2.2 立方根 课时作业 2026-2027学年苏科版数学 八年级上册

**基本信息** 分层清晰，从基础概念到拓展应用，覆盖立方根核心知识点，通过梯度练习培养抽象能力、运算能力与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|立方根概念、性质、基本运算|选择填空为主，直接考查定义与简单计算，如求-8的立方根| |能力提升|综合运算、方程求解、小数点规律|解答题形式，涉及方程变形与规律应用，如已知立方根求被开方数| |拓展探究|跨知识整合、实际应用|结合几何体积与生活情境，如正方体熔铸问题，培养数学建模能力|

苏科版 · 八年级上册 · 数学课时作业　2.2 立方根 第2章　实数　2.2 立方根　课时作业 （苏科版　八年级上册）　班级：________　姓名：________　学号：________　得分：________ 学习目标 1．了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根． 2．了解开立方与立方互为逆运算，会用立方运算求某些数的立方根． 3．掌握立方根的性质，能区分立方根与平方根． 4．探索被开方数的小数点移动与立方根的小数点移动之间的规律，能解决简单的实际问题． 一、知识点梳理 知识点1　立方根的概念 定义：一般地，如果一个数 x 的立方等于 a，即 x³=a，那么这个数 x 叫做 a 的立方根（也叫做三次方根）． 表示：数 a 的立方根记作 ，读作“三次根号 a”，其中 a 是被开方数，3 是根指数． 注意：根指数 3 不能省略；平方根的根指数 2 通常省略不写． 例如：因为 2³=8，所以 8 的立方根是 2，即 =2；因为 (-3)³=-27，所以 =-3． 知识点2　立方根的性质 （1）正数的立方根是正数；（2）负数的立方根是负数；（3）0 的立方根是 0． 任何一个数都有且只有一个立方根． 知识点3　开立方 求一个数 a 的立方根的运算，叫做开立方．开立方与立方互为逆运算，因此可以借助立方运算求一个数的立方根． 知识点4　三个重要结论 （1）=．例如 ==-4． （2）=a．例如 =-5． （3）=a．例如 =-2． 知识点5　被开方数与立方根的小数点移动规律 被开方数的小数点每向右（或向左）移动三位，它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动一位． 例如：=0.1，=1，=10，=100． 知识点6　平方根与立方根的比较 比较项目 平方根 立方根 表示方法 被开方数的范围 a≥0 a 可以是任意数 正数 两个，互为相反数 一个，是正数 0 0 0 负数 没有平方根 一个，是负数 易错提醒 ①立方根等于它本身的数是 0，1，-1；平方根等于它本身的数只有 0；算术平方根等于它本身的数是 0，1． ② 有意义，结果是 -2；而 无意义． ③带分数开立方前要先化成假分数，如 ==． 二、例题精讲 例1　求下列各数的立方根：（1）-27；（2）；（3）0.001；（4）． 解：（1）因为 (-3)³=-27，所以 =-3； （2）因为 =，所以 =； （3）因为 0.1³=0.001，所以 =0.1； （4）=，因为 =，所以 =． 例2　求下列各式中 x 的值：（1）x³=-64；（2）2(x-1)³=-16；（3）8x³+125=0． 解：（1）x==-4； （2）(x-1)³=-8，所以 x-1=-2，x=-1； （3）8x³=-125，x³=，所以 x=． 方法点拨：先把方程化成“(整体)³=常数”的形式，再开立方． 例3　一个正方体的体积是 125 cm³，现在要做一个体积是它的 8 倍的新正方体，新正方体的棱长是多少？ 解：新正方体的体积为 125×8=1000（cm³），设新正方体的棱长为 x cm，则 x³=1000，x==10． 答：新正方体的棱长是 10 cm． 三、基础巩固 （一）选择题（每题只有一个正确选项） 1．-8 的立方根是（　　） A．2 B．-2 C．±2 D．不存在 2．下列说法正确的是（　　） A．负数没有立方根 B．一个数的立方根有两个 C．=-1 D．立方根等于它本身的数只有 0 和 1 3． 的平方根是（　　） A．±8 B．±4 C．±2 D．2 4．若 =-3，则 a 的值是（　　） A．-27 B．27 C．-9 D．±27 5．下列各式中，正确的是（　　） A．=3 B．=0.2 C．= D．=2 6．一个正方体的体积为 216 cm³，则它的棱长为（　　） A．6 cm B．36 cm C．72 cm D．±6 cm 7．若 +=0，则 x 与 y 的关系是（　　） A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．