第6讲 等腰三角形 优等生讲义 (知识梳理+典例+压轴+练习) 2026-2027学年人教版八年级数学上册 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 理解等腰三角形的定义，掌握等腰三角形的判定方法：等角对等边 掌握“角平分线+平行线”模型，识别模型并快速找出图中等腰三角形 掌握网格、直线上找点构造等腰三角形的分类讨论方法（两圆一线） 能综合全等、角平分线、垂直等条件证明三角形为等腰三角形 会解决等腰三角形新定义、几何压轴题型，体会分类讨论思想 熟练完成等腰三角形相关计算、证明，规避漏解、三边关系易错点 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 1. 等腰三角形定义与判定（等角对等边） 定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。相等的两边叫腰，另一边叫底；两腰夹角叫顶角，腰与底边夹角叫底角。 判定定理（等角对等边）：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，这个三角形是等腰三角形。 判定思路：①直接证两条边相等；②证两个内角相等，使用等角对等边。 概念辨析例题：已知，是三边，判断形状。 解析：由平方非负，，两条边相等，所以是等腰三角形。 易错提醒：不能默认是等边三角形，只有才是等边。 ☆ 2. “角平分线 + 平行线”经典模型 模型：三角形中，一个角的角平分线 + 一条平行线，必然会产生等腰三角形。 角平分线：得到一组相等角； 平行线：得到内错角相等； 等量代换得到三角形两个内角相等，由等角对等边得到两条边相等。 推论：过角平分线与内角交点作底边平行线，得到的小三角形周长等于原三角形两腰之和。 概念辨析例题：，平分，交于、交于，问图中哪个是等腰三角形？ 解析：平分；；，，为等腰三角形，同理等腰。 ☆ 3. 构造等腰三角形：两圆一线（分类讨论） 已知线段，在直线/网格格点上找点，使为等腰三角形，分三类： 1. 为腰，为顶点：以为圆心，长为半径画圆，圆上点（除）满足； 2. 为腰，为顶点：以为圆心，长为半径画圆，圆上点（除）满足； 3. 为底边：作线段垂直平分线，垂直平分线上点满足。 俗称“两圆一线”，注意要排除三点共线不能构成三角形的点，防止漏解、多解。 概念辨析例题：直线上找点使等腰，直接画图，两圆一线找交点，去掉共线无效点，数符合条件点的个数。 解析：分别以为圆心为半径画圆 + 垂直平分线，统计与目标直线交点，剔除三点共线情况。 ☆ 4. 等腰三角形三边关系（火柴棒、分段问题） 等腰三角形也必须满足三角形三边关系：两边之和大于第三边。设腰为，底为，则。 实际题型：火柴棒拼三角形、纸条剪断分成三段构成等腰三角形，枚举后检验三边关系。 概念辨析例题：12根火柴棒拼等腰三角形，每根为1单位，求不同等腰三角形个数。 解析：设腰，底，满足且，解得，整数；对应、，共2种。 ☆ 5. 等腰三角形综合证明（结合角分线、高、全等） 常见证明思路： 角平分线+直角：互余推导角相等，再等角对等边； 全等三角形得到对应边/对应角相等，进一步得到等腰； 平行线+角平分线模型直接得到等腰； 新定义题型：读懂定义，转化为角度方程求解。 概念辨析例题：平分，是高，，求证。 解析：利用直角三角形两锐角互余，推导，等角对等边得到。 📚知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 等腰三角形定义 有两条边相等的三角形 等边是特殊等腰三角形 等腰三角形判定 等角对等边：两角相等对边相等 只在同一个三角形内可用 角平分线+平行线模型 角平分线+平行线出现等腰三角形 看清哪两条线平行，找准相等内错角 两圆‑一线找点 两圆：分别以线段两端为圆心线段长画圆；一线：线段垂直平分线 剔除三点共线，不能构成三角形的点，防漏解 等腰三角形三边关系 腰长，底：， 枚举完一定要检验三边关系 核心考点 ·典型考点精讲 【考点1】等腰三角形的判定（第114题） 题型：网格/直线上找点构造等腰三角形（两圆一线分类讨论）；火柴棒、分段构造等腰三角形；证明三角形为等腰三角形；角度计数图中等腰三角形个数。 方法总结： 找点类：严格执行“两圆一线”，去掉三点共线无效点； 边长枚举类：枚举后必须检验三角形三边关系； 证明等腰：优先证明两角相等（等角对等边），其次证两边相等； 数等腰三角形个数：逐个计算角度，找相等角，不要漏数。 1．（2024秋•宝应县期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝20°．若某个三角形与△ABC能拼成一个等腰三角形（无重叠），则拼成的等腰三角形有（　　） A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 2．（2025秋•承德县期末）如图，在△ABO中，∠AOB＝90°，∠BAO＝30°，在直线OA或直线OB上取一点P，使得△PAB 是等腰三角形，则符合条件的点P有（　　） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 3．（2025秋•日照月考）用12根大小完全一样的火柴棒顺次相接（无剩余无重叠）能构成（　　）种不同的等腰三角形． A．2 B．3 C．4 D．5 4．（2025秋•镇平县期末）如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，A，B两点都在格点上，点C也是一格点，并且△ABC是等腰三角形，那么满足条件的点C的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2024秋•长治期末）如图，数学活动课上，一数学小组的同学把纸条等分成14份，如果第一次在剪刀处剪断，想再剪一刀，使三段能构成等腰三角形，那么第二次可以在 ________ 处剪断．（可多选，填写序号） 6．（2025春•闵行区期末）已知：如图，在△ABC中，∠A＝∠B＝36°，点D在边AB上，∠ACD＝2∠BCD，图中共有 _____ 个等腰三角形． 7．（2025春•普陀区校级月考）已知a，b，c是△ABC的三条边，且（a﹣b）2＝0，则△ABC的形状是__________ ． 8．（2026春•高青县期末）如图，在由边长为1的小正方形组成的5×5网格中，点A，B在网格的格点上，要在格点上确定一点C，连接AC，BC，使△ABC是等腰三角形，则网格图中满足条件的点C有_____ 个． 9．（2024秋•东莞市校级期中）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°．在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的P点有_____ 个． 10．（2026•斗门区一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，AD∥BC，连接CD．求证：△ACD是等腰三角形． 11．（2025秋•江城区期末）如图，B，E，C，F是直线l上的四点，AC，DE相交于点G，AB＝DF，AC＝DE，BE＝CF． （1）求证：△ABC≌△DFE； （2）求证：△GEC是等腰三角形． 12．（2024秋•洮北区期末）请把下面的证明过程补充完整 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AE是角平分线，CD是高，AE、CD相交于点F，求证：CF＝CE． 证明：∵AE平分∠CAB（已知）， ∴∠CAE＝∠FAB（①____________ ）， ∵∠ACE＝90°（已知）， ∴∠CAE+∠CEF＝90°（②________________ ）， ∵CD是△ABC的高（已知）， ∴∠CDA＝90°（三角形高的定义）， ∴③__________________ （直角三角形的两个锐角互余）， ∴∠CEF＝∠AFD（④____________ ）， ∵∠CFE＝∠AFD（⑤__________ ）， ∴∠CFE＝∠CEF（⑥_________ ）， ∴CF＝CE（⑦__________ ）． 13．（2020秋•松北区期末）如图，在△ABD中，∠D＝90°，点E为BD边上一点，连接AE，若∠DAE+2∠EAB＝∠D． （1）求证：AE＝BE； （2）点F在AE边上，连接BF，且∠FBA＝∠DAE，若DE＝6，EF＝4，求BE的长． 14．（2023秋•富县期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC平分∠BCD．求证：△DAC是等腰三角形． 【考点2】等腰三角形的判定与性质（第1531题） 15．（2026春•蓬江区期中）如图，在△ABC中，已知AB＝8，BC＝6，点D，E分别为BC，AC的中点，BF平分∠ABC交DE于点F，则EF的长为（　　） A．1 B．1.5 C．2 D．1.8 16．（2024秋•遵义期末）如图，已知∠AOB＝50°，点C，D分别在OA，OB上，OC＝OD．进行如下操作：①分别以C，D为圆心，大于的长为半径画弧交于点P；②点E在OA上，以E为圆心，EO为半径画弧，交射线OP于点F，连接EF．则∠EFO的度数为（　　） A．20° B．25° C．30° D．45° 17．（2026春•张店区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，∠ABC与∠BAC的平分线相交于点D，过点D作DE∥BC交AB于点E，则DE的长为（　　） A． B． C． D． 18．（2025秋•隆昌市校级月考）如图，在△ABC中，∠B与∠C的平分线相交于O点，过O点作MN∥BC交AB于M，交AC于N．若AB＝12，AC＝18，则△AMN的周长为（　　） A．30 B．33 C．36 D．39 19．（2026春•平顶山月考）如图，在△ABC中，已知∠ABC和∠ACB的平分线交于点F，过F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，如果BD＝5，CE＝4．那么DE等于（　　） A．1 B．5 C．9 D．10 20．（2026春•兴庆区校级期中）如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点F、G，若FG＝2，ED＝6，则DB+EC的值为_____ ． 21．（2026春•普陀区期末）如图，在△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于点D，DE∥BC交AC于点E．如果EC＝2AE，DE＝6，那么AC＝_____ ． 22．（2025秋•鄂尔多斯期中）如图，∠ABC的平分线BF与△ABC的外角∠ACG的平分线相交于点F，过点F作DF∥BC交AB于点D，交AC于点E．若BD＝7cm，CE＝5cm，则DE的长为 _____ cm． 23．（2026春•闵行区期末）如图，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，过点O作MN∥BC分别交AB，AC边于点M、N，△AMN的周长为18，△ABC的周长为25，那么边BC的长为_____ ． 24．（2025秋•攸县期末）如图，已知D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD．若AC＝9，BC＝6，则BD的长为__________________ ． 25．（2024秋•宁江区期末）如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，若∠A＝∠ABE，BD＝1，BC＝3，则AC的长为 _____ ． 26．（2024秋•肃南县校级期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，∠BAC的平分线AD交BC于点D，过B作BF⊥AD，垂足为F，延长BF交AC于点E． （1）求证：△ABE为等腰三角形； （2）已知AC＝13，BD＝5，求AB的长． 27．（2026•龙州县一模）如图，已知AB∥CD，BC平分∠ABD，交AD于点E． （1）求证：△BCD是等腰三角形； （2）若AD⊥BD于点D，∠CDA＝28°，求∠3的度数． 28．（2025秋•伊川县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是AB边上一点，过点D作DE⊥BC于点E，交CA的延长线于点F． （1）求证：△ADF是等腰三角形； （2）若∠B＝60°，BD＝6，AD＝BE＝3，求EC的长． 29．（2025春•闵行区期末）已知：如图，点D在线段BC上，AD＝AB，∠BAD＝∠CAE，AD平分∠BDE． 求证： （1）△ACE是等腰三角形． （2）∠CAE＝∠CDE． 30．（2025春•闵行区期末）已知：如图，在△ABC中，已知BM、CM分别平分∠ABC和∠ACB，经过点M的直线DE平行于BC，交AB、AC分别于点D、E，AB＝8，AC＝6．求△ADE的周长． 解：∵BM平分∠ABC， ∴∠CBM＝ _________ ． ∵DE∥BC， ∴∠CBM＝∠BMD（ ________________ ）． ∴∠BMD＝ _________ ． ∴DB＝DM（ __________ ）． 同理可得EC＝ _______ ． ∴△ADE周长＝AD+DE+AE， ＝AD+DM+ME+AE， ＝AD+DB+EC+AE， ＝AB+AC＝ _______ ． 31．（2023秋•西青区校级期中）如图：在△ABC中，BA＝BC，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D的直线DE∥BC，如果AB＝5，AC＝4，求△ADE的周长． 【考点3】新定义及压轴题（第3237题） 32．（2026春•分宜县校级月考）如图，在△ABC中，BE平分内角∠ABC，AE平分外角∠CAD． （1）若AE∥BC，求证：△ABC为等腰三角形； （2）若∠C＝68°，求∠E的度数． 33．（2025春•长宁区期末）定义：在等腰三角形中，过某底角顶点的一条射线分这个底角所成的两个角中恰好有一个角等于这个等腰三角形的顶角，那么称这条射线为这个等腰三角形的“等角分割线”． 已知在△ABC中，AB＝AC，点D在边AC上． （1）如图1，如果BD＝BC，求证：BD是△ABC的“等角分割线”； （2）如图2，如果BD⊥AC，且BD是△ABC的“等角分割线”，求∠C的度数； （3）BD是△ABC的“等角分割线”，∠BAC的平分线交BD于点F．如果DF＝DC，那么∠BAC的度数为 ____________________ ． 34．如图，△ABC中，∠ABC＝2∠C，BD平分∠ABC，AF⊥BD于F．求证： （1）∠BAF＝∠DAF+∠C； （2）AC＝2BF． 35．（2024秋•丹江口市期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，∠BAC的平分线AD交BC于点D，过B作BF⊥AD，垂足为F，延长BF交AC于点E． （1）求证：△ABE为等腰三角形； （2）已知BD＝2，AB＝3，求AC的长． 36．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠BAC的平分线分别交BC，CD于点E，F． （1）试说明：△CEF是等腰三角形； （2）若点E在线段AB的垂直平分线上，写出AB与AC之间的数量关系，并说明理由； （3）在（2）的条件下，若EC＝2，AC＝2，求△ABE的面积． 37．（2026春•射洪市校级期末）如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD⊥BC于点D，，AB＝5，求BD的值． 随堂检测 · 精选练习 【练习 1】（2025秋•澧县期末）如图，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于O，MN过点O且与BC平行．△ABC的周长为20，△AMN的周长为12，则BC的长为_____ ． 【练习 2】（2026春•武侯区校级期中）如图，在△ABC中，BC＝5，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长是_____ ． 【练习 3】（2024秋•集宁区期末）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D．下列三个结论： ①； ②EF＝BE+CF； ③设OD＝m，AE+AF＝n，则． 其中正确的结论有 ________ ．（填序号） 【练习 4】（2025秋•南京校级月考）如图，BD是△ABC的角平分线，∠1＝25°，∠2＝50°．求证： （1）ED∥BC； （2）ED＝EB． 课后巩固 · 针对性练习 【作业 1】（2026春•洋县期末）如图，在△ABC中，点D在边AC上，连接BD，∠A＝∠ABD，若BD＝9，CD＝7，则AC的长为（　　） A．13 B．14 C．15 D．16 【作业 2】（2026春•市南区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD，CE分别是∠ABC，∠ACB的平分线，且DE∥BC，∠A＝36°，则图中的等腰三角形共有（　　）个． A．10 B．11 C．12 D．13 【作业 3】（2025秋•拱墅区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，0°＜∠B＜60°，点D是边AB的中点，点E在边BC上，若CE＝AD，则（　　） A．∠B＝∠BDE B．3∠B＝2∠BDE C．∠B+2∠BDE＝90° D．3∠B+2∠BDE＝180° 【作业 4】（2025春•长宁区校级期末）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN＝7，则线段MN的长为_____ ． 【作业 5】（2025•越秀区校级模拟）如图，直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，AB＝11，BC＝5，D是边AC上一点，且∠BDC＝∠BCD，过点D作DE⊥BD，交边AB于点E，则△BDE的周长是_______ ． 【作业 6】（2025秋•沂南县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，DE∥AB． （1）求证：CE＝DE； （2）若AD是△ABC的中线，求证：E是AC的中点． 【作业 7】（2025秋•平凉期末）如图，已知点A，C分别是△FBE的边BF和BE延长线上的点，作∠AFE的平分线FD，若FD∥BC． （1）求证：△FBE是等腰三角形； （2）作∠FEC的平分线交FD于点H，若∠B＝50°，求∠FHE的度数． 【作业 8】（2025秋•北京校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝α，D是AB反向延长线上的动点，过D作线段DE∥AC，使得DE＝DB，且点E与点C位于直线AB的两侧，连接CE．过D作DF∥BC交CE于点F． （1）判断∠BDF和∠EDF的大小关系，并证明； （2）连接AF，直接写出∠DAF的度数（用α表示），并证明． 【作业 9】（2024•濠江区一模）如图，点C为∠AOB平分线上一点，CD∥OB交OA于点D．求证：△DOC是等腰三角形． 【作业 10】（2025秋•铁东区期末）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，过点D作DE∥BC交AB于点E． （1）求证：BE＝DE； （2）若∠A＝75°，∠C＝36°，求∠BDE的度数． 【作业 11】（2025秋•安徽期末）已知，如图1：△ABC中，∠B、∠C的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB、AC于E、F． （1）直接写出图1中所有的等腰三角形．指出EF与BE、CF间有怎样的数量关系？ （2）在（1）的条件下，若AB＝15，AC＝10，求△AEF的周长； （3）如图2，若△ABC中，∠B的平分线与三角形外角∠ACG的平分线CO交于点O，过O点作OE∥BC交AB于点E，交AC于点F，请问（1）中EF与BE、CF间的关系还是否存在，若存在，说明理由；若不存在，写出三者新的数量关系，并说明理由． 【作业 12】（2025秋•青岛校级期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，AC＝20cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q开始从点B沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒． （1）BP＝_____________ ；BQ＝__________ （用t的代数式表示）； （2）当点Q在边BC上运动时，出发几秒后，△PQB是等腰三角形？ （3）点Q在边CA上运动，连接BQ，出发几秒后，能使△BCQ形成以CQ为腰的等腰三角形？ 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6讲 等腰三角形 优等生讲义 (知识梳理+典例+压轴+练习) 2026-2027学年人教版八年级数学上册 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 理解等腰三角形的定义，掌握等腰三角形的判定方法：等角对等边 掌握“角平分线+平行线”模型，识别模型并快速找出图中等腰三角形 掌握网格、直线上找点构造等腰三角形的分类讨论方法（两圆一线） 能综合全等、角平分线、垂直等条件证明三角形为等腰三角形 会解决等腰三角形新定义、几何压轴题型，体会分类讨论思想 熟练完成等腰三角形相关计算、证明，规避漏解、三边关系易错点 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 1. 等腰三角形定义与判定（等角对等边） 定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。相等的两边叫腰，另一边叫底；两腰夹角叫顶角，腰与底边夹角叫底角。 判定定理（等角对等边）：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，这个三角形是等腰三角形。 判定思路：①直接证两条边相等；②证两个内角相等，使用等角对等边。 概念辨析例题：已知，是三边，判断形状。 解析：由平方非负，，两条边相等，所以是等腰三角形。 易错提醒：不能默认是等边三角形，只有才是等边。 ☆ 2. “角平分线 + 平行线”经典模型 模型：三角形中，一个角的角平分线 + 一条平行线，必然会产生等腰三角形。 角平分线：得到一组相等角； 平行线：得到内错角相等； 等量代换得到三角形两个内角相等，由等角对等边得到两条边相等。 推论：过角平分线与内角交点作底边平行线，得到的小三角形周长等于原三角形两腰之和。 概念辨析例题：，平分，交于、交于，问图中哪个是等腰三角形？ 解析：平分；；，，为等腰三角形，同理等腰。 ☆ 3. 构造等腰三角形：两圆一线（分类讨论） 已知线段，在直线/网格格点上找点，使为等腰三角形，分三类： 1. 为腰，为顶点：以为圆心，长为半径画圆，圆上点（除）满足； 2. 为腰，为顶点：以为圆心，长为半径画圆，圆上点（除）满足； 3. 为底边：作线段垂直平分线，垂直平分线上点满足。 俗称“两圆一线”，注意要排除三点共线不能构成三角形的点，防止漏解、多解。 概念辨析例题：直线上找点使等腰，直接画图，两圆一线找交点，去掉共线无效点，数符合条件点的个数。 解析：分别以为圆心为半径画圆 + 垂直平分线，统计与目标直线交点，剔除三点共线情况。 ☆ 4. 等腰三角形三边关系（火柴棒、分段问题） 等腰三角形也必须满足三角形三边关系：两边之和大于第三边。设腰为，底为，则。 实际题型：火柴棒拼三角形、纸条剪断分成三段构成等腰三角形，枚举后检验三边关系。 概念辨析例题：12根火柴棒拼等腰三角形，每根为1单位，求不同等腰三角形个数。 解析：设腰，底，满足且，解得，整数；对应、，共2种。 ☆ 5. 等腰三角形综合证明（结合角分线、高、全等） 常见证明思路： 角平分线+直角：互余推导角相等，再等角对等边； 全等三角形得到对应边/对应角相等，进一步得到等腰； 平行线+角平分线模型直接得到等腰； 新定义题型：读懂定义，转化为角度方程求解。 概念辨析例题：平分，是高，，求证。 解析：利用直角三角形两锐角互余，推导，等角对等边得到。 📚知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 等腰三角形定义 有两条边相等的三角形 等边是特殊等腰三角形 等腰三角形判定 等角对等边：两角相等对边相等 只在同一个三角形内可用 角平分线+平行线模型 角平分线+平行线出现等腰三角形 看清哪两条线平行，找准相等内错角 两圆‑一线找点 两圆：分别以线段两端为圆心线段长画圆；一线：线段垂直平分线 剔除三点共线，不能构成三角形的点，防漏解 等腰三角形三边关系 腰长，底：， 枚举完一定要检验三边关系 【考点1】等腰三角形的判定（第114题） 1．（2024秋•宝应县期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝20°．若某个三角形与△ABC能拼成一个等腰三角形（无重叠），则拼成的等腰三角形有（　　） A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 【分析】（1）取一个△EFD和△ABC全等，其中EF＝AC，FD＝BC，AB＝ED，∠C＝∠F＝90°，①将EF与AC拼接在一起即可；②将DF于BC拼接在一起即可； （2）取一个△EFD，使AC＝EF，∠F＝90°，∠D＝55°，∠FED＝35°，将EF于AC拼接在一起即可； （3）取一个△EFD，使EF＝BC，∠F＝90°，∠D＝80°，∠FED＝10°，将EF与BC拼接在一起即可； （4）取一个△EFD，使EF＝AC，∠F＝90°，∠D＝40°，∠FED＝50°，将EF与AC拼接在一起即可； （5）取一个△EFD，使EF＝AB，∠EFD＝110°，∠D＝45°，∠FED＝25°，将EF与AB拼接在一起即可； （6）取一个△EFD，是EF＝BC，∠D＝20°，∠FED＝110°，∠EFD＝50°，将EF与AB拼接在一起即可；综上所述即可得出答案． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝20°，则∠ABC＝70°， （1）取一个△EFD和△ABC全等，其中EF＝AC，FD＝BC，AB＝ED，∠C＝∠F＝90°， 此时有两种拼图方法： ①将EF与AC拼接在一起，如图1所示： ∵AB＝ED，∠C＝∠F＝90°， ∴点B，C（F），D在一条直线上， ∴△ABD为等腰三角形，且∠B＝∠D＝70°，∠BAD＝40°； ②将DF于BC拼接在一起，如图2所示： ∵AB＝BD，∠C＝∠F＝90°， ∴点A，C（F），D在一条直线上， ∴△ABD为等腰三角形； （2）取一个△EFD，使AC＝EF，∠F＝90°，∠D＝55°，∠FED＝35°， 将EF于AC拼接在一起，如图3所示： ∵∠C＝∠F＝90°， ∴点B，C（F），D在一条直线上， 此时∠BAD＝∠BAC+∠FED＝20°+35°＝55°， ∴∠BAD＝∠D＝55°， ∴△ABD为等腰三角形； （3）取一个△EFD，使EF＝BC，∠F＝90°，∠D＝80°，∠FED＝10°， 将EF与BC拼接在一起，如图4所示： ∵∠C＝∠F＝90°， ∴点A，C（F），D在一条直线上， 此时∠ABD＝∠ABC+∠FED＝70°+10°＝80°， ∴∠ABD＝∠D， ∴△ABD为等腰三角形； （4）取一个△EFD，使EF＝AC，∠F＝90°，∠D＝40°，∠FED＝50°， 将EF与AC拼接在一起，如图5所示： ∵∠C＝∠F＝90°， ∴点B，C（F），D在一条直线上， 此时∠BAD＝∠BAC+∠FED＝20°+50°＝70°， ∴∠BAD＝∠ABC， ∴△ABD为等腰三角形； （5）取一个△EFD，使EF＝AB，∠EFD＝110°，∠D＝45°，∠FED＝25°， 将EF与AB拼接在一起，如图6所示： ∵∠EFD＝110°，∠ABC＝70°， ∴∠EFD+∠ABC＝180°， ∴点C，B（F），D在一条直线上， 此时∠CAD＝∠BAC+∠FED＝20°+25°＝45°， ∴∠CAD＝∠D， ∴△ABD为等腰三角形； （6）取一个△EFD，是EF＝BC，∠D＝20°，∠FED＝110°，∠EFD＝50°， 将将EF与AB拼接在一起，如图7所示： ∵∠FED＝110°，∠ABC＝70°， ∴∠FED+∠ABC＝180°， ∴点A，B（E），D在一条直线上， 此时∠D＝∠A＝20°， ∴△ABD为等腰三角形； 综上所述：拼成的等腰三角形有7种． 故选：D． 【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，在拼接的过程中根据平角定义进行构图是解决问题的关键，此题种类繁多，漏解是易错点． 2．（2025秋•承德县期末）如图，在△ABO中，∠AOB＝90°，∠BAO＝30°，在直线OA或直线OB上取一点P，使得△PAB 是等腰三角形，则符合条件的点P有（　　） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【分析】线段AB可能是腰，也可能是底，分别以A、B为圆心，AB的长为半径画圆，作线段AB的垂直平分线，即可得到点P，于是得到答案． 【解答】解：以A圆心AB的长为半径画圆，交直线OA于P1，P2，交直线OB于P3，B，以B为圆心BA的长为半径画圆交直线OB于P4，P3，交直线OA于P5，A；作线段AB的垂直平分线交直线OB于P3，交直线OA于P6，交直线OB于P3， ∴使得△PAB 是等腰三角形，则符合条件的点P有6个． 故选：B． 【点评】本题考查等腰三角形的判定，关键是要注意线段AB可能是腰，也可能是底． 3．（2025秋•日照月考）用12根大小完全一样的火柴棒顺次相接（无剩余无重叠）能构成（　　）种不同的等腰三角形． A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】结合等腰三角形的定义摆放火柴，即可获得答案． 【解答】解：如图所示， 即围成的等腰三角形的腰和底的火柴棒根数为4根、4根、4根，5根、5根、2根， 所以，用12根大小完全一样的火柴棒顺次相接（无剩余无重叠）能构成2种不同的等腰三角形． 故选：A． 【点评】本题主要考查了等腰三角形的理解等知识，正确理解题意是解题关键． 4．（2025秋•镇平县期末）如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，A，B两点都在格点上，点C也是一格点，并且△ABC是等腰三角形，那么满足条件的点C的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】以三边分别为底的三种情况进行讨论，即可求解． 【解答】解：当AB为底时，作线段AB的垂直平分线，点C满足条件， 当BC为底时，以A为圆心，AB长为半径，画圆，点C″满足条件， 当AC为底时，以B为圆心，AB长为半径，画圆，点C′满足条件， 故选：C． 【点评】本题考查了等腰三角形的存在性问题，解题的关键是：掌握确定等腰三角形的方法． 5．（2024秋•长治期末）如图，数学活动课上，一数学小组的同学把纸条等分成14份，如果第一次在剪刀处剪断，想再剪一刀，使三段能构成等腰三角形，那么第二次可以在 　②或③　 处剪断．（可多选，填写序号） 【分析】分4厘米为等腰三角形的腰和底讨论即可． 【解答】解：分4厘米为等腰三角形的腰和底讨论如下： 当4为腰时，则底为14﹣2×4＝6，此时能组成三角形， ∴第二次可以在②处剪断， 当4为底时，则腰为，此时能组成三角形， ∴第二次可以在③处剪断， 在①处剪断时，三段的长分别为2、2、10，不能组成三角形， 在④处剪断时，三段的长分别为4、7、3，不能组成三角形， 综上，第二次可以在②或③处剪断， 故答案为：②或③． 【点评】本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系，熟练掌握该知识点是关键． 6．（2025春•闵行区期末）已知：如图，在△ABC中，∠A＝∠B＝36°，点D在边AB上，∠ACD＝2∠BCD，图中共有 　三　 个等腰三角形． 【分析】根据三角形的内角和定理分别求出∠ACB＝108°，∠BCD＝36°，∠ACD＝72°，∠ADC＝72°，然后根据∠A＝∠B＝36°可判定△ABC是等腰三角形；根据∠BCD＝∠B＝36°可判定△BCD是等腰三角形；再根据∠ADC＝∠ACD＝72°可判定△ACD是等腰三角形，由此即可得出答案． 【解答】解：在△ABC中，∠A＝∠B＝36°， ∴∠ACB＝180°﹣（∠A+∠B）＝108°， ∵∠ACD＝2∠BCD， ∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝3∠BCD＝108°， ∴∠BCD＝36°， ∴∠ACD＝2∠BCD＝72°， 在△ACD中，∠ADC＝180°﹣（∠A+∠ACD）＝180°﹣（36°+72°）＝72°， ∵∠A＝∠B＝36°， ∴△ABC是等腰三角形； ∵∠BCD＝∠B＝36°， ∴△BCD是等腰三角形； ∵∠ADC＝∠ACD＝72°， ∴△ACD是等腰三角形， 综上所述：图中共有三和等腰三角形． 故答案为：三． 【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定，三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的判定，三角形的内角和定理是解决问题的关键． 7．（2025春•普陀区校级月考）已知a，b，c是△ABC的三条边，且（a﹣b）2＝0，则△ABC的形状是　等腰三角形　 ． 【分析】根据偶次方的非负性可得：a﹣b＝0，从而可得a＝b，即可解答． 【解答】解：∵（a﹣b）2＝0， ∴a﹣b＝0， ∴a＝b， ∴△ABC是等腰三角形， 故答案为：等腰三角形． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定，准确熟练地进行计算是解题的关键． 8．（2026春•高青县期末）如图，在由边长为1的小正方形组成的5×5网格中，点A，B在网格的格点上，要在格点上确定一点C，连接AC，BC，使△ABC是等腰三角形，则网格图中满足条件的点C有　6　 个． 【分析】根据等腰三角形的判定找出符合的所有点即可． 【解答】解：如图所示： C在C1，C2，C3，C4位置上时，AC＝BC；C在C5，C6位置上时，AB＝BC；即满足点C的个数是6， 故答案为：6． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定，能找出符合的所有点是解此题的关键，注意：有两边相等的三角形是等腰三角形． 9．（2024秋•东莞市校级期中）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°．在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的P点有　6　 个． 【分析】根据题意，画出图形结合求解． 【解答】解：如图，第1个点在AC上，作线段AB的垂直平分线，交AC于点P，则有PA＝PB； 第2个点是以A为圆心，以AB长为半径截取AP＝AB，交AC延长线上于点P； 第3个点是以A为圆心，以AB长为半径截取AP＝AB，在上边于CA延长线上交于点P； 第4个点是以B为圆心，以BA长为半径截取BP＝BA，与AC的延长线交于点P； 第5个点是以B为圆心，以BA长为半径截取BP＝BA，与BC在左边交于点P； 第6个点是以A为圆心，以AB长为半径截取AP＝AB，与BC在右边交于点P； 故符合条件的点P有6个点． 故答案为：6． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定，关键是等腰三角形判定定理的应用． 10．（2026•斗门区一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，AD∥BC，连接CD．求证：△ACD是等腰三角形． 【分析】根据角平分线定义和平行线的性质，证明∠ABD＝∠ADB，得出AB＝AD，根据AB＝AC，得出AC＝AD，即可证明结论． 【解答】证明：∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD， ∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠CBD， ∴∠ABD＝∠ADB， ∴AB＝AD， ∵AB＝AC， ∴AC＝AD， ∴△ACD为等腰三角形． 【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质等，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键． 11．（2025秋•江城区期末）如图，B，E，C，F是直线l上的四点，AC，DE相交于点G，AB＝DF，AC＝DE，BE＝CF． （1）求证：△ABC≌△DFE； （2）求证：△GEC是等腰三角形． 【分析】（1）先得到BC＝EF，再通过SSS可证得三角形全等； （2）通过三角形全等得到∠ACB＝∠DEF，进而可证△GEC是等腰三角形． 【解答】证明：（1）∵BE＝CF， ∴BE+EC＝CF+EC，即BC＝EF， 在△ABC和△DFE中， ， ∴△ABC≌△DFE（SSS）； （2）由（1）可知，△ABC≌△DFE， ∴∠ACB＝∠DEF， ∴EG＝CG， 所以三角形GEC是等腰三角形． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，能够证得三角形全等是本题解题关键． 12．（2024秋•洮北区期末）请把下面的证明过程补充完整 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AE是角平分线，CD是高，AE、CD相交于点F，求证：CF＝CE． 证明：∵AE平分∠CAB（已知）， ∴∠CAE＝∠FAB（①　角平分线的定义　 ）， ∵∠ACE＝90°（已知）， ∴∠CAE+∠CEF＝90°（②　直角三角形的两锐角互余　 ）， ∵CD是△ABC的高（已知）， ∴∠CDA＝90°（三角形高的定义）， ∴③　∠FAD+∠AFD＝90°　 （直角三角形的两个锐角互余）， ∴∠CEF＝∠AFD（④　等角的余角相等　 ）， ∵∠CFE＝∠AFD（⑤　对顶角相等　 ）， ∴∠CFE＝∠CEF（⑥　等量代换　 ）， ∴CF＝CE（⑦　等角对等边　 ）． 【分析】根据角平分线的定义、直角三角形的性质、对顶角相等、等角对等边解答即可． 【解答】证明：∵AE平分∠CAB（已知）， ∴∠CAE＝∠FAB（角平分线的定义）， ∵∠ACE＝90°（已知）， ∴∠CAE+∠CEF＝90°（直角三角形的两锐角互余）， ∵CD是△ABC的高（已知）， ∴∠CDA＝90°（三角形高的定义）， ∴∠FAD+∠AFD＝90°（直角三角形的两锐角互余）， ∴∠CEF＝∠AFD（等角的余角相等）， ∵∠CFE＝∠AFD（对顶角相等）， ∴∠CFE＝∠CEF（等量代换）， ∴CF＝CE（等角对等边）． 故答案为：①角平分线的定义；②直角三角形的两锐角互余；③∠FAD+∠AFD＝90°；④等角的余角相等；⑤对顶角相等；⑥等量代换；⑦等角对等边． 【点评】本题考查的是直角三角形的性质、角平分线的定义，等腰三角形的判定，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键． 13．（2020秋•松北区期末）如图，在△ABD中，∠D＝90°，点E为BD边上一点，连接AE，若∠DAE+2∠EAB＝∠D． （1）求证：AE＝BE； （2）点F在AE边上，连接BF，且∠FBA＝∠DAE，若DE＝6，EF＝4，求BE的长． 【分析】（1）依据题意，易得∠DAE+∠AED＝90°＝∠D，于是∠AED＝2∠EAB，再利用三角形外角性质即可得出∠EAB＝∠ABE，进而AE＝BE；得到证明； （2）依据题意，过B作BG⊥AE于G，从而可得△DAE△GBE，故∠DAE＝∠GBE＝∠FBA，进而可得∠DBA＝∠GBF，最后得△DBA∽△GBF，再设BE＝x，计算可以得解． 【解答】（1）证明：∵∠D＝90°， ∴∠DAE+∠AED＝90°＝∠D， ∵∠DAE+2∠EAB＝∠D， ∴∠AED＝2∠EAB， 又∵∠AED＝∠EAB+∠ABE， ∴∠EAB＝∠ABE， ∴AE＝BE； （2）解：过B作BG⊥AE于G， ∵∠ADE＝∠BGE＝90°，∠DEA＝∠GEB，AE＝BE， ∴△ADE≌△BEG（AAS）． ∴∠DAE＝∠GBE＝∠FBA，GE＝DE＝6． ∴∠GBE+∠FBE＝∠FBA+∠FBE． ∴∠DBA＝∠GBF． 又∠∠ADE＝∠FGB＝90°， ∴△ADE∽△FGB． ∴． 设BE＝AE＝x， ∴． ∴x＝16（x＝﹣6，不合题意，舍去）． ∴BE＝16． 【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定等，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 14．（2023秋•富县期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC平分∠BCD．求证：△DAC是等腰三角形． 【分析】根据题意AD∥BC，得到内错角∠DAC＝∠ACB，再利用角平分线定义推导出∠DAC＝∠ACD，最后可以证明△DAC是等腰三角形． 【解答】证明：∵AC平分∠BCD， ∴∠ACD＝∠ACB， ∵AD∥BC， ∴∠DAC＝∠ACB， ∴∠DAC＝∠ACD， ∴AD＝CD， ∴△DAC是等腰三角形． 【点评】无 【考点2】等腰三角形的判定与性质（第1531题） 15．（2026春•蓬江区期中）如图，在△ABC中，已知AB＝8，BC＝6，点D，E分别为BC，AC的中点，BF平分∠ABC交DE于点F，则EF的长为（　　） A．1 B．1.5 C．2 D．1.8 【分析】可证明DE是△ABC的中位线，则可得到，DE∥AB，由平行线的性质和角平分线的定义可证明∠DBF＝∠DFB，得到DF＝BD＝3，据此可得答案． 【解答】解：∵点D，E分别为BC，AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线，， ∴，DE∥AB， ∴∠ABF＝∠DFB， ∵BF平分∠ABC， ∴∠ABF＝∠DBF， ∴∠DBF＝∠DFB， ∴DF＝BD＝3， ∴EF＝DE﹣DF＝4﹣3＝1， 故选：A． 【点评】本题主要考查了三角形中位线定理，等腰三角形的判定与性质、平行线的性质和角平分线的定义，掌握其相关知识点是解题的关键． 16．（2024秋•遵义期末）如图，已知∠AOB＝50°，点C，D分别在OA，OB上，OC＝OD．进行如下操作：①分别以C，D为圆心，大于的长为半径画弧交于点P；②点E在OA上，以E为圆心，EO为半径画弧，交射线OP于点F，连接EF．则∠EFO的度数为（　　） A．20° B．25° C．30° D．45° 【分析】根据作图可知∠AOF＝∠BOF＝25°，再根据EF＝EO即可求出结论． 【解答】解：由题意可知：OP平分∠AOB，∠AOB＝50°， ∴， ∵EF＝EO， ∴∠AOF＝∠EFO＝25°， 所以∠EFO的度数为25°， 故选：B． 【点评】本题考查了作图﹣基本作图及等腰三角形的判定与性质，关键是等腰三角形性质的熟练掌握． 17．（2026春•张店区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，∠ABC与∠BAC的平分线相交于点D，过点D作DE∥BC交AB于点E，则DE的长为（　　） A． B． C． D． 【分析】过点D作DE⊥BC，DF⊥AB，DG⊥AC，再根据角平分线的性质证明DH＝DF＝DG，从而证明四边形CHDG是正方形，设CG＝DG＝DH＝CE＝x，再利用全等三角形的判定证明△ADG≌△ADF，△HBD≌△FBD，然后求出AB，BF，BH，从而列出关于x的方程，解方程求出x，得到DF＝1，BF＝2，再利用平行线的性质和角平分线的性质证明DE＝BE，设DE＝BE＝y，在Rt△DEF中，利用勾股定理求出答案即可． 【解答】解：如图所示：过点D作DE⊥BC，DF⊥AB，DG⊥AC， ∴∠AGD＝∠DGC＝∠AFD＝∠BFD＝∠DEB＝∠DHC＝∠ACB＝90°， ∴四边形CHDG是矩形， ∵∠ABC与∠BAC的平分线相交于点D， ∴DH＝DF＝DG， ∴四边形CHDG是正方形， ∴设CG＝DG＝DH＝CE＝x， 则AG＝4﹣x，BH＝3﹣x， ∵∠ABC与∠BAC的平分线相交于点D， ∴∠GAD＝∠FAD，∠HBD＝∠FBD， ∴△ADG≌△ADF，△HBD≌△FBD， ∴AF＝AG＝4﹣x，BF＝BH＝3﹣x， ∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3， ∴， ∴BF＝AB﹣AF＝5﹣（4﹣x）＝1+x， ∴3﹣x＝1+x， 解得：x＝1， ∴DF＝1，BF＝2， ∵DE∥BC， ∴∠EDB＝∠HBD， ∵BD平分∠ABC， ∴∠EBD＝∠HBD， ∴∠EBD＝∠EDB， ∴DE＝BE， 设DE＝BE＝y， ∴EF＝BF﹣BE＝2﹣y， 在△DEF中，由勾股定理得： DE2＝DF2+EF2， y2＝12+（2﹣y）2， y2＝1+4﹣4y+y2， 4y＝5， ， ∴DE的长为， 故选：B． 【点评】本题主要考查了平行线的性质和勾股定理，解题关键是理解题意，添加正确的辅助线． 18．（2025秋•隆昌市校级月考）如图，在△ABC中，∠B与∠C的平分线相交于O点，过O点作MN∥BC交AB于M，交AC于N．若AB＝12，AC＝18，则△AMN的周长为（　　） A．30 B．33 C．36 D．39 【分析】根据角平分线的定义可得∠ABO＝∠OBC，再根据两直线平行，内错角相等可得∠OBC＝∠BOM，从而得到∠ABO＝∠BOM，根据等角对等边的性质可得BM＝OM，同理可得CN＝ON，然后求出△AMN的周长＝AB+AC，代入数据进行计算即可． 【解答】解：∵OB平分∠ABC， ∴∠ABO＝∠OBC（角平分线的定义）， ∵MN∥BC， ∴∠OBC＝∠BOM（两直线平行，内错角相等）， ∴∠ABO＝∠BOM， ∴BM＝OM， 同理可得CN＝ON， ∴△AMN的周长＝AM+MO+ON+AN＝AM+BM+CN+AN＝AB+AC＝12+18＝30． 故选：A． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，关键是根据角平分线的定义可得∠ABO＝∠OBC解答． 19．（2026春•平顶山月考）如图，在△ABC中，已知∠ABC和∠ACB的平分线交于点F，过F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，如果BD＝5，CE＝4．那么DE等于（　　） A．1 B．5 C．9 D．10 【分析】根据已知条件，可判断出△BDF和△CEF为等腰三角形，从而能够证明BD+CE＝DE即可解决． 【解答】解：∵BF、CF分别平分∠DBC、∠BCE， ∴∠DBF＝∠FBC，∠BCF＝∠ECF， ∵DE∥BC， ∴∠DFB＝∠FBC，∠BCF＝∠EFC， ∴∠DBF＝∠DFB，∠ECF＝∠EFC， ∴DF＝BD，CE＝EF， ∵DF+EF＝DE， ∴BD+CE＝DE， ∵BD＝5，CE＝4， ∴DE＝9， 故选：C． 【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定，利用边角关系并结合等量代换来推导证明． 20．（2026春•兴庆区校级期中）如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点F、G，若FG＝2，ED＝6，则DB+EC的值为　4　 ． 【分析】只要证明EG＝EB，DF＝DC即可解决问题． 【解答】解：∵ED∥BC， ∴∠DFB＝∠FBC，∠EGC＝∠GCB， ∵∠DBF＝∠FBC，∠ECG＝∠GCB， ∴∠DFB＝∠DBF，∠ECG＝∠EGC， ∴BD＝DF，CE＝GE， ∵FG＝2，ED＝6， ∴DB+EC＝DF+GE＝ED﹣FG＝6﹣2＝4． 【点评】本题考查等腰三角形的判定和性质、角平分线的定义，平行线的性质等知识，解题的关键是等腰三角形的证明，属于基础题． 21．（2026春•普陀区期末）如图，在△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于点D，DE∥BC交AC于点E．如果EC＝2AE，DE＝6，那么AC＝　9　 ． 【分析】据角平分线的定义可得∠BCD＝∠DCE，再根据两直线平行，内错角相等可得∠BCD＝∠CDE，然后求出∠DCE＝∠CDE，再根据等角对等边可得CE＝DE，然后根据AC＝AE+CE代入数据计算即可得解． 【解答】解：∵CD是∠ACB的平分线， ∴∠BCD＝∠DCE， ∵DE∥BC， ∴∠BCD＝∠CDE， ∴∠DCE＝∠CDE， ∴CE＝DE＝6， ∵EC＝2AE， ∴AE＝3， ∴AC＝AE+CE＝3+6＝9． 故答案为：9． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，熟记性质并求出CE＝DE是解题的关键． 22．（2025秋•鄂尔多斯期中）如图，∠ABC的平分线BF与△ABC的外角∠ACG的平分线相交于点F，过点F作DF∥BC交AB于点D，交AC于点E．若BD＝7cm，CE＝5cm，则DE的长为 　2　 cm． 【分析】根据已知条件，BF、CF分别平分∠ABC、∠ACB的外角，且DE∥BC，可得∠DBF＝∠DFB，∠ECF＝∠EFC，根据等角对等边得出DF＝BD，CE＝EF，根据DE＝DF﹣EF即可求得． 【解答】解：∵BF、CF分别平分∠ABC、∠ACB的外角， ∴∠DBF＝∠CBF，∠FCE＝∠FCG， ∵DE∥BC， ∴∠DFB＝∠CBF，∠EFC＝∠FCG， ∴∠DBF＝∠DFB，∠FCE＝∠EFC， ∴BD＝FD＝7cm，EF＝CE＝5cm， ∴DE＝DF﹣EF＝7﹣5＝2（cm）， 故答案为：2． 【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质以及平行线的性质，利用边角关系并结合等量代换来推导证明是解决问题的关键． 23．（2026春•闵行区期末）如图，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，过点O作MN∥BC分别交AB，AC边于点M、N，△AMN的周长为18，△ABC的周长为25，那么边BC的长为　7　 ． 【分析】利用角平分线和平行线的性质可得∠MBO＝∠MOB、∠NOC＝∠NCO，从而得到MO＝MB、NO＝NC．将△AMN的周长AM+MN+AN转化为AB+AC．已知△ABC 的周长为 25，即可求出BC＝25﹣（AB+AC）＝25﹣18＝7． 【解答】解：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB， ∴∠MBO＝∠OBC，∠OCN＝∠OCB． ∵MN∥BC， ∴∠NOC＝∠OCB，∠MOB＝∠OBC， ∴∠NOC＝∠NCO，∠MBO＝∠MOB， ∴MO＝MB，NO＝NC． ∴△AMN的周长为18， 即AM+MN+AN＝AM+MO+AN+ON＝AM+MB+AN+NC＝AB+AC＝18． ∵△ABC的周长为 25， ∴AB+AC+BC＝25， ∴BC＝25﹣（AB+AC）＝25﹣18＝7． 故答案为：7． 【点评】本题考查等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 24．（2025秋•攸县期末）如图，已知D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD．若AC＝9，BC＝6，则BD的长为　　 ． 【分析】延长BD交AC于点E，根据等腰三角形的判定和性质易得CE＝BC＝6，然后可求出AE＝BE＝3，进而得到BD． 【解答】解：延长BD交AC于点E， ∵CD平分∠ACB，BD⊥CD，BC＝6， 在△CDB和△CDE中， ， ∴△CDB≌△CDE（ASA）， ∴CE＝BC＝6，BD＝DE（全等三角形对应边相等）， ∵∠A＝∠ABD， ∴AE＝BE（等角对等边）， ∵AC＝9， ∴AE＝AC﹣CE＝3， ∴BE＝3， ∴，则BD的长为． 故答案为：． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，通过作辅助线构造出等腰三角形是解题关键． 25．（2024秋•宁江区期末）如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，若∠A＝∠ABE，BD＝1，BC＝3，则AC的长为 　5　 ． 【分析】证明△ABE是等腰三角形得AE＝BE，证明△EDC和△BDC全等得DE＝BD＝1，EC＝BC＝3，进而得AE＝BE＝DE+BD＝2，由此即可得出的长． 【解答】解：∵∠A＝∠ABE， ∴△ABE是等腰三角形， ∴AE＝BE， ∵BE⊥CD， ∴∠EDC＝∠BDC＝90°， ∵CD平分∠ACB， ∴∠ECD＝∠BCD， 在△EDC和△BDC中， ， ∴△EDC≌△BDC（ASA）， ∴DE＝BD，EC＝BC， ∵BD＝1，BC＝3， ∴DE＝BD＝1，EC＝BC＝3， ∴AE＝BE＝DE+BD＝2， ∴AC＝AE+EC＝5． 故答案为：5． 【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 26．（2024秋•肃南县校级期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，∠BAC的平分线AD交BC于点D，过B作BF⊥AD，垂足为F，延长BF交AC于点E． （1）求证：△ABE为等腰三角形； （2）已知AC＝13，BD＝5，求AB的长． 【分析】（1）由垂直的定义得到∠AFE＝∠AFB＝90°，由角平分线的定义得到∠EAF＝∠BAF，根据三角形的内角和得到∠AEF＝∠ABF，得到AE＝AB，于是得到结论； （2）连接DE，根据等腰三角形的性质得到AD垂直平分BE，得到BD＝ED，由等腰三角形的性质得到∠DEF＝∠DBF，等量代换得到∠AED＝∠ABD，于是得到结论． 【解答】（1）证明：∵BE⊥AD， ∴∠AFE＝∠AFB＝90°， 又∵AD平分∠BAC， ∴∠EAF＝∠BAF， 又∵在△AEF和△ABF中 ∠AFE+∠EAF+∠AEF＝180°，∠AFB+∠BAF+∠ABF＝180° ∴∠AEF＝∠ABF， ∴AE＝AB， ∴△ABE为等腰三角形； （2）解：连接DE， ∵AE＝AB，AD平分∠BAC， ∴AD垂直平分BE， ∴BD＝ED， ∴∠DEF＝∠DBF， ∵∠AEF＝∠ABF， ∴∠AED＝∠ABD， 又∵∠ABC＝2∠C， ∴∠AED＝2∠C， 又∵△CED中，∠AED＝∠C+∠EDC， ∴∠C＝∠EDC， ∴EC＝ED， ∴CE＝BD． ∴AB＝AE＝AC﹣CE＝AC﹣BD＝13﹣5＝8． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形的内角和，等腰三角形的性质，角平分线的定义，正确的作出辅助线是解题的关键． 27．（2026•龙州县一模）如图，已知AB∥CD，BC平分∠ABD，交AD于点E． （1）求证：△BCD是等腰三角形； （2）若AD⊥BD于点D，∠CDA＝28°，求∠3的度数． 【分析】（1）由角平分线的定义得到∠1＝∠2，由AB∥CD可得∠2＝∠3，根据等量代换可得∠1＝∠3； （2）由垂直的定义得出∠ADB＝90°，可得∠CDB＝∠CDA+∠ADB＝124°，由平行线的性质得出∠ABD＝56°，根据角平分线的定义即可得解． 【解答】（1）证明：∵BC平分∠ABD， ∴∠1＝∠2， ∵AB∥CD， ∴∠2＝∠3， ∴∠1＝∠3， ∴△BCD是等腰三角形； （2）解：∵AD⊥BD， ∴∠ADB＝90°， ∵∠CDA＝28°， ∴∠CDB＝∠CDA+∠ADB＝28°+90°＝118°， ∵AB∥CD， ∴∠ABD+∠CDB＝180°， ∴∠ABD＝180°﹣118°＝62°， ∵BC平分∠ABD， ∴∠1＝∠2∠ABD62°＝31°， ∵∠1＝∠3， ∴∠3＝31°． 【点评】此题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的判定，熟记“两直线平行，内错角相等”及“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键． 28．（2025秋•伊川县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是AB边上一点，过点D作DE⊥BC于点E，交CA的延长线于点F． （1）求证：△ADF是等腰三角形； （2）若∠B＝60°，BD＝6，AD＝BE＝3，求EC的长． 【分析】（1）先根据AB＝AC得∠B＝C，根据DE⊥BC得∠F+∠C＝90°，∠BDE+∠B＝90°，由此得∠F＝∠BDE，再根据∠ADF＝∠BDE得∠F＝∠ADF，由此即可得出结论； （2）根据BD＝6，AD＝BE＝3得AB＝BD+AD＝9，再根据AB＝AC，∠B＝60°得△ABC是等边三角形，进而得∠BC＝AB＝9，由此即可得出EC的长． 【解答】（1）证明：在△ABC中，AB＝AC， ∴∠B＝C， ∵DE⊥BC于点E， ∴∠FEC＝∠FEB＝90°， ∴△FEC和△DEB都是直角三角形， 在Rt△AEC中，∠F+∠C＝90°， 在Rt△DEB中，∠BDE+∠B＝90°， ∴∠F＝∠BDE， ∵∠ADF＝∠BDE， ∴∠F＝∠ADF， ∴AD＝AF， ∴△ADF是等腰三角形； （2）解：∵BD＝6，AD＝BE＝3， ∴AB＝BD+AD＝6+3＝9， 在△ABC中，AB＝AC，∠B＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠BC＝AB＝9， ∴EC＝BC﹣BE＝9﹣3＝6， 即EC的长为6． 【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定，等边三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质是解决问题的关键． 29．（2025春•闵行区期末）已知：如图，点D在线段BC上，AD＝AB，∠BAD＝∠CAE，AD平分∠BDE． 求证： （1）△ACE是等腰三角形． （2）∠CAE＝∠CDE． 【分析】（1）根据AD平分∠BDE，设∠ADB＝∠ADE＝α，根据AD＝AB得∠B＝∠ADB＝∠ADE＝α，再根据∠BAD＝∠CAE得∠BAC＝∠DAE，由此即可依据“AAS”判定△BAC和△DAE中全等，则AC＝AE，由此即可得出结论 （2）在△ABD中，根据∠B＝∠ADB＝α得∠BAD＝180°﹣2α，则∠BAD＝∠CAE＝180°﹣2α，再根据∠ADB＝∠ADE＝α得∠CDE＝180°﹣2α，由此即可得出结论． 【解答】证明：（1）∵AD平分∠BDE， ∴设∠ADB＝∠ADE＝α， ∵AD＝AB， ∴∠B＝∠ADB＝∠ADE＝α， ∵∠BAD＝∠CAE， ∴∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC， ∴∠BAC＝∠DAE， 在△BAC和△DAE中， ， ∴△BAC≌△DAE（AAS）， ∴AC＝AE， ∴△ACE是等腰三角形； （2）在△ABD中，∠B＝∠ADB＝α， ∴∠BAD＝180°﹣（∠B+∠ADB）＝180°﹣2α， ∴∠BAD＝∠CAE＝180°﹣2α， ∵∠ADB＝∠ADE＝α， ∴∠CDE＝180°﹣（∠ADB+∠ADE）＝180°﹣2α， ∴∠CAE＝∠CDE． 【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 30．（2025春•闵行区期末）已知：如图，在△ABC中，已知BM、CM分别平分∠ABC和∠ACB，经过点M的直线DE平行于BC，交AB、AC分别于点D、E，AB＝8，AC＝6．求△ADE的周长． 解：∵BM平分∠ABC， ∴∠CBM＝ 　∠ABM ． ∵DE∥BC， ∴∠CBM＝∠BMD（ 　两直线平行，内错角相等　 ）． ∴∠BMD＝ 　∠ABM ． ∴DB＝DM（ 　等角对等边　 ）． 同理可得EC＝ EM ． ∴△ADE周长＝AD+DE+AE， ＝AD+DM+ME+AE， ＝AD+DB+EC+AE， ＝AB+AC＝ 　14　 ． 【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质可证△BDM和△EMC是等腰三角形，从而可得DB＝DM，同理可得EC＝ EM，然后利用等量代换和三角形的周长公式进行计算，即可解答． 【解答】解：∵BM平分∠ABC， ∴∠CBM＝∠ABM． ∵DE∥BC， ∴∠CBM＝∠BMD（两直线平行，内错角相等）． ∴∠BMD＝∠ABM． ∴DB＝DM（等角对等边）． 同理可得EC＝ EM． ∴△ADE周长＝AD+DE+AE， ＝AD+DM+ME+AE， ＝AD+DB+EC+AE， ＝AB+AC＝ 14， 故答案为：∠ABM；两直线平行，内错角相等；∠ABM；等角对等边；EM；14． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，熟练掌握根据角平分线的定义和平行线的性质可证等腰三角形是解题的关键． 31．（2023秋•西青区校级期中）如图：在△ABC中，BA＝BC，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D的直线DE∥BC，如果AB＝5，AC＝4，求△ADE的周长． 【分析】先利用等腰三角形的三线合一性质可得：AD＝2，然后再根据角平分线的定义和平行线的性质可证△EBD等腰三角形，从而可得EB＝ED，最后根据等量代换可得△ADE的周长＝AB+AD，从而进行计算即可解答． 【解答】解：∵BA＝BC，BD平分∠ABC， ∴ADAC＝2， ∵ED∥BC， ∴∠EDB＝∠DBC， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠DBC， ∴∠ABD＝∠EDB， ∴EB＝ED， ∵AB＝5， ∴△ADE的周长＝AE+DE+AD ＝AE+BE+AD ＝AB+AD ＝5+2 ＝7， ∴△ADE的周长为7． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握根据角平分线的定义和平行线的性质可证等腰三角形是解题的关键． 【考点3】新定义及压轴题（第3237题） 32．（2026春•分宜县校级月考）如图，在△ABC中，BE平分内角∠ABC，AE平分外角∠CAD． （1）若AE∥BC，求证：△ABC为等腰三角形； （2）若∠C＝68°，求∠E的度数． 【分析】（1）根据平行线得到∠CAE＝∠C，∠CBA＝∠DAE，结合角平分线得到∠CBA＝∠C，最后根据等角对等边得到等腰三角形； （2）根据三角形的外角和角平分线得到，据此求解即可． 【解答】解：（1）∵AE平分外角∠CAD． ∴∠CAE＝∠DAE， ∵AE∥BC， ∴∠CAE＝∠C，∠CBA＝∠DAE， ∴∠CBA＝∠C， ∴AB＝AC， ∴△ABC为等腰三角形． （2）由条件可知，， 由三角形的外角可得∠E＝∠EAD﹣∠EBA，∠C＝∠CAD﹣∠CBA， ∴， ∵∠C＝68°， ∴． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，熟练掌握该知识点是关键． 33．（2025春•长宁区期末）定义：在等腰三角形中，过某底角顶点的一条射线分这个底角所成的两个角中恰好有一个角等于这个等腰三角形的顶角，那么称这条射线为这个等腰三角形的“等角分割线”． 已知在△ABC中，AB＝AC，点D在边AC上． （1）如图1，如果BD＝BC，求证：BD是△ABC的“等角分割线”； （2）如图2，如果BD⊥AC，且BD是△ABC的“等角分割线”，求∠C的度数； （3）BD是△ABC的“等角分割线”，∠BAC的平分线交BD于点F．如果DF＝DC，那么∠BAC的度数为 　45°或　 ． 【分析】（1）由等边对等角得到∠ABC＝∠C，∠BDC＝∠C，则∠ABC＝∠BDC，再由三角形的外角性质即可求证； （2）先由等腰三角形性质以及三角形内角和定理得到∠A＝180°﹣2∠C，再由外角性质得到∠ABD＝2∠C﹣90°，∠DBC＝90°﹣∠C，然后再分类讨论即可； （3）分两种情况讨论，当∠DBC＝∠BAC时，由三线合一得到AE⊥BC，BE＝CE，设∠BAE＝∠CAE＝x，则∠DBC＝∠BAC＝2x，可得AE垂直平分BC，则∠DBC＝∠FCB＝2x，然后根据外角性质表示出∠DFC＝∠DCF＝4x再由三角形内角和定理得到∠CAE+∠ACE+∠AEC＝180°；当∠ABD＝∠BAC时，设∠BAE＝∠CAE＝x，则∠ABD＝∠BAC＝2x，则∠FDC＝∠BAC+∠ABD＝4x，由△ABF≌△ACF（SAS），以及等腰三角形性质得到∠DFC＝∠DCF＝2x，在△DFC中由三角形内角和定理建立方程求解． 【解答】（1）证明：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C， ∵BD＝BC， ∴∠BDC＝∠C， ∴∠ABC＝∠BDC， ∵∠ABC＝∠ABD+∠DBC，∠BDC＝∠A+∠ABD， ∴∠ABD+∠DBC＝∠A+∠ABD， ∴∠A＝∠DBC， ∴BD是△ABC的“等角分割线”； （2）解：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C， ∵∠A+∠ABC+∠C＝180°， ∴∠A＝180°﹣2∠C， ∵BD⊥AC， ∴∠BDC＝90°，∠BDA＝90°， ∵∠BDC＝∠A+∠ABD，∠BDA＝∠DBC+∠C， ∴∠ABD＝2∠C﹣90°，∠DBC＝90°﹣∠C， ∵BD是△ABC的“等角分割线”， ∴①∠A＝∠ABD，180°﹣2∠C＝2∠C﹣90°， 解得：∠C＝67.5°； ②∠A＝∠DBC，180°﹣2∠C＝90°﹣∠C， 解得：∠C＝90°（舍去）， 综上：∠C＝67.5°； （3）解：记∠BAC的平分线与BC交于点E， ①当∠DBC＝∠BAC时， ∵AB＝AC，AE平分∠BAC， ∴AE⊥BC，∠BAE＝∠CAE，BE＝CE（等腰三角形三线合一）， 设∠BAE＝∠CAE＝x，则∠DBC＝∠BAC＝2x ∵AE⊥BC，BE＝CE， ∴AE垂直平分BC， ∴FB＝FC， ∴∠DBC＝∠FCB＝2x， ∴∠DFC＝∠FBC+∠FCB＝2x+2x＝4x， ∵DF＝DC， ∴∠DFC＝∠DCF＝4x， ∴∠ACE＝∠DCF+∠FCB＝4x+2x＝6x， ∵AE⊥BC， ∴∠CAE+∠ACE+∠AEC＝180°， ∴x+6x+90°＝180°， 解得：， ∴； ②当∠ABD＝∠BAC时， ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE＝∠CAE（角平分线的定义）， 设∠BAE＝∠CAE＝x，则∠ABD＝∠BAC＝2x， ∴∠FDC＝∠BAC+∠ABD＝4x， 在△ABF和△ACF中， ， ∴△ABF≌△ACF（SAS）， ∴∠ACF＝∠ABD＝2x， ∵DF＝DC， ∴∠DFC＝∠DCF＝2x， ∵∠FDC+∠DFC+∠DCF＝180°， ∴4x+2x+2x＝180°， 解得：x＝22.5°， ∴∠BAC＝2×22.5°＝45°， 综上：∠BAC的度数为45°或， 故答案为：45°或． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，三角形内角和定理等知识点． 34．如图，△ABC中，∠ABC＝2∠C，BD平分∠ABC，AF⊥BD于F．求证： （1）∠BAF＝∠DAF+∠C； （2）AC＝2BF． 【分析】首先过点A作AF∥BC，交BD的延长线于点F，根据平行线的性质和角平分线的定义即可得到结论； （2）由在△ABC中，∠ABC＝2∠C，BD平分∠ABC，易证得△ADF，△ABF，△DBC是等腰三角形，又由三线合一，可证得BF＝2BE，即可证得AC＝2BE． 【解答】证明：（1）过点A作AE∥BC，交BD的延长线于点E， ∴∠E＝∠DBC，∠EAD＝∠C， ∵∠ABC＝2∠C，BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠DBC＝∠C， ∴∠E＝∠EAD＝∠ABD＝∠C， ∴AB＝AE， ∵AF⊥BE， ∴∠BAF＝∠EAF， ∴∠BAF＝∠EAF＝∠EAD+∠DAF＝∠DAF+∠C； （2）∵∠DBC＝∠C， ∴BD＝CD， ∴AD＝DF，AB＝AE， ∵AF⊥BD， ∴BF＝EFBE， ∵AC＝AD+CD＝DE+BD＝BE， ∴AC＝2BF． 【点评】此题考查了等腰三角形的性质与判定．此题难度较大，解题的关键是准确作出辅助线，注意数形结合思想的应用． 35．（2024秋•丹江口市期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，∠BAC的平分线AD交BC于点D，过B作BF⊥AD，垂足为F，延长BF交AC于点E． （1）求证：△ABE为等腰三角形； （2）已知BD＝2，AB＝3，求AC的长． 【分析】（1）根据三角形的内角和求出∠ABE＝∠AEB，即可得出结论； （2）连接DE，证明AD垂直平分BE，得到BD＝DE，证明∠EDC＝∠C，得到CE＝DE，根据AC＝AE+CE，进行求解即可． 【解答】（1）证明：在△ABC中，∠BAC的平分线AD交BC于点D，BF⊥AD， ∴∠BAF＝∠EAF，∠AFB＝∠AFE＝90°， ∴∠ABF＝90°﹣∠BAF，∠AEB＝90°﹣∠EAF， ∴∠ABE＝∠AEB， ∴AB＝AE， ∴△ABE为等腰三角形； （2）解：如图所示，连接DE， ∵AB＝AE，AD⊥BF， ∴AD垂直平分BE， ∴DB＝DE， ∴∠DBE＝∠BED， ∴∠EDC＝2∠DBE， ∵∠ABE＝∠AEB＝∠C+∠EBC，∠ABC＝∠ABE+∠EBC＝2∠C， ∴∠C+∠EBC+∠EBC＝2∠C， ∴∠C＝2∠EBC＝∠EDC， ∴CE＝DE＝BD＝2， 又∵AB＝AE＝3． ∴AC＝AE+CE＝5． 【点评】本题考查等腰三角形的判定与性质，三角形的角平分线、中线和高，三角形内角和定理，三角形的外角性质，证明三角形为等腰三角形是解题的关键． 36．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠BAC的平分线分别交BC，CD于点E，F． （1）试说明：△CEF是等腰三角形； （2）若点E在线段AB的垂直平分线上，写出AB与AC之间的数量关系，并说明理由； （3）在（2）的条件下，若EC＝2，AC＝2，求△ABE的面积． 【分析】（1）通过直角三角形，角平分线性质，对顶角证明∠CFE＝∠CEF，从而证明△CEF是等腰三角形； （2）通过角平分线，直角三角形内角关系，可求出∠B＝30°，直角三角形中，就可求得2AC＝AB； （3）通过勾股定理，可求出CB的长，再求出BE的长，再通过勾股定理求出△ABE的边AB上的高，再求△ABE的面积． 【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°， ∴∠CEF＝90°﹣∠CAE， ∵CD⊥AB， ∴∠CDA＝90°， ∴∠AFD＝90°﹣∠EAD， ∵AE是∠BAC的平分线，∠AFD与∠CFE是对顶角， ∴∠CAE＝∠EAD，∠AFD＝∠CFE， ∴∠CEF＝∠AFD＝∠CFE， ∴CE＝CF， ∴△CEF是等腰三角形； （2）2AC＝AB， 如图，过E作EH⊥AB，由题意可知EH垂直平分AB， ∴AE＝BE，∠EAB＝∠B， ∵AE是∠BAC的角平分线， ∴∠CAE＝∠EAB， ∴在直角三角形ACB中，3∠B＝90°， ∴∠B＝30°， 2AC＝AB； （3）由（2）得Rt△ACB中，∠B＝30°，CE＝2，AC＝2， ∴AB＝2AC＝4，CB6， ∴EB＝CB﹣CE＝6﹣2＝4， 在Rt△EHB中，EH， ∵EH垂直平分AB，2AC＝AB；AC＝2， ∴BHAB•2AC＝AC＝2， ∴EH2， ∴S△ABEAB×EH42＝4． 【点评】本题考查了直角三角形的勾股定理与等腰三角形的判定，角平分线性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形的勾股定理与等腰三角形的判定，角平分线性质． 37．（2026春•射洪市校级期末）如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD⊥BC于点D，，AB＝5，求BD的值． 【分析】延长CB构造等腰三角形，利用等角转化与勾股定理建立关于BD的方程，通过两个直角三角形中公共高的等量关系，代入线段和差求解即可． 【解答】解：在△ABC中，∠B＝2∠C，AD⊥BC于点D，如图，延长CB到E，使得BE＝AB＝5，连接AE， ∴△ABE为等腰三角形， ∴∠E＝∠BAE， ∴∠ABC＝∠E+∠BAE＝2∠E， ∵∠ABC＝2∠C， ∴∠C＝∠E， ∴， 在Rt△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2， 在Rt△ADE中，AD2＝AE2﹣DE2， ∴AE2﹣DE2＝AB2﹣BD2， ∵DE＝BE+BD， ∴， 解得BD＝3． 【点评】本题考查等腰三角形的判定与性质，正确进行计算是解题关键． 随堂检测 · 精选练习 【练习 1】（2025秋•澧县期末）如图，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于O，MN过点O且与BC平行．△ABC的周长为20，△AMN的周长为12，则BC的长为　8　 ． 【分析】由BO为角平分线，得到一对角相等，再由MN平行于BC，利用两直线平行内错角相等，得到一对角相等，等量代换可得出∠MBO＝∠MOB，利用等角对等边得到MO＝MB，同理得到NO＝NC，而三角形ABC的周长等于三边相加，即AB+BC+AC，其中AB＝AM+MB，AC＝AN+NC，等量代换后可得出三角形ABC的周长等于三角形AMN的周长与BC的和，即BC等于两三角形的周长之差，将两三角形的周长代入，即可求出BC的长． 【解答】解：∵OB平分∠MBC， ∴∠MBO＝∠OBC， 又MN∥BC， ∴∠MOB＝∠OBC， ∴∠MOB＝∠MBO， ∴MB＝MO， 同理可得∠NOC＝∠NCO， ∴NO＝NC， ∴（AB+AC+BC）﹣（AM+AN+MN） ＝（AM+MB+AN+NC+BC）﹣（AM+AN+MN） ＝（AM+MO+AN+NO+BC）﹣（AM+AN+MN） ＝（AM+AN+MN+BC）﹣（AM+AN+MN） ＝BC， 又∵△ABC的周长为20，△AMN的周长为12，即AB+AC+BC＝20，AM+AN+MN＝12， 则BC＝20﹣12＝8． 故答案为：8． 【点评】此题考查了等腰三角形的判定与性质，以及平行线的性质，利用了转化及等量代换的思想，熟练掌握判定与性质是解本题的关键． 【练习 2】（2026春•武侯区校级期中）如图，在△ABC中，BC＝5，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长是　5　 ． 【分析】由BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，得∠ABP＝∠DBP，∠ACP＝∠ECP，根据平行线的性质得出∠ABP＝∠DPB，∠ACP＝∠EPC，从而有∠DBP＝∠DPB，∠ECP＝∠EPC，则BD＝PD，PE＝CE，然后代入求值即可． 【解答】解：∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线， ∴∠ACP＝∠ECP，∠ABP＝∠DBP， ∵PE∥AC，PD∥AB， ∴∠ACP＝∠EPC，∠ABP＝∠DPB， ∴∠DBP＝∠DPB，∠ECP＝∠EPC， ∴BD＝PD，PE＝CE， ∵BC＝5， ∴△PDE的周长为DE+PE+PD＝DE+CE+BD＝BC＝5， 故答案为：5． 【点评】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定，角平分线的定义，掌握相关知识是解题的关键． 【练习 3】（2024秋•集宁区期末）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D．下列三个结论： ①； ②EF＝BE+CF； ③设OD＝m，AE+AF＝n，则． 其中正确的结论有 　①②③　 ．（填序号） 【分析】由在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，根据角平分线的定义与三角形内角和定理，即可求得①∠BOC＝90°∠A正确；由平行线的性质和角平分线的定义得出△BEO和△CFO是等腰三角形，得出EF＝BE+CF，故②正确；由角平分线定理与三角形面积的求解方法，即可求得③设OD＝m，AE+AF＝n，则正确． 【解答】解：∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O， ∴∠OBC∠ABC，∠OCB∠ACB，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°， ∴∠OBC+∠OCB＝90°∠A， ∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝90°∠A， 故①正确，符合题意； ∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O， ∴∠EBO＝∠OBC，∠FCO＝∠OCB， ∵EF∥BC， ∴∠EOB＝∠OBC，∠FOC＝∠OCB， ∴∠EBO＝∠EOB，∠FOC＝∠FCO， ∴EB＝EO，FO＝FC， ∴EF＝EO+FO＝BE+CF， 故②正确，符合题意； 过点O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，连接OA， ∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O， ∴ON＝OD＝OM＝m， ∴， 故③正确，符合题意； ∴其中正确的结论是①②③． 故答案为①②③． 【点评】此题考查了角平分线的定义与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，解题的关键是注意数形结合思想的应用． 【练习 4】（2025秋•南京校级月考）如图，BD是△ABC的角平分线，∠1＝25°，∠2＝50°．求证： （1）ED∥BC； （2）ED＝EB． 【分析】（1）由角平分线的定义得到∠ABC＝∠2＝50°，据此可证明结论； （2）由角平分线的定义和平行线的性质可证明∠EBD＝∠EDB，则EB＝ED． 【解答】证明：（1）∵BD是△ABC的角平分线，∠1＝25°， ∴∠ABC＝2∠1＝50°， ∴∠ABC＝∠2， ∴ED∥BC（同位角相等，两直线平行）； （2）∵ED∥BC， ∴∠EDB＝∠CBD（两直线平行，内错角相等）， 又∵BD是△ABC的角平分线， ∴∠EBD＝∠CBD， ∴∠EBD＝∠EDB（等量代换）， ∴EB＝ED（等角对等边）． 【点评】本题主要考查了平行线的性质与判定，等腰三角形的判定与性质，熟知相关知识是解题的关键． 课后巩固 · 针对性练习 ①重点吃透角平分线+平行线模型，熟练线段等量代换，这是考试高频模型。 ②“两圆一线”找点题型，训练分类讨论习惯，做完务必检查三点共线漏解、多解。 ③证明等腰优先思考：证角相等（等角对等边），不要一味执着证明边长相等。 ④遇到新定义压轴题，把定义翻译成角度方程，设未知数解方程，降低难度。 ⑤做完枚举类题目（火柴棒、分段），必须回头检验三角形三边关系。 【作业 1】（2026春•洋县期末）如图，在△ABC中，点D在边AC上，连接BD，∠A＝∠ABD，若BD＝9，CD＝7，则AC的长为（　　） A．13 B．14 C．15 D．16 【分析】根据等角对等边得出BD＝AD＝9，即可求解． 【解答】解：∵∠A＝∠ABD， ∴BD＝AD＝9， ∵CD＝7， ∴AC＝AD+CD＝9+7＝16， 故选：D． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，熟练掌握等角对等边是解题的关键． 【作业 2】（2026春•市南区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD，CE分别是∠ABC，∠ACB的平分线，且DE∥BC，∠A＝36°，则图中的等腰三角形共有（　　）个． A．10 B．11 C．12 D．13 【分析】由已知条件，根据三角形内角和等于180、角的平分线的性质求得各个角的度数，然后利用等腰三角形的判定进行找寻，注意做到由易到难，不重不漏． 【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝36°， ∴△ABC是等腰三角形， 72°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠EBD＝∠DBC＝36°， ∵ED∥BC， ∴∠AED＝∠ADE＝72°， ∠EDB＝∠DBC＝36° ∴在△ADE中，∠AED＝∠ADE＝72°， AD＝AE， △ADE为等腰三角形， 在△ABD 中，∠A＝∠ABD＝36°， AD＝BD， △ABD是等腰三角形， 同理△AEC也是等腰三角形， 在△BED 中，∠EBD＝∠EDB＝36°， ED＝BE，△BED是等腰三角形， 同理△CED也是等腰三角形， 在△BDC中，∠BCD＝∠BDC＝72°， BD＝BC， △BDC是等腰三角形， 同理△BEC也是等腰三角形， 在△BED中，∠EBD＝∠EDB＝36°， ED＝BE，△BED是等腰三角形， 同理△CED也是等腰三角形， 同理△BEC也是等腰三角形， ∵∠OBC＝∠OCB＝∠ODE＝∠OED＝36°， ∴OD＝OE，OB＝OC， 即△ODE，△OBC也为等腰三角形， ∵∠BEO＝∠BOE＝∠COD＝∠ODC＝72°， ∴CD＝CO，BE＝OB， ∴△CDO，△BOE也是等腰三角形， 所以共有12个等腰三角形． 故选：C． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定、角的平分线的性质及三角形内角和定理，由已知条件利用相关的性质求得各个角的度数是正确解答本题的关键． 【作业 3】（2025秋•拱墅区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，0°＜∠B＜60°，点D是边AB的中点，点E在边BC上，若CE＝AD，则（　　） A．∠B＝∠BDE B．3∠B＝2∠BDE C．∠B+2∠BDE＝90° D．3∠B+2∠BDE＝180° 【分析】如图，连接CD，首先直角三角形斜边中线定理，得CD＝AD＝BD，进而得到CE＝CD，△CDE是等腰三角形，∠CDE＝∠CED．设∠B＝x，则∠A＝90°﹣x，进而推导出∠ACD＝∠A＝90°﹣x，∠BCD＝90°﹣（90°﹣x）＝x．在△CDE中，，得到∠CDB＝180°﹣2x°，∠BDE＝∠CDB﹣∠CDE＝（180°﹣2x），整理即可得解． 【解答】解：如图，连接CD， 在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是AB中点， 根据直角三角形斜边中线定理，得：CD＝AD＝BD， ∵CE＝AD， ∴CE＝CD，即△CDE是等腰三角形，∠CDE＝∠CED． 设∠B＝x，则∠A＝90°﹣x． ∵CD＝AD， ∴∠ACD＝∠A＝90°﹣x，∠BCD＝90°﹣（90°﹣x）＝x． 在△CDE中，， 又∵CD＝BD， ∴∠CDB＝180°﹣2x， ∴∠BDE＝∠CDB﹣∠CDE＝（180°﹣2x）， 化简得：， 整理得：3x＝2（90°﹣∠BDE）， ∴3∠B+2∠BDE＝180°， 故选：D． 【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，直角三角形斜边中线定理，解答本题的关键是熟练掌握等腰三角形的判定与性质． 【作业 4】（2025春•长宁区校级期末）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN＝7，则线段MN的长为　7　 ． 【分析】根据角平线的性质和平行线的性质可得∠MBE＝∠MEB，∠NEC＝∠NCE，从而可得BM＝EM，NE＝NC，进而得到MN＝ME+NE＝BM+CN＝7． 【解答】解：由条件可知∠MBE＝∠EBC，∠NCE＝∠ECB， ∵MN∥BC， ∴∠MEB＝∠EBC，∠NEC＝∠ECB， ∴∠MBE＝∠MEB，∠NCE＝∠NEC ∴BM＝EM，NE＝NC， ∵BM+CN＝7， ∴MN＝ME+NE＝BM+CN＝7， 故答案为：7． 【点评】本题考查平行线的性质，等角对等边的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【作业 5】（2025•越秀区校级模拟）如图，直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，AB＝11，BC＝5，D是边AC上一点，且∠BDC＝∠BCD，过点D作DE⊥BD，交边AB于点E，则△BDE的周长是　16　 ． 【分析】由直角三角形的性质得∠A+∠C＝90°，∠ADE+∠BDC＝90°，再由等腰三角形的性质得∠A＝∠ADE，然后证明AE＝DE，即可解决问题． 【解答】解：∵∠ABC＝90°， ∴∠A+∠C＝90°， ∵DE⊥BD， ∴∠BDE＝90°， ∴∠ADE+∠BDC＝90°， ∵∠BDC＝∠BCD， ∴BD＝BC＝5，∠A＝∠BCD＝∠ADE， ∴AE＝DE， ∵AB＝11，BD＝BC＝5． ∴△BDE的周长为：BD+BE+DE＝BD+BE+AE＝BD+AB＝5+11＝16． 故答案为：16． 【点评】本题主要考查等腰三角形的判定与性质性质以及直角三角形的性质等知识，证明AE＝DE是解题的关键． 【作业 6】（2025秋•沂南县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，DE∥AB． （1）求证：CE＝DE； （2）若AD是△ABC的中线，求证：E是AC的中点． 【分析】（1）等边对等角，得到∠B＝∠C，平行线的性质，得到∠EDC＝∠B，进而得到∠EDC＝∠C，即可得证； （2）根据三线合一和等角的余角相等，得到∠DAE＝∠ADE，进而得到AE＝DE，结合（1）中结论，得到AE＝CE，即可得证． 【解答】证明：（1）∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C（等边对等角）， ∵DE∥AB， ∴∠EDC＝∠B（两直线平行，同位角相等）， ∴∠EDC＝∠C（等量代换）， ∴CE＝DE（等角对等边）； （2）∵AB＝AC，AD是△ABC的中线， ∴AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∵∠C+∠CAD＝90°，∠ADE+∠CDE＝90°， 由（1）知：∠EDC＝∠C，CE＝DE， ∴∠DAE＝∠ADE， ∴AE＝DE（等角对等边）， ∴AE＝CE，即E是AC的中点． 【点评】本题考查等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握等边对等角，等角对等边是解题的关键． 【作业 7】（2025秋•平凉期末）如图，已知点A，C分别是△FBE的边BF和BE延长线上的点，作∠AFE的平分线FD，若FD∥BC． （1）求证：△FBE是等腰三角形； （2）作∠FEC的平分线交FD于点H，若∠B＝50°，求∠FHE的度数． 【分析】（1）根据角平分线的定义得∠AFD＝∠DFE，由平行线的性质得∠AFD＝∠B，∠DFE＝∠FEB，可得∠B＝∠FEB，可得出△FBE是等腰三角形； （2）由（1）知∠FEB＝∠B＝50°，得出∠FEC＝130°，由角平分线定义得出∠HEC＝65°，最后根据平行线的性质可得结论． 【解答】（1）证明：∵FD平分∠AFE， ∴∠AFD＝∠DFE； ∵FD∥BC， ∴∠AFD＝∠B，∠DFE＝∠FEB， ∴∠B＝∠FEB， ∴△FBE是等腰三角形； （2）解：由条件可知∠FEB＝∠B＝50°， ∴∠FEC＝180°﹣∠FEB＝130°， 由角平分线定义可知， ∵FD∥BC， ∴∠FHE＝∠HEC＝65°． 【点评】本题主要考查角平分线的定义，平行线的性质以及等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握以上知识点是关键． 【作业 8】（2025秋•北京校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝α，D是AB反向延长线上的动点，过D作线段DE∥AC，使得DE＝DB，且点E与点C位于直线AB的两侧，连接CE．过D作DF∥BC交CE于点F． （1）判断∠BDF和∠EDF的大小关系，并证明； （2）连接AF，直接写出∠DAF的度数（用α表示），并证明． 【分析】（1）由等腰三角形的性质得∠ACB＝∠B＝α，即得∠CAD＝∠B+∠ACB＝2α，又由平行线的性质得∠EDB＝∠CAD＝2α，∠BDF＝∠B＝α，即得到∠BDF＝∠EDF＝α，即可求证； （2）连接BE、BF，延长DF交BE于点G，由等腰三角形的性质得DG⊥BE，BG＝EG，进而得到BC⊥EB，EF＝CF，即得，即得到△ABF≌△ACF（SSS），再根据全等三角形及等腰三角形的性质、三角形外角性质可得∠AFC＝∠BEF，即得AF∥BE，得到∠DFA＝∠DGB＝90°，即可求证． 【解答】解：（1）∠BDF＝∠EDF，证明如下： ∵AB＝AC，∠B＝α， ∴∠ACB＝∠B＝α， ∴∠CAD＝∠B+∠ACB＝2α， ∵DE∥AC， ∴∠EDB＝∠CAD＝2α（两直线平行，内错角相等）， 又∵DF∥BC， ∴∠BDF＝∠CBD＝α（两直线平行，内错角相等）， ∴∠EDF＝∠EDB﹣∠BDF＝2α﹣α＝α， ∴∠BDF＝∠EDF； （2）∠DAF＝90°﹣α，证明如下： 如图，连接BE、BF，延长DF交BE于点G， ∵DE＝DB，∠BDF＝∠EDF， ∴DG⊥BE，BG＝EG， ∴∠DGB＝90°， ∵DF∥BC， ∴BC⊥EB，， ∴∠EBC＝90°，EF＝CF， ∴， ∵AB＝AC，AF＝AF， ∴△ABF≌△ACF（SSS）， ∴∠AFB＝∠AFC（全等三角形对应角相等）， ∵EF＝BF， ∴∠BEF＝∠EBF（等边对等角）， ∵∠BFC＝∠AFB+∠AFC＝2∠AFC，∠BFC＝∠BEF+∠EBF＝2∠BEF， ∴∠AFC＝∠BEF， ∴AF∥BE（同位角相等，两直线平行）， ∴∠DFA＝∠DGB＝90°， ∴∠DAF＝90°﹣∠ADF＝90°﹣α． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【作业 9】（2024•濠江区一模）如图，点C为∠AOB平分线上一点，CD∥OB交OA于点D．求证：△DOC是等腰三角形． 【分析】根据平行线的性质、角平分线的性质证明∠AOC＝∠DCO，由等腰三角形的判定即可求解． 【解答】证明：∵OC平分∠AOB， ∴∠AOC＝∠BOC． ∵CD∥OB， ∴∠DCO＝∠BOC， ∴∠AOC＝∠DCO， ∴OD＝CD， ∴△DOC是等腰三角形． 【点评】此题主要考查等腰三角形的判定，平行线的性质，解题的关键是正确推理． 【作业 10】（2025秋•铁东区期末）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，过点D作DE∥BC交AB于点E． （1）求证：BE＝DE； （2）若∠A＝75°，∠C＝36°，求∠BDE的度数． 【分析】（1）根据BD平分∠ABC，可得∠CBD＝∠EBD，再由DE∥BC，可得∠CBD＝∠EDB，从而得到∠EBD＝∠EDB，再根据等腰三角形的判定可得出结论； （2）先根据三角形内角和定理得∠ABC＝69°，再由BD平分∠ABC，DE∥BC即可得出∠BDE的度数． 【解答】（1）证明：∵BD平分∠ABC， ∴， ∵DE∥BC， ∴∠CBD＝∠EDB， ∴∠EBD＝∠EDB， ∴BE＝DE； （2）解：在△ABC中，∠A＝75°，∠C＝36° ∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣75°﹣36°＝69°， ∵BD平分∠ABC， ∴， ∵DE∥BC， ∴∠BDE＝∠CBD＝34.5°． 【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定，平行线的性质是解题的关键． 【作业 11】（2025秋•安徽期末）已知，如图1：△ABC中，∠B、∠C的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB、AC于E、F． （1）直接写出图1中所有的等腰三角形．指出EF与BE、CF间有怎样的数量关系？ （2）在（1）的条件下，若AB＝15，AC＝10，求△AEF的周长； （3）如图2，若△ABC中，∠B的平分线与三角形外角∠ACG的平分线CO交于点O，过O点作OE∥BC交AB于点E，交AC于点F，请问（1）中EF与BE、CF间的关系还是否存在，若存在，说明理由；若不存在，写出三者新的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）利用角平分线和平行线的即可得出结论； （2）利用（1）的结论即可得出结论； （3）利用角平分线和平行线推出OE＝BE，OF＝CF，再推出EF与BE、CF间的关系即可． 【解答】解：（1）∵BO是∠ABC的平分线，CO是∠ACB的平分线， ∴∠EBO＝∠CBO，∠FCO＝∠BCO（角平分线的定义）， ∵EF∥BC， ∴∠CBO＝∠BOE，∠BCO＝∠FOC（两直线平行，内错角相等）， ∴∠EBO＝∠EOB，∠FCO＝∠FOC ∴BE＝OE，OF＝CF（等角对等边）， ∴△BEO、△CFO是等腰三角形， ∴EF＝OE+OF＝BE+CF； （2）∵由（1）知，EF＝BE+CF， 又∵AB＝15，AC＝10， ∴C△AEF＝AE+AF+EF＝AE+AF+BE+CF＝AB+AC＝15+10＝25； （3）（1）中结论不成立，新结论为：EF＝BE﹣CF，理由： ∵BO是∠ABC的平分线，CO是∠ACG的平分线， ∴∠ABO＝∠CBO，∠FCO＝∠GCO， ∵EF∥BC， ∴∠CBO＝∠EOB，∠EOC＝∠GCO（两直线平行，内错角相等）， ∴∠ABO＝∠EOB，∠EOC＝∠FCO， ∴OE＝BE，OF＝CF（等角对等边）， ∴EF＝OE﹣OF＝BE﹣CF． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握各个知识点是解题的关键． 【作业 12】（2025秋•青岛校级期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，AC＝20cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q开始从点B沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒． （1）BP＝　（16﹣t）cm ；BQ＝　2tcm （用t的代数式表示）； （2）当点Q在边BC上运动时，出发几秒后，△PQB是等腰三角形？ （3）点Q在边CA上运动，连接BQ，出发几秒后，能使△BCQ形成以CQ为腰的等腰三角形？ 【分析】（1）根据动点问题的速度乘以时间得到AP＝tcm，BQ＝2tcm，由此得到BP； （2）当满足BP＝BQ时，解一元一次方程即可； （3）分两种情况进行讨论，即CQ＝BQ或CQ＝CB，分别求出CQ的长，再求出t的值． 【解答】解：（1）由题意得AP＝tcm，BQ＝2tcm， ∵AB＝16cm， ∴BP＝AB﹣AP＝（16﹣t）cm， 故答案为：（16﹣t）cm，2tcm； （2）∵BQ＝2tcm，BP＝（16﹣t）cm， ∴16﹣t＝2t， 解得， ∴当时，△PQB是等腰三角形； （3）依题意，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形，即CQ＝BQ或CQ＝CB， ∵AB＝16cm，BC＝12cm，AC＝20cm， ①当CQ＝BQ时，∠C＝∠CBQ， ∵∠C+∠A＝∠CBQ+∠ABQ＝90°， ∴∠A＝∠ABQ， ∴AQ＝BQ， ∴， ∴t＝（12+10）÷2＝11（秒）； ②当CQ＝CB时，CQ+CB＝24cm， ∴t＝24÷2＝12（秒）； 综上，当点Q在边CA上运动，出发11或12秒后，△BCQ是以CQ为腰的等腰三角形． 【点评】此题考查了等腰三角形的性质和判定，动点问题，分类讨论思想是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $