重庆市巴蜀中学校2026-2027学年高三上学期9月阶段检测数学试卷

数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知命题，，则为 A．， B．， C．， D．， 2．函数的定义域是 A． B． C． D． 3．已知，则 A． B． C． D． 4．已知定义在上的偶函数在区间上单调递增，则不等式的解集为 A． B． C． D． 5．若将函数的图象向右平移个单位，再把所得图象上每个点的横坐标缩小为原来的，得到函数的图象，则的解析式为 A． B． C． D． 6．曲线（其中）在处的切线方程为，则 A．2 B．4 C．4或0 D．0 7．如图1，给编号为1，2，3，4的4块矩形区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，且相邻区域（有公共边）所涂颜色不能相同，若有4种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有（ ）种． A．24 B．48 C．60 D．84 8．已知函数，将函数的图象绕原点逆时针旋转后，得到的曲线仍是函数图象，则的取值范围为 A． B． C． D． 二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知事件，，，均为随机事件，则下列结论正确的是 A．若，则与互斥 B．若，对立，则 C．若，互斥，则 D．若，相互独立，且，，则 10．已知，则下列说法正确的是 A．的对称中心为 B．是的极大值 C．存在，使得有3个零点 D．的图象上不存在四点，，，，使得四边形为平行四边形 11．已知，且满足，则下列说法正确的是 A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．双曲线的渐近线方程为_________． 13．已知数列满足，，则的前13项和为_________． 14．已知函数在区间内无零点，则的取值范围是_________． 四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分13分） 已知一个不透明盒子中有1个红球、2个黄球、7个蓝球，这些球除颜色不同外；其大小形状完全相同，随机不放回依次抽取出一个球，直到将球全部取出． （1）求第三次抽取出蓝球的概率； （2）记最后一个蓝球被取出时总共取出球的个数为，求的数学期望． 16．（本小题满分15分） 设函数，其中实数． （1）当时，求函数的最小正周期和单调递增区间； （2）求函数在区间上的最小值． 17．（本小题满分15分） 如图2所示，在正四棱锥中，，，，分别为，的中点， ，平面与交于． （1）求平面与平面夹角的余弦值； （2）设，求实数的值及三棱锥的体积． 18．（本小题满分17分） 已知椭圆：的短轴长为，离心率为，上、下顶点分别为，，点为椭圆内部一点，直线，与椭圆的另外一个交点分别为，两点，直线，交于点． （1）求椭圆的标准方程； （2）证明：； （3）在轴上是否存在定点，使得为定值．若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由． 19．（本小题满分17分） 已知函数，． （1）当时，求在区间上的最大值； （2）当时，，求的取值范围； （3）当时，是否存在，，使得，若存在，试比较与的大小关系；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $口■■口口■■■■口■ 数学参考答案 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的) 题号 1 2 3 5 6 7 8 答案 C B A B C D D C 【解析】 1.因为命题p:x>1,x2+1>2,则-p为：3x>1,x2+1≤2，故选C. 2.由题得x-1>0 ln(x-1)≥0 解得≥2，故选B. 4.因为f(x)为偶函数，且f(x)在(0，+o)上单调递增，所以f(x)≤f1-x)x≤1-x, 解得≤，故选B 5将函数f=n2-到 的图象向右平移亚个单位，得 6 ym用哥m〔2x 的图象，再把图象上每个点的横坐标缩小为原来的 片得到g回=m4x的图象，放选C 6.由题得f)1-a+b=3,若a>1,当0<x<a时，f(x)=-x2+ax+lnx+b, =-2+a+,所以了0=a-1=3,所以8。h-0:若a<1,当x>a时。 f)=-a+nx+b,f)=2x-a+,所以f'0=3-a=3,所以a=0 1* b=2’ab=0, 故选D, 7.(1)若用2种颜料，则涂色方案有A=12种；(2)若用3种颜料，则涂色方案有2×A=48 种；(3)若用4种颜料，则涂色方案有A=24种；所以共有12+48+24=84种，故选D. 数学参考答案·第1页（共8页） 口■■口口■■■■■ 8.函数y=f)的图象绕原点O逆时针旋转工后，得到的曲线仍是函数图象，等价于函数 y=f(x)与y=V3x+t(其中t为任意实数)至多有一个交点，等价于 g=f)-5x-1=ke-5:-5x-1至多有一个零点，故函数g只能单调递增， 2 x+1 所以g'(x)≥0在R上恒成立一k≥ 所以k≥√5，所以k的取值范围为 [√3，+)，故选C. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有 多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 题号 9 10 11 答案 BCD AC ABD 【解析】 9,对于A,显然错误；对于B,显然正确；对于C,由于 P(AURC)=PCAURNC-PACUBC)_PAC)+PBC=PAC+PBO,C正确： P(C) P(C) P(C) 对于D,PAUB=P(A+PB-PAnB)=+x,D正确，故选BCD. 34342 0')=3P-4x-4=x-23x+2),f)在区间-0，-和(2+9)上单调递增，在E 问（子2上单调递减，放B错误：对于A,显然正确：对丁C,当-9a<8时， 27 f引re)Q贺》a<0,所以r有3个学点，故c正确：对打D,由图象单 调性和对称性可知：f(x)的图象上一定存在四点A,B,C,D,使得四边形ABCD为平行 四边形，D错误，故选AC. Ⅱ.因为。+2ab，所以a,放A正确；令-c0s0 ，所以 b=sine 2a-b=2cos0-sin0=5cos(+)-5 B 正 确 ab+2a_a(b+2)<a2+(b+2)2_a2+b2+4b+4_1 4b+54b+52(4b+5) 2(4b+5) 2 ，取等条件不成立，所以 数学参考答案·第2页（共8页） 口■■口口■■■■口■ b+20<,故C错误 V3,12 1 4 1 4 4b+52 2a+302+2 十 2 6*2 1 23 b2+ a+ 3 故选ABD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 题号 12 13 14 答案 129 到 【解析】 12.令号-0，解得y= 2 4 2 13.S3=(a,+a2)+(a,+a4)+(a+a6)+(a,+4)+(a,+ao)+(a1+a2)+a =3+3×3+3×5+3×7+3×9+3×11+21=129. 14（低得会（管受引为怎到上无点，所以 6 6 .3 kEZ,解得1+6≤o子K,必须1+6M≤7+头，所以kD 20m_L≤元+k匹 2 3 6 又因为0>0，所以k=0,-1,所以0∈ 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 解：()记“第三次取出蓝球”为事件A,所以PA)=ASC-乙 A。10 …………（6分） (2)由题意可知，随机变量X=7,8,9,10, P(X=7)= A71 A120 PX=8=A9CC7 A。120 数学参考答案·第3页（共8页） 口■■口口■■■■口■ Px=y-4℃X-1I0-ACg A301 A810 +8* 所以E(X)=7×120 7 7 777 0+9x3 +10x108 …(13分) 16.(本小题满分15分) 解：(1)当a=1时，f(x)=sin2x, 所以最小正周期T=2严 …(3分) 2 令2a-2×2+5解得：m-牙x<c+子 2 4 所以f的单调递蝌区间为红-平红+keZ 4 …(7分) (2令=osx-sn=c+到，由e[0 可得te[-1,刂， f(x)=g(t)=-at2+(a2-10t+a=(a-t)(at+1).…(10分) ①当a=0时，g(t)=-t∈[-1,1，所以g(t)m=g①=-1； ②当0<a<1时，g0的对称轴-。二1<0，所以g0=g0=公2-1： 2a ③当a=1时，t对= -1=0,所以g0m=8←)=g0=0: 2a ④当a>1时，e-分>0，所以80a=8-D-1a …（14分) [a2-l,0≤a≤1， 综上，f(x)n= …(15分) 1-a2,a>1. 17.(本小题满分15分) 解：(1)连接AC,BD,设AC∩BD=O,连接PO,以OA,OB,OP所在的直线分别为 少轴建立如图1所示的空间直角坐标系， 则A(2,0,0),B(0,2,0),C(-2,0,0),D(0,-2,0), P0.0,4.M0,02,N-10,2E0,-53 28 所以？引成(1子) …(3分) 数学参考答案·第4页（共8页） 口■■口▣■■■■口■ 设平面MNE的一个法向量为i=(x,y,z), ,2.2 i.EM=0 x+一y- =0 则 即 3 3 x=0 ,22 ,解得 n.E=0 3 30 y=Z -x+一y- 令y=乙=1，得万=(0,1,1)…(5分) 平面ABCD的一个法向量为m=(O,O,1). (7分) 设平面ABCD与平面MNE的夹角为B, 所以cos0=1im。1_V5 m2 …(9分) x=0 (2)设F(xoo),PF=tPB,所以{y=2t 3=4-4t 所以F(0,2t,4-4),所以MF=-1,2t,2-4),，NF=(1,2t,2-4t). n.MF=0 由 ,得2t+2-4t=0,解得t=1,…（13分) i.NF=0 即F(0,2,0)与B重合， 所以u=.w*2x2x4 3 …(15分) 18.(本小题满分17分) [2b=25 c I a=2 (1)解：由题得 一= ,解得 b=5' a2=b2+c2 所以椭圆C的标准方程为： X1y=1…(4分) 43 (2)证明：如图2，设直线AQ y=。~ x+5,令k=。B 图2 数学参考答案·第5页（共8页） 口■■口口■■■■口■ +-1 联立43 ，可得：3+4k2)x2+85x=0, y=kx+3 解得xe= =36-4 -8√3k …(7分) 3+4k2 设直线0：y=+5, -5,令=。+5 xo 联立{43 ,可得：(3+42)x2-83x=0, y=x-5 解得 3+4r,为=35+45 83r …(9分) 3+4t2 因为4BD三点共线，所以凸5b ,代入D点坐标化简得：为-5=-3， 1-0x 4t 因为B,BE三点共线，同理得%+5=-3（脚)，（倒（的两式相除得： 4k %-V5 为-5k=。一 。-5 %+5io+5o+' xo 解得yg=%.…(11分) (3)解：由(2)中()，（两式相减可得： 11_8W5 t k3 解得xo=- 3 又因为点PL,%)在椭圆C内部，所以+ <1，解得8<4 9 43 所以Xg>1.…(13分) 设点G(m,0),则Pl+|G|=√o-m2+乃+xe-1, 若PQ+|G为定值，则Vx。-m)2+片=S-o0,其中S≥为常数， 平方得：1号-m]-5-m8-5+m=0恒成立， 数学参考答案·第6页（共8页） 则 1-8s-m=0 3 …(15分) (S-m)[8-(S+m】=0 解得5= 67 61 16 m= 所以存在点 61 16 16 使得|PQ+|QG为定值 51 ……………（17分) 16 19.(本小题满分17分) 解：(1)当k=0时，f(x)=xcOSx-x2+1,f'(x)=cosx-xsinx-2x, 当x∈（径时，f)-cosx-xsnx-2x<0,所以f6在区间子元上单调递减： 所以f(x)在区 [臣上放大值为/ ……(4分) (2)f(x)<1 xcosx+ksinx-x2<0,(x)=xcosx+ksinx-x2, '(x)=cosx-xsinx+kcosx-2x,o(x)=-2sinx-xcosx-ksinx-2. ①当k≤-1时，p(x)=xcoSx+ksinx-x2≤xcoSx-sinx-x2=T(x), T"(x)=-xsinx-2x<0, 所以T(x)在区间 o. 上单调递减，所以T(x)<TO)=0,所以(x)<0,符合题 意；… …(8分) ②当k>-1时，-ksinx-2<0,所以p"(x)<0,所以p'(x)在区间 上单调递减， 又因为φ(0)=1+k>0,p 交<0，所以存在唯一的无0 2 使得p'(x)=0. 当x∈(0，x)时，p'(x)>0,p(x)单调递增，所以x)>p(O)=0与x)<0矛盾， 综上，k的取值范围为（仁0，一1].…(I0分） (3)存在且x+x2>π，理由如下： 一方面： 因为f(x)=x)+1,f'(x)=p(x),所以当k=1时，由（2)讨论可知： f在区间0.为)上单调递增，f倒在区回（习 上单调递减 又因为f0)=1>0,f(x6)>0,f 0, 数学参考答案·第7页（共8页） 口■■口口■■■■口■ 所以存在唯一的， 使得f(X)=0;…(11分) 另一方面： 当xe时， 令t=元-xe 0 所以g(x)=G(t)=tcost+(I+sint)lnt, …(12分) 令h(t)= tcost +lnt,t∈ 则Gt)=(1+sint)h(t), 1+sint h'(t)= t(cost-t)+1+sint 发现h'(t)= f() t(1+sint) t(1+sint) 所以存在唯一的6=e0引， 使得h't)= f(to) 一=0， to(1+sinto) 所以当t∈(0，t。)时，(t)>0,h(t)单调递增： 时，M0<0,h0单调递减， 当t∈2 又因为limh(t)=-w,h >0,所以h(t)>0, 所以存在唯一的t2=几-x2∈(0，t),使得h(2)=Gt2)=8(x2)=0,， …(16分) 此时2=元-X2<。=X,所以x+x2>兀.…(17分) 数学参考答案·第8页（共8页）