无法确定 8．已知 ≈1.333，≈2.872，则 的近似值是（　　） A．28.72 B．13.33 C．0.1333 D．133.3 9．下列各数中，立方根是 的是（　　） A． B． C． D． 10．一个数的平方根与它的立方根相等，这个数是（　　） A．1 B．0 C．0 和 1 D．±1 （二）填空题 11．125 的立方根是____；-0.027 的立方根是____． 12．=____． 13．=____． 14．=____． 15．若 x³=343，则 x=____． 16．若 a 的立方根是 4，则 a 的算术平方根是____． 17．若 =-3，则 x=____． 18．立方根等于它本身的数是____． 四、能力提升 19．求下列各数的立方根： （1）1000；　　（2）-0.008；　　（3）；　　（4）；　　（5）(-6)³． 20．计算： （1）+；　　　　（2）-； （3）+-；　　（4）×÷； （5）|-3|+-(-2)²． 21．求下列各式中 x 的值： （1）x³=；　　（2）(x+3)³=8；　　（3）3(x-2)³=-81；　　（4）64(x+1)³=27． 22．已知 2a-1 的平方根是 ±3，3a+b-1 的立方根是 2，求 2a+b 的平方根． 23．如图，一个长方体铁块的长、宽、高分别为 8 dm，4 dm，2 dm，将它熔铸成一个正方体铁块（不计损耗），求这个正方体铁块的棱长． 24．已知 x-2 的平方根是 ±2，2x+y+7 的立方根是 3，求 x²+y² 的算术平方根． 25．观察下列各式，回答问题： =0.06，=0.6，=6，=60． （1）被开方数的小数点位置移动和它的立方根的小数点位置移动之间有什么规律？ （2）已知 ≈1.442，≈3.107，≈6.694，求 ，， 的近似值； （3）若 ≈0.1442，求 x 的值． 26．如图，一个正方体魔方由 27 个大小相同的小正方体组成，它的体积为 216 cm³，求每个小正方体的棱长． 五、拓展探究 27．观察下列各式：=1，=3，=6，=10，… （1）猜想：=____； （2）用含 n（n 为正整数）的式子表示：=____． 28．若 与 互为相反数，且 y≠0，求 的值． 29．如图，将一个体积为 0.216 m³ 的正方体木块锯成 8 个同样大小的小正方体木块，求每个小正方体木块的表面积． 六、易错辨析 判断下列说法是否正确（正确的在括号内画“✓”，错误的画“✗”），并将错误的说法改正． 30．-27 没有立方根．（　　） 31．= 对任意数 a 都成立．（　　） 32．一个正数的立方根有两个，它们互为相反数．（　　） 33．-1 的立方根是 -1．（　　） 34．若一个数的立方根是它本身，则这个数是 1 或 0．（　　） 35．=3．（　　） 七、实际应用 36．一个正方体的水箱，它的容积是 3.375 m³（厚度忽略不计），这个水箱的棱长是多少米？若将水箱的棱长扩大为原来的 2 倍，容积变为原来的多少倍？ 37．已知球的体积公式为 V=πr³（r 为球的半径）．一个球形气球的体积约为 36π dm³，求这个气球的半径． 38．一个长方体的长、宽、高之比为 4∶2∶1，它的体积为 512 cm³，求这个长方体的长、宽、高． 参考答案及解析 三、基础巩固 1．【答案】B 【解析】因为 (-2)³=-8，所以 -8 的立方根是 -2．任何数都有且只有一个立方根． 2．【答案】C 【解析】A．负数有立方根，且是负数，故错误；B．一个数的立方根只有一个，故错误； C．(-1)³=-1，故正确；D．立方根等于它本身的数是 0，1，-1，故错误． 3．【答案】C 【解析】先算 =4，再求 4 的平方根，得 ±2． 4．【答案】A 【解析】立方与开立方互为逆运算，a=(-3)³=-27． 5．【答案】C 【解析】A．=-3；B．0.2³=0.008≠0.8，故错误； C．因为 =，故正确；D．=-2． 6．【答案】A 【解析】棱长为 =6（cm），棱长不能为负数． 7．【答案】B 【解析】由 == 得 x=-y，即 x 与 y 互为相反数． 8．【答案】B 【解析】2370=2.37×1000，被开方数的小数点向右移动三位，立方根的小数点向右移动一位，所以 ≈13.33． 9．【答案】A 【解析】因为 =，所以 的立方根是 ． 10．【答案】B 【解析】1 的平方根是 ±1，立方根是 1，不相等；0 的平方根和立方根都是 0，相等．负数没有平方根．所以这个数是 0． 11．【答案】5；-0.3 【解析】5³=125；(-0.3)³=-0.027． 12．【答案】 【解析】因为 =． 13．【答案】-5 【解析】由 =a 可得． 14．【答案】-2 【解析】由 =a 可得，也可以先算 (-2)³=-8，再求 =-2． 15．【答案】7 【解析】因为 7³=343，所以 x=7． 16．【答案】8 【解析】a=4³=64，64 的算术平方根是 8． 17．【答案】-13 【解析】2x-1=(-3)³=-27，所以 2x=-26，x=-13． 18．【答案】0，1，-1 【解析】0³=0，1³=1，(-1)³=-1． 四、能力提升 19．【答案】见解析 【解析】（1）=10；（2）=-0.2；（3）=； （4）=，所以立方根是 ；（5）(-6)³ 的立方根是 -6． 20．【答案】见解析 【解析】（1）原式=-5+6=1； （2）原式=0.4-0.3=0.1； （3）原式=4+(-2)-=； （4）原式=(-3)×÷=(-1)×(-2)=2； （5）原式=3+(-4)-4=-5． 21．【答案】见解析 【解析】（1）x==； （2）x+3==2，所以 x=-1； （3）(x-2)³=-27，x-2=-3，所以 x=-1； （4）(x+1)³=，x+1=，所以 x=． 22．【答案】±2 【解析】因为 2a-1 的平方根是 ±3，所以 2a-1=9，a=5． 因为 3a+b-1 的立方根是 2，所以 3a+b-1=8，即 15+b-1=8，b=-6． 所以 2a+b=10-6=4，4 的平方根是 ±2． 23．【答案】4 dm 【解析】长方体铁块的体积为 8×4×2=64（dm³）．熔铸前后体积不变． 设正方体铁块的棱长为 x dm，则 x³=64，x==4． 答：这个正方体铁块的棱长为 4 dm． 24．【答案】10 【解析】因为 x-2 的平方根是 ±2，所以 x-2=4，x=6． 因为 2x+y+7 的立方根是 3，所以 2x+y+7=27，即 12+y+7=27，y=8． 所以 x²+y²=36+64=100，100 的算术平方根是 10． 25．【答案】见解析 【解析】（1）被开方数的小数点每向右（或向左）移动三位，它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动一位． （2）3000=3×1000，所以 ≈14.42；0.03=30÷1000，所以 ≈0.3107；0.3=300÷1000，所以 ≈0.6694． （3）0.1442 是 1.442 的小数点向左移动一位得到的，所以被开方数的小数点应从 3 向左移动三位，x=0.003． 26．【答案】2 cm 【解析】每个小正方体的体积为 216÷27=8（cm³）． 设小正方体的棱长为 x cm，则 x³=8，x=2．答：每个小正方体的棱长为 2 cm． 另解：大正方体的棱长为 =6（cm），每条棱上有 3 个小正方体，所以小正方体棱长为 6÷3=2（cm）． 五、拓展探究 27．【答案】（1）55；（2） 【解析】观察发现：=1，=1+2，=1+2+3，=1+2+3+4． （1）=1+2+…+10=55； （2）=1+2+…+n=． 28．【答案】3 【解析】因为 与 互为相反数，所以 1-2x 与 3y-2 也互为相反数， 即 (1-2x)+(3y-2)=0，整理得 3y=1+2x． 因为 y≠0，所以 ==3． 29．【答案】0.54 m² 【解析】每个小正方体的体积为 0.216÷8=0.027（m³）． 小正方体的棱长为 =0.3（m）． 每个小正方体的表面积为 6×0.3²=6×0.09=0.54（m²）． 六、易错辨析 30．【答案】✗ 【解析】任何数都有立方根，-27 的立方根是 -3． 31．【答案】✓ 【解析】因为 =-a，所以 是 -a 的立方根，即 =． 32．【答案】✗ 【解析】一个正数只有一个立方根，并且是正数． 33．【答案】✓ 【解析】因为 (-1)³=-1． 34．【答案】✗ 【解析】立方根等于它本身的数是 1，0，-1，漏掉了 -1． 35．【答案】✗ 【解析】3³=27≠9，所以 ≠3；应为 =3． 七、实际应用 36．【答案】1.5 m；8 倍 【解析】水箱的棱长为 =1.5（m）（因为 1.5³=3.375）． 棱长扩大为原来的 2 倍后为 3 m，容积为 3³=27（m³），27÷3.375=8，所以容积变为原来的 8 倍． 规律：正方体的棱长扩大为原来的 n 倍，体积扩大为原来的 n³ 倍． 37．【答案】3 dm 【解析】由题意得 πr³=36π，所以 r³=36×=27，r==3． 答：这个气球的半径为 3 dm． 38．【答案】长 16 cm，宽 8 cm，高 4 cm 【解析】设长方体的高为 x cm，则宽为 2x cm，长为 4x cm． 由题意得 4x·2x·x=512，即 8x³=512，x³=64，x=4． 所以长为 16 cm，宽为 8 cm，高为 4 cm． 第 页　共 页 学科网（北京）股份有限公司 $