2.2立方根（知识梳理+同步练习）2026-2027学年苏科版八年级上册数学

2.2立方根（知识梳理+同步练习） 知识梳理 一、立方根的定义 如果一个数的立方等于（即），那么这个数叫做的立方根（三次方根）。 记作：，其中“3”是根指数，不能省略。 二、立方根的存在性与性质（核心） 1. 正数的立方根是正数。 2. 负数的立方根是负数。 3. 0的立方根是0。 总结：任意实数都有且只有一个立方根（和平方根最大区别）。 三、立方根重要公式 1. （立方根可以直接提取负号） 2. 3. （无绝对值，直接等于本身） 四、开立方运算 求一个数立方根的运算叫做开立方，开立方与立方互为逆运算。 适用所有实数，无取值限制。 五、平方根与立方根对比（必考辨析） 1. 平方根：仅非负数有，正数两个、0一个、负数无。 2. 立方根：全体实数都有，每个数只有唯一一个立方根。 3. 平方根根指数2可省略，立方根根指数3不可省略。 六、特殊数的方根结论 1. 0、1的平方根、立方根均为本身。 2. 的立方根为，没有平方根。 同步练习 一、单选题 1．下列各式正确的是（     ） A． B． C． D． 2．的相反数为（     ） A． B． C．7 D． 3．若，则的值为（     ） A． B． C． D． 4．下列结论中，正确的是（     ） A． B．是的一个平方根 C．的平方根是 D．的立方根是 5．若，，则（     ） A．13.33 B．28.72 C．133.3 D．287.2 6．下列判断：①的平方根是；②与互为相反数；③，则；④的算术平方根是．其中正确的有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 7．对于实数、，定义运算“※”如下：，则关于的结果，下列说法正确的是（     ） A．平方根是2 B．算术平方根是2 C．立方根是2 D．立方根是 8．若实数互为相反数，互为倒数，是16的平方根，则的值为（      ） A．8 B．26 C．10或26 D．8或24 9．如图，小雅制作了两个正方体礼盒，图1的正方体礼盒的表面积为，图2的正方体礼盒的体积比图1的正方体礼盒的体积大，则图2的正方体礼盒的表面积为（    ） A． B． C． D． 10．下列说法正确的有（   ） ①若与的和为，且，则； ②若是整数，关于、的二元一次方程组的解是整数，则满足条件的所有的值的和为； ③若方程组的解为，则方程组的解为； ④已知关于，的方程组无论取何值，和的值都不可能互为相反数． A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题 11．计算：______． 12．若一个正数的两个不同平方根是和，则的立方根为________． 13．如图，依据其呈现的运算关系，则的值为______________． 14．若实数x，y满足，则的立方根为 __． 15．已知，则的值为________． 16．若 ，则_____________． 17．将一个正方体铁块完全浸入圆柱形玻璃杯的水中，水位升高了．已知玻璃杯内部的底面半径为，则正方体的棱长为_________．（取，结果取整数） 18．数a、b、c在数轴上对应的位置如图，化简的结果为__________． 19．据说，我国著名的数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求出它的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座乘客很惊讶，忙问计算的奥妙．华罗庚是这样计算的： ①由，从而得出59319的立方根是一个两位数； ②由59319的个位数字是9，从而确定59319的立方根的个位数字是9； ③若划去59319后面的三位数319得到数59，而，，从而确定59319的立方根的十位数字是3． 请你按照上面的方法确定636056的立方根为______． 20．若实数a，b同时满足，，则的值为_____． 三、解答题 21．求下列各式中x的值： (1) (2) (3) (4) 22．已知正数的两个不相等的平方根分别是和，的立方根为．分别求出，，的值． 23．已知的立方根是，的算术平方根是，是的整数部分． (1)求，，的值； (2)求的平方根． 24．某校科技社团设计了一款智能计算器，该计算器具有特殊的“变换数对”功能． 定义：对于输入的数对，其中．计算器会先将进行开立方运算得到，即，再将的算术平方根取相反数得到，即，最后输出两个结果和，将这两个输出结果称为数对的“变换数对”． 例如：数对的“变换数对”为和． (1)下列选项不可能为某数对的“变换数对”结果的是________； A． B． C． D． (2)若输入数对，则输出的“变换数对”结果为________； (3)社团成员小明输入某个数对后，发现输出的“变换数对”其中一个结果是，求和的值． 25．小明在学完立方根后，不知道如何在不使用计算器的情况下求出的立方根．同桌小华提醒他可以按照教材上数学家华罗庚的方法口算立方根，于是他们进行了下面的探究： ①首先进行估算：因为，，，所以，所以能确定是两位数． ②其次观察立方数：，，，，，，，，．由的个位上的数是，，确定的个位上的数是． ③接着划去后面的三位得到数，而，，，所以，所以，所以的十位上的数是，于是得到，即的立方根是． 请你根据小明和小华探究的方法完成下列问题： (1)填空：的立方根是一个______位数，其个位上的数是_______； (2)根据上面的步骤，请计算的立方根，并书写详细过程． 试卷第4页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D A B A B D C A B 1．C 【详解】解：对于A，，，A错误； 对于B，，，B错误； 对于C，，，C正确； 对于D，，，D错误． 2．D 【详解】解：，的相反数为， 即的相反数为． 3．A 【详解】解：， ， ． 4．B 【详解】解： A、，故A错误； B、∵，∴是的一个平方根，故B正确； C、的平方根是，故C错误； D、，的立方根是，故D错误． 5．A 【详解】解：∵ ， ∴ ， 又∵ ，， ∴ ． 6．B 【详解】解：∵正数的平方根有两个且互为相反数， ∴的平方根是，故①错误； ∵， ∴与互为相反数，故②正确； ∵，，且二者和为， ∴，， 解得，， ∴，故③正确； ∵， ∴的算术平方根不是，故④错误． 综上，正确的结论有个． 7．D 【详解】解：∵， ∴． ∵负数没有平方根和算术平方根，因此排除A、B选项， 又∵， ∴结果的立方根是，D正确． 8．C 【详解】解： a，b互为相反数，c，d互为倒数，m是16的平方根， ，，， 当时， ； 当时， ； 综上：的值为10或26． 9．A 【详解】解：设图1正方体棱长为，图2正方体棱长为， 图1正方体表面积为， ， 解得， 图1正方体体积为， 图2正方体体积比图1大， 图2正方体体积为， ， 解得， 图2正方体表面积为． 10．B 【详解】解：逐一判断各说法： ① ∴， 整理得， 联立， 解得，即. 故①错误； ② 解方程组， 两式相加得， ∴， 代入得：， ∵是整数，均为整数， ∴是和的公约数，即， 解得， 所有满足条件的的值的和为， 故②正确； ③ 令， 由已知原方程组的解为， 可得， 解得，与题目给出的解不符， 故③错误； ④ 解方程组， 解得， 若互为相反数，则，即，等式不成立. 故无论取何值，和都不可能互为相反数， 故④正确； 综上，正确的说法有个， 故选：B. 11． 【详解】解：∵， ∴． 12． 【详解】解： 一个正数的两个不同平方根互为相反数， ， 去括号，合并同类项得 ， 解得， ， 的立方根为. 13． 【详解】解：∵，， ∴， 解得：， ∴， ∴． 14．4 【详解】解：由题意可得， 解得， ∵， ∴， ∴， ∴的立方根，即． 15．34.56 【详解】解：， ． 16．或 【详解】解：由，得或 由， 两边同时立方得 当时，； 当时，． 17．9 【详解】解：设正方体的棱长为， 由题意得，， 将代入， 可得：， ， ， 正方体的棱长为． 18． 【详解】解：根据有理数a、b、c在数轴上的位置，得到，且， ∴， ∴ ． 19．86 【详解】解：，，， 的立方根是一个两位数； 的个位数字是，且只有个位数字为的数的立方，个位数字是， 的立方根的个位数字是； 划去后面的三位数，得到数， ，，， 的立方根的十位数字是； ∴的立方根为． 20．2 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，； 当时，则，则， ∵， ∴， 当，即时，， 解得， ∴，符合题意， ∴； 当，即，则，该方程无解； 当时， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，该方程无解， ∴综上：． 21．(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ， ； （3）解：， ， ； （4）解：， ， ， . 22．，， 【详解】解：正数的两个不相等的平方根分别是和， ， 解得， ， ． 的立方根为， ， 解得． 故，，． 23．(1)，， (2) 【详解】（1）解：的立方根是，的算术平方根是， ， 解得：； ， ， 是的整数部分， ； （2），，， ， 的平方根为． 24．(1)B (2) 和 (3) 【详解】（1）解：由定义得，对任意输入数对，，因此， 任意输出的变换数对为或，因此任意变换数对中必有一个数不大于0， 选项A、，，可能； 选项B、，两个数都大于0，不可能； 选项C、，可能； 选项D、，两个数都不大于0，可能； （2）解：输入数对，则， ∴，， ∴输出的变换数对为和； （3）解：已知其中一个输出结果是， 分两种情况讨论： 若，则与矛盾，此情况舍去； 若， 由，得， 由，得，两边平方得，满足， 因此． 25．(1)两， (2)解：． 详细过程如下： ，，， ， 的立方根是一个两位数， 由的个位上的数是，，可得的个位数为， 接着划去后面的三位得到数，而，，则， ， ， ， 的十位上的数是，结合其个位上的数是，于是得到， 即的立方根是． 【详解】（1）解：，，， ， 的立方根是一个两位数， 由的个位上的数是，，可得的个位数为； （2）解：． 详细过程如下： ，，， ， 的立方根是一个两位数， 由的个位上的数是，，可得的个位数为， 接着划去后面的三位得到数，而，，则， ， ， ， 的十位上的数是，结合其个位上的数是，于是得到， 即的立方根是． $