九年级上册第一学月模拟试卷（2）2026-2027学年华东师大版九年级数学上册

2026年九年级第一学月模拟试卷2 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下列式子一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式的定义，要求被开方数非负，逐项判断即可． 【详解】解：A．当时，无意义，不是二次根式； B．，一定是二次根式； C．当时，无意义，不是二次根式； D．当时，无意义，不是二次根式； 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的定义；熟练掌握二次根式对被开方数的要求是解题的关键． 2．下列等式中，错误的是（      ） ①，②，③，④； A．①② B．①②③ C．①②④ D．②③④ 【答案】B 【分析】根据二次根式有意义的条件判断． 【详解】解：①②③都应该有一定的取值范围，a≥0，b≥0，故错误； 而④中的、已经隐含了a≥0，b≥0的条件，故正确． 故选B． 【点睛】注意：二次根式和被开方数都是非负数． 3．下列方程中，是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的定义进行逐项判断即可． 【详解】、中无，此选项不符合题意； 、是分式方程，此选项不符合题意； 、是一元二次方程，此选项符合题意； 、即，中最高指数为，此选项不符合题意； 故选：． 【点睛】此题考查了一元二次方程的概念，解题的关键是正确理解只有一个未知数且未知数最高次数为的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是． 4．若在实数范围内有意义，则满足的条件为（    ） A． B． C．且 D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，解题关键是掌握二次根式有意义的条件是被开方数是非负数；分式有意义的条件是分式的分母不能为0．据此求解即可． 【详解】解：在实数范围内有意义， ，， ，且， 故选：C． 5．下列命题正确的是（    ） A．已知：线段，则是比例线段 B．关于的方程是一元二次方程 C．已知点是函数图象上的两点，则 D．角都对应相等的两个多边形是相似多边形，边都对应成比例的多边形也是相似多边形 【答案】B 【分析】根据比例线段定义、一元二次方程定义、反比例函数增减性比较函数值大小及多边形相似的定义逐项判断即可得到答案． 【详解】解：A、根据线段成比例的定义，线段，，，，有，从而不是成比例线段，该命题错误，不符合题意； B、根据一元二次方程定义，，关于x的方程是一元二次方程正确，符合题意； C、已知点，是函数图像上的两点，结合反比例函数图像的增减性，当时，在每一个象限内，随的增大而增大，因此当时，，该命题错误，不符合题意； D、根据多边形相似的定义，各角都对应相等、且各边都对应成比例的两个多边形是相似多边形，该命题错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查命题真假判断，比例线段定义、一元二次方程定义、反比例函数增减性比较函数值大小及多边形相似的定义等知识，熟记相关定义是解决问题的关键． 6．定义新运算：．例如，，关于的方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查新定义运算与一元二次方程根的判别式，先根据新定义将方程整理为一元二次方程的一般形式，再计算根的判别式，根据判别式的符号判断根的情况． 【详解】根据新运算，将展开得， 整理为一元二次方程一般式得， 计算根的判别式： ， 又任意实数的平方非负，即， ， 方程有两个不相等的实数根． 7．已知关于的方程，下列说法中正确的是（    ） A．当时，方程无解 B．当时，方程有两个相等的实数根 C．当时，方程有两个相等的实数根 D．当时，方程总有两个不相等的实数根 【答案】C 【分析】本题分别代入不同值，结合一元一次方程根的定义和一元二次方程根的判别式，判断各选项的正误即可． 【详解】解：A、当时，原方程变为，解得，方程有解，故此选项错误； B、当时，原方程变为，解得，方程有两个不相等的实数根，故此选项错误； C、当时，原方程变为，整理得，解得，方程有两个相等的实数根，故此选项正确； D、当时，原方程为一元二次方程，根的判别式，当时，，方程有两个相等的实数根，故此选项错误． 8．定义：关于的一元二次方程与称为“同形二次方程”（）．现有关于的方程与方程是“同形二次方程”．则代数式的最大值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由“同形二次方程”对变形，从而确定，得出关于的等式求解出的值，代入代数式，通过配方，结合平方非负性判断即可得到答案． 【详解】解：关于的方程与方程是“同形二次方程”， 则将方程变形为， 由“同形二次方程”定义可知， “同形二次方程”定义中， ， 则两边同时除以得， ， 由②得， 将代入①得， ∴代数式． 9．已知，是一元二次方程的两根，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，先对代数式进行化简；再根据一元二次方程两根据之和为：，即可求出结果． 【详解】 ． ∵，是一元二次方程的两根， ， ． 故选：B． 10．下图是数学课上，解方程接力赛时的接力过程，计算步骤最先出错的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据解一元二次方程的一般步骤即可求解，熟练掌握运算方法是解题的关键． 【详解】解：，即：， 开方，得：， 则计算步骤最先出错的是甲， 故选A． 11．已知实数m，n在数轴上的位置如图所示，则化简后为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据完全平方公式和二次根式性质，推出，再结合数轴去掉式子绝对值，即可解题． 【详解】解： 由图知，，， 上式， 故选：C． 【点睛】本题考查完全平方公式，二次根式性质，根据数轴判断式子大小，以及绝对值化简，解题的关键在于熟练掌握相关性质． 12．已知x、y是实数，，则2x-y的值是（   ） A．6 B．-6 C．-1 D．0 【答案】B 【分析】先化简原式，再根据几个非负数之和为零，则每一个非负数都是零求出x和y的值，最后代入代数式即可求解． 【详解】将原等式化简可得：， 根据题意可得：， 解得：， 则原式， 故选B． 【点睛】本题考查代数式求值，解题的关键是掌握根据非负数的性质列式求出未知数的值． 13．把根号外的因式移到根号内，结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据二次根式有意义得出，再根据二次根式的性质化简即可． 本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意得， ∴， ∴， 故选：A． 14．已知3是关于x的方程的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰的两条边的边长，则的周长为（    ） A．7 B．10 C．11 D．10或11 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程解的定义，构成三角形的条件，等腰三角形的定义，先把代入原方程求出m的值，进而解方程求出或，再分当腰长为3时，则底边长为4，当腰长为4时，则底边长为3，两种情况利用构成三角形的条件进行求解即可． 【详解】解：∵3是关于x的方程的一个实数根， ∴， 解得， ∴原方程为， 解方程得或， 当腰长为3时，则底边长为4， ∵， ∴此时能构成三角形， ∴此时的周长为； 当腰长为4时，则底边长为3， ∵， ∴此时能构成三角形， ∴此时的周长为， 综上所述，的周长为10或11， 故选D． 二、填空题 15．已知的算术平方根为a，则关于x的方程的根为____________． 【答案】x1=5，x2=1． 【分析】先根据算术平方根求出a的值，在代入解一元二次方程即可． 【详解】解：∵=9， 9的算术平方根是3， ∴a=3， ∴关于x的方程(x-a)2=4变为(x-3)2=4 ∴x-3=±2 解得x1=5，x2=1． 故答案为：x1=5，x2=1． 【点睛】本题考查了算术平方根的求法和一元二次方程的解法，做题的关键是求出a的值． 16．比较大小：______-． 【答案】＜ 【分析】根据二次根式的性质即可求解． 【详解】解：∵=，-= ∴＜ 故答案为：＜． 【点睛】此题主要考查二次根式的大小比较，解题的关键是熟知二次根式的性质． 17．已知，则＝_____． 【答案】． 【分析】直接利用已知用同一未知数表示出x，y，z的值，进而化简得出答案． 【详解】解：∵， ∴设x＝4a，则y＝3a，z＝2a， 则＝＝． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解答此题的关键． 18．已化简的和是同类二次根式，则a+b＝_____． 【答案】 【分析】根据根指数及被开方数分别相同可列出方程，解出后可得出a和b的值，代入可得出答案． 【详解】解：已化简的和是同类二次根式， 可得：， 解得：， 把a＝，b＝代入a+b＝ 故答案为：． 【点睛】本题考查同类二次根式定义以及建立方程组求出解，再代入求值的问题，这类问题是典型题目． 19．已知关于的方程（a，b，m均为常数，且，）的两个解是和，则方程的解是_________． 【答案】或/或 【分析】首先根据一元二次方程解的定义求出和的值，然后代入所求方程整理求解即可． 【详解】解：∵方程的解为：和， ∴，解得：， ∵， ∴， ∴， ∴或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查解一元二次方程的拓展应用，掌握解一元二次方程的基本方法是解题关键． 20．已知实数满足，那么的值为_________． 【答案】1 【分析】令，原式变形为解方程可求得的值，再根据，即可求得的值． 【详解】令，原式变形为， ∴， 解得或， ∵， ∴， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了利用换元法和因式分解法解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 21．甲、乙两个同学分别解一个一元二次方程，甲因把一次项系数看错了，而解得方程的两根为和，乙把常数项看错了，而解得两根为和，则原方程是 ______． 【答案】x2-4x-15=0 【分析】根据题意结合一元二次方程根与系数的关系，即可求解． 【详解】解：设原方程是x2+bx+c=0， ∵已知中甲因把一次项系数看错了，故常数项正确； ∴c=-3×5=-15， ∵乙把常数项看错了，故一次项正确； ∴-b=2++2-=4， ∴b=-4， ∴原方程是x2-4x-15=0， 故答案为：x2-4x-15=0． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程() 的两根时，，． 三、解答题 22．（1）计算：； （2）解方程：； （3）因式分解：； （4）当，时，求的值． 【答案】（1） （2）， （3） （4） 【分析】（1）先利用二次根式的性质化简各项，然后按照二次根式的混合运算法则进行计算即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可； （3）先将原式变形为，再变形为，然后利用平方差公式分解因式即可； （4）将化简为，然后将，代入化简结果求值即可． 根据二次根式的运算法则进行计算即可． 【详解】解：（1） ； （2）， ， ， 解得：，； （3） ； （4），， ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，公式法解一元二次方程，平方差公式分解因式，二次根式的化简求值等知识点，熟练掌握一元二次方程的解法、分解因式的方法及二次根式的运算法则是解题的关键． 23．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根． (2)若方程有两个实数根、，且，求k的值． 【答案】(1) 证明：∵关于x的一元二次方程为， ∴ ， ∴无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2) 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式进行求解即可； （2）先利用根与系数的关系得到，再由得到关于k的方程，解方程即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根、， ∴， ∵， ∴， 解得． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根；对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则． 24．如图，已知E是平行四边形ABCD中DA边的延长线上一点，且AD＝2AE，连接EC分别交AB，BD于点F，G． （1）求证：BF＝2AF； （2）若BD＝20cm，求DG的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）12cm． 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AB∥CD，AD∥BC，利用平行线分线段成比例定理进行分析从而得到结论； （2）根据平行四边形的性质AB=CD，则利用BF=2AF得到BF＝AB＝CD，再利用BF∥CD，根据平行线分线段成比例定理得到＝＝，然后根据比例的性质求DG的长． 【详解】解：（1）∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC， ∵AF∥CD， ∴＝＝， ∵AE∥BC， ∴＝＝， ∴BF＝2AF； （2）解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB＝CD， 而BF＝2AF， ∴BF＝AB＝CD， ∵BF∥CD， ∴＝＝， ∴＝， ∴DG＝BD＝×20＝12cm． 【点睛】本题考查平行四边形的性质：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等；平行四边形的对角线互相平分，同时也考查了相似三角形的判定与性质． 25．（10 分）2025 年 9 月 21 日早晨 7∶30，太原国际马拉松赛于五一广场前正式启幕．来自全球的跑者齐聚汾河两岸，以奔跑的姿态穿越这座历史悠久而又充满现代活力的城市．据统计，全程马拉松比赛的报名选手从 2023 年的 7500 人增加到 2025 年的 14700 人． (1)求全程马拉松比赛的报名人数的年均增长率； (2)某直播间以本次比赛的完赛包为参考，在比赛结束前以每套 224 元的原价，打包售卖运动能量包，平均每日卖出 30 套．比赛结束后，该直播间进行降价促销，平均每套每降低 8 元，每日可多卖出 5 套，每日最多可打包 70 套，已知平均每日收到货款为 10920 元，则每套降价多少元？ 【答案】(1)全程马拉松比赛的报名人数的年均增长率为 (2)每套降价56元 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设全程马拉松比赛的报名人数的年均增长率为，根据全程马拉松比赛的报名选手从 2023 年的 7500 人增加到 2025 年的 14700 人，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设每套降价个8元，则平均每日可卖出套，根据每日最多可打包 70 套，列出一元一次不等式，得a的取值范围，根据平均每日收到货款为 10920 元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设全程马拉松比赛的报名人数的年均增长率为，根据题意可得： ， 解得：，（舍去）， 答：全程马拉松比赛的报名人数的年均增长率为； （2）解：设每套降价个8元，则平均每日可卖出套，根据题意可得： ， 整理得：， 解得：，， 由题意知：， 解得：， 所以取7， 此时，， 答：每套降价56元． 26．在矩形ABCD中，AB＝2 cm，BC＝4 cm，点E、F、G、H开始分别从点A、B、C、D处同时出发．点E、G分别按A→B、C→D的方向以1cm/s的速度匀速运动，点F、H分别按B→C、D→A的方向以2 cm/s的速度匀速运动，当一个点到达端点时，其它各点都停止运动． (1)在运动中，四边形EFGH为哪种特殊的四边形？请说明理由； (2)运动几秒时，四边形EFGH的面积为5cm2； (3)运动几秒时，四边形EFGH的面积为4cm2，此时又为哪种特殊的四边形？请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）四边形EFGH面积为5cm2；（3）运动1秒时，四边形EFGH的面积为4cm2，此时四边形EFGH为菱形，理由：FE＝EH＝HG＝GF. 【分析】(1)利用已知得出△AEH≌△CGF,△EBF≌△GDH,再利用平行四边形的判定得出四边形EFGH为平行四边形; (2)根据四边形EFGH的面积为4cm,结合运动速度即可得出正好是1秒分别走到各自中点时; (3)根据运动时四边形EFGH的面积4是最小面积,8是最大面积即可得出答案. 【详解】(1)四边形EFGH为平行四边形，易得△EAH≌△FCG，△EBF≌△HDG， ∴EH＝FG，EF＝HG，∴EFGH为平行四边形； (2)设运动t秒，则4t2－8t＋8＝5，解得t1＝，t2＝，检验两解均合题意，故运动或秒时，四边形EFGH面积为5cm2； (3)设运动t秒，则4t2－8t＋8＝4，解得t1＝t2＝1，检验解符合题意， 此时四边形EFGH为菱形，理由：FE＝EH＝HG＝GF. 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质及菱形的判定与性质. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年九年级第一学月模拟试卷2 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下列式子一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．下列等式中，错误的是（      ） ①，②，③，④； A．①② B．①②③ C．①②④ D．②③④ 3．下列方程中，是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 4．若在实数范围内有意义，则满足的条件为（    ） A． B． C．且 D． 5．下列命题正确的是（    ） A．已知：线段，则是比例线段 B．关于的方程是一元二次方程 C．已知点是函数图象上的两点，则 D．角都对应相等的两个多边形是相似多边形，边都对应成比例的多边形也是相似多边形 6．定义新运算：．例如，，关于的方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 7．已知关于的方程，下列说法中正确的是（    ） A．当时，方程无解 B．当时，方程有两个相等的实数根 C．当时，方程有两个相等的实数根 D．当时，方程总有两个不相等的实数根 8．定义：关于的一元二次方程与称为“同形二次方程”（）．现有关于的方程与方程是“同形二次方程”．则代数式的最大值是（     ） A． B． C． D． 9．已知，是一元二次方程的两根，则的值为（    ） A． B． C． D． 10．下图是数学课上，解方程接力赛时的接力过程，计算步骤最先出错的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 11．已知实数m，n在数轴上的位置如图所示，则化简后为（    ） A． B． C． D． 12．已知x、y是实数，，则2x-y的值是（   ） A．6 B．-6 C．-1 D．0 13．把根号外的因式移到根号内，结果为（    ） A． B． C． D． 14．已知3是关于x的方程的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰的两条边的边长，则的周长为（    ） A．7 B．10 C．11 D．10或11 二、填空题 15．已知的算术平方根为a，则关于x的方程的根为____________． 16．比较大小：______-． 17．已知，则＝_____． 18．已化简的和是同类二次根式，则a+b＝_____． 19．已知关于的方程（a，b，m均为常数，且，）的两个解是和，则方程的解是_________． 20．已知实数满足，那么的值为_________． 21．甲、乙两个同学分别解一个一元二次方程，甲因把一次项系数看错了，而解得方程的两根为和，乙把常数项看错了，而解得两根为和，则原方程是 ______． 三、解答题 22．（1）计算：； （2）解方程：； （3）因式分解：； （4）当，时，求的值． 23．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根． (2)若方程有两个实数根、，且，求k的值． 24．如图，已知E是平行四边形ABCD中DA边的延长线上一点，且AD＝2AE，连接EC分别交AB，BD于点F，G． （1）求证：BF＝2AF； （2）若BD＝20cm，求DG的长． 25．（10 分）2025 年 9 月 21 日早晨 7∶30，太原国际马拉松赛于五一广场前正式启幕．来自全球的跑者齐聚汾河两岸，以奔跑的姿态穿越这座历史悠久而又充满现代活力的城市．据统计，全程马拉松比赛的报名选手从 2023 年的 7500 人增加到 2025 年的 14700 人． (1)求全程马拉松比赛的报名人数的年均增长率； (2)某直播间以本次比赛的完赛包为参考，在比赛结束前以每套 224 元的原价，打包售卖运动能量包，平均每日卖出 30 套．比赛结束后，该直播间进行降价促销，平均每套每降低 8 元，每日可多卖出 5 套，每日最多可打包 70 套，已知平均每日收到货款为 10920 元，则每套降价多少元？ 26．在矩形ABCD中，AB＝2 cm，BC＝4 cm，点E、F、G、H开始分别从点A、B、C、D处同时出发．点E、G分别按A→B、C→D的方向以1cm/s的速度匀速运动，点F、H分别按B→C、D→A的方向以2 cm/s的速度匀速运动，当一个点到达端点时，其它各点都停止运动． (1)在运动中，四边形EFGH为哪种特殊的四边形？请说明理由； (2)运动几秒时，四边形EFGH的面积为5cm2； (3)运动几秒时，四边形EFGH的面积为4cm2，此时又为哪种特殊的四边形？请说明理由． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $