第3讲 全等三角形的性质 优等生讲义 (知识梳理+典例+压轴+练习) 2026-2027学年人教版八年级数学上册

第3讲 全等三角形的性质 优等生讲义 (知识梳理+典例+压轴+练习) 2026-2027学年人教版八年级数学上册 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 理解全等三角形的概念，能识别全等三角形的对应顶点、对应边、对应角。 掌握全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等。 会利用全等三角形性质进行角度、线段长度计算。 掌握动点条件下全等三角形分类讨论方法。 能结合全等性质完成证明、简单综合与压轴题型。 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 1. 全等三角形的概念 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角。符号记作“≌”，书写时对应顶点写在对应位置。 概念辨析例题：判断：若，则一定对应（） 解析：❌错误。书写全等符号时，字母顺序代表对应关系，，，，所以对应。必须严格看字母顺序确定对应元素，不能仅凭图形位置主观判断。 ☆ 2. 全等三角形的核心性质 对应边相等； 对应角相等； 全等三角形周长相等、面积相等； 对应中线、对应角平分线、对应高线全部相等。 概念辨析例题：两个三角形面积相等，则一定全等（） 解析：❌错误。全等一定面积相等；但面积相等只代表大小一样，形状可以不同，不一定能够完全重合，所以不一定全等。 ☆ 3. 找对应边、对应角常用方法 看全等书写顺序：字母顺序一一对应； 公共边一定是对应边，公共角一定是对应角； 最大边对最大边，最小边对最小边；最大角对最大角，最小角对最小角。 概念辨析例题：，是公共边，则一定和为对应边？ 解析：✅正确。公共边在两个三角形中是重合的边，必然为对应边。 ☆ 4. 动点与全等分类讨论思想 动点沿射线/线段运动，满足三角形全等条件时，要分情况：对应关系不唯一、点在线段上 / 点在线段延长线上，分别列出方程求解时间或速度。 概念辨析例题：动点题中，只要两组边相等，两个直角三角形就一定全等（） 解析：❌错误。要分清哪两条边是对应边，对应关系不同得到的方程不同，必须分类讨论，不能直接默认一组对应。 ☆ 5. “等形点”新定义题型 四边形边上存在一点O，分割出两个三角形全等，该点叫等形点；解题核心：把新定义翻译为全等三角形对应边、角相等，再分类讨论对应组合。 概念辨析例题：四边形的等形点一定在边的中点位置（） 解析：❌错误。等形点只要求分割得到两个三角形全等，不一定平分这条边。 ☆ 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 全等三角形 能够完全重合的两个三角形，符号≌ 字母书写顺序决定对应关系，不可乱序 全等性质边角 对应边相等，对应角相等 不是随便两条边、两个角相等，必须是对应 全等衍生性质 周长相等、面积相等；对应中线、角平分线、高相等 面积相等≠全等；周长相等≠全等 动点全等 利用对应边相等建立方程求时间、速度 分点在线段上、延长线上；分不同对应情况讨论，不要漏解 新定义等形点 边上一点分割四边形得到两个全等三角形 读懂定义，枚举全等的不同对应组合 核心考点 ·典型考点精讲 【考点1】选择必考题型（第19题） 1．（2026•成都）如图，已知△ABC≌△FDE，∠A＝40°，∠E＝62°，则∠EDF的度数为（　　） A．40° B．62° C．78° D．102° 2．（2025秋•西城区校级期中）三个全等三角形按如图的形式摆放，则∠1+∠2+∠3的度数等于（　　） A．120° B．135° C．150° D．180° 3．（2025•福田区一模）如图，△ABC≌△ADE，∠B＝80°，∠C＝30°，∠DAC＝30°，则∠EAC的度数为（　　） A．40° B．35° C．30° D．25° 4．（2025秋•承德县期末）如图，△ABC≌△ADE，连接BD，若∠CAE＝90°，AB＝2，则图中阴影部分的面积为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2026春•龙岗区期中）如图，已知△ABC≌△ABE≌△ADC，若∠1＝131°，则∠α的度数为（　　） A．89° B．88° C．98° D．109° 6．（2025秋•宣城期末）如图，CA⊥AB，垂足为点A，射线BM⊥AB，垂足为点B，AB＝10cm，AC＝4cm，动点E从A点出发以2cm/s的速度沿射线AN运动，动点D在射线BM上，随着E点运动而运动，始终保持ED＝CB．若点E的运动时间为t（t＞0）秒，则当t＝___________ 秒时，△DEB与△ABC全等． 7．（2025秋•裕安区校级期末）如图，已知△ABC≌△ABE≌△ADC，若∠1＝125°，则∠α的度数为（　　） A．90° B．100° C．110° D．120° 8．（2026春•闵行区期中）如图，在△ABC中，点D是边AB上一点，点E是线段CD上一点，且△BDE≌△CDA，其中点B与点C、点D与点D、点E与点A分别是对应顶点，下列结论中正确的是（　　） ①∠CBE＝∠CAE； ②CE＝ED； ③BE⊥AC； ④AE⊥BC． A．①②③ B．①② C．①③④ D．③④ 9．（2026•新市区二模）如图，△ABC≌△DEC，点D在AB上，∠A＝70°，则∠BDE的度数为（　　） A．40° B．45° C．60° D．70° 【考点2】填空必考题型（第1018题） 10．（2026•泗洪县模拟）如图，△ABC≌△CDE，若∠D＝30°，∠ACB＝40°，则∠DCE的度数为 _________ ． 11．（2026•成都模拟）如图，已知△ABC≌△ADE，点D恰好在BC边上，若∠EAC＝50°，则∠ADE的度数为________ ． 12．（2026春•龙岗区期中）如图，已知△ABC≌△ADE，点D恰好在BC边上，若∠EDC＝36°，则∠B的度数是________ ． 13．（2025春•杨浦区期中）如图，已知△AEC≌△ADB，如果∠2＝25°，∠AGE＝80°，那么∠D＝ _______ °． 14．（2024秋•青浦区校级期末）我们规定：在四边形ABCD中，O是边BC上的一点，如果△OAB与△OCD全等，那么点O叫做该四边形的“等形点”．在四边形EFGH中，∠EFG＝90°，EF∥GH，EF＝5，FG＝17，如果该四边形的“等形点”在边FG上，那么四边形EFGH的面积是 ____________________ ． 15．（2026春•浦东新区期中）已知△ABC≌△DEF，△ABC的三边长度为4、x+y和2x，△DEF的三边长度为6、x、x+2y，则△ABC的周长是_______ ． 16．（2025春•闵行区校级月考）如图，在△ABC中，高线AD和角平分线BE相交于点F．已知△BDF≌△ADC，求∠C的度数 __________ ． 17．（2025春•青浦区校级期中）如图，已知△ABC≌△A′BC′，AA′∥BC，∠ABC＝65°，那么∠CBC′＝____________ ． 18．（2024秋•岳阳楼区校级期中）我们规定：在四边形ABCD中，O是边BC上的一点，如果△OAB与△OCD全等，那么点O叫做该四边形的“等形点”，在四边形EFGH中，∠EFG＝90°，EF∥GH，EF＝1，FG＝3，如果该四边形的“等形点”在边GF上，那么GH的长是 ________ ． 【考点3】解答必考题型（第1923题） 19．（2025秋•洪雅县期末）如图，已知△ABC≌△DAE，点A、C、D在同一条直线上． （1）请判断AB与DE的位置关系，并说明理由； （2）若ED＝3，CD＝4，求线段AB的长． 20．（2025秋•安次区校级月考）如图，△ABC≌△ADC，∠B+∠D＝200°，∠BAD＝64°． （1）求∠BCA的度数． （2）若AB＝6，CD＝4，求四边形ABCD的周长． 21．（2025秋•防城区月考）如图，已知△ABE≌△ACD． （1）若BE＝6，DE＝2，求BC的长； （2）若∠DAE＝20°，求∠AEC的度数． 22．（2023秋•赤坎区校级期中）如图，已知△ABC≌△ADC，∠BAD＝120°，∠ACD＝35°，求∠B的大小． 23．（2026春•镇平县期末）如图，已知△ABC≌△DBE，点D在边AC上，BC与DE交于点P，∠ABE＝162°，∠CBD＝36°． （1）求∠CBE的度数； （2）若AD＝DC＝5，BC＝8，求△CDP与△BEP的周长之和． 【考点4】创新型题型及压轴题（第2428题） 24．（2024秋•海东市期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝10cm，点D在AB上，且BD＝6cm；点M从B出发以每秒1cm的速度向点C运动，同时，点N从C出发向点A运动，设运动时间为t秒，连接DM、MN． （1）用含t的式子表示BM、MC； （2）若点N的运动速度也为每秒1cm，t为何值时，△DBM≌△MCN； （3）若点N的运动速度和点M的速度不相等，要使△DBM≌△NCM，则点N的运动速度为多少？全等时t为多少？ 25．（2025秋•绵阳期末）如图，△ABC≌△A′B′C′，AD、A′D′分别是BC、B′C′边上的中线，求证：AD＝A′D′． 26．（2025秋•荣县校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC＝24cm，BC＝16cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以4cm/s的速度由B点向C点运动．同时，点Q在线段CA上由C点以acm/s的速度向A点运动．设运动的时间为ts． （1）直接写出：①BP＝ _______ cm；②CP＝ ____________ cm；③CQ＝ _______ cm．（用含t，a的式子表示） （2）若以D，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形全等，试求a，t的值． 27．（2025春•崂山区期中）已知：如图①，AB⊥BD，DE⊥BD，点C是BD上一点，且△ABC≌△CDE． （1）试判断AC与CE的位置关系，并说明理由； （2）如图②，若把△CDE沿直线BD向左移动，使△CDE的顶点C与B重合，AC与BE交于点F，此时AC与BE的位置关系怎样？请说明理由； （3）图②中，若S△ABC＝12，AF：CF＝3：1，求四边形CDEF的面积． 28．（2025秋•红花岗区校级期中）为了证明“三角形的内角和是180°”，综合实践小组给出了如图所示的四种作辅助线的方法． （1）其中不能证明“三角形的内角和是180°”的是 _____ （填选项）； A．如图1，过点C作EF＝AB B．如图2，作△ABD≌△BAC C．如图3，过AB上一点D作DE∥CB，DF∥AC D．如图4，过点C作CD∥BA （2）请选择可以证明“三角形的内角和为180°”的一幅图加以证明． 随堂检测 · 精选练习 【练习 1】（2025秋•临洮县期末）如图，AC⊥BE，DE⊥BE，若△ABC≌△BDE，AC＝7，DE＝3，则CE等于 _____ ． 【练习 2】（2024秋•白云区校级月考）如图，△AEB≌△DFC，AE⊥CB，DF⊥BC，垂足分别为E、F，且AE＝DF，若∠C＝28°，则∠A＝ ________ ． 【练习 3】（2025春•上海期末）一个三角形的三边长为x，5，7，另一个与它全等的三角形的三边长为3，y，5，那么以x、y为腰长和底边长的等腰三角形的周长等于 _______ ． 课后巩固 · 针对性练习 【作业 1】（2025春•浦东新区校级期末）如图，如果△ABC≌△AED，且点D在BC上，那么下列说法错误的是（　　） A．∠E＝∠B B．∠BDE＝∠EAB C．∠ADC＝∠C D．∠BAD＝∠DAC 【作业 2】（2025秋•大英县期末）如图，CA⊥AB于点A，AB＝10，AC＝4，射线BM⊥AB于点B，一动点E从A点出发以2个单位/秒的速度沿射线AB运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED＝CB，若点E经过t秒（t＞0），△DEB与△BCA全等，则t的值为 ___________ 秒． 【作业 3】（2025秋•鹿邑县期末）如图，△ABC≌△DEB，点E在边AB上，DE与AC相交于点F． （1）若DE＝13，BC＝7，求线段AE的长； （2）若∠AFE＝50°，∠DEB＝80°，求∠DBC的度数． 【作业 4】（2025春•秦州区期末）如图，已知△ABC≌△DEC，∠ACB是锐角，∠B＝30°，∠ACD＝60°，延长BA交DE于点F，交CE于点G． （1）判断直线BF与CE是否垂直？请说明理由； （2）若AC∥DE，求∠DCE的度数． 【作业 5】（2025秋•桓台县期中）如图，△ABC≌△FEA，∠C＝∠CAF＝90°，试判断AB与EF的关系，并说明理由． 【作业 6】（2026春•茂南区期中）如图，点A，C，E在同一条直线上，点D在BC上，且△ABC≌△DEC，AC＝4，CE＝6． （1）求BD的长； （2）判断AE与BC的位置关系，并说明理由． 【作业 7】（2024秋•房山区期末）如图，点A、B、C在同一直线上，点E在BD上，且△ABD≌△EBC，AB＝3cm，BC＝5cm． （1）求DE的长； （2）判断AC与BD的位置关系，并说明理由． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3讲 全等三角形的性质 优等生讲义 (知识梳理+典例+压轴+练习) 2026-2027学年人教版八年级数学上册 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 理解全等三角形的概念，能识别全等三角形的对应顶点、对应边、对应角。 掌握全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等。 会利用全等三角形性质进行角度、线段长度计算。 掌握动点条件下全等三角形分类讨论方法。 能结合全等性质完成证明、简单综合与压轴题型。 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 1. 全等三角形的概念 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角。符号记作“≌”，书写时对应顶点写在对应位置。 概念辨析例题：判断：若，则一定对应（） 解析：❌错误。书写全等符号时，字母顺序代表对应关系，，，，所以对应。必须严格看字母顺序确定对应元素，不能仅凭图形位置主观判断。 ☆ 2. 全等三角形的核心性质 对应边相等； 对应角相等； 全等三角形周长相等、面积相等； 对应中线、对应角平分线、对应高线全部相等。 概念辨析例题：两个三角形面积相等，则一定全等（） 解析：❌错误。全等一定面积相等；但面积相等只代表大小一样，形状可以不同，不一定能够完全重合，所以不一定全等。 ☆ 3. 找对应边、对应角常用方法 看全等书写顺序：字母顺序一一对应； 公共边一定是对应边，公共角一定是对应角； 最大边对最大边，最小边对最小边；最大角对最大角，最小角对最小角。 概念辨析例题：，是公共边，则一定和为对应边？ 解析：✅正确。公共边在两个三角形中是重合的边，必然为对应边。 ☆ 4. 动点与全等分类讨论思想 动点沿射线/线段运动，满足三角形全等条件时，要分情况：对应关系不唯一、点在线段上 / 点在线段延长线上，分别列出方程求解时间或速度。 概念辨析例题：动点题中，只要两组边相等，两个直角三角形就一定全等（） 解析：❌错误。要分清哪两条边是对应边，对应关系不同得到的方程不同，必须分类讨论，不能直接默认一组对应。 ☆ 5. “等形点”新定义题型 四边形边上存在一点O，分割出两个三角形全等，该点叫等形点；解题核心：把新定义翻译为全等三角形对应边、角相等，再分类讨论对应组合。 概念辨析例题：四边形的等形点一定在边的中点位置（） 解析：❌错误。等形点只要求分割得到两个三角形全等，不一定平分这条边。 ☆ 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 全等三角形 能够完全重合的两个三角形，符号≌ 字母书写顺序决定对应关系，不可乱序 全等性质边角 对应边相等，对应角相等 不是随便两条边、两个角相等，必须是对应 全等衍生性质 周长相等、面积相等；对应中线、角平分线、高相等 面积相等≠全等；周长相等≠全等 动点全等 利用对应边相等建立方程求时间、速度 分点在线段上、延长线上；分不同对应情况讨论，不要漏解 新定义等形点 边上一点分割四边形得到两个全等三角形 读懂定义，枚举全等的不同对应组合 核心考点 ·典型考点精讲 【考点1】选择必考题型（第19题） 1．（2026•成都）如图，已知△ABC≌△FDE，∠A＝40°，∠E＝62°，则∠EDF的度数为（　　） A．40° B．62° C．78° D．102° 【分析】根据全等三角形的对应角相等得∠F＝∠A＝40°，然后在△FDE中，由三角形内角和定理可得∠EDF＝78°，据此可得出答案． 【解答】解：∵△ABC≌△FDE，∠A＝40°，∴∠F＝∠A＝40°， 在△FDE中，∠E＝62°，∠F＝40°， ∴∠EDF＝180°﹣（∠E+∠F）＝180°﹣（62°+40°）＝78°． 故答案为：C． 【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握查了全等三角形的性质，三角形内角和定理是解决问题的关键． 2．（2025秋•西城区校级期中）三个全等三角形按如图的形式摆放，则∠1+∠2+∠3的度数等于（　　） A．120° B．135° C．150° D．180° 【分析】根据△ABC≌△DEF≌△PHG得∠B＝∠DEF，∠A＝∠PGH，再根据∠1＝180°﹣∠PGH﹣∠EGC，∠2＝180°﹣∠DEF﹣∠CEG，∠3＝180°﹣∠ACB﹣∠GCE得∠1+∠2+∠3＝540°﹣（∠PGH+∠DEF+∠ACB）﹣（∠EGC+∠CEG+∠GCE）在△ABC中，根据三角形内角和定理得∠A+∠B+∠ACB＝180°，则∠PGH+∠DEF+∠ACB＝180°，在△ECG中，根据三角形内角和定理得∠EGC+∠CEG+∠GCE＝180°，由此即可得出∠1+∠2+∠3的度数． 【解答】解：如图所示： ∵△ABC≌△DEF≌△PHG， ∴∠B＝∠DEF，∠A＝∠PGH， ∵∠1＝180°﹣∠PGH﹣∠EGC，∠2＝180°﹣∠DEF﹣∠CEG，∠3＝180°﹣∠ACB﹣∠GCE， ∴∠1+∠2+∠3＝540°﹣（∠PGH+∠DEF+∠ACB）﹣（∠EGC+∠CEG+∠GCE） 在△ABC中，∠A+∠B+∠ACB＝180°， ∴∠PGH+∠DEF+∠ACB＝180°， 在△ECG中，∠EGC+∠CEG+∠GCE＝180°， ∴∠1+∠2+∠3＝540°﹣80°﹣180°＝180°． 故选：D． 【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，准确识图，熟练掌握全等三角形的性质，三角形内角和定理是解决问题的关键． 3．（2025•福田区一模）如图，△ABC≌△ADE，∠B＝80°，∠C＝30°，∠DAC＝30°，则∠EAC的度数为（　　） A．40° B．35° C．30° D．25° 【分析】由三角形内角和定理和全等三角形性质可得∠DAE＝70°，再由∠DAC＝30°可得∠EAC＝40°． 【解答】解：∵∠B＝80°，∠C＝30°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝70°， ∵△ABC≌△ADE， ∴∠DAE＝∠BAC＝70°， ∴∠EAC＝∠DAE﹣∠DAC＝70°﹣30°＝40°， 故选：A． 【点评】本题考查三角形全等的应用，熟练掌握全等三角形的性质和三角形内角和定理是解题关键． 4．（2025秋•承德县期末）如图，△ABC≌△ADE，连接BD，若∠CAE＝90°，AB＝2，则图中阴影部分的面积为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】先根据全等三角形的性质可得AD＝AB＝2，∠BAC＝∠DAE，S△ABC＝S△ADE，从而可得∠BAD＝∠CAE＝90°，再根据图中阴影部分的面积等于△ABD的面积求解即可得． 【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∠CAE＝90°，AB＝2， ∴AD＝AB＝2，∠BAC＝∠DAE，S△ABC＝S△ADE， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE， ∴∠BAD＝90°， 又∵S△ABC＝S△ADE， ∴S阴影， 故选：B． 【点评】本题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应边相等；全角形的对应角相等是解题的关键． 5．（2026春•龙岗区期中）如图，已知△ABC≌△ABE≌△ADC，若∠1＝131°，则∠α的度数为（　　） A．89° B．88° C．98° D．109° 【分析】由△ABC≌△ABE，得∠BAE＝∠1＝131°，则∠CAE＝360°﹣∠BAE﹣∠1＝98°，由△ABE≌△ADC，得∠E＝∠ACD，所以∠CFE＝∠α+∠E＝∠α+∠ACD，又因为∠CFE＝∠CAE+∠ACD，所以∠α+∠ACD＝∠CAE+∠ACD，则∠α＝∠CAE＝98°，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵△ABC≌△ABE， ∴∠BAE＝∠1＝131°， ∴∠CAE＝360°﹣∠BAE﹣∠1＝360°﹣131°﹣131°＝98°， ∵△ABE≌△ADC， ∴∠E＝∠ACD， ∴∠CFE＝∠α+∠E＝∠α+∠ACD， ∵∠CFE＝∠CAE+∠ACD， ∴∠α+∠ACD＝∠CAE+∠ACD， ∴∠α＝∠CAE＝98°， 故选：C． 【点评】此题重点考查全等三角形的性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，推导出∠CAE＝98°且∠α＝∠CAE是解题的关键． 6．（2025秋•宣城期末）如图，CA⊥AB，垂足为点A，射线BM⊥AB，垂足为点B，AB＝10cm，AC＝4cm，动点E从A点出发以2cm/s的速度沿射线AN运动，动点D在射线BM上，随着E点运动而运动，始终保持ED＝CB．若点E的运动时间为t（t＞0）秒，则当t＝　3或7或10　 秒时，△DEB与△ABC全等． 【分析】分点E在线段AB上和点E在线段BN上两种情况，分别分成两种情况AC＝BE，AB＝BE求解即可． 【解答】解：分点E在线段AB上和点E在线段BN上两种情况，分别分成两种情况AC＝BE，AB＝BE讨论如下： ①点E在线段AB上，点E与点A重合时此时t＝0，当△EDB≌△BCA时，BD＝AC＝4，则t＞0，不符合题意，舍去； 点E在线段AB上，△BCA≌△DEB，则BE＝AC＝4cm， ∴AE＝AB﹣BE＝6cm， ∵动点E从A点出发以2cm/s的速度沿射线AN运动， ∴； ②当点E在线段BN上，△BCA≌△DEB，则BE＝AC＝4cm， ∴AE＝AB+BE＝14cm， ∵动点E从A点出发以2cm/s的速度沿射线AN运动， ∴； 当点E在线段BN上，△BCA≌△EDB，则AB＝BE＝10cm， ∴AE＝AB+BE＝20cm， ∵动点E从A点出发以2cm/s的速度沿射线AN运动， ∴． 综上，当t为3或7或10秒时，△DEB与△BCA全等． 故答案为：3或7或10． 【点评】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，掌握分类讨论思想是解题的关键． 7．（2025秋•裕安区校级期末）如图，已知△ABC≌△ABE≌△ADC，若∠1＝125°，则∠α的度数为（　　） A．90° B．100° C．110° D．120° 【分析】根据全等三角形对应角相等可得∠BAE＝∠1，∠ACD＝∠E，然后根据周角等于360°求出∠2，再根据三角形的内角和定理求出∠α＝∠2，从而得解． 【解答】解：如图， ∵△ABC≌△ABE≌△ADC，∠1＝125°，∴∠BAE＝∠1＝125°，∠ACD＝∠E（全等三角形对应角相等），∴∠2＝360°﹣∠1﹣∠BAE＝360°﹣125°﹣125°＝110°，∴∠DFE＝180°﹣∠α﹣∠E，∠AFC＝180°﹣∠2﹣∠ACD，∵∠DFE＝∠AFC，∴180°﹣∠α﹣∠E＝180°﹣∠2﹣∠ACD，∴∠α＝∠2＝110°， ∴∠α的度数为110°，故选：C． 【点评】本题考查了全等三角形对应角相等的性质，三角形的内角和定理，对顶角、邻补角，找出对应角是解题的关键． 8．（2026春•闵行区期中）如图，在△ABC中，点D是边AB上一点，点E是线段CD上一点，且△BDE≌△CDA，其中点B与点C、点D与点D、点E与点A分别是对应顶点，下列结论中正确的是（　　） ①∠CBE＝∠CAE； ②CE＝ED； ③BE⊥AC； ④AE⊥BC． A．①②③ B．①② C．①③④ D．③④ 【分析】由全等三角形的性质推出∠CAD＝∠BED，DE＝DA，BD＝CD，∠ADC＝∠BDE，判定△ADE和△BDC是等腰直角三角形，得到∠DAE＝∠BCD＝45°，由三角形的外角性质得到∠CBE＝∠CAE，CE和ED不一定相等，延长BE交AC于M，由三角形内角和定理得到∠CME＝∠BDE＝90°，判定BE⊥AC，延长AE交BC于N，由△ADE是等腰直角三角形，得到∠AED＝45°，求出∠CNE＝90°，判定AE⊥BC． 【解答】解：∵△BDE≌△CDA， ∴∠CAD＝∠BED，DE＝DA，BD＝CD，∠ADC＝∠BDE， ∵∠ADC+∠BDE＝180°， ∴∠ADC＝∠BDE＝90°， ∴△ADE和△BDC是等腰直角三角形， ∴∠DAE＝∠BCD＝45°， ∵∠CAE+∠DAE＝∠CBE+∠BCD， ∴∠CBE＝∠CAE， 故①符合题意； ∵E不一定是CD的中点， ∴CE和ED不一定相等， 故②不符合题意； 延长BE交AC于M， ∵△BDE≌△CDA， ∴∠MCE＝∠DBE， ∵∠CEM＝∠BED， ∴∠CME＝∠BDE＝90°， ∴BE⊥AC， 故③符合题意； 延长AE交BC于N， ∵△ADE是等腰直角三角形， ∴∠AED＝45°， ∴∠CEN＝∠AED＝45°， ∵∠ECN＝45°， ∴∠CNE＝180°﹣45°﹣45°＝90°， ∴AE⊥BC， 故④符合题意． ∴结论正确的是①③④． 故选：C． 【点评】本题考查全等三角形的性质，关键是由全等三角形的性质推出△ADE和△BDC是等腰直角三角形． 9．（2026•新市区二模）如图，△ABC≌△DEC，点D在AB上，∠A＝70°，则∠BDE的度数为（　　） A．40° B．45° C．60° D．70° 【分析】先根据全等三角形性质求出∠DEC，然后根据等边对等角求出∠ADC，再利用平角性质求解即可． 【解答】解：∵△ABC≌△DEC，点D在AB上，∠A＝70°， ∴∠EDC＝∠A＝70°，CD＝AC， ∴∠ADC＝∠A＝70°， ∴∠BDE＝180°﹣∠EDC﹣∠CDA＝40°． 故选：A． 【点评】本题考查了全等三角形的性质，熟知全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等是解题的关键． 【考点2】填空必考题型（第1018题） 10．（2026•泗洪县模拟）如图，△ABC≌△CDE，若∠D＝30°，∠ACB＝40°，则∠DCE的度数为 　110°　 ． 【分析】由全等三角形的对应角相等推出∠E＝∠ACB＝40°，由三角形内角和定理即可求出∠DCE的度数． 【解答】解：∵△ABC≌△CDE， ∴∠E＝∠ACB＝40°， ∵∠D＝30°， ∴∠DCE＝180°﹣∠D﹣∠E＝110°． 故答案为：110°． 【点评】本题考查全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应角相等． 11．（2026•成都模拟）如图，已知△ABC≌△ADE，点D恰好在BC边上，若∠EAC＝50°，则∠ADE的度数为　65°　 ． 【分析】由全等三角形的性质推出∠ADE＝∠B，∠BAC＝∠DAE，AB＝AD，得到∠BAD＝∠EAC＝50°，由等腰三角形的性质推出∠B＝∠ADB＝65°，于是得到∠ADE的度数． 【解答】解：∵△ABC≌△ADE， ∴∠ADE＝∠B，∠BAC＝∠DAE，AB＝AD， ∴∠BAD＝∠EAC＝50°， ∵AB＝AD， ∴∠B＝∠ADB（180°﹣50°）＝65°， ∠ADE＝∠B＝65°． 故对答案为：65°． 【点评】本题考查全等三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，关键是掌握全等三角形的对应边和对应角相等． 12．（2026春•龙岗区期中）如图，已知△ABC≌△ADE，点D恰好在BC边上，若∠EDC＝36°，则∠B的度数是　72°　 ． 【分析】由全等三角形的性质推出∠B＝∠ADE，AB＝AD，由三角形的外角性质推出∠BAD＝∠EDC＝36°，由等腰三角形的性质得到∠B＝∠ADB＝72°． 【解答】解：∵△ABC≌△ADE， ∴∠B＝∠ADE，AB＝AD， ∵∠ADE+∠EDC＝∠B+∠BAD， ∴∠BAD＝∠EDC＝36°， ∵AB＝AD， ∴∠B＝∠ADB（180°﹣36°）＝72°． 故答案为：72°． 【点评】本题考查全等三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，关键是掌握全等三角形的对应角相等，等边对等角． 13．（2025春•杨浦区期中）如图，已知△AEC≌△ADB，如果∠2＝25°，∠AGE＝80°，那么∠D＝ 　75　 °． 【分析】根据全等三角形的性质得∠E＝∠D，∠EAC＝∠DAB，进而得∠1＝∠2＝25°，再由三角形内角和定理求出∠E＝75°，由此即可得∠D的度数． 【解答】解：∵△AEC≌△ADB，∠2＝25°， ∴∠E＝∠D，∠EAC＝∠DAB， ∴∠1+∠GAC＝∠GAC+∠2， ∴∠1＝∠2＝25°， 在△AEG中，∠AGE＝80°， ∴∠E＝180°﹣（∠1+∠AGE）＝180°﹣（25°+80°）＝75°， ∴∠D＝75°， 故答案为：75． 【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，理解全等三角形的对应角相等，对应边相等是解决问题的关键． 14．（2024秋•青浦区校级期末）我们规定：在四边形ABCD中，O是边BC上的一点，如果△OAB与△OCD全等，那么点O叫做该四边形的“等形点”．在四边形EFGH中，∠EFG＝90°，EF∥GH，EF＝5，FG＝17，如果该四边形的“等形点”在边FG上，那么四边形EFGH的面积是 　或85　 ． 【分析】依题意得∠EFG＝∠HGF＝90°，设OF＝a，则OG＝17﹣a，分两种情况讨论如下：①当EF＝FG，OF＝HG时，△OEF≌△HOG，由EF＝FG得5＝17﹣a，解得a＝12，则OF＝HG＝12，此时四边形EFGH是直角梯形，然后根据梯形的面积公式即可求出四边形EFGH的面积；②当EF＝HF＝5，OF＝OG时，△OEF≌△OHG，根据EF∥GH，EF＝HF＝5，∠EFG＝∠HGF＝90°得此时四边形EFGH是矩形，然后根据长方形的面积公式即可得出四边形EF的面积，综上所述即可得出答案． 【解答】解：设四边形EFGH的“等形点”为O， ∵∠EFG＝90°，EF∥GH， ∴∠EFG＝∠HGF＝90°， 设OF＝a， ∵EF＝5，FG＝17，点O在FG上， ∴OG＝FG﹣OF＝17﹣a， ∴有以下两种情况： ①当EF＝FG，OF＝HG时，△OEF≌△HOG，如图1所示： 由EF＝FG，得：5＝17﹣a， 解得：a＝12， ∴OF＝a＝12，OG＝17﹣12＝5， ∴OF＝HG＝12， ∴EF∥GH，则此时四边形EFGH是直角梯形， ∴S四边形EFGH（EF+HG）•FG（5+12）×17； ②当EF＝HF＝5，OF＝OG时，△OEF≌△OHG，如图2所示： ∵EF∥GH，EF＝HF＝5，∠EFG＝∠HGF＝90°， ∴四边形EFGH是长方形， ∴S四边形EFGH＝EF•FG＝5×17＝85， 综上所述：四边形EFGH的面积是或85． 故答案为：或85． 【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，理解四边形的“等形点”的定义，熟练掌握全等三角形的性质是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的易错点． 15．（2026春•浦东新区期中）已知△ABC≌△DEF，△ABC的三边长度为4、x+y和2x，△DEF的三边长度为6、x、x+2y，则△ABC的周长是　18　 ． 【分析】根据全等三角形对应边相等的性质，分情况列出方程组求解，舍去不符合三角形边长要求的解，得到三角形三边长后计算周长即可． 【解答】解：根据全等三角形对应边相等的性质，分情况列出方程组求解，舍去不符合三角形边长要求的解，得到三角形三边长后计算周长如下： 情况1：列方程组，解得， 此时△ABC的三边长为4，x+y＝6，2x＝8，满足三角形三边关系，符合题意； 情况2：列方程组，由2x＝6得x＝3，与x＝4矛盾，舍去； 情况3：列方程组， 由x＝2x得x＝0，边长不能为0，不符合题意，舍去； 情况4：列方程组， 由x＝x+y得y＝0，则x+2y＝x＝4，此时2x＝2×4＝8，这与2x＝6矛盾，舍去， 故△ABC的周长为4+6+8＝18． 故答案为：18． 【点评】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握该知识点是关键． 16．（2025春•闵行区校级月考）如图，在△ABC中，高线AD和角平分线BE相交于点F．已知△BDF≌△ADC，求∠C的度数 　67.5°　 ． 【分析】由全等三角形的性质推出AD＝BD，∠C＝∠BFD，判定△ABD是等腰直角三角形，得到∠ABD＝45°，由角平分线的定义求出∠FBD∠ABD＝22.5°，由直角三角形的性质求出∠BFD＝67.5°，即可得到∠C的度数． 【解答】解：∵△BDF≌△ADC， ∴AD＝BD，∠C＝∠BFD， ∵AD是△ABC的高， ∴∠ADB＝90°， ∴△ABD是等腰直角三角形， ∴∠ABD＝45°， ∵BE是△ABC的角平分线， ∴∠FBD∠ABD＝22.5°， ∴∠BFD＝90°﹣∠FBD＝67.5°， ∴∠C＝67.5°． 故答案为：67.5°． 【点评】本题考查全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边和对应角相等． 17．（2025春•青浦区校级期中）如图，已知△ABC≌△A′BC′，AA′∥BC，∠ABC＝65°，那么∠CBC′＝　50°/50度　 ． 【分析】根据平行线的性质得到∠A′AB＝∠ABC＝65°，根据全等三角形的性质得到BA＝BA′，∠A′BC′＝∠ABC＝65°，计算即可． 【解答】解：∵AA′∥BC，∠ABC＝65°， ∴∠A′AB＝∠ABC＝65°， ∵△ABC≌△A′BC′， ∴BA＝BA′，∠A′BC′＝∠ABC＝65°， ∴∠A′AB＝∠AA′B＝65°， ∴∠A′BA＝180°﹣∠A′AB﹣∠AA′B＝180°﹣65°﹣65°＝50°， ∴∠CBC′＝∠A′BC﹣∠A′BC′＝50°+65°﹣65°＝50°， 故答案为：50°． 【点评】本题考查的是全等三角形的性质，平行线的性质，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键． 18．（2024秋•岳阳楼区校级期中）我们规定：在四边形ABCD中，O是边BC上的一点，如果△OAB与△OCD全等，那么点O叫做该四边形的“等形点”，在四边形EFGH中，∠EFG＝90°，EF∥GH，EF＝1，FG＝3，如果该四边形的“等形点”在边GF上，那么GH的长是 　1或2　 ． 【分析】根据平行线的性质，得到∠FGH＝90°，分两种情况讨论：当△OEF≌△OHG时当△OEF≌△OGH时，再利用全等三角形的性质可得答案． 【解答】解：∵∠EFG＝90°，EF∥GH， ∴∠FGH＝90°， ∵四边形EFGH的“等形点”在边FG上， 如图1，当△OEF≌△OHG时，则EF＝HG＝1， 如图2，当△OEF≌△HOG时， ∴EF＝OG＝1，OF＝GH， ∵FG＝3， ∴OF＝FG﹣OG＝3﹣1＝2， ∴GH＝2， 故答案为：1或2． 【点评】本题考查了全等三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键． 【考点3】解答必考题型（第1923题） 19．（2025秋•洪雅县期末）如图，已知△ABC≌△DAE，点A、C、D在同一条直线上． （1）请判断AB与DE的位置关系，并说明理由； （2）若ED＝3，CD＝4，求线段AB的长． 【分析】（1）由全等三角形的性质推出∠D＝∠CAB，判定AB∥DE； （2）由全等三角形的性质推出AC＝ED＝3，AB＝AD，求出AD＝7，即可得到AB的长． 【解答】解：（1）AB∥DE，理由如下： ∵△ABC≌△DAE， ∴∠D＝∠CAB， ∴AB∥DE； （2）∵△ABC≌△DAE， ∴AC＝ED＝3，AB＝AD， ∵AD＝AC+CD＝4+3＝7， ∴AB＝7． 【点评】本题考查全等三角形的性质，平行线的判定，关键是掌握全等三角形的对应边和对应角相等；内错角相等，两直线平行． 20．（2025秋•安次区校级月考）如图，△ABC≌△ADC，∠B+∠D＝200°，∠BAD＝64°． （1）求∠BCA的度数． （2）若AB＝6，CD＝4，求四边形ABCD的周长． 【分析】（1）由全等三角形的性质得∠B＝∠D，∠BAC＝∠DAC，求出∠B＝∠D＝100°，∠BAC＝∠DAC＝32°，然后根据三角形内角和即可求出∠BCA的度数． （2）由全等三角形的性质得AD＝AB＝6，BC＝CD＝4，然后根据周长公式求解即可． 【解答】解：（1）∵△ABC≌△ADC， ∴∠BAC＝∠DAC，∠B＝∠D， ∵∠BAD＝64°，∠B+∠D＝200°， ∴∠B＝∠D＝100°，∠BAC＝∠DAC＝32°， ∴∠BCA＝180°﹣100°﹣32°＝48°； （2）∵△ABC≌△ADC， ∴AD＝AB＝6，BC＝CD＝4， ∴四边形ABCD的周长＝AD+AB+BC+CD＝6+6+4+4＝20． 【点评】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应边相等，对应角相等是解答本题的关键． 21．（2025秋•防城区月考）如图，已知△ABE≌△ACD． （1）若BE＝6，DE＝2，求BC的长； （2）若∠DAE＝20°，求∠AEC的度数． 【分析】（1）利用全等三角形的性质得到BE＝CD＝6，进而求解即可； （2）利用全等三角形的性质得到∠ADE＝∠AED，再利用三角形内角和运算求解即可． 【解答】解：（1）∵△ABE≌△ACD， ∴BE＝CD＝6， ∵DE＝2， ∴CE＝CD﹣DE＝4， ∴BC＝BE+CE＝10； （2）∵△ABE≌△ACD， ∴∠ADE＝∠AED， ∵∠DAE＝20°， ∴， ∴∠AEC＝180°﹣∠AED＝100°． 【点评】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 22．（2023秋•赤坎区校级期中）如图，已知△ABC≌△ADC，∠BAD＝120°，∠ACD＝35°，求∠B的大小． 【分析】先根据全等三角形性质得∠B＝∠D，∠BAC＝∠DAC，再根据∠BAD＝120°得∴∠BAC＝∠DAC＝60°，然后根据三角形内角和定理求出∠D＝85°，进而可得∠B的度数． 【解答】解：∵△ABC≌△ADC， ∴∠B＝∠D，∠BAC＝∠DAC， ∵∠BAD＝120°， ∴∠BAC＝∠DAC∠BAD＝60°， 在△ACD中，∠ACD＝35°，∠DAC+∠ACD+∠D＝180°， ∴∠D＝180°﹣（∠DAC+∠ACD）＝180°﹣（35°+60°）＝85°， ∴∠B＝∠D＝85°． 【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，理解全等三角形的性质，熟练掌握三角形的内角和定理是解决问题的关键． 23．（2026春•镇平县期末）如图，已知△ABC≌△DBE，点D在边AC上，BC与DE交于点P，∠ABE＝162°，∠CBD＝36°． （1）求∠CBE的度数； （2）若AD＝DC＝5，BC＝8，求△CDP与△BEP的周长之和． 【分析】（1）根据全等三角形的性质得到∠ABC＝∠DBE，计算即可； （2）根据全等三角形的性质求出DC、DE、BC、BE，根据三角形的周长公式计算即可． 【解答】解：（1）∵∠ABE＝162°，∠CBD＝36°， ∴∠ABD+∠CBE＝126°． ∵△ABC≌△DBE， ∴∠ABC＝∠DBE， ∴∠ABC﹣∠CBD＝∠DBE﹣∠CBD， 即∠ABD＝∠CBE， ∴． （2）∵△ABC≌△DBE， ∴DE＝AC＝AD+DC＝10，BE＝BC＝8， ∴△CDP与△BEP的周长和＝DC+DP+PC+BP+PE+BE， ＝DC+DE+BC+BE ＝5+10+8+8 ＝31． 【点评】本题主要考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应角相等，对应边相等是解本题的关键． 【考点4】创新型题型及压轴题（第2428题） 24．（2024秋•海东市期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝10cm，点D在AB上，且BD＝6cm；点M从B出发以每秒1cm的速度向点C运动，同时，点N从C出发向点A运动，设运动时间为t秒，连接DM、MN． （1）用含t的式子表示BM、MC； （2）若点N的运动速度也为每秒1cm，t为何值时，△DBM≌△MCN； （3）若点N的运动速度和点M的速度不相等，要使△DBM≌△NCM，则点N的运动速度为多少？全等时t为多少？ 【分析】（1）根据题意列代数式即可； （2）由点N的运动速度也为每秒1cm，则NC＝t，BM＝NC，再由△DBM≌△MCN，则MC＝BD＝6，所以10﹣t＝6，然后求解即可； （3）由点N的运动速度和点M的速度不相等，则BM≠NC，△DBM≌△NCM，则BM＝MC，NC＝BD＝6，即M为BC中点，所以t＝10﹣t，然后求解即可； 【解答】解：（1）由题意得：BM＝t，MC＝10﹣t； （2）∵点N的运动速度也为每秒1cm， ∴NC＝t，BM＝NC， ∵△DBM≌△MCN；BD＝6cm， ∴MC＝BD＝6cm（全等三角形对应边相等）， ∴10﹣t＝6， 解得t＝4， ∴t＝4时，△DBM≌△MCN； （3）由点N的运动速度和点M的速度不相等，则BM≠NC， ∵△DBM≌△NCM， ∴BM＝MC，NC＝BD＝6cm（全等三角形对应边相等）， ∴M为BC中点， ∴t＝10﹣t， 解得：t＝5， ∴点N的速度为每秒． 【点评】本题考查了全等三角形的性质，一元一次方程的应用，列代数式，掌握知识点的应用是解题的关键． 25．（2025秋•绵阳期末）如图，△ABC≌△A′B′C′，AD、A′D′分别是BC、B′C′边上的中线，求证：AD＝A′D′． 【分析】根据全等三角形的性质得到AB＝A′B′，BC＝B′C′，∠B＝∠B′，再由三角形中线的定义推出BD＝B′D′，则可证明△ABD≌△A′B′D′（SAS），进而证明AD＝A′D′． 【解答】解：∵△ABC≌△A′B′C′， ∴∠B＝∠B′，AB＝A′B′，BC＝B′C′， ∵AD、A′D′分别是△ABC，△A′B′C′的对应边上的中线， ∴B′D′B′C′，BD， ∴BD＝B′D′， ∴△ABD≌△A′B′D′（SAS）， ∴AD＝A′D′（全等三角形的对应边相等）． 【点评】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，掌握三角形中线的定义是解题的关键． 26．（2025秋•荣县校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC＝24cm，BC＝16cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以4cm/s的速度由B点向C点运动．同时，点Q在线段CA上由C点以acm/s的速度向A点运动．设运动的时间为ts． （1）直接写出：①BP＝ 　4t cm；②CP＝ 　（16﹣4t）　 cm；③CQ＝ at cm．（用含t，a的式子表示） （2）若以D，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形全等，试求a，t的值． 【分析】（1）根据速度与时间可得路程BP和CQ，根据边长和中点定义可得BD和CP的长； （2）根据∠B＝∠C，可知：分两种情况：①若△DBP≌△QCP，②若△DBP≌△PCQ，根据全等三角形对应边相等列方程组可得结论． 【解答】解：（1）由题意得：∵BC＝16cm，点P在线段BC上以4cm/s的速度由B点向C点运动． ∴①BP＝4t（cm）；②CP＝BC﹣BP＝16﹣4t（cm）； ∵点Q在线段CA上由C点以acm/s的速度向A点运动， ∴③CQ＝at（cm）； 故答案为：4t；（16﹣4t）；at； （2）∵BP＝4tcm，BD＝12cm，CP＝（16﹣4t）cm，CQ＝atcm， ∵∠B＝∠C， ∴分两种情况： ①若△DBP≌△QCP， 则， ∴， ∴； ②若△DBP≌△PCQ， 则， ∴， ∴； 综上所述，a的值为6、t的值为2或a的值为4、t的值为1． 【点评】本题考查了全等三角形的性质，关键是能根据题意得出方程． 27．（2025春•崂山区期中）已知：如图①，AB⊥BD，DE⊥BD，点C是BD上一点，且△ABC≌△CDE． （1）试判断AC与CE的位置关系，并说明理由； （2）如图②，若把△CDE沿直线BD向左移动，使△CDE的顶点C与B重合，AC与BE交于点F，此时AC与BE的位置关系怎样？请说明理由； （3）图②中，若S△ABC＝12，AF：CF＝3：1，求四边形CDEF的面积． 【分析】（1）根据全等三角形的性质及直角三角形的性质求出∠ACE＝90°，就可以得出AC⊥CE； （2）如图②，根据△ABC≌△CDE可以得出∠BFC＝90°，从而得出结论； （3）根据S△ABC＝12，AF：CF＝3：1，可得S△BFCS△ABC＝3，由△ABC≌△BDE，得S△BDE＝S△ABC＝12，进而可以解决问题． 【解答】解：（1）AC⊥CE，理由如下： ∵AB⊥BD， ∴∠B＝90°， ∴∠A+∠ACB＝90°， ∵△ABC≌△CDE， ∴∠A＝∠DCE，∠ACB＝∠E， ∴∠DCE+∠ACB＝90°， ∵∠DCE+∠ACB+∠ACE＝180°， ∴∠ACE＝90°， ∴AC⊥CE； （2）AC⊥BE，理由如下： ∵△ABC≌△BDE， ∴∠A＝∠EBD，∠ACB＝∠E， ∵∠B＝90°， ∴∠A+∠ACB＝90°， ∴∠EBD+∠ACB＝90°， ∴∠BFC＝90°， ∴AC⊥BE； （3）∵S△ABC＝12，AF：CF＝3：1， ∴S△BFCS△ABC＝3， ∵△ABC≌△BDE， ∴S△BDE＝S△ABC＝12， ∴四边形CDEF的面积＝12﹣3＝9． 【点评】本题考查了全等三角形的性质，平移的性质的运用，垂直的判定及性质的运用，熟记全等三角形的性质是解题的关键． 28．（2025秋•红花岗区校级期中）为了证明“三角形的内角和是180°”，综合实践小组给出了如图所示的四种作辅助线的方法． （1）其中不能证明“三角形的内角和是180°”的是 A （填选项）； A．如图1，过点C作EF＝AB B．如图2，作△ABD≌△BAC C．如图3，过AB上一点D作DE∥CB，DF∥AC D．如图4，过点C作CD∥BA （2）请选择可以证明“三角形的内角和为180°”的一幅图加以证明． 【分析】（1）根据选项A不能证明“三角形的内角和是180°”，选项B，C，D均能证明“三角形的内角和是180°”即可得出答案； （2）对于选项B，根据△ABD≌△BAC得∠BAD＝∠ABC，进而得AD∥BC，则∠DAC+∠C＝90°，即∠BAC+∠BAD+∠C＝90°，由此可得出结论；对于选项C，根据DE∥CB得∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，再根据DF∥AC得∠BDF＝∠A，∠EDF＝∠AED＝∠C，然后根据∠BDF+∠ADE+∠EDF＝180°即可得出结论；对于选项D，根据CD∥BA得∠ACD＝∠A，∠BCD+∠B＝180°，进而得∠ACD+∠ACB+∠B＝180°，由此可得出结论． 【解答】解：（1）选项A不能证明“三角形的内角和是180°”， 故选项A符合题意； 选项B，C，D均能证明“三角形的内角和是180°”， 故选项B，C，D均不符合题意， 故选：A； （2）对于选项B，证明如下： ∵△ABD≌△BAC， ∴∠BAD＝∠ABC， ∴AD∥BC， ∴∠DAC+∠C＝90°， ∴∠BAC+∠BAD+∠C＝180°， 即∠BAC+∠ABC+∠C＝180°； 对于选项C，证明如下： ∵DE∥CB， ∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C， ∵DF∥AC， ∴∠BDF＝∠A，∠EDF＝∠AED＝∠C， ∵∠BDF+∠ADE+∠EDF＝180°， ∴∠A+∠B+∠C＝180°， 对于选项D，证明如下： ∵CD∥BA， ∴∠ACD＝∠A，∠BCD+∠B＝180°， ∴∠ACD+∠ACB+∠B＝180°， 即∠A+∠B+∠ACB＝180°． 【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，平行线的性质，准确识图，熟练掌握全等三角形的性质，平行线的性质是解决问题的关键． 随堂检测 · 精选练习 【练习 1】（2025秋•临洮县期末）如图，AC⊥BE，DE⊥BE，若△ABC≌△BDE，AC＝7，DE＝3，则CE等于 　4　 ． 【分析】由全等三角形的对应边相等得到EB＝AC＝7，BC＝DE＝3，即可求出CE的长． 【解答】解：∵△ABC≌△BDE， ∴EB＝AC＝7，BC＝DE＝3， ∴CE＝BE﹣BC＝4． 故答案为：4． 【点评】本题考查全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等． 【练习 2】（2024秋•白云区校级月考）如图，△AEB≌△DFC，AE⊥CB，DF⊥BC，垂足分别为E、F，且AE＝DF，若∠C＝28°，则∠A＝ 　62°　 ． 【分析】根据AE⊥CB，DF⊥BC得△AEB和△DFC都是直角三角形，在Rt△DFC中，可求出∠D＝62°，再根据AE＝DF，△AEB≌△DFC得∠A＝∠D＝62°，由此即可得出答案． 【解答】解：∵AE⊥CB，DF⊥BC， ∴∠AEB＝∠DFC＝90°， ∴△AEB和△DFC都是直角三角形， 在Rt△DFC中，∠C＝28°， ∴∠D＝90°﹣∠C＝62°， ∵AE＝DF，△AEB≌△DFC， ∴∠A＝∠D＝62°． 故答案为：62°． 【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握了全等三角形的性质，直角三角形的性质是解决问题的关键． 【练习 3】（2025春•上海期末）一个三角形的三边长为x，5，7，另一个与它全等的三角形的三边长为3，y，5，那么以x、y为腰长和底边长的等腰三角形的周长等于 　17　 ． 【分析】根据全等三角形的对应边相等可得x＝3，y＝7，根据三角形的三边关系求出等腰三角形的三边，即可求得答案． 【解答】解：∵三角形的三边长为x，5，7的三角形，与另一个三边长为3，y，5的三角形全等， ∴x＝3，y＝7， 当以x为腰时， ∴三角形的三边为3，3，7， ∵3+3＜7， ∴不能够组成三角形， 当以y为腰时， ∴三角形的三边为7，7，3， ∵3+7＞7， ∴能组成三角形， ∴三角形的周长＝3+7+7＝17， 故答案为：17． 【点评】此题考查全等三角形的性质、等腰三角形的性质，三角形的三边关系，熟记性质准确找出对应边得到x、y的值是解题的关键． 课后巩固 · 针对性练习 做题先圈出全等条件，圈写对应顶点字母，避免找错对应边、角； 动点全等题目养成习惯：先枚举全部对应情况，防止漏解； 几何解答题每一步写出依据（全等性质、内角和、外角定理）； 整理错题，区分“全等可以推出”和“不能推出”的结论，例如面积相等推不出全等； 新定义题型，把陌生名词翻译成全等边角条件，再解题。 【作业 1】（2025春•浦东新区校级期末）如图，如果△ABC≌△AED，且点D在BC上，那么下列说法错误的是（　　） A．∠E＝∠B B．∠BDE＝∠EAB C．∠ADC＝∠C D．∠BAD＝∠DAC 【分析】对于选项A，根据△ABC≌△AED得∠E＝∠B，由此可对选项A进行判断； 对于选项B，根据△ABC≌△AED得∠C＝∠ADE，AD＝AC，∠BAC＝∠EAD，进而得∠ADC＝∠C＝∠ADE，则∠BDE＝180°﹣2∠C，再根据三角形内角和定理得∠DAC＝180°﹣2∠C，则∠BDE＝∠DAC，再根据∠BAC＝∠EAD得∠DAC＝∠EAB，进而得∠BDE＝∠EAB，由此可对选项B进行判断； 对于选项C，由AD＝AC得∠ADC＝∠C，由此可对结论C进行判断； 对于选项D，根据点D在BC上得AD不是∠BAC的平分线，则∠BAD≠∠DAC，由此可对选项D进行判断，综上所述即可得出答案． 【解答】解：对于选项A， ∵△ABC≌△AED， ∴∠E＝∠B， 故选项A正确，不符合题意； 对于选项B， ∵△ABC≌△AED， ∴∠C＝∠ADE，AD＝AC，∠BAC＝∠EAD， ∴∠ADC＝∠C， ∴∠C＝∠ADE＝∠ADC， ∴∠BDE＝180°﹣（∠ADE+∠ADC）＝180°﹣2∠C， 在△ACD中，∠DAC＝180°﹣（∠ADC+∠C）＝180°﹣2∠C， ∴∠BDE＝∠DAC， ∵∠BAC＝∠EAD， ∴∠BAD+∠DAC＝∠BAD+∠EAB， ∴∠DAC＝∠EAB， ∴∠BDE＝∠EAB， 故选项B正确，不符合题意； 对于选项C， ∵AD＝AC， ∴∠ADC＝∠C， 故结论C正确，不符合题意； 对于选项D， ∵点D在BC上， ∴AD不是∠BAC的平分线， ∴∠BAD≠∠DAC， 故选项D不正确，符合题意． 故选：D． 【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，准确识图，熟练掌握全等三角形的性质是解决问题的关键． 【作业 2】（2025秋•大英县期末）如图，CA⊥AB于点A，AB＝10，AC＝4，射线BM⊥AB于点B，一动点E从A点出发以2个单位/秒的速度沿射线AB运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED＝CB，若点E经过t秒（t＞0），△DEB与△BCA全等，则t的值为 　3或7或10　 秒． 【分析】根据运动过程和三角形全等，分类讨论，确定点E的位置，从而可得运动路程，除以运动速度，即可得运动时间． 【解答】解：根据题意，进行分类讨论如下： 当点E在线段AB上，AC＝BE时，△BAC≌△DBE， ∴BE＝AC， ∵AC＝4， ∴BE＝4， ∵AB＝10， ∴AE＝10﹣4＝6， ∵点E的运动速度为2个单位/秒， ∴运动时间（秒）； 当点E在AB延长线上，AC＝BE时，△BAC≌△DBE， ∴BE＝AC， ∵AC＝4， ∴BE＝4， ∵AB＝10， ∴AE＝10+4＝14， ∵点E的运动速度为2个单位/秒， ∴运动时间（秒）； 当点E在AB延长线上，AB＝BE时，△BAC≌△EBD， ∴BE＝AB， ∵AB＝10， ∴AE＝10×2＝20， ∵点E的运动速度为2个单位/秒， ∴运动时间 t＝202＝10 （秒） ∴t的值为3或7或10， 故答案为：3或7或10． 【点评】本题考查的是全等三角形的性质，熟知全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等是解题的关键． 【作业 3】（2025秋•鹿邑县期末）如图，△ABC≌△DEB，点E在边AB上，DE与AC相交于点F． （1）若DE＝13，BC＝7，求线段AE的长； （2）若∠AFE＝50°，∠DEB＝80°，求∠DBC的度数． 【分析】（1）根据全等三角形的性质可得AB＝DE＝13，EB＝BC＝7，再由AE＝AB﹣EB即可得解； （2）先由外角性质求出∠A，再结合全等三角形的性质、三角形内角和定理求出∠ABC、∠DBE即可求解． 【解答】解：（1）∵△ABC≌△DEB，DE＝13，BC＝7， ∴AB＝DE＝13，EB＝BC＝7（全等三角形对应边相等）， ∴AE＝AB﹣EB＝13﹣7＝6； （2）∵∠DEB是△AEF的外角， ∴∠DEB＝∠AFE+∠A， 又∠AFE＝50°，∠DEB＝80°， ∴∠A＝∠DEB﹣∠AFE＝30°， ∵△ABC≌△DEB， ∴∠A＝∠D＝30°，∠DEB＝∠ABC＝80°（全等三角形对应角相等）， ∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠ABC＝70°＝∠DBE， ∴∠DBC＝∠ABC﹣∠DBE＝80°﹣70°＝10°． 【点评】本题考查的是全等三角形的性质、三角形外角性质、三角形内角和定理，解题关键是熟练掌握全等三角形的性质． 【作业 4】（2025春•秦州区期末）如图，已知△ABC≌△DEC，∠ACB是锐角，∠B＝30°，∠ACD＝60°，延长BA交DE于点F，交CE于点G． （1）判断直线BF与CE是否垂直？请说明理由； （2）若AC∥DE，求∠DCE的度数． 【分析】（1）先根据全等三角形的性质得出∠B＝∠E＝30°，∠ACB＝∠DCE，故可得出∠ACB+∠ACG＝∠DCE+∠ACG＝∠ACD＝60°，故可得出∠BGC＝90°，据此得出结论； （2）由AC∥DE可知∠E＝∠ACG＝30°，再根据∠ACD＝60°即可得出结论． 【解答】解：（1）BF⊥CE，理由： ∵△ABC≌△DEC，∠B＝30°，∠ACD＝60°， ∴∠B＝∠E＝30°，∠ACB＝∠DCE， ∴∠BCG＝∠ACB+∠ACG＝∠DCE+∠ACG＝∠ACD＝60°， ∴∠BGC＝180°﹣∠B﹣∠BCG＝180°﹣30°﹣60°＝90°， ∴BF⊥CE； （2）由（1）知∠E＝30°， ∵AC∥DE， ∴∠ACG＝∠E＝30°， ∵∠ACD＝60°， ∴∠DCE＝∠ACD﹣∠ACG＝60°﹣30°＝30°． 【点评】本题考查的是全等三角形的性质，熟知全等三角形的对应角相等是解题的关键． 【作业 5】（2025秋•桓台县期中）如图，△ABC≌△FEA，∠C＝∠CAF＝90°，试判断AB与EF的关系，并说明理由． 【分析】根据全等三角形的性质得到AB＝EF，∠BAC＝∠F，根据直角三角形的性质求出∠AOF＝90°，得到AB⊥EF，得出结论． 【解答】解：AB与EF垂直且相等， 理由如下：∵△ABC≌△FEA， ∴AB＝EF，∠BAC＝∠F， ∵∠CAF＝90°， ∴∠BAC+∠BAF＝90°， ∴∠F+∠BAF＝90°， ∴∠AOF＝90°， ∴AB⊥EF， ∴AB与EF垂直且相等． 【点评】本题考查的是全等三角形的性质，熟记全等三角形的对应角相等、对应边相等是解题的关键． 【作业 6】（2026春•茂南区期中）如图，点A，C，E在同一条直线上，点D在BC上，且△ABC≌△DEC，AC＝4，CE＝6． （1）求BD的长； （2）判断AE与BC的位置关系，并说明理由． 【分析】（1）由题意易得DC＝AC＝4，BC＝CE＝6，然后问题可求解； （2）由题意易得∠ACB＝∠DCE，然后根据∠ACB+∠DCE＝180°可进行求解． 【解答】解：（1）∵△ABC≌△DEC，AC＝4，CE＝6， ∴DC＝AC＝4，BC＝CE＝6（全等三角形对应边相等）， ∴BD＝BC﹣DC＝6﹣4＝2； （2）AE⊥BC，理由如下： ∵△ABC≌△DEC， ∴∠ACB＝∠DCE（全等三角形对应角相等）， ∵∠ACB+∠DCE＝180°， ∴∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴AE⊥BC． 【点评】本题主要考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键； 【作业 7】（2024秋•房山区期末）如图，点A、B、C在同一直线上，点E在BD上，且△ABD≌△EBC，AB＝3cm，BC＝5cm． （1）求DE的长； （2）判断AC与BD的位置关系，并说明理由． 【分析】（1）根据全等三角形的对应边相等及线段的和差关系可得答案； （2）根据全等三角形的对应角相等及余角的性质可得答案． 【解答】解：（1）∵△ABD≌△EBC， ∴BE＝AB＝3cm，BD＝BC＝5cm． ∴DE＝BD﹣BE＝2cm； （2）AC与DB垂直，理由如下： ∵△ABD≌△EBC， ∴∠EBC＝∠ABD． 又∵∠ABD+∠EBC＝180°， ∴∠ABD＝∠EBC＝90°， ∴DB⊥AC． 【点评】本题侧重考查全等三角形的性质，全等三角形的对应边、对应角分别相等． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $