精品解析：山东省平邑第一中学2025-2026学年高一实验部上学期第1次月考数学试题

平邑一中高65级实验部上学期第1次月考 数学试题 时间：120分钟 分值：150分 命题人：李广好 2025年9月 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上．将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知集合M满足，那么这样的集合M的个数为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 2. 命题，，则命题的否定形式是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 下列各组函数中，表示同一函数的是 A. B. C. D. 4. 已知为正实数，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 5. “关于的不等式对上恒成立”的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 6. 下列选项中错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 7. 设、、、、是均含有个元素的集合，且，，记，则中元素个数的最小值是（ ） A. B. C. D. 8. 设，，，则（ ） A. 有最大值8 B. 有最小值8 C. 有最大值8 D. 有最小值8 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知，，且，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 若集合A，B，U满足，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知集合有且仅有两个子集，则下面正确的是（ ） A. B. C. 若不等式的解集为，则 D. 若不等式的解集为，且，则 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知，则代数式的值为______. 13. 已知方程（c为实数）有两个正实数根，，则的最小值是______________． 14. 设表示a，b，c中最大的数．设.，且，则的最小值为__________． 四、解答题：（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知集合，. （1）分别求，. （2）已知，且，求实数的取值范围. 16. 已知集合，． （1）是否存在实数使是的充要条件？若存在，求出的值； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 17. 设，且的最小值为． （1）求； （2）若关于的不等式的解集为，求的取值范围． 18. 已知正数a，b （1）比与之间的大小关系； （2）若，求ab的最大值； （3）若，求的最小值． 19. 若一个集合含有个元素（，），且这个元素之和等于这个元素之积，则称该集合为元“完美集”. （1）写出一个2元“完美集”（无需写出求解过程）； （2）求证：对任意一个2元“完美集”，若其元素均为正数，则其元素之积大于4； （3）记为集合中元素的个数.若集合是元素均为正整数的“完美集”，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 平邑一中高65级实验部上学期第1次月考 数学试题 时间：120分钟 分值：150分 命题人：李广好 2025年9月 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上．将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知集合M满足，那么这样的集合M的个数为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【详解】，则,共个，,的个数为8. 2. 命题，，则命题的否定形式是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即可得到结论． 【详解】命题，，为全称量词命题， 则该命题的否定为：，. 故选：C． 3. 下列各组函数中，表示同一函数的是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：A：定义域为，定义域为，定义域不同，故不是同一个函数；B：定义域为，定义域为，定义域不同，故不是同一个函数；C：定义域为，定义域为，定义域不同，故不是同一个函数；D：，故是同一个函数，故选D． 考点：函数的概念． 【易错点睛】函数三要素是指定义域、值域、对应法则，同一函数必须满足:定义域相同、对应法则相同，若两个函数的定义域，值域相同，不一定是同一个函数，如，，若两个函数的对应法则，值域相同，也不一定是同一函数，如，，，． 4. 已知为正实数，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】举反例否定充分性，利用基本不等式证明必要性即可. 【详解】若，则，但是，故充分性不成立， 因为为正实数，所以. 当且仅当时取等，若，则，故必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件，故C正确. 故选：C 5. “关于的不等式对上恒成立”的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，根据题意可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围，再根据必要不充分条件求解. 【详解】当时，则有，解得，不合题意； 当时，则，解得. 综上所述，关于的不等式对上恒成立”的充要条件为， 所以一个必要不充分条件是. 故选：A. 6. 下列选项中错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式性质判断真假. 【详解】若，则，所以A对， 若，则，所以B对， 当，则，所以C错， 若，显然，则，所以D对. 故选：C 7. 设、、、、是均含有个元素的集合，且，，记，则中元素个数的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设、、、是集合互不相同的元素，分析可知，然后对的取值由小到大进行分析，验证题中的条件是否满足，即可得解. 【详解】解：设、、、是集合互不相同的元素，若，则，不合乎题意. ①假设集合中含有个元素，可设，则， ，这与矛盾； ②假设集合中含有个元素，可设，， ，，，满足题意. 综上所述，集合中元素个数最少为. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题考查集合元素个数的最值的求解，解题的关键在于对集合元素的个数由小到大进行分类，对集合中的元素进行分析，验证题中条件是否成立即可. 8. 设，，，则（ ） A. 有最大值8 B. 有最小值8 C. 有最大值8 D. 有最小值8 【答案】B 【解析】 【分析】对于选项A、B，先令，再利用基本不等式得出求解即可判断；对于选项C，先令，再利用基本不等式得出求解即可判断；举出反例可判断选项D. 【详解】因为，，， 设，则，所以. 由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立. 所以，即，解得（舍）或， 所以，即时成立，故选项A错误，选项B正确； 设，则，所以，则 . 由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立， 所以，即解得或（舍）， 所以，即时等号成立，故选项C错误; 对于选项D：当时，满足，此时，故选项D错误. 故选：B 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知，，且，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】举例说明判断AC；利用不等式性质推理判断BD. 【详解】对于A，取，满足，取，有，A错误； 对于B，由，得，而，因此，B正确； 对于C，取，，C错误； 对于D，由，得，因此，D正确. 故选：BD 10. 若集合A，B，U满足，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意利用集合的交集、补集的运算，结合韦恩图和选项，逐项判定，即可求解. 【详解】由，可得，所以B正确； 如图所示，由，可得A错误，C正确； 又由，所以D错误. 故选：BC. 11. 已知集合有且仅有两个子集，则下面正确的是（ ） A. B. C. 若不等式的解集为，则 D. 若不等式的解集为，且，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据集合子集的个数列方程，求得的关系式，对A，利用二次函数性质可判断；对B，利用基本不等式可判断；对CD，利用不等式的解集及韦达定理可判断. 【详解】由于集合有且仅有两个子集，所以， 由于，所以. A，，当时等号成立，故A正确. B，，当且仅当时等号成立，故B正确. C，不等式的解集为，，故C错误. D，不等式的解集为，即不等式的解集为，且，则， 则，，故D正确， 故选：ABD 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知，则代数式的值为______. 【答案】6 【解析】 【分析】根据，结合平方差公式运算求解即可. 【详解】因为， 所以 ． 故答案为：6． 13. 已知方程（c为实数）有两个正实数根，，则的最小值是______________． 【答案】2 【解析】 【详解】方程有两个正实数根,由韦达定理得, , 所以, 当且仅当即时等号成立. 14. 设表示a，b，c中最大的数．设.，且，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用换元法可得，进而根据不等式的性质，讨论求解即可. 【详解】令其中， 所以， 若，则，故， 令， 因此,故,则， 可知的最小值为， 故答案为： 四、解答题：（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知集合，. （1）分别求，. （2）已知，且，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）解出集合后，结合集合的运算性质运算即可得； （2）利用子集概念即可求解. 【小问1详解】 由，解得，所以， 所以， . 【小问2详解】 因为，， 所以，解得， 求实数的取值范围为. 16. 已知集合，． （1）是否存在实数使是的充要条件？若存在，求出的值； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1）不存在 （2） 【解析】 【分析】（1）先解集合，再利用充要条件即为，从而可得到的方程组，最后判断是否有解； （2）利用充分不必要条件可得，再利用集合的包含关系可求的范围即可. 【小问1详解】 解集合， 若是的充要条件，则 由，可得， 又，可得，即 此时的值不能同时满足和 不存在实数使是的充要条件 【小问2详解】 若是的充分不必要条件，则 分两种情况讨论： ①当时，此时，解不等式得，此时满足，所以； ②当时，此时， 解不等式，即， 解不等式，即， 综合可得， 综上所述，实数的取值范围是 17. 设，且的最小值为． （1）求； （2）若关于的不等式的解集为，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）； 【解析】 【分析】（1）直接利用基本不等式即可求得的最小值； （2）不等式的解集为，分与进行分类讨论，再结合二次函数的图象与性质列不等式求解即可． 【详解】解：（1）因为，所以， 所以， 当且仅当，即，也即时等号成立， 故． （2）由（1）知， 若不等式 的解集为，则 当 时， 恒成立，满足题意； 当时，， 解得， 综上，， 所以的取值范围为． 【点睛】本题考查基本不等式的应用，二次函数的图象及其性质，主要考查学生逻辑推理能力和计算能力，属于中档题． 18. 已知正数a，b （1）比与之间的大小关系； （2）若，求ab的最大值； （3）若，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用作差法，结合二次函数的性质即可得大小关系； （2）直接利用基本不等式可求得的最大值； （3）将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值． 【小问1详解】 ，因为不能同时成立， 所以； 【小问2详解】 由基本不等式可得，则， 当且仅当，即当，时，等号成立， 因此，的最大值为； 【小问3详解】 ，则， 由于、均为正数，则， 当且仅当，即时等号成立，的最小值为． 19. 若一个集合含有个元素（，），且这个元素之和等于这个元素之积，则称该集合为元“完美集”. （1）写出一个2元“完美集”（无需写出求解过程）； （2）求证：对任意一个2元“完美集”，若其元素均为正数，则其元素之积大于4； （3）记为集合中元素的个数.若集合是元素均为正整数的“完美集”，求的最大值. 【答案】（1）（答案不唯一） （2） 由上述分析可知，2元“完美集”（），则， 因为，则， 即，且，可得， 所以对任意一个2元“完美集”，若其元素均为正数，则其元素之积一定大于4. （3）3 【解析】 【分析】（1）根据“复活集”的定义写出一个2元“完美集”； （2）根据“复活集”的定义可得，利用基本不等式证得结论成立； （3）利用反证法可证，再举例说明成立，即可得结果. 【小问1详解】 设一个2元“完美集”为（），则， 例如，则， 所以一个2元“完美集”可为（答案不唯一）. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设元“完美集”为，其中，不妨设， 则，可得， 假设，可知， 所以假设不成立，即， 又因为，所以存在元素均为正整数的元“完美集”， 所以的最大值为3. 【点睛】关键点点睛:在第（3）小问中的求解过程中，先必要性探路，利用反证法证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $