精品解析：重庆市巴蜀中学校2024-2025学年高三上学期月考（二）（10月）数学试题

巴蜀中学2025高三月考卷（二） 数学试卷 注意事项: 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 一、单项选择题 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先分别求出集合A、B，再结合交集的概念即可得答案. 【详解】由，可得或或， 所以集合， 由，可得，所以集合， 所以， 故选：D. 2. 下列函数中既是偶函数，又在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和单调性即可求解. 【详解】对A，是偶函数，当，， 所以在上单调递减，故A错误； 对B，，所以为非偶函数，故B错误； 对C，，所以为偶函数，当， 为减函数，其在上单调递增，故C正确； 对D，，所以为奇函数，故D错误. 故选：C 3. 为了得到的图象，只需把正弦曲线上所有点的（ ） A. 横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变 B. 横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 C. 纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变 D. 纵坐标缩短到原来的，横坐标不变 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦函数图象的伸缩变换即可得结果. 【详解】由， 因此只需把正弦曲线上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变． 故选：B. 4. 在中，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】结合正弦函数的性质由，可得，再根据充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】在中，， 由，可得， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 5. 设函数，当时，曲线与只有一个公共点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，则问题等价于时，只有一个零点，结合函数的单调性得到，解出即可； 【详解】令，得，即， 设，则问题等价于时，只有一个零点， 由函数的单调性可得在时单调递增， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 6. 曲线，的所有切线中，斜率最小的切线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先对函数求导，再求导函数的最小值即为切线斜率的最小值，最后根据点斜式得切线方程. 【详解】由，， 则， 由，则， 当，即时，， 又，即在点处切线的斜率最小为， 则此时的切线方程为：，即， 故选：D. 7. 在中，若分别为内角的对边，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用切化统统及和角的正弦公式化简，再利用正余弦定理化简即得. 【详解】在中，由，得， 即，整理得，由正弦定理及余弦定理得： ，则，所以. 故选：C 8. 已知，，若关于的不等式在恒成立．则的最小值为（ ） A. 4 B. C. 8 D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合一次函数与二次函数的图象性质，由不等式可得两函数有共同零点，由此得是方程的根，可得的关系，消再利用基本不等式求解最值即可. 【详解】设. 由已知，在单调递增， 当时，；当时，. 由图象开口向上，，可知方程有一正根一负根， 即函数在有且仅有一个零点，且为异号零点； 由题意，则当时，；当时，. 所以是方程的根，则，即，且， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 则的最小值是. 故选：B. 二、多项选择题 9. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据给定条件，利用三角函数定义，结合诱导公式逐项计算即得. 【详解】由角的终边经过点，得点到原点的距离， 对于A，，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，D错误. 故选：BC 10. 已知定义在实数集上的函数，其导函数为，且满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】将式子两边求导，赋值可得的解析式，由此设出解析式待定系数可得，进而逐一验证选项可得. 【详解】由任意，， 则式子两边对求导，可得，又， 令，则，. 所以. 设，由，代入得，解得. 故，且. 所以有. 故ABD项正确，C项错误. 故选：ABD. 11. 从出生之日起，人的体力、情绪、智力呈周期性变化，在前30天内，它们的变化规律如图所示(均为可向右无限延伸的正弦型曲线模型): 记智力曲线为，情绪曲线为，体力曲线为，且三条曲线的起点位于坐标系的同一点处，则（ ） A. 体力曲线的最小正周期是三个曲线中最小的 B. 第462天时，智力曲线与情绪曲线都处于上升期 C. 智力、情绪、体力三条曲线存在无数个公共点 D. 不存在正整数，使得第天时，智力、情绪、体力三条曲线同时处于最高点或最低点 【答案】ACD 【解析】 【分析】观察给定的三条曲线，求出它们的最小正周期，再逐项分析判断即可. 【详解】对于A，观察图象知，智力曲线的最小正周期，情绪曲线的最小正周期， 体力曲线的最小正周期，因此体力曲线的最小正周期是三个曲线中最小的，A正确； 对于B，462除以33余数为0，462除以28余数为14，此时，情绪曲线处于周期处， 处于下降期，而智力曲线刚好处于周期的起点处，处于上升期，B错误； 对于C，智力曲线的对称中心的横坐标，情绪曲线的对称中心的横坐标， 体力曲线的对称中心的横坐标，取的公倍数即得3条曲线公共对称中心横坐标， 有无数个，即三条曲线存在无数个公共的对称中心，因此智力、情绪、体力三条曲线存在无数个公共点，C正确； 对于D，智力曲线的对称轴方程，情绪曲线的对称轴方程， 体力曲线的对称轴方程，令， 由，得，而， 因此不存在自然数使得方程成立，即三条曲线不存在公共的对称轴， 因此不存在正整数，使得第天时，智力、情绪、体力三条曲线同时处于最高点或最低点，D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：求解本问题，观察图象求出曲线的最小正周期是解决问题的关键. 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 12. 在中，三内角所对的边分别为，若，则的面积为_____ 【答案】 【解析】 【分析】由余弦定理求出，再由面积公式求解即可； 【详解】由余弦定理可得，即，解得或（舍去）， 所以， 故答案为：. 13. 英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式:当在处的阶导数都存在时，.注:表示的2阶导数，即为的导数，表示的阶导数，即为的导数. 表示的阶乘，即.该公式也称为麦克劳林公式.根据该公式估算的值为_____.(精确到小数点后两位) 【答案】0.84 【解析】 【分析】根据麦克劳林公式，求出，令即可求解. 【详解】令， 则，，，， 故， 由麦克劳林公式得，， 所以. 故答案为：0.84. 14. 已知，若，，则的最大值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，，可得，再构造函数，结合导数求取函数单调性得到结果. 【详解】由，且， 则有，， 故，， 则， 令， ，则当时，， 当时，， 故在、上单调递减，在上单调递增， 又， ， ， 即，即， 即的最大值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助余弦函数性质，得到，结合题意所得，从而将化为只有一个参数形式，再构造函数，结合导数求取单调性得到结果. 四、解答题(共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. 已知函数的最小正周期为. （1）求的值及图象的对称轴方程； （2）在如图所示坐标系中，用“五点作图法”作出在上的图象，并写出在上的单调递增区间. 【答案】（1），对称轴方程： （2）图象见解析，单调递增区间， 【解析】 【分析】（1）倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，利用周期求的值，整体代入法求图象的对称轴方程; （2）通过列表描点连线作出函数图象，由图象求区间内的单调递增区间. 【小问1详解】 ， ，由的最小正周期，故， 所以， 令，得对称轴方程：. 【小问2详解】 列表如下： x 1 2 0 -2 0 1 在上的图象如图所示， 由图象可知，在上的单调递增区间为，. 16. 已知椭圆的焦点在轴上，离心率为，是椭圆的一个顶点. （1）求椭圆的方程; （2）过的直线交椭圆于两点，若的面积为，求直线的方程. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出椭圆的长短半轴长即可. （2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，结合韦达定理求出三角形面积即可求出答案. 【小问1详解】 依题意，设椭圆的短半轴长，令长半轴长为， 由离心率，得，解得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 显然直线的斜率存在，设其方程为，设， 由消去得，显然， ，， 则的面积，则有，解得， 所以直线的方程是. 17. 设的三个内角的对边分别为，已知角为钝角，. （1）若，求的周长; （2）求的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合诱导公式可得，再利用正弦定理求出，然后利用余弦定理求解即得. （2）由（1）的信息，利用三角恒等变换，结合正弦函数、二次函数性质求出范围. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理，得，而， 则，即有，而为钝角，则为锐角，因此， 由，得，由，为锐角，得， 由正弦定理，得， ， 由余弦定理得， 于是，解得， 所以的周长为. 【小问2详解】 由（1）知， 则 ，又，即， 因此，所以的取值范围. 18. 重庆市高考数学自年起第至题为多选题，每道题共个选项，正确选项为两个或三个，其评分标准是:每道题满分分，全部选对得分，部分选对得部分分(若某道题正确选项为两个，漏选一个正确选项得分;若某道题正确选项为三个，漏选一个正确选项得分，漏选两个正确选项得分)，错选或不选得分.现甲、乙两名同学参加了有这种多选题的某次模拟考试. （1）假设第题正确选项为三个，若甲同学完全不会，就随机地选了两项或三项作答，所有选法等可能，求甲同学第题得分的概率; （2）已知第题乙同学能正确的判断出其中的一个选项是不符合题意的，他在剩下的三个选项中随机地猜选了两个选项;第题乙同学完全不会，他在四个选项中随机地猜选了一个选项.若第题和题正确选项是两个和三个的概率都为.求乙同学第题和题得分总和的分布列及数学期望. 【答案】（1） （2）分布列： 0 2 3 4 6 7 8 9 期望为 【解析】 【分析】（1）设四个选项分别为，其中错误选项为，列举法进行求解； （2）设出事件，得到第题乙同学得分的概率，第题乙同学得分的概率，第题得分总和的可能取值为，用独立事件概率乘法公式得到相应的概率，从而求出分布列和数学期望. 【小问1详解】 假设四个选项分别为，其中错误选项为， 总的选法共有种，分别为， 其中得分的选法为，共种， 故甲同学得分的概率为； 【小问2详解】 第题乙同学三个选项中随机猜选两项，用分别表示第题乙同学得分， 第题乙同学四个选项中随机猜选一项，用分别表示第题乙同学得分， 则，，， ，，， 从而第题得分总和的可能取值为， ，， ，， ， ，， ， 的分布列为： 0 2 3 4 6 7 8 9 故数学期望为. 19. 设函数. （1）当时，判断在上的单调性； （2）当时，证明：； （3）设函数，若函数在上存在唯一极值点，求实数的取值范围. 【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数求在上的单调性； （2）令，利用导数求的单调性，证明在上恒成立； （3）令，函数在上存在唯一极值点等价于在上存在唯一变号零点，利用导数通过讨论判断的单调性和零点的存在，求出实数的取值范围. 【小问1详解】 当时，， 则， 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 证明：令， 则， 令，则，当时，， 所以在上单调递增，即在上单调递增； 所以，所以在上单调递增， 所以，所以不等式成立. 【小问3详解】 由题可知：， 则， 令且， 所以函数在上存在唯一极值点等价于在上存在唯一变号零点， 又因为且， 令， 则且 ①当时，， （i）当时，在上单调递减， 所以在上单调递增. 又因为，， 由零点存在性定理知：存在唯一，使得， 所以当时，；当时，， （ii）当时，， 所以， 所以由（i）（ii）知：在上单调递减，在上单调递增， 即在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，， 又因为， 所以由零点存在性定理知：存在唯一，使得， 所以当时，；当时， 所以在上单调递减，上单调递增， 所以当时，， 又因为，由（2）知：， 所以由零点存在性定理知：存在唯一，使得， 当时，；当时，， 即为在上唯一变号零点，所以符合题意； ②当时，由时，得： ， 令且， 则且， 令， 又因为，则在上单调递增， 即在上单调递增，所以， 所以在上单调递增，所以， 所以当时，， 即在上无零点，所以不符合题意. 综上：，即实数的取值范围为. 【点睛】方法点睛： 1.导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题.注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理. 2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用. 3.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 巴蜀中学2025高三月考卷（二） 数学试卷 注意事项: 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 一、单项选择题 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中既是偶函数，又在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 3. 为了得到的图象，只需把正弦曲线上所有点的（ ） A. 横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变 B. 横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 C. 纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变 D. 纵坐标缩短到原来的，横坐标不变 4. 在中，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 设函数，当时，曲线与只有一个公共点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 曲线，的所有切线中，斜率最小的切线方程是（ ） A. B. C. D. 7. 在中，若分别为内角的对边，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 已知，，若关于的不等式在恒成立．则的最小值为（ ） A. 4 B. C. 8 D. 二、多项选择题 9. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知定义在实数集上的函数，其导函数为，且满足，，则（ ） A. B. C. D. 11. 从出生之日起，人的体力、情绪、智力呈周期性变化，在前30天内，它们的变化规律如图所示(均为可向右无限延伸的正弦型曲线模型): 记智力曲线为，情绪曲线为，体力曲线为，且三条曲线的起点位于坐标系的同一点处，则（ ） A. 体力曲线的最小正周期是三个曲线中最小的 B. 第462天时，智力曲线与情绪曲线都处于上升期 C. 智力、情绪、体力三条曲线存在无数个公共点 D. 不存在正整数，使得第天时，智力、情绪、体力三条曲线同时处于最高点或最低点 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 12. 在中，三内角所对的边分别为，若，则的面积为_____ 13. 英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式:当在处的阶导数都存在时，.注:表示的2阶导数，即为的导数，表示的阶导数，即为的导数. 表示的阶乘，即.该公式也称为麦克劳林公式.根据该公式估算的值为_____.(精确到小数点后两位) 14. 已知，若，，则的最大值为_____. 四、解答题(共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. 已知函数的最小正周期为. （1）求的值及图象的对称轴方程； （2）在如图所示坐标系中，用“五点作图法”作出在上的图象，并写出在上的单调递增区间. 16. 已知椭圆的焦点在轴上，离心率为，是椭圆的一个顶点. （1）求椭圆的方程; （2）过的直线交椭圆于两点，若的面积为，求直线的方程. 17. 设的三个内角的对边分别为，已知角为钝角，. （1）若，求的周长; （2）求的取值范围. 18. 重庆市高考数学自年起第至题为多选题，每道题共个选项，正确选项为两个或三个，其评分标准是:每道题满分分，全部选对得分，部分选对得部分分(若某道题正确选项为两个，漏选一个正确选项得分;若某道题正确选项为三个，漏选一个正确选项得分，漏选两个正确选项得分)，错选或不选得分.现甲、乙两名同学参加了有这种多选题的某次模拟考试. （1）假设第题正确选项为三个，若甲同学完全不会，就随机地选了两项或三项作答，所有选法等可能，求甲同学第题得分的概率; （2）已知第题乙同学能正确的判断出其中的一个选项是不符合题意的，他在剩下的三个选项中随机地猜选了两个选项;第题乙同学完全不会，他在四个选项中随机地猜选了一个选项.若第题和题正确选项是两个和三个的概率都为.求乙同学第题和题得分总和的分布列及数学期望. 19. 设函数. （1）当时，判断在上的单调性； （2）当时，证明：； （3）设函数，若函数在上存在唯一极值点，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $