第一次月考 易错题汇总（易错点清单+典型题+分层变式）-2026-2027学年人教版九年级上册数学

九年级上册 第二十五章 一元二次方程～第二十六章 二次函数 易错题汇总 第一次月考 易错题汇总（易错点清单+典型题+分层变式） 人教版数学九年级上册　第二十五章 一元二次方程　第二十六章 二次函数 （建议用时：100分钟　测试范围：第二十五章 一元二次方程～第二十六章 二次函数） 学校：__________　姓名：__________　班级：__________　考号：__________ 注意事项： 1．先读易错点清单，再看每簇的典型易错题：做完后对照解析里的“错解—错因—正解”，看自己是否也会这样错。 2．变式练按基础、中档、难排列，做完后对照答案，把做错的题归到对应的易错点上。 3．解方程要写出降次或化一般形式的过程；含参数、有实际意义的题，求出结果后要检验并写出取舍的理由。 内容速览　六个易错簇 共 48 题（典型易错题 6 道；变式练 42 道：选择 19 · 填空 17 · 解答 6） 解析版 26 页，含易错点清单 23 条、典型易错题（错解＋错因＋正解＋点评）、分层变式练（基础→中档→难）、避坑口诀、每题详解与易错提醒；配图与表格 7 幅 　易错点清单（第二十五章 一元二次方程） 1．一元二次方程的二次项系数不能为0，由定义或根求出参数后要检验 2．题目只说“方程”时要考虑二次项系数为0的一次方程情形 3．“有两个实数根”隐含方程是一元二次方程，参数要同时满足a≠0与Δ≥0 4．用根与系数的关系求出参数后，要代回检验Δ≥0 5．方程两边不能同除以含未知数的式子，否则可能丢根 6．配方时方程两边都要加上一次项系数一半的平方 7．因式分解法要求方程右边为0，右边不是0时要先移项整理 8．直接开平方时要取正、负两个平方根 9．用公式法或判别式之前，先把方程化成一般形式，a，b，c连同符号一起读 10．由方程的根作三角形的边，要检验三边关系 11．增长率问题分清“某月的量”与“几个月的总量” 12．按实际意义检验方程的根：降低率小于1，长度不超过边长，人数、件数取正整数 　易错点清单（第二十六章 二次函数） 1．对称轴是直线x＝，负号与分母里的2都不能漏 2．配方时提出二次项系数后，加减的常数要乘这个系数 3．平移只改变顶点：左加右减只作用在x上，上加下减作用在整个式子上 4．比较函数值要看点到对称轴的距离与开口方向，不能只看横坐标的大小 5．由图象判断系数符号：开口定a，对称轴位置定b（左同右异），与y轴交点定c 6．求给定范围内的最值，先看顶点是否在范围内，再与端点处的函数值比较 7．含参数的最值问题，按对称轴在范围左侧、内部、右侧分类讨论并检验 8．“函数”的图象与x轴只有一个公共点时，要考虑它是一次函数的情形 9．由图象读y＞0或y＜0时x的范围，看图象在x轴上方或下方的部分 10．抛物线与x轴两个公共点的位置有附加条件时，还要用两根的和与积限制 11．实际问题中自变量要满足实际意义：整数、上下限、非负 　易错簇01　隐含条件：二次项系数与判别式（典型易错题） 1．【典型易错题】对于关于x的方程(m+3)＋2x＋5＝0，当常数m取何值时它是一元二次方程？求出m的值，并写出此时方程的二次项系数、一次项系数和常数项。 　易错簇01　隐含条件：二次项系数与判别式（变式练） 2．把－1代入关于x的一元二次方程(k－2)＋(k+1)x＋＋k－3＝0后左右两边相等，据此求得的常数k是(____)。 A．－3或2 B．－3 C．－4或1 D．－1 3．关于x的方程＋6x－3＝0有两个实数根（两根可以相等），常数a能取的所有值组成的范围是________。 4．关于x的方程(k－1)＋4x＋2＝0有实数根，在0，1，2，…，9这十个整数中，k可以取的数共有(____)个。 A．3 B．2 C．10 D．4 5．对于以x为未知数的一元二次方程＋mx＋2m－3＝0，它的两个实数根的平方和等于11，由此可得常数m＝________。 6．k为整数，以x为未知数的一元二次方程(k+1)－2x＋1＝0有实数根，在所有符合条件的k中，最大的一个是________。 7．在数轴上表示方程＋－4)x＋k－1＝0（x为未知数，k为常数）的两个实数根，发现这两个点分别在原点两侧，并且到原点的距离相等，则k的值是(____)。 A．－2 B．－2或2 C．2 D．1 8．已知关于x的方程(m－2)－2(m－1)x＋m＋1＝0，其中m为常数，请解答下面两个问题。 (1)若这个方程有实数根，求m的取值范围； (2)当这个方程是一元二次方程且x＝－1满足方程时，求m，并用根与系数的关系求出方程的另一个根。 易错簇01　隐含条件：二次项系数与判别式　避坑口诀 口诀：二次系数不为零，根的检验靠判别式。本簇错因速查见下表。 易错点 典型错误 正确做法 由定义或根求参数 求出两个值就直接作答 回到二次项系数上检验，使它为0的值舍去 只说“方程有实数根” 直接列Δ≥0 先讨论二次项系数为0的一次方程情形 由两根的和、积求参数 解出参数就作答 代回检验Δ≥0（两根不等时Δ＞0） 　易错簇02　解方程的运算规范（典型易错题） 9．【典型易错题】方程4x(x－3)＝5(x－3)的两边含有相同的因式，用因式分解法求出这个方程的所有实数根。 　易错簇02　解方程的运算规范（变式练） 10．把方程－8x－5＝0先移项，再在两边加上同一个数，使左边成为完全平方式，得到＝n的形式，那么n＝(____)。 A．5 B．11 C．21 D．69 11．先把方程－1＝4x整理成一般形式，再用求根公式求出它的两个实数根，结果是________。 12．方程(x－3)(x+2)＝6的左边是两个一次式的积，右边是6，这个方程的实数根是(____)。 A．4或9 B．－2或3 C．－3或4 D．－4或3 13．两个式子3x＋1与x－5的平方相等，即＝，由此求出的x的所有值是________。 14．为弄清方程x(2x－3)＝4x－7有没有实数根，先计算它的根的判别式，Δ的值为(____)。 A．－7 B．9 C．105 D．－55 15．三角形的两边长分别为4和7，第三边的长是方程－16x＋55＝0的一个根，则这个三角形的周长为________。 16．下面三个方程结构各不相同，分别根据平方根的意义降次、用因式分解法、用公式法求解，写出主要步骤： (1)＝； (2)(x－1)(x+3)＝12； (3)－6x－2＝0。 易错簇02　解方程的运算规范　避坑口诀 口诀：同除未知先三思，移项分解保全根。本簇错因速查见下表。 易错点 典型错误 正确做法 两边含有相同因式 两边同除以这个因式 移项后提公因式，保留全部的根 右边不为0就分解 令每个因式等于右边的数 先整理成右边为0的一般形式 开平方降次 只写正的平方根 写成A＝B或A＝－B两种情况 　易错簇03　实际问题列方程与检验（典型易错题） 17．【典型易错题】某社区图书室统计借阅情况（见下表）：一月份借出图书2000册，第一季度（一、二、三月）共借出图书7280册。如果二月份、三月份借出图书数量的月平均增长率相同，求这个增长率。 月份 一月 二月 三月 第一季度合计 借出图书/册 2000 ？ ？ 7280 　易错簇03　实际问题列方程与检验（变式练） 18．一款降噪耳机上市时标价2000元，商家先后两次下调售价，每次都在上一次售价的基础上按同一百分率降低，两次后售价为980元，这个百分率是(____)。 A．30%或170% B．30% C．25.5% D．51% 19．学校制作一块矩形宣传展板，展板的长比宽多0.5 m，面积为3 m²，则展板的宽为________m。 20．一家水果店销售车厘子礼盒，每盒盈利50元，每天能卖出30盒。店主打算让利促销以加快周转，试销发现：售价每降低1元，日销量增加3盒。若店主希望每天从这种礼盒获利2400元，同时尽可能让利给顾客，则每盒应让利(____)元。 A．10或30 B．10 C．20 D．30 21．一个两位数，十位上的数字比个位上的数字小3，把这两个数字相乘，所得的积比这个两位数小18，则这个两位数是________。 22．某小区2024年底的绿化面积为6400 m²，计划到2026年底绿化面积达到8100 m²（见下表）。若这两年绿化面积平均每年增加的百分率相同，则2025年底该小区的绿化面积应为________m²。 时间 2024年底 2025年底 2026年底 绿化面积/m² 6400 ？ 8100 23．如图，一个长8 m、宽5 m的矩形水池四周铺了一圈宽度相同的防滑地砖，铺地砖部分的面积为48 m²，则地砖铺设的宽度为(____)m。 A．1.5 B． C．－8或1.5 D．3 24．社区烘焙坊销售一种手工面包，每个成本8元。定价12元时每天能卖出90个；在此基础上单价每上调0.5元，每天就少卖6个。设每个面包定价x元（x≥12）。 (1)市场监管部门规定每个面包的售价不得高于14元，若烘焙坊希望每天从这种面包获利390元，定价应为多少元？ (2)这种面包每天的获利能否达到420元？请通过计算回答。 易错簇03　实际问题列方程与检验　避坑口诀 口诀：总量单量分清楚，求出根来验意义。本簇错因速查见下表。 易错点 典型错误 正确做法 增长率与总量 把几个月的总和当成某一个月的量 逐月写出表达式再相加 两次降低同一百分率 列成a(1－2x)＝b 列成a(1－x)²＝b，并舍去大于1的根 根的取舍 两个根都保留 按实际意义与附加条件逐一检验 　易错簇04　图象与性质（典型易错题） 25．【典型易错题】在平面直角坐标系中，先将抛物线y＝－8x＋5整体向左平移3个单位长度，然后把得到的图象整体向上平移2个单位长度，求最终图象对应的二次函数解析式。 　易错簇04　图象与性质（变式练） 26．二次函数y＝＋16x－3的图象上，横坐标为h＋1与h－1的两个点的纵坐标总相等，h的值是(____)。 A．－2 B．4 C．－4 D．2 27．把二次函数y＝＋12x＋13配方写成顶点式，由此读出抛物线的顶点坐标为________。 28．抛物线y＝－8x＋3上有两点A（m，y1），B（m＋1，y2），它们的横坐标相差1。如果点A的纵坐标比点B的大，即y1＞y2，那么m的取值范围是(____)。 A．m≤3 B．m＜ C．m＞ D．m＜ 29．将抛物线y＝＋bx＋c的顶点沿水平方向右移2个单位长度、沿竖直方向下移3个单位长度，形状和开口方向不变，所得抛物线为y＝－6x＋7，则原抛物线的解析式为________，a＋b＋c＝________。 30．抛物线y＝＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，图中虚线x＝1把抛物线分成左右对称的两部分，抛物线与x轴的一个公共点为（－2，0）。下面关于系数a，b，c的四个结论中，正确的是(____)。 A．b＜0 B．－4ac＜0 C．2a＋b＝0 D．a－b＋c＜0 31．若抛物线y＝－2mx＋＋m－3的顶点在第四象限，则m的取值范围是(____)。 A．0＜m＜3 B．m＜0 C．m＞3 D．m＜3 32．一条形如y＝＋bx＋c的抛物线同时经过（－2，7）与（1，－2）两点。 (1)把两点坐标代入，求b，c及顶点； (2)这条抛物线沿x轴向左移动m（m＞0）个单位长度后，新抛物线恰好过坐标原点，求m； (3)在(2)的条件下，新抛物线上的点的横坐标在什么范围内时，纵坐标随横坐标的增大而减小？ 易错簇04　图象与性质　避坑口诀 口诀：左加右减只动x，配方系数要乘齐。本簇错因速查见下表。 易错点 典型错误 正确做法 对称轴公式 写成或 牢记x＝，a连同符号代入 平移 向左平移就在括号里减 左加右减只作用在x上，按新顶点写顶点式 由图象判断系数 对称轴在右侧就说b＜0 左同右异：对称轴在y轴右侧时a，b异号 　易错簇05　最值与取值范围（典型易错题） 33．【典型易错题】如图是二次函数y＝－8x＋10的图象，只截取自变量满足0≤x≤3的那一段，这一段图象上的点的纵坐标最小是多少？最大是多少？ 　易错簇05　最值与取值范围（变式练） 34．求二次函数y＝＋20x＋1的最小值时，需要先配方找出顶点，这个最小值是(____)。 A．－3 B．61 C．－19 D．1 35．在－1≤x≤3这一段上，抛物线y＝＋4x＋1的最高点与最低点的纵坐标分别是________和________。 36．x的值被限定在1到3之间（含1和3），求二次函数y＝－4x＋2在这一范围内的最大值，结果是(____)。 A．6 B．－19 C．2 D．－3 37．二次函数y＝－2x＋3在0≤x≤m上的最大值恰好是3，最小值恰好是2，那么m可以取的值组成的范围是________。 38．抛物线y＝＋2x＋c（c为常数），当自变量x满足－5≤x≤1时，图象上最高点比最低点高________。 39．对于二次函数y＝－2ax＋5，若只考虑自变量2≤x≤4的部分，图象最低点的纵坐标是－4，那么常数a的值是(____)。 A．－3或3 B．3 C． D． 40．抛物线y＝＋6x－4只画出其中一段时，最高点和最低点会随所画的范围改变，按下面的要求解答： (1)当自变量满足－1≤x≤1时，这个二次函数的函数值y在什么范围内变化？写出y的最大值与最小值； (2)将这条抛物线整体向左平移，平移的距离记为m（m＞0），使平移后的图象在0≤x≤2这一段上的最高点纵坐标恰好为4，求m的值。 易错簇05　最值与取值范围　避坑口诀 口诀：最值先看顶点在不在，不在就比两端点。本簇错因速查见下表。 易错点 典型错误 正确做法 给定范围的最值 直接取顶点纵坐标 先看顶点是否在范围内 端点比较 默认右端点处最大 比较两个端点到对称轴的距离 含参数的最值 求出参数不检验 按对称轴位置分类，结果回到前提检验 　易错簇06　与方程的联系及实际应用（典型易错题） 41．【典型易错题】某手工坊开设陶艺体验课，每期报名人数为x人（x为整数，10≤x≤40），每人收费y元，y与x之间满足y＝200－3x。每期报名多少人时，手工坊每期的收入最多？最多是多少元？ 　易错簇06　与方程的联系及实际应用（变式练） 42．函数y＝(m－1)＋2x＋1（m为常数）的图象与x轴恰好只有一个公共点，满足条件的m的所有值为(____)。 A．2 B．0 C．0或1 D．1或2 43．如图，抛物线y＝－x＋4与x轴有两个公共点，图中已标出A，B两点。根据图象，写出使y＞0成立的x的取值范围：________。 44．抛物线y＝－4x＋k与x轴的两个公共点A，B都落在x轴的正半轴上（A，B不重合），则k的取值范围是(____)。 A．0＜k＜4 B．k＜4 C．k＞4 D．0＜k≤4 45．如图，在体育测试中，某同学投掷实心球，球出手后的高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是y＝＋＋2，则实心球落地点到出手点的水平距离是________m。 46．把直线y＝2x＋b向上或向下平移，使它与抛物线y＝－4x＋6只剩下一个公共点，此时常数b＝________。 47．直线y＝k与抛物线y＝－2x－4在－1≤x≤4的部分（包括两个端点）恰好有两个公共点，则k的取值范围是(____)。 A．－5＜k≤4 B．－5＜k≤－1 C．k＞－5 D．－5≤k≤－1 48．二次函数y＝－(n+3)x＋3n中含有常数n，n取不同的值时得到不同的抛物线。 (1)计算方程－(n+3)x＋3n＝0的根的判别式，并据此写出抛物线与x轴公共点的个数随n变化的情况； (2)记两个公共点为A，B，已知AB＝6，求n； (3)当n取(2)中较大的值时，求4≤x≤9时y的取值范围。 易错簇06　与方程的联系及实际应用　避坑口诀 口诀：函数不一定是二次，实际范围定取舍。本簇错因速查见下表。 易错点 典型错误 正确做法 “函数”与x轴的公共点 只用Δ＝0 二次项系数为0的一次函数情形单独讨论 公共点的位置 只用Δ＞0 再用两根之和、两根之积限定位置 实际问题的最值 直接取顶点 按自变量的实际范围（整数、上下限）取值 　参考答案与解析 　客观题答案速查 题号 2 3 4 5 6 7 10 答案 B a≥－3且a≠0 D －1 0 A C 题号 12 13 14 15 18 19 答案 C x1＝－3，x2＝1 A 16 B 1.5 题号 20 21 22 23 26 27 28 答案 D 36或58 7200 A D （－3，－5） B 题号 29 30 31 34 35 36 答案 y＝－2x＋2，1 C A C 5，－4 D 题号 37 38 39 42 43 44 45 答案 1≤m≤2 16 B D －4＜x＜2 A 10 题号 46 47 答案 －3 B 　易错簇01　隐含条件：二次项系数与判别式（典型易错题） 1．【答案】m＝3；二次项系数为6，一次项系数为2，常数项为5 【解析】【分析】一元二次方程要同时满足两个条件：未知数的最高次数是2，二次项系数不等于0。 错解（错误示例）：由|m|－1＝2，得|m|＝3，所以m＝3或m＝－3。 错因：只考虑了未知数的最高次数是2，没有检验二次项系数m＋3不能等于0。 正解：由一元二次方程的定义，得|m|－1＝2，且m＋3≠0。 由|m|－1＝2，得|m|＝3，m＝3或m＝－3； 由m＋3≠0，得m≠－3，所以m＝3。 检验：m＝3时，方程为＋2x＋5＝0，是一元二次方程，二次项系数为6，一次项系数为2，常数项为5。 【点评】用定义求参数，“次数”与“系数”两个条件要同时列出；求出的每个值都要回到二次项系数上检验。 　易错簇01　隐含条件：二次项系数与判别式（变式练） 2．【答案】B 【解析】【分析】把根代入方程得到关于k的方程，解出后检验二次项系数不为0。 【详解】把x＝－1代入，得(k－2)×1＋(k+1)×(－1)＋＋k－3＝0， 整理得＋k－6＝0，(k+3)(k－2)＝0，k＝－3或k＝2； k＝2时二次项系数k－2＝0，方程不是一元二次方程，舍去，所以k＝－3。 所以选B。 A项代入后解出两个值，没有检验二次项系数k－2≠0，按此错法真算得－3或2；C项把x＝1当成方程的根代入，得＋3k－4＝0，按此错法真算得－4或1；D项代入时把算成－1，得－k－2＝0，再舍去k＝2，按此错法真算得－1。 【易错提醒】代入根求出参数后，要检验二次项系数，使它等于0的值必须舍去。 3．【答案】a≥－3且a≠0 【解析】【分析】“有两个实数根”说明它是一元二次方程，既要a≠0，又要Δ≥0。 【详解】方程有两个实数根，所以它是一元二次方程，a≠0； Δ＝－4×a×(－3)＝36＋12a≥0，解得a≥－3。 综上，a≥－3且a≠0。 所以答案为a≥－3且a≠0。 【易错提醒】“两个实数根”隐含二次项系数不为0，只写a≥－3会把a＝0（此时只有一个根）也算进去。 4．【答案】D 【解析】【分析】题目只说“方程”，要分二次项系数为0与不为0两种情况讨论。 【详解】①k－1＝0，即k＝1时，方程为4x＋2＝0，有实数根x＝，k＝1符合； ②k－1≠0时，Δ＝－4×(k－1)×2＝24－8k≥0，得k≤3且k≠1。 综上k≤3，在0～9中符合的有0，1，2，3，共4个。 所以选D。 A项误把它当成一元二次方程，排除了k＝1，只剩0，2，3，按此错法真算得3；B项误当成一元二次方程，又把“有实数根”写成Δ＞0，得k＜3且k≠1，只剩0，2，按此错法真算得2；C项计算Δ时漏掉4ac中的4，由16－2(k－1)≥0得k≤9，以为0～9都符合，按此错法真算得10。 【点评】只说“方程”时先问二次项系数能否为0：能为0就单独讨论一次方程，再对一元二次方程用判别式。 【易错提醒】只说“方程有实数根”时，二次项系数可以为0，此时是一次方程，也有实数根。 5．【答案】－1 【解析】【分析】设两根为x1，x2，用根与系数的关系把x1²＋x2²写成两根的和与积，解出m后检验Δ≥0。 【详解】设两根为x1，x2，由根与系数的关系，x1＋x2＝－m，x1x2＝2m－3。 x1²＋x2²＝－2x1x2＝－2(2m－3)＝－4m＋6＝11，整理得－4m－5＝0，m＝5或m＝－1。 检验：Δ＝－4(2m－3)＝－8m＋12。m＝5时，Δ＝25－40＋12＝－3＜0，方程没有实数根，舍去； m＝－1时，Δ＝1＋8＋12＝21＞0，符合。所以m＝－1。 所以答案为－1。 【点评】两根的平方和、倒数和、差的平方等对称式，都先化成两根的和与积，再代入根与系数的关系；最后检验Δ≥0。 【易错提醒】用根与系数的关系求出的参数，必须代回检验Δ≥0，m＝5时方程没有实数根。 6．【答案】0 【解析】【分析】先由“一元二次方程”得k＋1≠0，再由“有实数根”得Δ≥0，求出k的完整范围后找最大整数。 【详解】方程是一元二次方程，k＋1≠0，即k≠－1； 有实数根，Δ＝－4(k+1)×1＝－4k≥0，得k≤0。 所以k≤0且k≠－1，其中最大的整数是0。 所以答案为0。 【点评】“最大整数”“最小整数”类问题，先写出参数的完整范围（含二次项系数不为0），再在范围内找整数。 【易错提醒】“有实数根”对应Δ≥0，等号不能丢；若写成Δ＞0会得到k＜0，再去掉－1后误得最大整数为－2。 7．【答案】A 【解析】【分析】两个点分别在原点两侧且到原点的距离相等，就是两个根互为相反数，两根之和为0；求出k后必须检验方程确有两个实数根。 【详解】两根x1，x2在数轴上对应的点在原点两侧且到原点的距离相等，所以x1＋x2＝0。 由根与系数的关系，x1＋x2＝－4)＝0，得k＝2或k＝－2。 Δ＝－4(k－1)。k＝2时，Δ＝0－4×1＝－4＜0，方程没有实数根，舍去； k＝－2时，Δ＝0－4×(－3)＝12＞0，符合。所以k＝－2。 所以选A。 B项由两根之和－4)＝0得k＝±2后，没有检验Δ＞0，按此错法真算得－2或2；C项检验时把Δ中的－4ac算成＋4(k－1)，k＝2时Δ＝4＞0，k＝－2时Δ＝－12＜0，保留了k＝2，按此错法真算得2；D项把“到原点的距离相等”误读成其中一个根是0，由两根之积k－1＝0，按此错法真算得1。 【点评】“两根互为相反数”“两根互为倒数”这类条件只给出和或积的关系，解出参数后一律回到Δ上检验。 【易错提醒】两根互为相反数只保证两根之和为0，还要Δ＞0才真有两个实数根，k＝2时方程无实数根。 8．【答案】（1）m≤3；（2）m＝，另一个根是 【解析】【分析】(1)题目只说“方程”，按二次项系数是否为0分两种情况；(2)把根代入求m，再用两根之积求另一个根。 【详解】(1)①当m－2＝0，即m＝2时，方程为－2x＋3＝0，x＝，有实数根； ②当m－2≠0时，Δ＝－4(m－2)(m+1)＝－2m+1)－－m－2)＝12－4m≥0，得m≤3且m≠2。 综合①②，m的取值范围是m≤3。　……6分 (2)把x＝－1代入，得(m－2)＋2(m－1)＋m＋1＝0，即4m－3＝0，m＝，m－2≠0，符合。 此时方程为＋＋＝0，即－2x－7＝0。 设另一个根为x2，则－1×x2＝，所以x2＝。　……6分 【点评】含参方程的完整流程：先定类型（一次还是二次），再算判别式，最后用根与系数的关系；每一步求出的参数都要满足前一步的条件。 【评分说明】(1)讨论一次方程情形2分，列判别式并解不等式3分，合并结论1分；(2)代入求m 3分，求另一个根3分。 【易错提醒】第(1)问漏掉m＝2时的一次方程情形，会把答案写成m≤3且m≠2；第(2)问求出m后要检验二次项系数。 　易错簇02　解方程的运算规范（典型易错题） 9．【答案】x1＝3，x2＝ 【解析】【分析】方程两边都含有因式(x－3)，应移项后提公因式，用因式分解法求解。 错解（错误示例）：方程两边同除以(x－3)，得4x＝5，所以x＝。 错因：x－3可能等于0，两边同除以含未知数的式子会丢掉x＝3这个根。 正解：移项，得4x(x－3)－5(x－3)＝0， 提公因式，得(x－3)(4x－5)＝0， 所以x－3＝0或4x－5＝0，x1＝3，x2＝。 【点评】方程两边不能同除以含未知数的式子；遇到两边有公因式，移到一边提公因式，才能保留全部的根。 　易错簇02　解方程的运算规范（变式练） 10．【答案】C 【解析】【分析】先把常数项移到右边，再在两边都加上一次项系数一半的平方。 【详解】移项，得－8x＝5； 两边都加上，即16，得－8x＋16＝5＋16， 即＝21，所以n＝21。 所以选C。 A项移项后只在左边加了16，右边仍是5，按此错法真算得5；B项移项时常数项没有变号，右边写成－5后再加16，按此错法真算得11；D项两边加的是一次项系数的平方64，而不是一半的平方，按此错法真算得69。 【易错提醒】配方是等式两边同时加同一个数，只加在左边就破坏了相等关系。 11．【答案】x1＝，x2＝ 【解析】【分析】先把方程化成一般形式－4x－1＝0，再读出a，b，c代入求根公式。 【详解】移项，得－4x－1＝0，a＝3，b＝－4，c＝－1。 Δ＝－4×3×(－1)＝16＋12＝28＞0， x＝＝＝， 即x1＝，x2＝。 所以答案为x1＝，x2＝。 【易错提醒】没有化成一般形式就读系数，会把b当成0或把c的符号弄错；－b＝4，分母是2a＝6。 12．【答案】C 【解析】【分析】因式分解法要求方程右边为0，先展开、移项整理成一般形式，再分解。 【详解】展开并移项，得－x－6－6＝0，即－x－12＝0， 分解因式，得(x－4)(x+3)＝0， 所以x1＝4，x2＝－3。 所以选C。 A项右边不是0就分解，令x－3＝6或x＋2＝6，按此错法真算得4或9；B项把右边当成0，令x－3＝0或x＋2＝0，按此错法真算得－2或3；D项整理成－x－12＝0后，分解成(x+4)(x－3)＝0，按此错法真算得－4或3。 【点评】因式分解法的前提是“右边为0”：先展开、移项、合并，化成一般形式后再分解。 【易错提醒】“两个因式的积等于0”才能推出其中一个因式为0；积等于6时，不能令每个因式等于6。 13．【答案】x1＝－3，x2＝1 【解析】【分析】两边都是完全平方，开平方时要写成3x＋1＝±(x－5)，分两个一元一次方程求解。 【详解】由平方根的意义，3x＋1＝x－5或3x＋1＝－(x－5)。 由3x＋1＝x－5得2x＝－6，x＝－3；由3x＋1＝－x＋5得4x＝4，x＝1。 所以x1＝－3，x2＝1。 所以答案为x1＝－3，x2＝1。 【另解】移项得－＝0，用平方差公式分解：[(3x+1)＋(x－5)][(3x+1)－(x－5)]＝0，即(4x－4)(2x+6)＝0，所以x1＝1，x2＝－3。 【点评】形如＝的方程，降次为A＝B或A＝－B两个一次方程，也可移项后用平方差公式分解。 【易错提醒】两个数的平方相等，这两个数相等或互为相反数，只写3x＋1＝x－5会漏掉一个根。 14．【答案】A 【解析】【分析】先展开、移项，把方程化成一般形式，再读出a，b，c计算－4ac。 【详解】展开并移项，得－3x－4x＋7＝0，即－7x＋7＝0，a＝2，b＝－7，c＝7。 Δ＝－4×2×7＝49－56＝－7。 Δ＜0，这个方程没有实数根。 所以选A。 B项没有化成一般形式，由x(2x－3)读出a＝2，b＝－3，c＝0，按此错法真算得9；C项移项时常数项－7没有变号，化成－7x－7＝0，按此错法真算得105；D项移项时4x没有变号，化成＋x＋7＝0，按此错法真算得－55。 【点评】判别式、求根公式都依赖一般形式里的a，b，c，读系数前先把方程整理好，并连同符号一起读。 【易错提醒】判别式里的a，b，c必须取自一般形式，移项时每一项都要变号。 15．【答案】16 【解析】【分析】先解方程求出第三边的可能值，再用三角形三边关系逐一检验。 【详解】解方程－16x＋55＝0，得(x－5)(x－11)＝0，x1＝5，x2＝11。 第三边c要满足7－4＜c＜7＋4，即3＜c＜11。 c＝11时，4＋7＝11，不能组成三角形，舍去；c＝5符合，周长为4＋7＋5＝16。 所以答案为16。 【点评】方程的根只是“候选边长”，要逐一放进三角形三边关系里检验，满足“两边之和大于第三边”才能保留。 【易错提醒】检验三边关系要看“较短两边之和大于第三边”，4＋7＝11不大于11，不能只比较其中一组。 16．【答案】（1）x1＝，x2＝8；（2）x1＝－5，x2＝3；（3）x1＝，x2＝ 【解析】【分析】(1)两边都是完全平方，用开平方降次；(2)右边不是0，先整理成一般形式再分解；(3)不易分解，用公式法。 【详解】(1)两边开平方，得2(x+1)＝3(x－2)或2(x+1)＝－3(x－2)。 由2x＋2＝3x－6，得x＝8；由2x＋2＝－3x＋6，得5x＝4，x＝。 所以x1＝，x2＝8。　……4分 (2)展开并移项，得＋2x－3－12＝0，即＋2x－15＝0， 分解因式，得(x+5)(x－3)＝0，所以x1＝－5，x2＝3。　……4分 (3)a＝3，b＝－6，c＝－2，Δ＝－4×3×(－2)＝36＋24＝60＞0， x＝＝＝， 所以x1＝，x2＝。　……4分 【另解】(3)也可以用配方法：两边同除以3，得－2x＝，配方得＝，x－1＝±/3，结果相同。 【点评】解一元二次方程先看结构：能开平方的降次，右边为0且能提公因式或用乘法公式的分解，其余用公式法。 【评分说明】每小题4分：方法正确并写出降次或化一般形式2分，两个根各1分；只求出一个根的扣2分。 【易错提醒】(1)开平方后要写“±”两种情况；(2)右边是12，不能令x－1＝12；(3)求根公式的分母是2a＝6。 　易错簇03　实际问题列方程与检验（典型易错题） 17．【答案】20% 【解析】【分析】“第一季度共借出7280册”是一、二、三月份的借出量之和，要分别写出二月、三月的借出量再相加。 错解（错误示例）：设月平均增长率为x，列方程＝7280，得＝3.64，1＋x＝，x＝－1，约为91%。 错因：“第一季度共借出7280册”是三个月的总和，错解把它当成了三月份一个月的借出量。 正解：设月平均增长率为x，则二月份借出2000(1+x)册，三月份借出册。 根据题意，得2000＋2000(1+x)＋＝7280， 展开整理得＋6000x－1280＝0，两边同除以80，得＋75x－16＝0， 即(5x－1)(5x+16)＝0，x1＝＝20%，x2＝（增长率不能为负，舍去）。 所以月平均增长率为20%。 【点评】增长率问题先确认每个数据是“某一个月的量”还是“几个月的和”，再逐月写出表达式。 　易错簇03　实际问题列方程与检验（变式练） 18．【答案】B 【解析】【分析】两次降低都是在前一次的基础上进行，列方程＝980。 【详解】设每次降低的百分率为x，根据题意，得＝980，＝0.49， 1－x＝0.7或1－x＝－0.7，x1＝0.3，x2＝1.7。 降低的百分率小于1，x＝1.7舍去，所以每次降低30%。 所以选B。 A项解出1－x＝±0.7后两个值都保留，没有舍去大于1的根，按此错法真算得30%或170%；C项把两次降低列成2000(1－2x)＝980，按此错法真算得25.5%；D项把两次降低的总百分率(2000－980)÷2000当成每次降低的百分率，按此错法真算得51%。 【易错提醒】连续两次降低的百分率相同，列式是，不是a(1－2x)；求出的根要按实际意义取舍。 19．【答案】1.5 【解析】【分析】设宽为x m，长就是(x+0.5)m，由面积列方程，负根不符合实际。 【详解】设展板的宽为x m，则长为(x+0.5)m。根据题意，得x(x+0.5)＝3， 整理得＋x－6＝0，(2x－3)(x+2)＝0，x1＝1.5，x2＝－2。 宽不能是负数，x＝－2舍去。检验：1.5×2＝3，符合题意，所以展板的宽为1.5 m。 所以答案为1.5。 【易错提醒】解出的两个根中有一个是负数，长度不能为负，要舍去；只写“1.5或－2”不符合实际。 20．【答案】D 【解析】【分析】每盒盈利(50－x)元，每天卖出(30+3x)盒，二者之积为2400；两个根都满足方程时按“尽可能让利给顾客”取舍。 【详解】设每盒让利x元，根据题意，得(50－x)(30+3x)＝2400， 整理得－40x＋300＝0，(x－10)(x－30)＝0，x1＝10，x2＝30。 两个值都能使每天获利2400元，要尽可能让利给顾客，取x＝30，即每盒应让利30元。 所以选D。 A项解出两个值后没有根据“尽可能让利给顾客”取舍，两个都保留，按此错法真算得10或30；B项解出两个值后取了较小的一个，按此错法真算得10；C项把本题当成求“每天获利最多”时的让利，取了两根的平均数，按此错法真算得20。 【点评】“尽快减少库存”“尽可能让利”等条件是在两个根之间做选择的依据，读题时要先把它标出来。 【易错提醒】两个根都使获利为2400元，要用“尽可能让利给顾客”这个条件选让利多的那个。 21．【答案】36或58 【解析】【分析】设个位数字为x，这个两位数表示为10(x－3)＋x，不能写成(x－3)x。 【详解】设个位上的数字为x，则十位上的数字为x－3，这个两位数为10(x－3)＋x＝11x－30。 根据题意，得x(x－3)＝11x－30－18，整理得－14x＋48＝0，(x－6)(x－8)＝0，x1＝6，x2＝8。 x＝6时，十位数字是3，两位数是36；x＝8时，十位数字是5，两位数是58。两个都符合题意。 所以答案为36或58。 【点评】两位数要写成“10×十位数字＋个位数字”，解出后两个根都要检验数字是否在0～9之间。 【易错提醒】两个根都是1～9之间的整数，对应的两位数都要写出来，不能只写一个。 22．【答案】7200 【解析】【分析】先设平均每年增加的百分率为x，由两端的数据列方程求出x，再算中间一年的面积。 【详解】设平均每年增加的百分率为x，根据题意，得＝8100，＝， 1＋x＝或1＋x＝，x1＝0.125，x2＝－2.125（不合题意，舍去），即每年增加12.5%。 2025年底的绿化面积为6400×(1+0.125)＝7200（m²）。 所以答案为7200。 【点评】平均增长（降低）率问题的中间量要按“前一年×(1+x)”逐年求出，不能用算术平均代替。 【易错提醒】中间一年的面积不是两端的平均数(6400+8100)÷2＝7250，要先求出每年增加的百分率。 23．【答案】A 【解析】【分析】地砖部分的面积＝大矩形面积－水池面积，大矩形的长、宽分别是(8+2x)m，(5+2x)m。 【详解】设地砖铺设的宽度为x m，铺好后外围矩形长(8+2x)m，宽(5+2x)m。 根据题意，得(8+2x)(5+2x)－8×5＝48，整理得＋13x－24＝0，(2x－3)(x+8)＝0，x1＝1.5，x2＝－8。 宽度不能为负数，x＝－8舍去，所以地砖铺设的宽度为1.5 m。 检验：(8+2×1.5)×(5+2×1.5)－8×5＝88－40＝48，符合题意。 所以选A。 B项把地砖部分看成四个矩形，列成2×8x＋2×5x＝48，漏掉了四个角上的正方形，按此错法真算得；C项解方程后没有检验，保留了负根，按此错法真算得－8或1.5；D项只在长、宽的一侧加了宽度，列成(8+x)(5+x)－40＝48，再舍去负根，按此错法真算得3。 【另解】把地砖部分分成四个矩形：上下两块各长(8+2x)m、宽x m，左右两块各长5 m、宽x m，列方程2x(8+2x)＋2×5x＝48，整理得＋13x－24＝0，结果相同。 【点评】求四周等宽的边框、地砖面积，用“大矩形面积减小矩形面积”列方程，比分块相加更不容易漏掉四个角。 【易错提醒】把四周分成四个矩形相加时，四个角上的小正方形最容易漏掉；用“大矩形减小矩形”列式可以避免。 24．【答案】（1）每个13元；（2）不能 【解析】【分析】单价每上调1元每天少卖12个，每天卖出(234－12x)个，每个获利(x－8)元。 【详解】(1)每天卖出90－12(x－12)＝234－12x（个），根据题意，得(x－8)(234－12x)＝390， 整理得－55x＋377＝0，解得x1＝13，x2＝。 ＝14.5＞14，不符合市场监管部门的规定，舍去，所以每个面包应定价13元。　……6分 (2)令(x－8)(234－12x)＝420，整理得－55x＋382＝0， Δ＝－4×2×382＝3025－3056＝－31＜0，方程没有实数根， 所以每天的获利不能达到420元。　……4分 【点评】利润问题中售价的上限、下限要写在设未知数之后，解方程得到的根逐一对照检验。 【评分说明】(1)列出卖出量2分，列方程并解出两根2分，按上限取舍2分；(2)列方程1分，算出Δ＜0 2分，结论1分。 【易错提醒】“每上调0.5元少卖6个”要换算成每上调1元少卖12个；两个根都要对照售价上限检验。 　易错簇04　图象与性质（典型易错题） 25．【答案】y＝－1（即y＝＋4x＋1） 【解析】【分析】平移不改变开口方向和形状，只改变顶点位置，先配方求出顶点，再移动顶点。 错解（错误示例）：配方得y＝－3；以为“向左平移3个单位长度就在括号里再减3”，写成y＝－3，再向上平移2个单位长度，得y＝－1。 错因：把“左加右减”用反了，向左平移应把x换成x＋3，顶点横坐标变为－1，而不是5。 正解：配方：y＝－4x+4)－8＋5＝－3，顶点为（2，－3）。 向左平移3个单位长度，顶点横坐标变为2－3＝－1；向上平移2个单位长度，纵坐标变为－3＋2＝－1。 所以所得抛物线为y＝－1，展开得y＝＋4x＋1。 【点评】抓住顶点做平移：向左、向右移动改变顶点横坐标，向上、向下移动改变顶点纵坐标，最后按新顶点写顶点式最稳妥。 　易错簇04　图象与性质（变式练） 26．【答案】D 【解析】【分析】横坐标为h＋1与h－1的两点关于直线x＝h对称，且纵坐标总相等，所以直线x＝h就是抛物线的对称轴。 【详解】对称轴是直线x＝，本题a＝－4，b＝16， h＝＝＝2。 所以选D。 A项公式漏掉负号，按计算，按此错法真算得－2；B项分母漏掉2，按计算，按此错法真算得4；C项负号和分母里的2都漏掉，按计算，按此错法真算得－4。 【易错提醒】中a＝－4是负数，代入时连同符号一起代，负负得正。 27．【答案】（－3，－5） 【解析】【分析】先提出二次项系数2，括号内配方，括号外的常数要乘2再合并。 【详解】y＝+6x)＋13＝+6x+9－9)＋13＝－18＋13＝－5， 所以顶点坐标是（－3，－5）。 所以答案为（－3，－5）。 【易错提醒】括号里减去的9移到括号外要乘系数2，变成－18；漏乘会得到顶点纵坐标4。 28．【答案】B 【解析】【分析】开口向上，离对称轴越远函数值越大；把y1＞y2转化为点A比点B离对称轴远。 【详解】对称轴为直线x＝＝4，开口向上，图象上的点离对称轴越远，函数值越大。 y1＞y2，所以|m－4|＞|m＋1－4|，即＞， 展开得－8m＋16＞－6m＋9，－2m＞－7，所以m＜。 所以选B。 A项以为两点都在对称轴左侧才有y1＞y2，由m＋1≤4，按此错法真算得m≤3；C项把开口方向看反，以为离对称轴越远函数值越小，由＜，按此错法真算得m＞；D项把对称轴算成直线x＝－4，由＞，按此错法真算得m＜。 【另解】直接作差：y1－y2＝－8m+3)－－8(m+1)＋3]＝－2m＋7，由y1＞y2得－2m＋7＞0，所以m＜。 【点评】比较抛物线上两点的函数值，把“函数值的大小”转化为“到对称轴距离的大小”，不必讨论两点在对称轴的哪一侧。 【易错提醒】两点可能分别在对称轴两侧，只要求两点都在左侧会漏掉3＜m＜这一段。 29．【答案】y＝－2x＋2，1 【解析】【分析】由结果反推原抛物线，要把平移“倒过来”：向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度。 【详解】y＝－6x＋7＝－2，顶点为（3，－2）。 原抛物线向右平移2个单位长度、向下平移3个单位长度后顶点为（3，－2），所以原顶点为（3－2，－2＋3），即（1，1）。 平移不改变形状，a＝1，所以原抛物线为y＝＋1＝－2x＋2， a＝1，b＝－2，c＝2，a＋b＋c＝1－2＋2＝1。 所以答案为y＝－2x＋2，1。 【点评】已知平移后的图象求原图象，就是把平移“倒着做”：原来向右就改为向左，原来向下就改为向上。 【易错提醒】已知平移后的抛物线求原来的，顶点要按相反方向移动，照原方向再平移一次就错了。 30．【答案】C 【解析】【分析】开口方向定a，对称轴位置定b（左同右异），与y轴交点定c，再逐项检验。 【详解】开口向下，a＜0；对称轴x＝＝1，所以b＝－2a＞0，即2a＋b＝0，这个结论正确； 图象与y轴交于正半轴，c＞0；图象与x轴有两个公共点，－4ac＞0； 由对称性，另一个公共点为（4，0），x＝－1在两个公共点之间，此时图象在x轴上方，a－b＋c＞0。 所以选C。 A项由对称轴在y轴右侧得出b＜0（“左同右异”用反了：a＜0时b＞0）；B项把“与x轴有两个公共点”对应成－4ac＜0（实际－4ac＞0）；D项把x＝－1时的点看成在x轴下方（x＝－1在两个公共点之间，a－b＋c＞0）。 【点评】看图判断系数的式子：a看开口，b看对称轴，c看与y轴交点；a＋b＋c看x＝1，a－b＋c看x＝－1处的函数值。 【易错提醒】对称轴在y轴右侧说明a，b异号，a＜0时b＞0；判断a－b＋c看x＝－1处图象在x轴的哪一侧。 31．【答案】A 【解析】【分析】先配方求出顶点坐标，再按第四象限“横正纵负”列不等式组。 【详解】y＝－2mx＋＋m－3＝＋m－3，顶点坐标为（m，m－3）。 顶点在第四象限，所以m＞0且m－3＜0，解得0＜m＜3。 所以选A。 B项把顶点横坐标写成－m，由－m＞0且m－3＜0，按此错法真算得m＜0；C项把第四象限记成纵坐标大于0，由m＞0且m－3＞0，按此错法真算得m＞3；D项只考虑了顶点纵坐标小于0，由m－3＜0，按此错法真算得m＜3。 【点评】顶点在某象限的问题，先配方写出顶点坐标，再按象限内点的坐标符号列不等式组。 【易错提醒】第四象限的点横坐标为正、纵坐标为负，两个条件都要列出并求公共部分。 32．【答案】（1）y＝－2x－1，顶点（1，－2）；（2）m＝1＋；（3）x＜ 【解析】【分析】(1)两点代入列方程组；(2)向左平移m个单位长度，顶点横坐标减m，再代入原点；(3)开口向上，对称轴左侧y随x的增大而减小。 【详解】(1)把（－2，7），（1，－2）代入，得4－2b＋c＝7，1＋b＋c＝－2， 即－2b＋c＝3，b＋c＝－3，两式相减得－3b＝6，b＝－2，c＝－1。 所以y＝－2x－1＝－2，顶点坐标为（1，－2）。　……4分 (2)向左平移m个单位长度后，抛物线为y＝－2。 经过原点，得－2＝0，m－1＝±，m＝1＋或m＝1－。 m＞0，1－＜0舍去，所以m＝1＋。　……5分 (3)平移后顶点横坐标为1－m＝1－(1+＝，对称轴为直线x＝，开口向上， 所以当x＜时，y随x的增大而减小。　……3分 【点评】平移后求增减范围，先写出新顶点，再按开口方向判断对称轴哪一侧是减小的。 【评分说明】(1)列方程组2分，求出解析式与顶点2分；(2)写出平移后解析式2分，解方程2分，取舍1分；(3)对称轴2分，范围1分。 【易错提醒】向左平移m个单位长度是把x换成x＋m，顶点横坐标变为1－m；m＝1－是负数，不符合m＞0。 　易错簇05　最值与取值范围（典型易错题） 33．【答案】最小值为－5，最大值为10 【解析】【分析】先看顶点是否在给定范围内，不在时要看这一段图象的增减，再比较端点处的函数值。 错解（错误示例）：y＝－8x＋10＝－6，所以y的最小值是－6；x＝0时y＝10，所以最大值是10。 错因：顶点横坐标4不在0≤x≤3内，顶点纵坐标－6取不到，最小值应在端点处取得。 正解：y＝－6，对称轴为直线x＝4，开口向上，在对称轴左侧y随x的增大而减小。 0≤x≤3在对称轴左侧，所以x＝3时y最小，最小值为－6＝－5； x＝0时y最大，最大值为－6＝10。 【点评】给定范围求最值三步：找对称轴，看它在范围的哪一侧，再按增减性取端点或顶点。 　易错簇05　最值与取值范围（变式练） 34．【答案】C 【解析】【分析】配方写成顶点式，a＞0时顶点纵坐标就是最小值。 【详解】y＝+4x)＋1＝+4x+4)－20＋1＝－19， a＝5＞0，开口向上，当x＝－2时，y有最小值－19。 所以选C。 A项配方时括号外漏乘5，写成y＝－4＋1，按此错法真算得－3；B项把对称轴算成直线x＝2，把x＝2代入，按此错法真算得61；D项以为x＝0时函数取得最小值，按此错法真算得1。 【易错提醒】提出系数5后配方，括号里加的4在括号外要减去5×4＝20。 35．【答案】5，－4 【解析】【分析】顶点横坐标2在范围内，最大值在顶点处；最小值比较两个端点。 【详解】y＝＋5，开口向下，对称轴为直线x＝2，在－1≤x≤3内，所以最大值为5。 x＝－1时，y＝－1－4＋1＝－4；x＝3时，y＝－9＋12＋1＝4。离对称轴越远函数值越小，所以最小值为－4。 所以答案为5，－4。 【易错提醒】顶点在范围内时，最大值是顶点纵坐标，不是端点x＝3处的4；最小值看离对称轴较远的端点。 36．【答案】D 【解析】【分析】对称轴是直线x＝－2，不在1≤x≤3内，这一段在对称轴右侧，y随x的增大而减小。 【详解】y＝＋6，开口向下，对称轴为直线x＝－2。 1≤x≤3在对称轴右侧，y随x的增大而减小， 所以x＝1时y最大，最大值为－1－4＋2＝－3。 所以选D。 A项直接取顶点纵坐标，没有看顶点是否在范围内，按此错法真算得6；B项误以为y随x的增大而增大，取x＝3处的函数值，按此错法真算得－19；C项以为最大值是图象与y轴交点的纵坐标，取x＝0，按此错法真算得2。 【另解】由y＝＋6，在1≤x≤3内，x＝1时最小，为9，所以y的最大值为－9＋6＝－3。 【点评】在给定范围内求最值，第一步永远是看对称轴是否在范围内。 【易错提醒】顶点不在范围内时，顶点纵坐标6取不到，要按增减性在端点处取最值。 37．【答案】1≤m≤2 【解析】【分析】最小值2是顶点纵坐标，说明顶点在范围内；最大值3对应x＝0或x＝2，m不能超过2。 【详解】y＝＋2，顶点为（1，2），x＝0时y＝3。 最小值为2，顶点横坐标1必须在0≤x≤m内，所以m≥1； 令＋2＝3，得x＝0或x＝2，当x＞2时y＞3，最大值为3，所以m≤2。 综上，1≤m≤2。 所以答案为1≤m≤2。 【点评】已知最大值、最小值反求范围，把每个条件分别转化为对范围端点的限制，再取公共部分。 【易错提醒】两个条件要分别确定m的范围再取公共部分：最小值定下限m≥1，最大值定上限m≤2。 38．【答案】16 【解析】【分析】开口向上，对称轴在范围内时最小值在顶点处取得；最大值在离对称轴较远的端点处取得，先比较两个端点到对称轴的距离。 【详解】y＝＋c－1，开口向上，对称轴为直线x＝－1，在－5≤x≤1内，所以最小值为顶点纵坐标c－1。 两个端点到对称轴的距离：|－5－(－1)|＝4，|1－(－1)|＝2，4＞2，所以x＝－5时y最大，最大值为25－10＋c＝15＋c。 最大值比最小值大(15+c)－(c－1)＝16。 所以答案为16。 【点评】开口向上时，最大值在离对称轴最远的点取得；两个端点离对称轴的距离要算出来比较。 【易错提醒】最小值在顶点处取得，不在端点x＝1处；只把两个端点的函数值相减，会误得(15+c)－(3+c)＝12。 39．【答案】B 【解析】【分析】对称轴是直线x＝a，按a＜2，2≤a≤4，a＞4三种情况讨论最小值的位置，求出a后检验。 【详解】①a＜2时，y随x的增大而增大，最小值为x＝2处的9－4a，由9－4a＝－4得a＝，不满足a＜2，舍去； ②2≤a≤4时，最小值为顶点纵坐标5－，由5－＝－4得a＝±3，只有a＝3满足； ③a＞4时，最小值为x＝4处的21－8a，由21－8a＝－4得a＝，不满足a＞4，舍去。 综上，a＝3。 所以选B。 A项直接令顶点纵坐标5－＝－4，没有检验对称轴x＝a是否在范围内，按此错法真算得－3或3；C项令x＝2处的函数值9－4a＝－4，没有检验此时是否a＜2，按此错法真算得；D项令x＝4处的函数值21－8a＝－4，没有检验此时是否a＞4，按此错法真算得。 【点评】含参数的最值问题按对称轴与范围的位置关系分三类，每一类的结果都要满足本类的前提。 【易错提醒】分类讨论的每一种情况求出a后，都要回到这种情况的前提条件上检验。 40．【答案】（1）－11≤y≤1，最大值1，最小值－11；（2）m＝4 【解析】【分析】y＝＋5，对称轴为直线x＝3；(2)左移后对称轴为直线x＝3－m，按对称轴在0≤x≤2的右侧、内部、左侧分三种情况。 【详解】(1)y＝＋5，开口向下，－1≤x≤1在对称轴左侧，y随x的增大而增大。 x＝1时y最大，最大值为－1＋6－4＝1；x＝－1时y最小，最小值为－1－6－4＝－11，所以－11≤y≤1。　……4分 (2)左移m个单位长度后，抛物线为y＝＋5，对称轴为直线x＝3－m。 ①3－m＞2，即0＜m＜1时，在0≤x≤2上y随x的增大而增大，最大值为x＝2处的函数值，由＋5＝4，得＝1，m＝0或m＝2，都不满足0＜m＜1，舍去；　……3分 ②0≤3－m≤2，即1≤m≤3时，最大值为顶点纵坐标5，不等于4，不符合；　……2分 ③3－m＜0，即m＞3时，在0≤x≤2上y随x的增大而减小，最大值为x＝0处的函数值，由＋5＝4，得＝1，m＝2或m＝4，只有m＝4满足m＞3。 综上，m＝4。　……3分 【点评】抛物线随参数平移时，先写出新的对称轴，再把“对称轴在范围的左侧、内部、右侧”分别写成参数的不等式，每一类的结果都要检验是否满足本类前提。 【评分说明】(1)判断增减性2分，最大值、最小值各1分；(2)三种情况分别3分、2分、3分，结论1分含在第三种情况中。 【易错提醒】左移后对称轴变为直线x＝3－m，要按对称轴与0≤x≤2的位置分三类；m＝0、m＝2都满足所列方程，但不满足所在类的前提，要舍去。 　易错簇06　与方程的联系及实际应用（典型易错题） 41．【答案】报名33人时收入最多，最多为3333元 【解析】【分析】每期收入W＝x(200－3x)是x的二次函数，但x只能取整数，最大值要在对称轴附近的整数处比较。 错解（错误示例）：W＝x(200－3x)＝＋200x，对称轴为直线x＝，把x＝代入，得W＝，所以收入最多是元。 错因：人数只能取整数，x＝不是整数，收入取不到元。 正解：W＝x(200－3x)＝＋200x＝＋，抛物线开口向下， 对称轴x＝在33与34之间，x取整数，离对称轴越近W越大，比较两个整数： x＝33时，W＝33×(200－99)＝3333；x＝34时，W＝34×(200－102)＝3332。 所以报名33人时，每期收入最多，最多为3333元。 【点评】实际问题求最值，先写出自变量的实际范围（整数、上下限），顶点取不到时，在范围内离对称轴最近的可取值处比较。 　易错簇06　与方程的联系及实际应用（变式练） 42．【答案】D 【解析】【分析】题目说的是“函数”，要分一次函数与二次函数两种情况。 【详解】①m－1＝0，即m＝1时，y＝2x＋1是一次函数，它的图象与x轴只有一个公共点（，0），符合； ②m－1≠0时，是二次函数，图象与x轴只有一个公共点，Δ＝－4(m－1)×1＝8－4m＝0，m＝2。 所以m＝1或m＝2。 所以选D。 A项只用Δ＝0求解，漏掉m－1＝0时的一次函数情形，按此错法真算得2；B项把Δ写成＋4(m－1)，由Δ＝0求解，也漏掉了一次函数情形，按此错法真算得0；C项把Δ写成＋4(m－1)，又考虑了一次函数的情形，按此错法真算得0或1。 【易错提醒】题目没说“二次函数”，二次项系数可以为0，一次函数的图象与x轴也只有一个公共点。 43．【答案】－4＜x＜2 【解析】【分析】先令y＝0求出两个公共点的横坐标，y＞0对应图象在x轴上方的部分。 【详解】令y＝0，得－x＋4＝0，即＋2x－8＝0，(x+4)(x－2)＝0，x1＝－4，x2＝2， 所以A（－4，0），B（2，0）。 抛物线开口向下，图象在x轴上方的部分在A，B之间，所以y＞0时，－4＜x＜2。 所以答案为－4＜x＜2。 【易错提醒】开口向下时，y＞0对应两个公共点之间，写成x＜－4或x＞2就把上方、下方弄反了。 44．【答案】A 【解析】【分析】两个公共点对应Δ＞0；都在y轴右侧，即方程的两个根都是正数，两根之和、两根之积都大于0。 【详解】令y＝0，得－4x＋k＝0。有两个公共点，Δ＝16－4k＞0，k＜4； 两个公共点都在y轴右侧，方程的两个根x1，x2都是正数，x1＋x2＝4＞0，x1x2＝k＞0。 所以0＜k＜4。 所以选A。 B项只考虑了Δ＞0，漏掉“都在y轴右侧”的条件，由16－4k＞0，按此错法真算得k＜4；C项把Δ算成4k－16，由4k－16＞0，按此错法真算得k＞4；D项把“两个公共点”对应成Δ≥0，再加上两根之积大于0，由16－4k≥0且k＞0，按此错法真算得0＜k≤4。 【另解】借助图象：抛物线开口向上，对称轴直线x＝2在y轴右侧，两个公共点都在y轴右侧，只需图象与y轴交于正半轴（k＞0）且顶点在x轴下方（4－8＋k＜0），得0＜k＜4。 【点评】公共点在指定位置的问题，先用Δ保证公共点的个数，再用两根之和、两根之积确定位置。 【易错提醒】Δ＞0只保证有两个公共点，位置条件要再用两根之和与两根之积限制。 45．【答案】10 【解析】【分析】落地时高度为0，令y＝0解方程，按实际意义取正根。 【详解】令y＝0，得＋＋2＝0，两边同乘－10，得－8x－20＝0， (x－10)(x+2)＝0，x1＝10，x2＝－2。 水平距离不能为负，x＝－2舍去，所以水平距离是10 m。 所以答案为10。 【点评】实际问题中令y＝0求出的根，要结合自变量的实际意义取舍，负根一般舍去。 【易错提醒】令y＝0得到的负根不符合实际意义要舍去；出手点的高度是x＝0时的2 m，不是所求距离。 46．【答案】－3 【解析】【分析】联立两个解析式得到一元二次方程，只有一个公共点对应方程有两个相等的实数根，Δ＝0。 【详解】联立得－4x＋6＝2x＋b，移项整理得－6x＋6－b＝0。 只有一个公共点，Δ＝－4(6－b)＝12＋4b＝0，解得b＝－3。 此时方程为－6x＋9＝0，x＝3，公共点为（3，3）。 所以答案为－3。 【点评】直线与抛物线的公共点个数，转化为联立后一元二次方程的根的个数，整理成一般形式后再算Δ。 【易错提醒】联立后要把2x＋b整体移到左边再算Δ，漏移2x会得到b＝2。 47．【答案】B 【解析】【分析】画出－1≤x≤4这一段图象，直线y＝k上下平移，看与这一段有两个公共点的位置。 【详解】y＝－5，顶点为（1，－5）；x＝－1时y＝－1，x＝4时y＝4。 对称轴左侧一段从（－1，－1）下降到顶点，右侧一段从顶点上升到（4，4）。 直线y＝k与左、右两段各有一个公共点，需－5＜k≤－1；k＝－5时只有顶点一个公共点，－1＜k≤4时只与右段有一个公共点。 所以－5＜k≤－1。 所以选B。 A项上界取了x＝4处的函数值4，按此错法真算得－5＜k≤4；C项只用Δ＞0，没有考虑x的范围，由－2x－4－k＝0的Δ＝20＋4k＞0，按此错法真算得k＞－5；D项把直线过顶点时也算作两个公共点，按此错法真算得－5≤k≤－1。 【点评】自变量有范围时，公共点个数用“直线y＝k上下平移”在图象上观察，端点处的函数值是关键位置。 【易错提醒】自变量有范围时，公共点个数要看这一段图象，不能只用Δ判断；较低的端点决定k的上界。 48．【答案】（1）Δ＝，n≠3时有两个公共点，n＝3时只有一个公共点；（2）n＝9或n＝－3；（3）－9≤y≤0 【解析】【分析】(1)Δ写成完全平方后看它何时为0；(2)用求根公式求出两个公共点的横坐标，AB是两根之差的绝对值；(3)先看顶点是否在范围内。 【详解】(1)Δ＝－4×3n＝－6n＋9＝≥0。 当n≠3时Δ＞0，抛物线与x轴有两个公共点；当n＝3时Δ＝0，抛物线与x轴只有一个公共点。　……3分 (2)由求根公式，x＝[(n+3)±√Δ]/2，其中√Δ＝|n－3|，所以两根为x1＝3，x2＝n， AB＝|n－3|＝6，所以n－3＝6或n－3＝－6，n＝9或n＝－3，都满足n≠3。　……5分 (3)n＝9时，y＝－12x＋27＝－9，开口向上，对称轴为直线x＝6，在4≤x≤9内，最小值为－9； x＝4时y＝－5，x＝9时y＝0，x＝9离对称轴更远，最大值为0， 所以4≤x≤9时，－9≤y≤0。　……4分 【点评】公共点的个数看Δ的符号；两公共点之间的距离是两根之差的绝对值，去绝对值要分两种情况。 【评分说明】(1)算出Δ＝ 2分，写出两种情况1分；(2)求出两根3分，解绝对值方程得两个值2分；(3)最小值2分，最大值与结论2分。 【易错提醒】(2)AB＝|n－3|＝6有两种情况，只写n＝9会漏解；(3)顶点在范围内，最小值是－9，不是端点处的－5。 试卷第 1 页，共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $九年级上册 第二十五章 一元二次方程～第二十六章 二次函数 易错题汇总 第一次月考 易错题汇总（易错点清单+典型题+分层变式） 人教版数学九年级上册　第二十五章 一元二次方程　第二十六章 二次函数 （建议用时：100分钟　测试范围：第二十五章 一元二次方程～第二十六章 二次函数） 学校：__________　姓名：__________　班级：__________　考号：__________ 注意事项： 1．先读易错点清单，再看每簇的典型易错题：做完后对照解析里的“错解—错因—正解”，看自己是否也会这样错。 2．变式练按基础、中档、难排列，做完后对照答案，把做错的题归到对应的易错点上。 3．解方程要写出降次或化一般形式的过程；含参数、有实际意义的题，求出结果后要检验并写出取舍的理由。 内容速览　六个易错簇 共 48 题（典型易错题 6 道；变式练 42 道：选择 19 · 填空 17 · 解答 6） 解析版 26 页，含易错点清单 23 条、典型易错题（错解＋错因＋正解＋点评）、分层变式练（基础→中档→难）、避坑口诀、每题详解与易错提醒；配图与表格 7 幅 　易错点清单（第二十五章 一元二次方程） 1．一元二次方程的二次项系数不能为0，由定义或根求出参数后要检验 2．题目只说“方程”时要考虑二次项系数为0的一次方程情形 3．“有两个实数根”隐含方程是一元二次方程，参数要同时满足a≠0与Δ≥0 4．用根与系数的关系求出参数后，要代回检验Δ≥0 5．方程两边不能同除以含未知数的式子，否则可能丢根 6．配方时方程两边都要加上一次项系数一半的平方 7．因式分解法要求方程右边为0，右边不是0时要先移项整理 8．直接开平方时要取正、负两个平方根 9．用公式法或判别式之前，先把方程化成一般形式，a，b，c连同符号一起读 10．由方程的根作三角形的边，要检验三边关系 11．增长率问题分清“某月的量”与“几个月的总量” 12．按实际意义检验方程的根：降低率小于1，长度不超过边长，人数、件数取正整数 　易错点清单（第二十六章 二次函数） 1．对称轴是直线x＝，负号与分母里的2都不能漏 2．配方时提出二次项系数后，加减的常数要乘这个系数 3．平移只改变顶点：左加右减只作用在x上，上加下减作用在整个式子上 4．比较函数值要看点到对称轴的距离与开口方向，不能只看横坐标的大小 5．由图象判断系数符号：开口定a，对称轴位置定b（左同右异），与y轴交点定c 6．求给定范围内的最值，先看顶点是否在范围内，再与端点处的函数值比较 7．含参数的最值问题，按对称轴在范围左侧、内部、右侧分类讨论并检验 8．“函数”的图象与x轴只有一个公共点时，要考虑它是一次函数的情形 9．由图象读y＞0或y＜0时x的范围，看图象在x轴上方或下方的部分 10．抛物线与x轴两个公共点的位置有附加条件时，还要用两根的和与积限制 11．实际问题中自变量要满足实际意义：整数、上下限、非负 　易错簇01　隐含条件：二次项系数与判别式（典型易错题） 1．【典型易错题】对于关于x的方程(m+3)＋2x＋5＝0，当常数m取何值时它是一元二次方程？求出m的值，并写出此时方程的二次项系数、一次项系数和常数项。 　易错簇01　隐含条件：二次项系数与判别式（变式练） 2．把－1代入关于x的一元二次方程(k－2)＋(k+1)x＋＋k－3＝0后左右两边相等，据此求得的常数k是(____)。 A．－3或2 B．－3 C．－4或1 D．－1 3．关于x的方程＋6x－3＝0有两个实数根（两根可以相等），常数a能取的所有值组成的范围是________。 4．关于x的方程(k－1)＋4x＋2＝0有实数根，在0，1，2，…，9这十个整数中，k可以取的数共有(____)个。 A．3 B．2 C．10 D．4 5．对于以x为未知数的一元二次方程＋mx＋2m－3＝0，它的两个实数根的平方和等于11，由此可得常数m＝________。 6．k为整数，以x为未知数的一元二次方程(k+1)－2x＋1＝0有实数根，在所有符合条件的k中，最大的一个是________。 7．在数轴上表示方程＋－4)x＋k－1＝0（x为未知数，k为常数）的两个实数根，发现这两个点分别在原点两侧，并且到原点的距离相等，则k的值是(____)。 A．－2 B．－2或2 C．2 D．1 8．已知关于x的方程(m－2)－2(m－1)x＋m＋1＝0，其中m为常数，请解答下面两个问题。 (1)若这个方程有实数根，求m的取值范围； (2)当这个方程是一元二次方程且x＝－1满足方程时，求m，并用根与系数的关系求出方程的另一个根。 易错簇01　隐含条件：二次项系数与判别式　避坑口诀 口诀：二次系数不为零，根的检验靠判别式。本簇错因速查见下表。 易错点 典型错误 正确做法 由定义或根求参数 求出两个值就直接作答 回到二次项系数上检验，使它为0的值舍去 只说“方程有实数根” 直接列Δ≥0 先讨论二次项系数为0的一次方程情形 由两根的和、积求参数 解出参数就作答 代回检验Δ≥0（两根不等时Δ＞0） 　易错簇02　解方程的运算规范（典型易错题） 9．【典型易错题】方程4x(x－3)＝5(x－3)的两边含有相同的因式，用因式分解法求出这个方程的所有实数根。 　易错簇02　解方程的运算规范（变式练） 10．把方程－8x－5＝0先移项，再在两边加上同一个数，使左边成为完全平方式，得到＝n的形式，那么n＝(____)。 A．5 B．11 C．21 D．69 11．先把方程－1＝4x整理成一般形式，再用求根公式求出它的两个实数根，结果是________。 12．方程(x－3)(x+2)＝6的左边是两个一次式的积，右边是6，这个方程的实数根是(____)。 A．4或9 B．－2或3 C．－3或4 D．－4或3 13．两个式子3x＋1与x－5的平方相等，即＝，由此求出的x的所有值是________。 14．为弄清方程x(2x－3)＝4x－7有没有实数根，先计算它的根的判别式，Δ的值为(____)。 A．－7 B．9 C．105 D．－55 15．三角形的两边长分别为4和7，第三边的长是方程－16x＋55＝0的一个根，则这个三角形的周长为________。 16．下面三个方程结构各不相同，分别根据平方根的意义降次、用因式分解法、用公式法求解，写出主要步骤： (1)＝； (2)(x－1)(x+3)＝12； (3)－6x－2＝0。 易错簇02　解方程的运算规范　避坑口诀 口诀：同除未知先三思，移项分解保全根。本簇错因速查见下表。 易错点 典型错误 正确做法 两边含有相同因式 两边同除以这个因式 移项后提公因式，保留全部的根 右边不为0就分解 令每个因式等于右边的数 先整理成右边为0的一般形式 开平方降次 只写正的平方根 写成A＝B或A＝－B两种情况 　易错簇03　实际问题列方程与检验（典型易错题） 17．【典型易错题】某社区图书室统计借阅情况（见下表）：一月份借出图书2000册，第一季度（一、二、三月）共借出图书7280册。如果二月份、三月份借出图书数量的月平均增长率相同，求这个增长率。 月份 一月 二月 三月 第一季度合计 借出图书/册 2000 ？ ？ 7280 　易错簇03　实际问题列方程与检验（变式练） 18．一款降噪耳机上市时标价2000元，商家先后两次下调售价，每次都在上一次售价的基础上按同一百分率降低，两次后售价为980元，这个百分率是(____)。 A．30%或170% B．30% C．25.5% D．51% 19．学校制作一块矩形宣传展板，展板的长比宽多0.5 m，面积为3 m²，则展板的宽为________m。 20．一家水果店销售车厘子礼盒，每盒盈利50元，每天能卖出30盒。店主打算让利促销以加快周转，试销发现：售价每降低1元，日销量增加3盒。若店主希望每天从这种礼盒获利2400元，同时尽可能让利给顾客，则每盒应让利(____)元。 A．10或30 B．10 C．20 D．30 21．一个两位数，十位上的数字比个位上的数字小3，把这两个数字相乘，所得的积比这个两位数小18，则这个两位数是________。 22．某小区2024年底的绿化面积为6400 m²，计划到2026年底绿化面积达到8100 m²（见下表）。若这两年绿化面积平均每年增加的百分率相同，则2025年底该小区的绿化面积应为________m²。 时间 2024年底 2025年底 2026年底 绿化面积/m² 6400 ？ 8100 23．如图，一个长8 m、宽5 m的矩形水池四周铺了一圈宽度相同的防滑地砖，铺地砖部分的面积为48 m²，则地砖铺设的宽度为(____)m。 A．1.5 B． C．－8或1.5 D．3 24．社区烘焙坊销售一种手工面包，每个成本8元。定价12元时每天能卖出90个；在此基础上单价每上调0.5元，每天就少卖6个。设每个面包定价x元（x≥12）。 (1)市场监管部门规定每个面包的售价不得高于14元，若烘焙坊希望每天从这种面包获利390元，定价应为多少元？ (2)这种面包每天的获利能否达到420元？请通过计算回答。 易错簇03　实际问题列方程与检验　避坑口诀 口诀：总量单量分清楚，求出根来验意义。本簇错因速查见下表。 易错点 典型错误 正确做法 增长率与总量 把几个月的总和当成某一个月的量 逐月写出表达式再相加 两次降低同一百分率 列成a(1－2x)＝b 列成a(1－x)²＝b，并舍去大于1的根 根的取舍 两个根都保留 按实际意义与附加条件逐一检验 　易错簇04　图象与性质（典型易错题） 25．【典型易错题】在平面直角坐标系中，先将抛物线y＝－8x＋5整体向左平移3个单位长度，然后把得到的图象整体向上平移2个单位长度，求最终图象对应的二次函数解析式。 　易错簇04　图象与性质（变式练） 26．二次函数y＝＋16x－3的图象上，横坐标为h＋1与h－1的两个点的纵坐标总相等，h的值是(____)。 A．－2 B．4 C．－4 D．2 27．把二次函数y＝＋12x＋13配方写成顶点式，由此读出抛物线的顶点坐标为________。 28．抛物线y＝－8x＋3上有两点A（m，y1），B（m＋1，y2），它们的横坐标相差1。如果点A的纵坐标比点B的大，即y1＞y2，那么m的取值范围是(____)。 A．m≤3 B．m＜ C．m＞ D．m＜ 29．将抛物线y＝＋bx＋c的顶点沿水平方向右移2个单位长度、沿竖直方向下移3个单位长度，形状和开口方向不变，所得抛物线为y＝－6x＋7，则原抛物线的解析式为________，a＋b＋c＝________。 30．抛物线y＝＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，图中虚线x＝1把抛物线分成左右对称的两部分，抛物线与x轴的一个公共点为（－2，0）。下面关于系数a，b，c的四个结论中，正确的是(____)。 A．b＜0 B．－4ac＜0 C．2a＋b＝0 D．a－b＋c＜0 31．若抛物线y＝－2mx＋＋m－3的顶点在第四象限，则m的取值范围是(____)。 A．0＜m＜3 B．m＜0 C．m＞3 D．m＜3 32．一条形如y＝＋bx＋c的抛物线同时经过（－2，7）与（1，－2）两点。 (1)把两点坐标代入，求b，c及顶点； (2)这条抛物线沿x轴向左移动m（m＞0）个单位长度后，新抛物线恰好过坐标原点，求m； (3)在(2)的条件下，新抛物线上的点的横坐标在什么范围内时，纵坐标随横坐标的增大而减小？ 易错簇04　图象与性质　避坑口诀 口诀：左加右减只动x，配方系数要乘齐。本簇错因速查见下表。 易错点 典型错误 正确做法 对称轴公式 写成或 牢记x＝，a连同符号代入 平移 向左平移就在括号里减 左加右减只作用在x上，按新顶点写顶点式 由图象判断系数 对称轴在右侧就说b＜0 左同右异：对称轴在y轴右侧时a，b异号 　易错簇05　最值与取值范围（典型易错题） 33．【典型易错题】如图是二次函数y＝－8x＋10的图象，只截取自变量满足0≤x≤3的那一段，这一段图象上的点的纵坐标最小是多少？最大是多少？ 　易错簇05　最值与取值范围（变式练） 34．求二次函数y＝＋20x＋1的最小值时，需要先配方找出顶点，这个最小值是(____)。 A．－3 B．61 C．－19 D．1 35．在－1≤x≤3这一段上，抛物线y＝＋4x＋1的最高点与最低点的纵坐标分别是________和________。 36．x的值被限定在1到3之间（含1和3），求二次函数y＝－4x＋2在这一范围内的最大值，结果是(____)。 A．6 B．－19 C．2 D．－3 37．二次函数y＝－2x＋3在0≤x≤m上的最大值恰好是3，最小值恰好是2，那么m可以取的值组成的范围是________。 38．抛物线y＝＋2x＋c（c为常数），当自变量x满足－5≤x≤1时，图象上最高点比最低点高________。 39．对于二次函数y＝－2ax＋5，若只考虑自变量2≤x≤4的部分，图象最低点的纵坐标是－4，那么常数a的值是(____)。 A．－3或3 B．3 C． D． 40．抛物线y＝＋6x－4只画出其中一段时，最高点和最低点会随所画的范围改变，按下面的要求解答： (1)当自变量满足－1≤x≤1时，这个二次函数的函数值y在什么范围内变化？写出y的最大值与最小值； (2)将这条抛物线整体向左平移，平移的距离记为m（m＞0），使平移后的图象在0≤x≤2这一段上的最高点纵坐标恰好为4，求m的值。 易错簇05　最值与取值范围　避坑口诀 口诀：最值先看顶点在不在，不在就比两端点。本簇错因速查见下表。 易错点 典型错误 正确做法 给定范围的最值 直接取顶点纵坐标 先看顶点是否在范围内 端点比较 默认右端点处最大 比较两个端点到对称轴的距离 含参数的最值 求出参数不检验 按对称轴位置分类，结果回到前提检验 　易错簇06　与方程的联系及实际应用（典型易错题） 41．【典型易错题】某手工坊开设陶艺体验课，每期报名人数为x人（x为整数，10≤x≤40），每人收费y元，y与x之间满足y＝200－3x。每期报名多少人时，手工坊每期的收入最多？最多是多少元？ 　易错簇06　与方程的联系及实际应用（变式练） 42．函数y＝(m－1)＋2x＋1（m为常数）的图象与x轴恰好只有一个公共点，满足条件的m的所有值为(____)。 A．2 B．0 C．0或1 D．1或2 43．如图，抛物线y＝－x＋4与x轴有两个公共点，图中已标出A，B两点。根据图象，写出使y＞0成立的x的取值范围：________。 44．抛物线y＝－4x＋k与x轴的两个公共点A，B都落在x轴的正半轴上（A，B不重合），则k的取值范围是(____)。 A．0＜k＜4 B．k＜4 C．k＞4 D．0＜k≤4 45．如图，在体育测试中，某同学投掷实心球，球出手后的高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是y＝＋＋2，则实心球落地点到出手点的水平距离是________m。 46．把直线y＝2x＋b向上或向下平移，使它与抛物线y＝－4x＋6只剩下一个公共点，此时常数b＝________。 47．直线y＝k与抛物线y＝－2x－4在－1≤x≤4的部分（包括两个端点）恰好有两个公共点，则k的取值范围是(____)。 A．－5＜k≤4 B．－5＜k≤－1 C．k＞－5 D．－5≤k≤－1 48．二次函数y＝－(n+3)x＋3n中含有常数n，n取不同的值时得到不同的抛物线。 (1)计算方程－(n+3)x＋3n＝0的根的判别式，并据此写出抛物线与x轴公共点的个数随n变化的情况； (2)记两个公共点为A，B，已知AB＝6，求n； (3)当n取(2)中较大的值时，求4≤x≤9时y的取值范围。 易错簇06　与方程的联系及实际应用　避坑口诀 口诀：函数不一定是二次，实际范围定取舍。本簇错因速查见下表。 易错点 典型错误 正确做法 “函数”与x轴的公共点 只用Δ＝0 二次项系数为0的一次函数情形单独讨论 公共点的位置 只用Δ＞0 再用两根之和、两根之积限定位置 实际问题的最值 直接取顶点 按自变量的实际范围（整数、上下限）取值 试卷第 1 页，共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $