重庆市育才中学校2026-2027学年初三上学期第一次数学自主作业

重庆育才中学教共体初2027届初三（上）第一次自主作业 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟) 注意事项： 1,试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2.作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3.作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4,考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回。 参考公式：数物线)=as十be十a≠0的项点丛标为(-名如.产).对称抽g= 2a 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出代号为A、 B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡题号右侧的正确答案所对应的方框涂 黑. 1.10的相反数是 A.-10 B.10 c品 0 1 10 2.如图是由4个相同的正方体组成的几何体，从正面看到的视图是 正面 0 3.地球与月球之间的平均距离约为390000公里，数据390000用科学记数法表示为 A.390×103 B.39×101 C.3.9×105 D.0.39×106 4.抛物线y=(x-3)2+1的顶点坐标是 A.（-3,-1) B.(-3,1) C.(3,-1) D.(3,1) 5.甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表： 选手 甲 乙 丙 丁 平均环数 9.2 9.7 9.4 9.7 方差 0.18 0.12 0.12 0.13 从这四个人中选择一人参加奥运会射击项目比赛，最佳人选是 A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 6.如图是某种结构模型，它由●和○按如图所示的方式排列，第(1)个图形有4个O,第(2)个图形 有6个O,第(3)个图形有8个O,…,依此规律，第(10)个图形中O的个数是 () (1) (2) (3) (4) A.18 B.20 C.22 D.24 7.规定：[k,b]是一次函数y=kx+b(k、b为实数，k≠0)的“特征数”.若“特征数”是 [m-2,m-4]的一次函数是正比例函数，则点(m+3,m-1)所在的象限是 () A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 8.某中学在“全民阅读活动”中，利用节假日面向社会开放学校图书馆.据统计，第一个月进馆250 人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆910人次.若进馆人次的月平均增 长率x相同，可列方程为 A.250+250(1+x)+250(1+x)2=910 B.250(1+x)2=910 C.250(1+x2)=910 D.250+250(1+x)+250(1+x2)=910 9.如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4,点D E 为AC的中点，连接BD,将△BCD沿BD翻折，使点C 落在同一平面内的点E处，连接AE、BE,则△BAE的 面积为 () A.1 B.6 c. B 10.己知整式M:a十a1c十ar2+…十anx”,其中n,an为正整数，a,a1,a2,,an-1为整数， a≤a1≤a2≤…≤an,且n十lal+la十…+an=5.下列说法： ①当n=1时，满足条件的所有整式M的和为15c-3: ②当n=2时，在满足条件的所有整式M中，M的最小值为-1： ③所有满足条件的整式有16个. 其中正确的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分)请将每小题的正确答案直接填在答题卡中 对应的横线上 11.分解因式：3a2+a= 12.如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠1=48° 时，则∠2=_ 13.若n为正整数，且满足n<√61<n+1,则n= 重庆市育才中学初2027届26-27学年九上9月考·数学试题 ·第2页·共8页 14.若实数c,y同时满足3x+y-4=2,x-y=-8,则y的值为 15.对于一个三位数A,若其百位数字与个位数字之和等于十位上的数字的2倍，则称数A为“半二 数”.例如：数852,8+2=5×2，.852是“半二数”，数137,1+7≠3×2，.137不是“半二 数”，则最大的“半二数”为一；若A为“半二数”，将其百位上的数字和十位上的数字 对调，组成一个新的三位数记为，若A:4为整数，则满足条件的A的最小值为一 9 16.如图，在边长为8√2的正方形ABCD中，点E是对角 ⊙ 线CA延长线上一点，连接BE,将BE绕点B逆时针 旋转90°得到BF,连接CF、EF,EF与AD交于点 D G G且AG=SAB,BP与CD交于点M,BF与CE 交于点H.则AE的长度为，△CMH的面积 为 M H C B 三、解答题（本大题9个小题，第17题和18题8分，其余每小题10分，共86分)解答时每小题必 须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡 中对应的位置上， x-2(x-1)≤1① 17.解不等式组：1+2”>x-1② 3 18先化简.再求值：(1-0中2)÷。2其中a=3 a2-4 19.第二届重庆市中小学生科学家精神主题演讲活动决赛已于2026年5月举行，某学校组织了以 “爱科学，提素养”为主题的知识竞赛活动，从七、八年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成 绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用x表示，共分为四组： A.90≤x≤100，B.80≤x<90,C.70≤c<80,D.60≤x<70,得分在90分及以上为优秀)，下 面给出了部分信息： 七年级20名学生的竞赛成绩是： 八年级抽取学生竞 66,67,71,81,83,85,85,86,89,90, 赛成绩扇形统计图 90,93,93,93,95,96,98,99,100,100 八年级20名学生的竞赛成绩在B组的数据是：83,87,86,89,86,88 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 D C 年级 平均数 众数 中位数 B 七年级 88 a 90 45% m% 八年级 88 94 b 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中的a= b= ,m= (2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生科学知识竞赛的成绩较好？请说明理 由（写一条理由即可）； (3)若该校七年级有1000名学生，八年级有800名学生参加了此次以“爱科学，提素养”为主 题的知识竞赛，估计该校七、八年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有多少人？ 20.如图，在平行四边形ABCD中，AE平分 A D ∠BAD,交对角线BD于点E (1)用尺规完成以下基本作图：作∠BCD的平 分线，交对角线BD于点F; (保留作图痕迹，不写作法) (2)在(1)所作的图形中，求证：BE=DF E C 21.重庆某特产商铺售卖奉节脐橙礼盒与合川桃片，两款本地特产销量可观.己知一盒奉节脐橙礼盒 的售价比一盒合川桃片售价高15元，且购买三盒奉节脐橙礼盒和两盒合川桃片共需100元. (1)求一盒奉节脐橙礼盒和一盒合川桃片的售价分别是多少元？ (2)店庆促销期间，奉节脐橙礼盒每盒降价2m元，合川桃片每盒降价m元，促销后奉节脐橙礼 盒总销售额为350元，合川桃片总销售额为10元，且奉节脐橙礼盒的销量比合川桃片多号， 求m的值， 22.综合与实践 重庆被称为“山水之城，美丽之地”，每到夜晚，不少市民与游客会在朝天门码头乘坐游船，观 赏两江交汇、洪崖洞与千厮门大桥夜景.某文旅公司提供A、B两种游船包船服务. 两江夜游游船包船服务 A游船 B游船 600 品 6上 0 300 基础服务费200元 无基础服务费 100 不超过2小时：只收200元 每小时收费75元 0 超过2小时的部分：每小时加收50元 小时 设游船总游览时长为x小时(0<x<6),包船总费用为y元， 【任务一模型建构】 (1)直接写出A、B两种游船包船费用y、ya关于游览时长x的函数表达式： 【任务二数形结合探究】 (2)在给定的平面直角坐标系中画出y4与y的函数图象； 【任务三图象解读】 (3)根据你绘制的函数图象，直接写出y4>y时x的取值范围（近似值保留小数点后一位， 误差不超过0.2)； 【任务四实践决策】 (4)若研学活动包船预算经费为350元，应选择哪一种包船方案，可使游船的游览时长更长？ 23.如图，重庆动物园内设置了A、B、C、D四个打卡点.己知点A是园区入口服务中心，点B是 熊猫馆，虎山C在熊猫馆B的北偏西30°方向，同时在服务中心A的北偏东60°方向.点D是大象 馆，在虎山C的正东方向，且大象馆D位于熊猫馆B的东北方向，熊猫馆B与大象馆D相距 50W6米.（参考数据：√2≈1.41，√5≈1.73，√6≈2.45) (1)求虎山C与大象馆D之间的距离.（结果保留整数） (2)甲、乙两名同学从不同打卡点出发游园：甲同学从熊猫馆B出发前往入口服务中心A,乙同 学从虎山C出发前往熊猫馆B.两人同时出发，甲的步行速度是乙的2倍.出发后，当他们相距 100米时，求此时甲同学距离入口服务中心A还有多少米？ C D 北 西 60° 30° A IB 24如阁，在平面直角坐标系中，抛物线y=-子2+b证十c与公轴交于点A,B(4,0),与y轴交于 C(0,3),连接AC,BC (1)求抛物线的表达式： (2)P是线段BC上方抛物线上的一动点，过点P作PD⊥BC,垂足为D,M是直线AC上一动 点，N是x轴上一动点，连接PM,N,NP.当PD的长度取得最大值时，求点P的坐标及△PN 周长的最小值； (3)将抛物线沿射线BC方向平移5个单位长度得到抛物线y',点A的对应点为F,K是平移后 抛物线y上一点，直线AF交射线CK于点N,且∠ANC=∠CAB.请直接写出所有符合条件的点 K的坐标，并写出求解点K的其中一种情况的过程， 备用图 25.在△ABC中，∠ABC=60°.延长CB至点F使得BF=CB,连接AF. (1)如图1，若∠ACB=90°，BC=2,求AF的长度； (2)如图2，延长FC至D使得CD=BC,延长AC至G使得CG=AC,连接GF.将线段AF 绕着点F逆时针旋转120°得到线段FM,以DF和FM为边作平行四边形DEMF,连接EF,若 ∠ACB+∠EFA=60°+∠BAF,用等式表示线段AB与GF的数量关系并证明； (3)如图3，AB=BC=2,点P在直线AB上，连接CP,将线段CP绕点C逆时针旋转90°得 到线段CQ,连接AQ,过Q作QM⊥AB交AB延长线于M,点H在直线AF上，连接MH,BH, 将△HMB沿直线HM翻折至△ABC所在平面内得到△HMN,连接CN,BN.当AQ+CQ取得最 小值时，请直接写出S®Y的最大值 SAABQ 小 F 图1 M 图2 M P B H F 图3重庆育才中学教共体初2027届初三（上)第一次自主作业 数学参考答案 一、选择题：（4分一个) 1 2 3 4 6 8 9 10 A B D B D A D B 二、填空题：（4分一个) 11.a(3a+1) 12.42 13.7 司 15.999:135 16.4,5 2 三、解答题： x-2(x-1)≤1① 17.解： 了1+2x >x-1② 3 解不等式①，得以，2分 解不等式②，得x<4,4分 在数轴上表示（略） .7分 不等式组的解集为1≤x<4. .8分 18.解：0-a2t24 2 -a+2-a(a+2)(a-2) a+2 2 =-2,6分 带入可得：2- 8分 19.解：（1)分别为：93,88.5,30；… 3分 (2)该校七年级学生科学知识竞赛的成绩较好（答案不唯一）. 理由如下：七年级学生科学知识竞赛的成绩的中位数90分>七年级学生科学知识竞赛的成绩 的中位数88，该校七年级学生科学知识竞赛的成绩较好；6分 (3)1000×5+800x号=550+360=910（人）， 答：估计该校八、九年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有910人.…10分 20.解(1)：如图，在CB,CD上，分别截取CM,CN,使CM=CN,分别以点M,点N为圆心， 大于N的长为半径画弧，在∠BCD内，两弧交于点P,作射线CP交BD于点F,CF即为所求. 4分 (2)证明：：四边形ABCD是平行四边形， .AB=CD,AB//CD, .∠ABE=∠CDF, :AE、CF分别平分∠BAD和∠DCB, ·∠BAB=1∠BAD,∠DCF=1∠BCD, 2 2 :四边形ABCD是平行四边形， ∴.∠BAD=∠BCD, .∠BAE=∠DCF, 在△ABE与△CDF中， [「∠ABE=∠CDF AB=CD ∠BAE=∠DCF :.△ABE≡△CDF(ASA, BE=DF.… .10分 21.解：（1)设一盒合川桃片的售价为x元， 由题意，得：3(x+15)+2x=100, 解得x=11; x+15=26（元). 答：一盒合川桃片的售价是11元，一盒奉节橙的售价是26元；5分 （2)由题可列，50-100x(1+), 26-2m11-m 解得m=3; 经检验，m=3是原分式方程的解且符合题意. 答：m的值是3. 10分 22.解(1)y4= 50r+100,（6K6)5%75x(06).4分 200,(0<≤2) 2 /元 600 500 400 300 200 100 (2)如图： 6 /小时 6分 (3)0X4.08分 (4)法一：计算；法二：读图， 可得：A方案游览5小时，B方案游览兰小时，号<5，A方案游览时长更长. 10分 23.解：(1)如图，作BE⊥CD .在Rt△BED中，∠EBD=45°， ∴BE-ED8-50N5. .在Rt△BEC中，∠CBE=30°， c2腊-50. .CD=50V3+50≈137（米）. 4分 (2)如图，连结GF,作GH⊥BC. E F 0- 100 50b 309 \60 5 G 2X B 设乙的路程为x,则甲的路程为2x. .在Rt△GHF中，∠GHF=90°， HF2+GH-GF2, (100-2)2+(V3x)2=1002, x0(舍去)，x-9 (米)， AGAB-BG200-00=60(米). 77 答：甲同学距离A还有9米。 .10分 3 24解：①将B(40,c0,3)代入y-+行，0=16+6+： 4 4 c=3 1 b=- 解得04 c=3 :抛物线的表达式为：y=x+x+3 1 3分 44 (2)过P作PHy轴交BC于H ∴.∠PHD=∠OCB :RPHD~RIAOCB.:P9OC3:当PH最大时，PD有最大值 PD OB 4 3 yBc=- -x+3 4 设P(+t+3》,则H,-3+3》 44 4 PH=-+1, C 4 :-<0,开口向下 4 D A B :当2时，有最大值，此时P(2,) 1 作点P关于直线AC的对称点P'(- ,5), 2 作点P关于x轴的对称点P(2,), 21 V10 CAPMNmin =P'pl= 21 7分 (3)点K的坐标为(21-144或(-53,94)， 理由如下： 7491 y=-7x+3,kw=kg= 3 44 3一kcN ,tan∠ANC=tam∠CAB=1= kaw-ken 4 1+kw·kcaw o7或号 1 ∴.yav=-7x+3减ow=7x+3 令-7x3=-子+3，解得：-仪含，=21 4 .K(21,-144) 10分 4 25.解：(1)，在Rt4CB中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2 .tan60°= =3 BC ..AC=23 .'FC=2BC=4 ∴.在RtAACF中，∠ACB=90°，由勾股定理得： AF=VAC2+CF3=V23}+42=2V7 2分 (2)解：FG=√3AB,理由如下： 延长AB至H使得BH=AB,连接HF,在DB上取点P使得AB=BP,连接并延长AP至Q,使得 AP-PO,连接QG .平行四边形DEMF中， ∴.∠DRF=∠AFM120° ∴.∠DH∠DFA=60°=∠BAFH∠DEA D ∴.∠D=∠M=∠BAF ∴.60°+∠BAF=∠ACB+∠EFA=120°-∠CAB+∠EFA ∴.60°-∠BAF=∠CAB-∠EFA ∴.∠AFB+∠EFA=∠CAB即∠EFD=∠CAB=∠H '.△DEF≌△AFH(AAS) B -2H :.3BC=AB 2 ,△ABP是等边三角形 :.CP-AB-BC-1 BC-L BF 22 ,CP是△AQG的中位线 M ∴.CPI∥QG,.OGIBE,且QG=BF .四边形BFGQ是平行四边形 ∴FG-OB-V5AB 8分 (3) 6+V3 6 10分 0