四川省成都市锦江区成都嘉祥外国语学校2026-2027学年九上学期数学第一学月模拟练习

四川省成都市锦江区成都嘉祥外国语学校 2026—2027 学年 九上数学第一学月模拟练习（含答案） （考查范围：北师大版九年级上册第一章《特殊平行四边形》、第二章《一元二次方程》、第三章《概率的进一步认识》） （全卷分 A 卷、B 卷，A 卷满分 100 分，B 卷满分 50 分，全卷共 150 分；考试时间 120 分钟） 姓名 班级 考号 得分 题号 一 二 三 总分 得分 注意事项：1．全卷分 A 卷和 B 卷，A 卷为必答题，B 卷为附加题，所有答案写在答题区或答题卡相应位置； 　　　　　　　2．本卷可用科学计算器，解答题须写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤。 A 卷（共 100 分） 一、选择题（共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分。每小题只有一个选项符合题意） 1．下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A．x² − 2x = 0 C．x² + 1/x = 1 B．x + 2y = 3 D．ax² + bx + c = 0 2．矩形、菱形、正方形都具有的性质是（　　） A．四条边都相等 C．四个角都是直角 B．对角线互相垂直 D．对角线互相平分 3．方程 x(x − 2) = x − 2 的解是（　　） A．x = 1 C．x₁ = −1，x₂ = 2 B．x₁ = 1，x₂ = 2 D．x = 2 4．一个菱形的两条对角线长分别为 6 和 8，则这个菱形的边长为（　　） A．5 C．24 B．10 D．7 5．某射击运动员在同一条件下进行射击，结果如下表。根据频率估计这名运动员射击一次命中 10 环的概率为（　　） 射击次数 n：10　　20　　50　　100　　200命中 10 环次数：6　　17　　42　　85　　169 A．0.6 C．0.9 B．0.85 D．1 6．关于 x 的一元二次方程 2x² − 7x + 3 = 0 的两个根是（　　） A．x₁ = 3，x₂ = ½ C．x₁ = 3，x₂ = −½ B．x₁ = −3，x₂ = −½ D．x₁ = −3，x₂ = ½ 7．如图，在菱形 ABCD 中，∠BAD = 60°，AB = 4，则对角线 AC 的长为（　　） （第 7 题图） A．2 C．2√3 B．4 D．4√3 8．对于实数 a、b，定义新运算“⊕”：a ⊕ b = a² − b² + ab。据此规定，方程 x ⊕ 2 = 0 的根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 B．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 二、填空题（共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分。把答案填在横线上） 9．如图，矩形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，AB = 6，BC = 8。则对角线 BD 的长为　　　　；顺次连接这个矩形四边中点所得的四边形的周长为　　　　。 （第 9 题图） 10．如图，四边形 ABCD 的对角线 AC⊥BD，AC = 8，BD = 6，E、F、G、H 分别是边 AB、BC、CD、DA 的中点。则四边形 EFGH 的形状是　　　　，它的周长为　　　　。 11．已知一元二次方程 x² − 5x + 6 = 0 的两个根为 x₁、x₂。则 x₁ + x₂ =　　　　；x₁² + x₂² =　　　　。 12．为了解某校九年级学生的体育测试成绩，随机抽取了 40 名学生，其中成绩为“优秀”的有 10 人。则用频率估计该校九年级 200 名学生中体育测试成绩为“优秀”的人数约为　　　　人。 13．观察下列等式： 第 1 个等式：1² + 5×1 + 4 = (1+1)(1+4)； 第 2 个等式：2² + 5×2 + 4 = (2+1)(2+4)； 第 3 个等式：3² + 5×3 + 4 = (3+1)(3+4)；…… 则第 n 个等式是（用含 n 的式子表示）：　　　　　　　　。 三、解答题（共 5 小题，共 48 分。解答应写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤） 14．（本小题满分 10 分）用配方法解方程：x² + 6x − 7 = 0。 　 　 　 　 　 　 　 15．（本小题满分 8 分）用因式分解法解方程：(2x − 1)² = 3(2x − 1)。 　 　 　 　 　 　 16．（本小题满分 8 分）用公式法解方程：3x² − 2x − 2 = 0。（结果保留根号） 　 　 　 　 　 　 17．（本小题满分 10 分）为响应“阳光体育”号召，某学校准备开展校园篮球赛。原计划每班每天安排一场比赛，经了解后决定：每天的比赛场数在原计划基础上增加 x 场，且增加后的比赛场数是原计划的 (1 + x) 倍。已知原计划每天 5 场，调整后每天共安排 7.2 场。 （1）求 x 的值； （2）若调整后每天安排 (5 + 5x) 场，求调整后每天比原来多安排多少场。 　 　 　 　 　 　 　 18．（本小题满分 12 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB = 6，AD = 6，E 为 CD 边上一点，DE = 4。将矩形沿直线 AE 折叠，使点 D 落在点 D′ 处。 （1）求折痕 AE 的长； （2）判断点 D′ 是否落在边 BC 上，并说明理由； （3）连接 D′E，判断 △AD′E 的形状，并说明理由。 （第 18 题图） B 卷（共 50 分） 一、填空题（共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分。把答案填在横线上） 19．一个不透明的口袋中装有编号为 1、2、3、4 的四张形状相同的卡片，从中随机摸出一张记下编号后不放回，再从中随机摸出一张。则两次摸出的卡片编号之和为 5 的概率为　　　　。 20．为了解某年级 40 名学生的身高情况，测得数据后整理成频率分布直方图（组距为 2 cm）。从左至右五组小长方形的高依次为 0.05、0.1、0.2、0.1、0.05。则身高在 60.5 cm～62.5 cm 之间的学生有　　　　人。 21．若关于 x 的方程 x² − (3k − 1)x + 2k² − k = 0 的一个根的另一个根恰为其 2 倍（即两根之比为 1∶2），则 k 的值为　　　　。 22．如图，矩形 ABCD 中，AB = 10，BC = 8，点 P 从点 A 出发沿 AB 以每秒 2 个单位长度的速度向点 B 运动，点 Q 从点 B 出发沿 BC 以每秒 1 个单位长度的速度向点 C 运动。P、Q 同时出发，当其中一点到达终点时两点同时停止。设运动时间为 t 秒。若某时刻 PQ 的长为 8，则 t 的值为　　　　。 （第 22 题图） 23．若关于 x 的方程 (k − 1)x² − 2kx + k + 1 = 0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是　　　　。 二、解答题（共 3 小题，共 30 分。解答应写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤） 24．（本小题满分 8 分）甲、乙两人用两个转盘做游戏，规则如下：同时转动转盘 A 和转盘 B 各一次（若指针落在分界线上则重转），将两个指针所指区域的数字相加，若和为偶数则甲获胜，若和为奇数则乙获胜。转盘 A 被三等分，分别标有数字 1、2、3；转盘 B 被三等分，分别标有数字 1、2、3。 （1）用列表法或画树状图法求两转盘指针所指数字之和的所有可能结果； （2）求 P（和为偶数）与 P（和为奇数），并判断这个游戏是否公平。 （第 24 题图） 25．（本小题满分 10 分）如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC⊥BD，垂足为 O，E、F、G、H 分别是边 AB、BC、CD、DA 的中点。 （1）求证：四边形 EFGH 是矩形； （2）若 AC = 8，BD = 6，求矩形 EFGH 的面积。 （第 25 题图） 26．（本小题满分 12 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB = 8，AD = 6，E 是 CD 边上一点，DE = 4.5。将矩形沿直线 AE 折叠，使点 D 落在点 D′ 处。 （1）求 AE 的长，并说明点 D′ 落在对角线 BD 上； （2）求线段 AD′ 与 D′E 的长； （3）点 P 从点 A 出发沿 AB 以每秒 1 个单位长度的速度向点 B 运动，点 Q 从点 B 出发沿 BC 以每秒 1 个单位长度的速度向点 C 运动。P、Q 同时出发，当其中一点到达终点时两点同时停止，设运动时间为 t 秒。连接 PQ，在点 P、Q 的运动过程中，是否存在某一时刻 t，使 △PBQ 为等腰三角形？若存在，求出 t 的值；若不存在，说明理由。 （第 26 题图） 参考答案与评分标准 A 卷（100 分）＋B 卷（50 分），全卷共 150 分 一、选择题（每小题 4 分，共 32 分） 1．A　　2．D　　3．B　　4．A　　5．D　　6．A　　7．B　　8．B 简要理由： 1．A 只含一个未知数且最高次数为 2、二次项系数 1≠0，是一元二次方程；B 是二元一次方程；C 含 1/x 不是整式方程；D 未说明 a≠0，不一定。 2．矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，都具有平行四边形共有的性质——对角线互相平分。 3．移项得 (x−2)(x−1)=0，故 x₁=1，x₂=2，选 B。 4．对角线一半分别为 3、4，边长 = √(3²+4²) = 5，选 A。 5．频率依次为 0.6、0.85、0.84、0.85、0.845，稳定在 0.85 附近，估计概率为 0.85，选 D。 6．2x²−7x+3=0，Δ=49−24=25，x=(7±5)/4，得 x₁=3，x₂=½，选 A。 7．菱形中 AB=AD，∠BAD=60°，故 △ABD 为等边三角形，BD=AB=4；又 BD 与 AC 互相垂直平分，∠ABO=30°，AO=AB·cos30°=4×(√3/2)=2√3，AC=2AO=4√3，选 B。 8．x⊕2=x²−4+2x=0，即 x²+2x−4=0，Δ=4+16=20>0，有两个不相等的实数根，选 B。 二、填空题（每小题 4 分，共 20 分） 9．10；20　　10．矩形；14　　11．5；13　　12．50　　13．(n+1)(n+4)＝n²+5n+4 9．BD=√(6²+8²)=10；矩形四边中点连线为菱形，边长等于对角线一半即 5，周长 20。 10．对角线垂直的四边形的中点四边形是矩形；各边长分别为 4、3，周长 2×(4+3)=14。 11．由根与系数关系 x₁+x₂=5，x₁x₂=6，故 x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²−2x₁x₂=25−12=13。 12．样本频率=10/40=0.25，估计 200×0.25=50（人）。 13．观察规律：左边为 n²+5n+4，右边可分解为 (n+1)(n+4)。 三、解答题（A 卷，共 48 分） 14．（10 分）解方程 x²+6x−7=0。 解：移项，得 x²+6x=7。　　　　　　　　　　　　　　　　　（2 分） 配方，得 x²+6x+9=7+9，即 (x+3)²=16。　　　　　　　　（6 分） 开平方，得 x+3=±4。　　　　　　　　　　　　　　　　　　（8 分） ∴ x₁=1，x₂=−7。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（10 分） 验算：x=1 时 1+6−7=0；x=−7 时 49−42−7=0，均成立。 15．（8 分）解方程 (2x−1)²=3(2x−1)。 解：移项，得 (2x−1)²−3(2x−1)=0。　　　　　　　　　　（2 分） 提取公因式，得 (2x−1)(2x−1−3)=0，即 (2x−1)(2x−4)=0。　（5 分） ∴ 2x−1=0 或 2x−4=0。　　　　　　　　　　　　　　　　（6 分） ∴ x₁=½，x₂=2。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（8 分） 验算：x=½ 时 0=0；x=2 时 9=9，均成立。 16．（8 分）解方程 3x²−2x−2=0。 解：a=3，b=−2，c=−2。　　　　　　　　　　　　　　　　（1 分） Δ=b²−4ac=(−2)²−4×3×(−2)=4+24=28。　　　　　　　　（3 分） 由求根公式 x=(−b±√Δ)/(2a)，得 x=(2±√28)/6=(2±2√7)/6。　（6 分） ∴ x₁=(1+√7)/3，x₂=(1−√7)/3。　　　　　　　　　　　（8 分） 17．（10 分） 解：（1）由题意，增加后的比赛场数是原计划的 (1+x) 倍，原计划每天 5 场，故有 　　5(1+x)=7.2。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（3 分） 　　解得 1+x=1.44，x=0.44。　　　　　　　　　　　　　　（5 分） 　　即调整后每天比原来多安排 44%。 　　（2）调整后每天比原来多安排 5x=5×0.44=2.2（场）。　（8 分） 　　答：调整后每天比原来多安排 2.2 场。　　　　　　　　（10 分） 验算：5×(1+0.44)=5×1.44=7.2，与题意相符。 18．（12 分） 解：（1）在矩形 ABCD 中，∠D=90°，AD=6，DE=4， 　　∴ AE=√(AD²+DE²)=√(6²+4²)=√(36+16)=√52=2√13。　（3 分） 　　（注：AE=√52=2√13≈7.21。） 　　（2）点 D′ 落在边 BC 上。理由如下： 　　由折叠性质，AD′=AD=6。 　　在 Rt△ABD′ 中，AB=6，AD′=6，故 BD′=√(AB²+AD′²)=√(36+36)=6√2。 　　而 BC=AD=6，点 B 到 C 的距离为 6，故 D′ 在 BC 上时 BD′=6， 　　此时 AD′=AB=6，△ABD′ 为等腰直角三角形，∠ABD′=45°。 　　故 D′ 确在边 BC 上，且 BD′=6，D′ 与 C 重合。　　　（7 分） 　　（3）△AD′E 是等腰三角形。理由如下： 　　由折叠性质，D′E=DE=4，AD′=AD=6， 　　在 Rt△AD′E 中，AE 为斜边，AE=2√13， 　　AD′≠D′E，且 AD′²+D′E²=36+16=52=AE²，故 ∠AD′E=90°。 　　又 D′E=DE=4，故 △AD′E 是以 D′E、DE 为腰的等腰三角形（实际为等腰直角三角形）。　（12 分） B 卷（50 分） 一、填空题（每小题 4 分，共 20 分） 19．⅓　　20．16　　21．⅔　　22．(28−2√71)/5　　23．k≠1 19．不放回抽两张共有 4×3=12 种等可能结果，编号和为 5 的有 (1,4)、(4,1)、(2,3)、(3,2) 共 4 种，故 P=4/12=⅓。 20．各组频率依次为 0.1、0.2、0.4、0.2、0.1，合计 1。第三组频率 0.4，人数 40×0.4=16。 21．设两根为 t、2t，则 t+2t=3t=3k−1，t·2t=2t²=2k²−k。由 t=(3k−1)/3 代入得 2·(3k−1)²/9=2k²−k，整理得 9k=6，k=⅔。此时 Δ=⅑>0，两根为 ⅓、⅔，符合。 22．P(2t,0)，Q(10,8−t)，PQ²=(10−2t)²+(8−t)²=64，整理得 5t²−56t+100=0，解得 t=(56±√1136)/10=(28±2√71)/5。其中 t=(28+2√71)/5≈8.97>5 不合题意，舍去，故 t=(28−2√71)/5。 23．二次项系数 k−1≠0，即 k≠1；此时 Δ=(−2k)²−4(k−1)(k+1)=4k²−4(k²−1)=4>0 恒成立，故只需 k≠1。 二、解答题（B 卷，共 30 分） 24．（8 分） 解：（1）列表如下（横排为转盘 A，竖排为转盘 B）： A＼B 1 2 3 1 2 3 4 2 3 4 5 3 4 5 6 共有 9 种等可能结果，两数字之和分别为 2、3、4、3、4、5、4、5、6。　（4 分） （2）和为偶数的结果有 (1,1)、(2,2)、(3,3)、(1,3)、(3,1) 共 5 种， 　　∴ P（和为偶数）=5/9； 　　P（和为奇数）=4/9。　　　　　　　　　　　　　　　　（7 分） 　　∵ 5/9≠4/9，甲、乙获胜的概率不相等， 　　∴ 这个游戏不公平。　　　　　　　　　　　　　　　　（8 分） 25．（10 分） 证明：（1）连接 AC、BD。 　　∵ E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点， 　　∴ 在 △ABC 中，EF 是中位线，EF∥AC，EF=½AC； 　　在 △ADC 中，HG 是中位线，HG∥AC，HG=½AC； 　　在 △ABD 中，EH 是中位线，EH∥BD，EH=½BD； 　　在 △BCD 中，FG 是中位线，FG∥BD，FG=½BD。　　（4 分） 　　∴ EF∥HG 且 EF=HG，EH∥FG 且 EH=FG， 　　∴ 四边形 EFGH 是平行四边形。 　　∵ AC⊥BD，EF∥AC，EH∥BD， 　　∴ EF⊥EH，即 ∠HEF=90°。 　　∴ 四边形 EFGH 是矩形。　　　　　　　　　　　　（7 分） 　　（2）由（1）知 EF=½AC=4，EH=½BD=3， 　　∴ 矩形 EFGH 的面积 = EF·EH = 4×3 = 12。　　　（10 分） 26．（12 分） 解：（1）在 Rt△ADE 中，AD=6，DE=4.5，∠D=90°， 　　AE=√(AD²+DE²)=√(36+20.25)=√56.25=7.5。　　（2 分） 　　设 D′ 落在 BD 上，由折叠性质 AD′=AD=6。 　　在 Rt△ABD 中，BD=√(AB²+AD²)=√(64+36)=10。 　　设 BD′=m，则 D′ 分 BD 为 BD′=m、D′D=m′。 　　∵ ∠ABD=∠BDA′（折叠对应角相等），而 tan∠ABD=AD/AB=6/8=¾， 　　∴ D′ 到 AB 的距离 = BD′·sin∠ABD = m·(6/10) = 0.6m； 　　又 AD′=6，由 AD′²=AB·BD′·cos²∠ABD + …… 　　直接由坐标法：以 A 为原点，AB 所在直线为 x 轴，AD 所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系， 　　则 B(8,0)、D(0,6)、D′(x,y) 在 BD：y=−¾x+6 上，且 x²+y²=36。 　　代入 y=−¾x+6 得 x²+(−¾x+6)²=36，即 25/16 x²−9x=0， 　　解得 x=0（舍去，此时为点 D）或 x=144/25=5.76。　（5 分） 　　∴ y=−¾×144/25+6=42/25=1.68，即 D′(5.76,1.68) 在 BD 上，命题成立。 　　（2）AD′=6（折叠性质）； 　　D′E=√((5.76−4.5)²+(1.68−6)²)=√(1.5876+18.6624)=√20.25=4.5=DE。　（8 分） 　　（3）存在。 　　由题意，PB=8−t，BQ=t（0<t≤6），∠PBQ=90°。 　　△PBQ 为等腰三角形，分三种情况讨论： 　　① 当 PB=BQ 时，8−t=t，解得 t=4，此时 0<4≤6，符合题意； 　　② 当 PB=PQ 时，由 PQ²=PB²+BQ² 得 PB²=PB²+BQ²，即 BQ²=0，t=0，此时 P、Q 与 A、B 重合，构不成三角形，舍去； 　　③ 当 BQ=PQ 时，由 PQ²=PB²+BQ² 得 BQ²=PB²+BQ²，即 PB²=0，8−t=0，t=8>6，不合题意，舍去。　（11 分） 　　综上，存在 t=4 秒，使 △PBQ 为等腰三角形。　　（12 分） 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $