第一次阶段检测试卷2026-2027学年九年级数学上学期（人教版）

2026-2027学年七年级数学上学期第一次月考试卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材人教版九年级上册第25~26章。 一、单选题（共12小题，满分36分，每小题3分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定,把答案用2B铅笔填涂在答题卡相应的位置.） 1．一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 2．关于的方程有两个实数根，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3．下列方程中一定是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 4．把方程化为的形式，则的值是（     ） A． B． C． D． 5．某银行经过最近的两次降息，使一年期存款的年利率由降低至，设平均每次降息的百分率为x，则x满足方程（     ） A． B． C． D． 6．已知三角形两边长分别是和，第三边长是方程的根，则这个三角形的周长是（     ） A． B． C．或 D．或 7．将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线是（     ） A． B． C． D． 8．已知二次函数中与的部分对应值如下表，下列判断正确的是（     ） … 0 1 2 … … 1 3 1 … A．抛物线开口向上 B．抛物线与轴交于负半轴 C．当时，随的增大而减小 D．方程的正根在3与4之间 9．在平面直角坐标系中，二次函数的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 10．已知，，在函数的图象上，则，，的大小关系是（  　  ） A． B． C． D． 11．如图是二次函数的图象，对称轴是直线，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 12．如图所示是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③；④一元二次方程没有实数根．⑤其中正确的结论个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分，请把正确的答案填写在答题卡相应的位置。） 13．已知方程的一个根为，则的值为__________． 14．已知方程的两根为，，则__________，__________． 15．若关于x的一元二次方程的一个根是，则另一个根是___________． 16．二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且图象经过点．下列说法： ①； ②； ③若，是抛物线上的两点，则； ④； ⑤（其中）． 其中正确的结论是__________． 17．已知二次函数满足条件：①有最小值；②它的图象经过点，写出一个满足上述所有条件的二次函数的解析式____________________． 18．点都在函数的图象上，则的大小关系为___________． 三、解答题（本大题共8个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 19．解方程： (1)； (2)； (3)． 20．要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式，计划安排15场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？ 21．如图，在一面墙（墙的长度不限）边，怎样用长的篱笆围成一个面积为的矩形菜园？ 22．已知方程的两个根为，，求下列式子的值： (1)； (2) 23．要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心，水管的长应为多少？ 24．已知抛物线的顶点为P，与x轴相交于点和点，与y轴相交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)写出抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴； (3)计算的面积． 25．乒乓球作为中国的国球，是一项深受大众喜爱的体育运动，小聪和小明打球时发现乒乓球运动路线近似看成抛物线的一部分，爱思考的他俩建立如图所示的平面直角坐标系，小聪第一次发球时，乒乓球从抛出到第一次落在球桌的过程中，乒乓球的竖直高度y（单位：）与水平距离x（单位：）近似满足函数关系式． 乒乓球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离 0 40 80 120 160 竖直高度 20 35 40 35 20 (1)根据上述数据，直接写出小聪第一次发球时乒乓球竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系； (2)小聪第一次发球后乒乓球第一次落在球桌时恰好在球桌边缘，第二次他发球时，乒乓球的竖直高度y（单位：）与水平距离x（单位：）近似满足函数关系式，请你判断小聪第二次发球时，乒乓球是否落在球桌内： （填“是”，“否”）． 26．如图1，抛物线交轴于点和点，交轴于点，且． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线上方抛物线上一动点，连接和，交于点，交轴于点，若是以为底的等腰三角形，求点的坐标； (3)如图2所示，若点是抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，请问在轴上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D C A D A B C C A 题号 11 12 答案 C C 1．B 【分析】计算一元二次方程根的判别式，即可求解． 【详解】解：在中，，，， ， 所以方程有两个不相等的实数根． 2．D 【分析】根据一元二次方程根的情况，列出不等式计算即可． 【详解】解：∵ 关于的方程有两个实数根， ∴ ，即， 解得． 3．C 【分析】一元二次方程是指只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、方程含有x，y两个未知数，故不是一元二次方程； B、方程未知数最高次数为3，故不是一元二次方程； C、方程是一元二次方程； D、方程中分母含未知数，故不是一元二次方程． 4．A 【分析】通过配方法将二次方程化为，从而确定和的值，然后求出的值即可． 【详解】解：∵， 配方得，即， ∴， ∵方程化为的形式， ∴，， ∴． 5．D 【分析】设平均每次降息的百分率为x，根据经过最近的两次降息，使一年期存款的年利率由降低至列方程即可． 【详解】解：设平均每次降息的百分率为x，经过一次降息是，经过两次降息，是， ∴可得：． 6．A 【分析】先求出一元二次方程的根，再结合第三边需满足三角形三边关系，对根进行筛选后计算周长即可． 【详解】解：， ， 则或， 解得，； 当第三边长为时，三边长为， 由，可知不符合构成三角形的三边关系， 不能构成三角形，即此种情况不存在； 当第三边长为时，三边长为，符合构成三角形的三边关系， 此时三角形周长为． 7．B 【分析】根据抛物线的平移规律：左加右减，上加下减，即可得解． 【详解】解：由题意得， 平移后的抛物线为． 8．C 【分析】根据题意和表格中的数据可以得到该函数的对称轴、开口方向，从而可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：由图表可得，当时，随的增大而增大， ∴抛物线开口向下，故选项A错误，不合题意； 当时，，即抛物线与轴的交点为， 即抛物线与轴交于正半轴，故选项B错误，不合题意； ∵该函数图象开口向下，对称轴为， ∴当时，随的增大而减小，选项C正确，符合题意； 根据二次函数图象的对称性质可知，当时，， 可知方程的正根在2与3之间，故选项D错误，不符合题意． 9．C 【分析】利用顶点的公式首先求得横坐标，然后把横坐标的值代入解析式求得纵坐标即可． 【详解】解：顶点的横坐标， 把代入得：， ∴顶点坐标是． 10．A 【分析】确定二次函数的开口方向与对称轴，比较各点到对称轴的距离判断函数值大小． 【详解】解：函数的图象开口向下，对称轴为直线， 点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为， ∵， ∴． 11．C 【分析】根据二次函数图象判定，的符号，利用对称轴公式确定，关系，结合特殊点坐标判断代数式符号． 【详解】解：∵抛物线开口向下， 又∵抛物线与 轴交于正半轴 ， ∴， ∵对称轴为直线， ∴，故选项正确； ∵， ∴， ∴，故选项错误； ∵抛物线与 轴有两个交点， ∴，故选项错误 ； 由图象可知，当 时，， ∴，故选项错误； 故选． 12．C 【分析】图象开口方向判断出，由对称轴得出，抛物线与y轴的交点判断，抛物线与轴交点的个数确定，再结合抛物线的部分图象和其顶点，且与轴的一个交点在点和之间，进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：由抛物线开口向下可知， 对称轴为直线， ，即， 抛物线与轴交点在轴上方， ， ，故①错误； 抛物线与轴的一个交点在和之间，对称轴为， 抛物线与轴的另一个交点在和之间， 当时，， 即， ， ， 即，故②正确； 顶点坐标为， ， ， ，故③正确； 抛物线开口向下，顶点纵坐标为， 函数最大值为， ， 抛物线与直线无交点， 方程无实数根，故④正确； 当时，取最大值， 对于任意实数，都有， ， 即， 当时，，故⑤错误； 综上所述，正确的结论有②③④，共3个． 13． 【分析】将已知根代入原方程，即可得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：∵ 是方程的根， ∴ 将代入原方程得 计算整理得 解得． 14． 【分析】利用根与系数的关系先求出两根之和与两根之积，再通过完全平方公式变形计算得到所求结果． 【详解】解：方程为，对应得，，， ∴， ， ∵， ∴代入计算得． 15． 【分析】设方程另一个根为，利用一元二次方程根与系数的关系中两根之积的公式，直接代入已知根求解即可，即对于一元二次方程，两根满足． 【详解】解：设一元二次方程的另一个根为，一元二次方程中，可得，，已知一个根为， ∴， 解得， 所以方程的另一个根为． 16．①②⑤ 【分析】根据抛物线开口方向、对称轴位置、与y轴交点位置判断a，b，c的符号以及关系，利用对称性求出抛物线与x轴另一交点坐标，进而判断代数式符号；利用二次函数性质比较函数值大小及最值问题． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线对称轴为直线，， ∴， ∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线经过，抛物线对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另外一个交点为， ∴，故④错误； 把代入得：， ∴，故②正确， ∵，抛物线开口向下， ∴到对称轴的距离小于到对称轴的距离， ∴，故③错误； ∵抛物线开口向下，对称轴是直线， ∴当时，抛物线y取得最大值， 当时，，且， ∴，故⑤正确； 综上：①②⑤正确． 17．（答案不唯一） 【分析】该题考查了二次函数的图像和性质，二次函数解析式求解，由二次函数有最小值可知开口向上，即二次项系数；由图象经过点可知常数项． 【详解】解：设二次函数解析式为． ∵二次函数有最小值， ∴． ∵图象经过点， ∴当时，，即． 取，，则解析式为． 故答案为：（答案不唯一）． 18． 【分析】通过计算各点对应的函数值，直接比较大小即可． 【详解】解：当时， ， 当时， ， 当时， ， 比较得：，即． 19．(1) ， (2) ， (3) 原方程无实数根 【详解】（1）解： ，， ∴原方程的根为，； （2）解： 或 解得或, ∴原方程的根为，； （3）解： ，， 因此原方程无实数根． 20． 应邀请6支球队参加比赛. 【详解】解：设邀请支球队参加比赛， 依题意得， ， 或(不合题意，舍去)． 答：应邀请6支球队参加比赛． 21．与墙垂直的篱笆长为，则与墙平行的篱笆长为，或与墙垂直的篱笆长为，与墙平行的篱笆长为． 【分析】设与墙垂直的篱笆长为，则与墙平行的篱笆长为，根据矩形的面积公式即可列方程进行求解． 【详解】解：设与墙垂直的篱笆长为，与墙平行的篱笆长为， 根据题意列方程得， 解得或， 当时，； 当时，； 答：与墙垂直的篱笆长为，则与墙平行的篱笆长为，或与墙垂直的篱笆长为，与墙平行的篱笆长为． 22．(1) (2) 【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系求出与的值，再将所求代数式变形为含，的形式，代入数值计算即可． 【详解】（1）解：∵方程的两个根为，， ∴， 由根与系数的关系得：， ∴； （2）解：结合（1），可得． 23． 水管的长应为 【分析】建立平面直角坐标系，根据抛物线顶点坐标设顶点式解析式，代入落地点坐标求出系数，计算时的函数值即为水管长度． 【详解】解：以池中心为原点，水平向右为轴正方向，竖直向上为轴正方向建立平面直角坐标系 由题意得，抛物线的顶点坐标为，且过点 设抛物线的解析式为（） 将代入解析式，得 解得 ∴抛物线的解析式为（） 当时， 答：水管的长应为． 24．(1) (2)开口向上，顶点坐标， 对称轴为直线 (3)27 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）将抛物线解析式化为顶点式即可得解； （3）利用三角形面积公式计算即可得解． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为P，与x轴相交于点和点，与y轴相交于点， ∴ ， 解得： ， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵，， ∴抛物线开口向上，顶点坐标，对称轴为直线， （3）解：∵抛物线的顶点为P，与x轴相交于点和点， ∴，， ∴的面积． 25．(1)40， (2)是 【分析】（1）依据题意，由抛物线经过点和，故抛物线的对称轴为直线，由表可知当时，小聪第一次发球时乒乓球竖直高度即为最大值，则可设抛物线为，然后代入，求出a，进而可以得解； （2）根据第一次落在球桌时恰好在球桌边缘，令，求得水平距离；然后令，求得第二次的水平距离，两次比较即可得结论． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点和， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴当时，小聪第一次发球时乒乓球竖直高度为最大值，最大值为40； ∴设抛物线为， ∵抛物线经过， ∴ 解得， ∴函数关系式为； （2）解：由题意得，令 解得，（舍去）， 由题意得，令 解得，（舍去）， ∵， ∴小聪第二次发球时，乒乓球是落在球桌内． 26．(1)抛物线的表达式为 (2) (3)符合条件的点有三个，坐标为：，， 【分析】（1）先推导出，再根据待定系数法进行求解即可； （2）先求出，即，根据三角形的内角和求出，推导出，得到，可推导出是等腰直角三角形，求出，继而求出直线解析式是，联立直线与抛物线，求出点D的横坐标，再求出，即可解答； （3）分类讨论：当为对角线和菱形边时，利用直线与x轴成角关系建立关于P的横坐标的方程，进而求出点的坐标． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， ∴， 将，分别代入，得 ， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：当时， ， 解得， ∴，即， ∵，， ∴， ∵是以为底的等腰三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， 设直线解析式是，把，分别代入，得 ， ∴， ∴直线解析式是， 联立直线与抛物线：，得 ， 解得（点B，舍去），， 将代入，得 ， ∴； （3）解：设直线解析式是， 把，代入，得 ， ∴， ∴直线解析式是． ①当为菱形的对角线时，如图2， 设，则， ∴， ，四边形是菱形， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴，即轴， ∴， ， 解得（不合题意舍去）或， 此时， ． ②当为菱形的边时，如图， 作于点H，   设，则， ∴，， ， ∴． ∴ 解得：，，（不合题意舍去）． 或． ∴，， 如图所示， 综上所述，符合条件的点有三个，坐标为：，，． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $