山东聊城第二中学2025-2026学年高三上学期第二次月考数学试题

聊城二中2023级高三上学期第二次月考数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若复数满足，则的虚部为（    ） A． B．3 C． D．4 2．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 4．（    ） A． B． C． D．0 5．已知，，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 6．当时，，则下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 7．由于我国政府在新冠疫情方面控制的较好，各行各业都陆续复工复产，商丘豫东综合物流产业集聚区复工也在进行时.某公司要在此物流园区租地建仓库，每月土地占用费与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用和分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站(    ) A．5千米处 B．4千米处 C．3千米处 D．2千米处 8．已知等边三角形的边长为6，点满足，则（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．下列各式的值为的是（    ） A． B． C． D． 10．已知，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．与的夹角为 D．在方向上的投影向量是 11．已知函数的定义域为，，且函数为偶函数，则下面说法一定成立的是（    ） A．是奇函数 B． C．的图象关于对称 D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．求值 ． 13．函数的定义域是 . 14．已知点G是的重心，过点G作直线分别与两边相交于点M，N两点（点M，N与点B，C不重合），设，，则的最小值为 ． 四、解答题：本题共5题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，. （1）当时，求的解析式； （2）在上图直角坐标系中画出的图像，并且根据图像回答下列问题（直接写出结果）. ①的单调增区间； ②若方程有三个不等实根，实数的取值范围． 16．（15分）某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为元，出厂单价定为元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低元．根据市场调查，经销商一次订购量不会超过件． (1)设一次订购量为件，服装的实际出厂单价为元，写出函数的表达式； (2)当销售商一次订购件服装时，该服装厂获得的利润是多少元？（服装厂售出一件服装的利润=实际出厂单价-成本） 17．（15分）在中，角所对的边分别为，已知. (1)若，求角的大小； (2)若，求边上的高. 18．（17分）已知函数. (1)求函数的最小正周期及单调增区间； (2)若，求函数的值域． 19．（17分）定义：若一个函数存在极大值，且该极大值为负数，则称这个函数为“函数”． （1）判断函数是否为“函数”，并说明理由； （2）若函数是“函数”，求实数的取值范围； （3）已知，，、，求证：当，且时，函数是“函数”． ( 第 1 页 共 1 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 聊城二中2023级高三上学期第二次月考数学试题答案 一、选择题： 1．【答案】B 因为， 所以， 所以的虚部为3． 2．【答案】A 由题意，， 根据交集的定义， 3．【答案】D 命题“，”为存在量词命题，其否定是全称量词命题， 所以命题“，”的否定为：，． 4．【答案】C ， 5．【答案】C 由，得：， ，，解得：. 6．【答案】D 根据得到，因为， 当时，，从而可得，所以函数在内单调递增， 所以， 而，所以有. 7．【答案】A 不妨设仓库到车站的距离为千米， 根据题意可设，，， 又因为时，，，所以，， 从而， 当且仅当时，即时，不等式取等号，即两项费用之和最小， 故仓库赢建在离车站5千米处. 8．【答案】C 依题意，， 设是中点，连接， 由于三角形是等边三角形，所以，， 由于，所以， 所以四边形是矩形， 所以， 中，， 即 2、 选择题： 9．【答案】AD 对于A：，故A正确； 对于B：，故B错误； 对于C：因为， 所以， 解得或（舍去）， 所以，故C错误； 对于D：，故D正确； 10．【答案】AC 解：因为，， 所以，则，所以，故A正确； ，所以，故B错误； ，因为，所以，故C正确； 在方向上的投影向量是，故D错误； 11．【答案】AC 【分析】选项C，由于函数为偶函数，得到，进而替换变量得到，判断即可；选项A，由于，变量替换后得到，结合已知，即可判断奇偶性；选项B，已知，得到，变量替换后得到，得到函数的周期性，进而求得结果；选项D，已知，得到，，同样利用函数的周期性得到，即可求得结果. 【详解】对于选项C，是偶函数，得：， 将替换为，得：， 所以函数关于直线对称，选项C正确； 对于选项A，因为，将替换为，得：， 又因为，即， ，是奇函数，选项A正确； 对于选项B，，将替换为， 得：，所以4为函数的周期， 又因为是奇函数，且函数的定义域为，， ，选项B错误. 对于选项D，由已知， 分别代入，得：，， ， 同时4为的周期，，选项D错误. 故选：AC. 3、 填空题： 12．【答案】 . 13．【答案】 要使有意义，只需，解得， 故函数的定义域为， 14．【答案】4 由题设， 又共线，如下图，则，即，故， 而，则，    所以， 仅当，即时等号成立， 所以目标式最小值为4. 4、 解答题： 15．【答案】（1）当时，；（2）①的单调增区间；②的取值范围. （1）函数是定义在上的奇函数，且当时，， 当时，，， 所以当时，； （2）如图所示： ①的单调增区间； ②若方程有三个不等实根，实数的取值范围. 16．【答案】(1) (2)元 （1）解：当时，， 当时，， 所以. （2）解：设销售商的一次订购量为件时，工厂获得的利润为元， 则， 当时（元）， 因此，当销售商一次订购了件服装时，该厂获利的利润是元． 17【答案】(1) (2) （1）由正弦定理，，即， 因，故,即是锐角，故； （2） 如图，由余弦定理，， 知角是锐角，则， 作于点，在中，, 即边上的高是. 18【答案】(1)；增区间， (2) （1）因为 ， 所以 的最小正周期 ； 令 ， ，得 ，， 故增区间为，. （2）由 ，得 ，所以 故 ， 所以值域为 . 19．【答案】（1）是“函数”，理由见解析；（2）；（3）证明见解析. 【分析】（1）利用导数求出函数的极大值，结合题中定义判断即可； （2）分和两种情况讨论，利用导数分析函数的单调性，利用题中定义得出关于的不等式，进而可解得实数的取值范围； （3）求出函数的导数，利用导数分析函数的单调性，设函数的极值点分别为、，可知、是方程的两根，进而可列出韦达定理，结合韦达定理证明出函数的极大值为负数，由此可证得结论. 【详解】（1）函数是“函数”，理由如下： 因为，则， 当时，；当时，， 所以函数的极大值，故函数是“函数”； （2）函数的定义域为，. 当时，，函数单调递增，无极大值，不满足题意； 当时，当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 所以函数的极大值为， 易知，解得， 因此，实数的取值范围是； （3） ，因为，，则， 所以有两个不等实根，设为、， 因为，所以，，不妨设， 当时，，则函数单调递增； 当时，，则函数单调递减. 所以函数的极大值为， 由得， 因为，， 所以 ． 所以函数是“函数”． 【点睛】本题考查函数的新定义“函数”的应用，考查利用导数求函数的极值、利用极值求参数，同时也考查了利用导数证明不等式，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题. ( 第 1 页 共 1 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $