14.3 角的平分线（性质+判定）同步练习 2026-2027学年人教版八年级数学上册

14.3 角的平分线 班级：__________ 姓名：____________ 第1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 一．选择题（共7小题） 1．用直尺和圆规作一个角的角平分线的示意图如图所示，其中说明△COE≌△DOE的依据是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 第1题图 第2题图 2．如图，OC平分∠AOB，在OC上取一点P，过P作PD⊥OB，垂足为D，点M是射线OA上一动点，连接PM，若PD＝7cm，则PM的长度不可能是（　　） A．9cm B．8cm C．7cm D．6cm 3．如图，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D，再分别以点C，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点P，作射线OP，连接CP，DP，下列结论不一定成立的是（　　） A．∠AOP＝∠BOP B．∠CPO＝∠DPO C．OC＝CP D．OC＝OD 第3题图 第4题图 4．如图，射线OC是∠AOB的平分线，D为射线OC上一点，DP⊥OA于点P，PD＝3，若Q是射线OB上一点，OQ＝5，则阴影部分的面积为（　　） A．15 B．5 C．3 D． 5．如图，AO，BO分别平分∠CAB，∠CBA，且点O到AB的距离OD＝2cm，△ABC的周长为28cm，则△ABC的面积等于（　　） A．7cm2 B．14cm2 C．21cm2 D．28cm2 第5题图 第6题图 6．如图，在△ABC中，∠ABC、∠FCA的平分线BP、CP交于点P，延长BA至E，BC至F，PM⊥BE于点M，PN⊥BF于点N，下列结论：①AP平分∠EAC；②∠ABC+2∠APC＝180°；③S△PAC＝S△MAP+S△NCP．其中正确的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二．填空题（共4小题） 7．如图，在∠ABC中，以点B为圆心，适当长为半径画弧交AB、BC于点M、N，分别以M、N为圆心，大于为半径画弧交于点P，作射线BP．D为BP上一点，DE∥BC交AB于点E，若∠1＝62°，则∠2的度数为________ ． 第7题图 第8题图 8．如图，在∠AOB的平分线上取一点P，过点P作PC⊥OA于点C，在射线OB上取一点D，连接PD．若OD＝6，△POD的面积为21，则PC的长为_____ ． 9．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝8，则点P到BC的距离是 _____ ． 第9题图 第10题图 10．如图，在△ABC中，∠ADC＝112°，点D在△ABC内部，且到三边的距离相等，则∠B＝________ ． 三．解答题（共5小题） 11．如图，在四边形ABCD中，BA＝BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N． 求证：（1）△ABD≌△CBD； （2）PM＝PN． 12．如图，D、E是AC上两点，F、G是AB上两点，且DE＝FG，S△ODE＝S△OFG，求证：点O在∠BAC的平分线上． 13．如图，已知BE＝CF，DE⊥AB交AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且BD＝CD． 求证：（1）△BED≌△CFD； （2）AD是∠BAC的平分线． 14．如图，∠B＝∠C＝90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC．求证：AE是∠DAB的平分线． 15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是Rt△ABC的一条角平分线，点O在BD上，过O点作OE⊥BC于E，OF⊥AC于F，OE＝OF． （1）求证：点O在∠BAC的平分线上； （2）若AC＝5，BC＝12，AB＝13，求OE的长． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 一．选择题（共7小题） 1．解：根据作图的过程可知： OC＝OD，CE＝DE，OE＝OE ∴△OCE≌△ODE（SSS） ∴∠COE＝∠DOE 故选：A． 2．解：如图，过点P作PE⊥OA，垂足为E， ∵点P是∠AOB的平分线上的一点，PD⊥OA，PE⊥OB， ∴PE＝PD＝7cm， 即点P到射线OA的最短距离是7cm， 因此PM不可能为6cm， 故选：D． 3．解：由作图可知OC＝OD，CP＝DP， ∵OP＝OP， ∴△OPC≌△OPD（SSS）， ∴∠AOP＝∠BOP，∠CPO＝∠DPO， 故选项A，B，D正确． 故选：C． 4．解：如图，过D作DE⊥OB于H， 根据角平分线的性质可得： ∴DE＝PD＝3， ∴； 故选：D． 5．解：过O作OM⊥BC于M，ON⊥AC于N，连接CO， ∵AO，BO分别平分∠CAB，∠CBA， ∴OM＝OD，ON＝OD＝2cm， ∵△ABC的面积＝△OBC的面积+△OAB的面积+△OAC的面积， ∴△ABC的面积BC•OMAB•ODAC•ON（BC+AB+AC）•OD， ∵△ABC的周长为28cm， ∴△ABC的面积28×2＝28（cm2）． 故选：D． 6．解：过点P作PD⊥AC于点D，如图， 由条件可知PM＝PN，∠PMB＝∠PNB＝90°， ∵PD⊥AC，PN⊥BF，PC平分∠ACF， ∴PD＝PN，∠PDA＝90°， ∴PD＝PM，∠PMB＝∠PDA＝90°， 在Rt△PMA和Rt△PDA中， ， ∴Rt△PMA≌Rt△PDA（HL）， ∴∠PAM＝∠PAD，即AP平分∠EAC，即①正确，符合题意； 同理证明Rt△PDC≌Rt△PNC， ∴∠DPC＝∠NPC， 由三角形全等可知∠MPA＝∠DPA， ∴∠MPN＝∠MPA+∠DPA+∠DPC+∠NPC＝2（∠DPA+∠DPC）＝2∠APC， ∵（∠PMB+∠MBP+∠BPM）+（∠PBN+∠BNP+∠NPB）＝180°+180°， ∴（∠PMB+∠BNP）+（∠BPM+∠NPB）+（∠PBN+∠MBP）＝180°+180°， 即（90°+90°）+∠MPN+∠ABC＝360°， ∴∠ABC+2∠APC＝180°，即②正确，符合题意； ∵Rt△PMA≌Rt△PDA，Rt△PDC≌Rt△PNC， ∴SRt△PMA＝SRt△PDA，SRt△PDC＝SRt△PNC， ∴SRt△PMA+SRt△PNC＝SRt△PDC+SRt△PDA， ∴S△PAC＝S△MAP+S△NCP，即③正确，符合题意； 故选：D． 二．填空题（共4小题） 7．解：∵DE∥BC， ∴∠ABC＝∠1＝62°，∠2＝∠DBC， 由作图可得BP是∠ABC的角平分线， ∴， ∴∠2＝∠DBC＝31°， 故答案为：31°． 8．解：过点P作PE⊥OB于点E，如图， ∵S△POD＝21， ∴， ∴PE7， ∵OP是∠AOB的平分线，PC⊥OA，PE⊥OD， ∴PC＝PE＝7． 故答案为：7． 9．解：如图所示，过点P作PE⊥BC于E， ∵AB∥CD，PA⊥AB， ∴PD⊥CD， ∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB， ∴PA＝PE，PD＝PE， ∴PE＝PA＝PD， ∵PA+PD＝AD＝8， ∴PA＝PD＝4， ∴PE＝4，即点P到BC的距离是4． 故答案为：4． 10．解：∵∠ADC＝112°， ∴∠CAD+∠ACD＝180°﹣∠ADC＝68°， ∵点D在△ABC内部，且到三边的距离相等， ∴点D在∠CAB的平分线上，且点D也在∠ACB的平分线上， ∴AD平分∠CAB，CD平分∠ACB， ∴∠CAD∠CAB，∠ACD∠ACB， ∴∠CAD+∠ACD（∠CAB+∠ACB）， ∵∠CAD+∠ACD＝68°， ∴∠CAB+∠ACB＝136°， ∴∠B＝180°﹣（∠CAB+∠ACB）＝180°﹣136°＝44°， 故答案为：44°． 三．解答题（共5小题） 11．证明：（1）∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD， 在△ABD和△CBD中 ∴△ABD≌△CBD（SAS）； （2）∵△ABD≌△CBD， ∴∠ADB＝∠CDB， ∵PM⊥AD，PN⊥CD， ∴PM＝PN． 12．证明：作OP⊥AC于P，OQ⊥AB于Q， ∵S△ODE＝S△OFG，DE＝FG， ∴OP＝OQ，OP⊥AC，OQ⊥AB， ∴点O在∠BAC的平分线上． 13．证明：（1）∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠BED＝∠CFD＝90°． 在Rt△BDE和Rt△CDF中， ， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）． （2）Rt△BDE≌Rt△CDF， ∴DE＝DF， ∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴AD是∠BAC的平分线． 14．证明：如图，E是BC的中点，∠B＝∠C＝90°，DE平分∠ADC，过点E作EF⊥AD于点F， ∴CE＝BE，EF＝CE， ∴EF＝BE， 又∵EF⊥AD，∠B＝90°， ∴AE是∠DAB的平分线． 15．（1）证明：过点O作OM⊥AB， ∵BD是∠ABC的一条角平分线， ∴OE＝OM， ∵OE＝OF， ∴OF＝OM， ∴AO是∠BAC的角平分线，即点O在∠BAC的平分线上； （2）解：∵点O在∠BAC的平分线上， ∴OE＝OF＝OM． ∵在Rt△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13， ∴S△ABC12×5＝30． ∵S△ABC＝S△OBC+S△AOC+S△AOB12OE5OE13OE30OE＝15OE＝30， ∴OE＝2． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $