专题04 全等三角形（期中真题汇编，广东专用）八年级数学上学期

专题04 全等三角形 考点01 全等三角形及其性质 考点02 三角形全等的判定 考点03 角的平分线 考点01 全等三角形及其性质 1．A 2．A 3．B 4．A 5．B 6．【答案】（-2，0） 【分析】 根据全等三角形对应边相等可得OD=OB，然后写出点D的坐标即可． 【详解】 ∵△AOB≌△COD， ∴OD=OB， ∴点D的坐标是（﹣2，0）． 故答案为（﹣2，0）． 【点睛】 本题考查了全等三角形的性质，主要利用了全等三角形对应边相等的性质，是基础题． 7．【答案】2 【分析】 本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键．根据全等三角形的性质可得和的周长相等，再根据三角形的周长公式建立方程，解方程即可得． 【详解】 解：∵，且的周长为14， ∴的周长为14， ∵的三边长为3，，6， ∴， 解得， 当时，三角形三边长为3，5，6， ∵，满足任意两边之和大于第三边， ∴符合题意． 故答案为：2． 8．【答案】2或或12 【分析】 本题考查了全等三角形的性质，分情况讨论是解题的关键：分四种情况，点在上，点在上；点、都在上；点到上，点在上；点到点，点在上，进行讨论求解即可． 【详解】 解：与全等， 斜边斜边， 分四种情况： 当点在上，点在上，如图： ， ， ， 当点、都在上时，此时、重合，如图： ， ， ， 当点到上，点在上时，如图： ， ， ，不符合题意， 当点到点，点在上时，如图： ， ， ， 综上所述：点的运动时间等于2或或12秒时，与全等， 故答案为：2或或12． 9．【答案】（1）22     （2）      【分析】 本题考查全等三角形的性质，三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应角、对应边相等，是解题的关键． （1）由全等三角形的对应边相等得出，结合即可求解； （2）由全等三角形的对应角相等，结合三角形内角和定理，即可求解． (1) 小问详解： 解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 考点02 三角形全等的判定 1．B 2．D 3．B 4．C 5．D 6．C 7．B 8．C 9．A 10．B 11．B 12．A 13．C 14．B 15．D 16．【答案】证明：∵， ∴， 即 在和中， ， ∴． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定定理，解题关键是掌握全等三角形的判定方法：（直角三角形）．由已知条件可得，再利用“”证明全等即可． 【详解】 略 17．【答案】(答案不唯一) 【分析】 本题考查了全等三角形的判定，注意：判定两个三角形全等的方法有，，，，．从图中知道，，结合，再添加一个条件或或，都使得． 【详解】 解：由题意知：，， 添加，则； 添加，则； 添加，则． 故答案为：或或． 18．【答案】（Ⅰ）5； （Ⅱ）， ， ， 轴轴， ， 在和中， ， ． 【分析】 （Ⅰ）根据点的坐标即可得； （Ⅱ）先根据点的坐标可得的长，再根据三角形全等的判定定理（定理）即可得证． 【详解】 解：（Ⅰ）， ， 故答案为：5； （Ⅱ） 略 【点睛】 本题考查了平面直角坐标系、三角形全等的判定定理，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键． 19．【答案】证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，还涉及平行线的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．利用证明即可求证． 【详解】 略 20．【答案】（答案不唯一） 【分析】 本题考查的知识点是添加条件使两个三角形全等，熟记判定定理并根据题目条件灵活运用是解此题的关键． 要使，已知，，具备了一组边和一组角对应相等，还缺少边或角对应相等的条件，结合判定方法及图形进行选择即可． 【详解】 解：要使，已知，， 则可以添加，运用来判定其全等； 也可添加一组角或来判定其全等． 故答案为：或或． 21．【答案】证明：， ． 又，， ． ． 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键．根据“”证明，即可得出结论． 【详解】 略 22．【答案】证明：在与中， ∵，，， ∴ ∴． 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理． 利用证明即可． 【详解】 略 23．【答案】 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定，两个直角三角形，如果斜边和其中一条直角边对应相等，则可以判断这两个三角形全等． 【详解】 解：， 在和中， ， ， 判断的依据是． 故答案为：． 24．【答案】（1） 证明：∵， ∴， 在与中， ， ∴；     （2）      【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质． （1）先由平行线的性质得到，再利用证明即可； （2）利用全等三角形的性质证明，再结合已知条件即可得到答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 答：的长是． 25．【答案】证明：∵， ∴， 即． 在和中， ， ∴． 【分析】 本题考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．根据“”证明． 【详解】 略 26．【答案】A；；两直线平行，同位角相等；；，； 【分析】 先证明，求得，利用即可证明． 【详解】 证明：∵， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∵， ∴，即， 在和中， ，，， ∴． 故答案为：A；；两直线平行，同位角相等；；，；． 【点睛】 本题主要考查了全等三角形的证明，熟练掌握全等三角形的判断条件是解题的关键． 27．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握三角形内角和定理和全等三角形的判定与性质是解此题的关键． （1）根据三角形内角和定理即可求得答案． （2）证得即可求得答案． (1) 小问详解： ∵，， ∴． (2) 小问详解： ∵， ∴． 在和中 ∴． ∴． ∴． ∴这两个电线塔之间的距离是． 28．【答案】证明：∵， ∴． ∵，， ∴． ∴． 【分析】 由题意易得，进而可证，然后问题可求证． 【详解】 略 【点睛】 本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 29．【答案】（1）甲方案、乙方案     （2）见解析      【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是： （1）根据全等三角形的判定与性质可解答甲、乙； （2）甲方案利用“”，证明，测出的长即为，B的距离；乙方案利用“”，证明，测出的长即为，的距离． (1) 小问详解： 解：根据“”证明，可得，所以甲方案可行； 根据“”证明，可得，所以方案乙可行， (2) 小问详解： 解：甲方案：在和中， ， ： 乙方案：， ． 在和中， ， ． ． 30．【答案】（1） 解：如图① 中，延长至点，使． 在和中， ， ， ， ， ， ， ；     （2） 证明：如图② 中，延长到，使得，连接．    同法可证， ，， ， ， 与互补， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ．      【分析】 （1）如图① 中，延长至点，使．证明，推出，求出的取值范围，可得结论； （2）如图② 中，延长到，使得，连接．证明，推出，可得结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会倍长中线，构造全等三角形解决问题． 31．【答案】（1） ，理由如下： ， ， ； ， ；     （2）      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，证明是解答本题的关键． （1）由直角三角形的性质得出，根据可证明； （2）由全等三角形的性质得出，求出的长则可得出答案； (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ； ∵分别为和， ， ； ∵妈妈在距地面 高的处，且， ∴爸爸在距离地面高的地方接住乐乐． 32．【答案】（1） 解：是的中线， ， 在和中， ， ；     （2）      【分析】 本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系． （1）由证明三角形全等可得出答案； （2）同理（1）得，进而得出，由三角形三边关系得到，再根据即可得出答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵，是的中线， 同理（1）得， ∴， ∴，即， ∵， ∴． 33．【答案】解：分别以点A、点B为端点，作AQ、BP，使其相交于点C， 使得CP＝CB，CQ＝CA，连接PQ， 测得PQ即可得出AB的长度． 理由：由上面可知：PC＝BC，QC＝AC， 又∠PCQ＝∠BCA， ∴△PCQ≌△BCA ∴AB＝PQ． 【分析】 本题属于主观性试题，有多种方案，我们可以构造8字形的全等三角形来测得荷花池的长度（如下图）． 【详解】 略 【点睛】 本题考查了全等三角形的应用；此题带有一定主观性，学生要根据已知知识对新问题进行探索和对基础知识进行巩固，这种作法较常见，要熟练掌握． 34．【答案】（1）     （2）与全等，理由见解析     （3）当点Q的运动速度a为时，能够使与全等      【分析】 本题考查了三角形的动点运动问题，全等三角形的判定，列代数式，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （1）直接根据时间和速度表示的长； （2）根据“”证明即可； （3）因为点P、Q的运动速度不相等，所以，那么只能与相等，列出二元一次方程组求解即可． (1) 小问详解： 解：设运动时间为t（秒），根据题意得，； (2) 小问详解： 解：与全等，理由如下： 当秒时，厘米，厘米，厘米， ∵点D为的中点， ∴厘米， 在与中， ∴； (3) 小问详解： 解：结合（2）得，若点P、Q的运动速度不相等， 则此时当时，结合，则， ∴， 解得， ∴当点Q的运动速度a为时，能够使与全等． 35．【答案】证明：如图，将绕点D逆时针旋转，得到， 则，，． ∵四边形是正方形， ∴， ∴． ∵， ∴， 又∵， ∴点B，F，C，M在一条直线上． ∵， ∴， ∴． 【分析】 本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质和判定，正方形的性质等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先利用旋转的性质得出，，．再利用正方形的性质得出，从而可证明，再说明，从而可得，于是可得出结论． 【详解】 略 36．【答案】 【分析】 本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定与性质，同角的余角相等，解题的关键是证明． 过A和B分别作于D，于E，利用已知条件可证明，再有全等三角形的性质和已知数据即可求出B点的坐标． 【详解】 解：如下图，过A和B分别作于D，于E， ， ， ， 在和中， ， ， ， 点C的坐标为，点A的坐标为， ， ， ， 点的坐标是， 故答案为： 37．【答案】① ③ ④ 【分析】 由“”可证，故① 正确，由三角形的内角和定理可求，故② 错误；由外角的性质可证，可得，故③ 正确，通过证明，，可得，，可判断④ 正确，即可求解． 【详解】 解：① ∵为的角平分线， ∴， 在△ABD和△EBC中， ， ∴，故① 正确； ② ∵， ∴， ∵， ∴， ∴不平分，故② 错误； ③ ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴为等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∴．故③ 正确； ④ 过E作于G点， ∵E是的角平分线上的点，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，故④ 正确； 综上，① ③ ④ 正确； 故答案为：① ③ ④ ． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 38．【答案】（1），．     （2） 证明：∵，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴．     （3）3或7或10．      【分析】 本题考查了直角三角形全等的判定和性质，三角形的内角和，掌握知识点是解题的关键． （1）根据证明，即可解答； （2）先证明，推导出，，得到，根据证明，即可解答； （3）分情况，当E在线段上，或当E在线段延长线上，由即可求解． (1) 小问详解： 解：添加一个条件：，使得，判定全等的依据是：． 故答案为：，(答案不唯一)． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： ∵，， ∴， ∵， 当E在线段上时， 若， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 若， ∴， ∴， ∴（舍去）， 当E在线段延长线上时， 若， ∴， ∵， ∴， 若， ∴， ∵， ∴， ∴当或7或10秒时，与全等． 答：t的值为3或7或10． 39．【答案】11cm 【分析】 根据∠ABE的余角相等求出∠EAB＝∠CBF，然后利用“角角边”证明△ABE和△BCF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE＝BF，BE＝CF，于是得到结论． 【详解】 解：∵AE⊥EF，CF⊥EF， ∴∠AEB＝∠BFC＝90°， ∴∠EAB+∠ABE＝90°， ∵∠ABC＝90°， ∴∠ABE+∠CBF＝90°， ∴∠EAB＝∠CBF， 在△ABE和△BCF中， ， ∴△ABE≌△BCF（AAS）， ∴AE＝BF＝5cm，BE＝CF＝6cm， ∴EF＝5+6＝11（cm）． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键． 40．【答案】（1），t     （2）当为或时，的面积为     （3） 如果，则有 同（2）分两种情况： ①若在点右侧，当E在射线上时，D必在上，如下图： 则 由，即可得： 检验： 因此，由定理可得， ②若在点左侧，当E在的反向延长线上时，D必在延长线上，如下图： 则，， 由，即可得： 检验： ， ∴由定理可得， 综上，秒或4秒时，．      【分析】 本题考查了线段的和与差、三角形全等的判定定理与性质，熟记判定定理与性质是解题关键．需注意的一点是：动点D的位置要分情况讨论，避免漏解． （1）根据“”即可得； （2）根据可求出的长，因为要求t则需要求出的长，由点D的位置可知，需分点D在点B右侧和点D在点B左侧两种情况，根据线段的和与差分别讨论即可； （3）先假设，则有，同（2）分两种情况讨论解出t的值，再检验两种情况下的t值，能否使得即可 (1) 小问详解： 解：由“”得：， 故答案为：； (2) 小问详解： ， ， 求的长分以下两种情况： 若在点右侧，，则 若在点左侧，，则 综上所述：当为或时，的面积为； (3) 小问详解： 略 41．【答案】（1） （2）证明：如图，延长到，使得，连结，． ∵在中，是边上的中线， ∴ ， 在和中， ， ， ， ， 又， ， 在中，， ，， ． （3）结论：． 理由：延长到，使得． ， ， ，             ，， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，三角形的三边关系等知识，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． （1）证明，推出，在中，利用三角形的三边关系解决问题即可； （2）如图2中，延长到，使得，连接．证明，推出，再证明，利用三角形的三边关系即可解决问题； （3）结论：．延长到，使得，通过两次全等证明即可解决问题． 【详解】 解：（1）；理由如下： ∵是边上的中线， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在，且， ， ， ， ． （2）略 （3）略 42．【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵ ∴．     （2） 证明：∵ ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴．      【分析】 （1）利用证明． （2）根据，根据全等三角形的性质即可得解． 此题考查了全等三角形的判定与性质，对顶角性质，垂直的定义，利用证明是解题的关键． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 43．【答案】（1） 甲同学的方案可行． 理由：由题意得， 在与中 ， ， ，故甲同学的方案可行．     （2） 使； 理由：当时，， 在与中 ， ， ． 【分析】 （1）根据全等三角形的判定与性质可得甲同学的方案可行； （2）使，利用证明，再利用全等三角形的性质可得结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查的是全等三角形的实际应用，熟练的证明两个三角形全等是解本题的关键． 44．【答案】证明：在和中， ， ， ． 【分析】 本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．证明即可得到结论． 【详解】 略 45．【答案】3或7 【分析】 本题主要考查了三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定定理，注意分类讨论． 分两种情况：当点在射线上时，当点在射线上时，分别画出图形求出结果即可． 【详解】 解：当点在射线上时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴此时点运动时间为； 当点在射线上时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴−−， ∴此时点运动时间为． 综上所述，点运动或时，． 故答案为：或． 46．【答案】（1）嘉嘉；见解析     （2）对淇淇方案增加“使”；见解析      【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理（、等），并能通过构造全等三角形将不可直接测量的线段转化为可测量线段是解题的关键． （1）对于嘉嘉的方案，通过构造、，结合对顶角相等的条件，利用全等三角形的判定证明，从而得到，实现通过测量长度来间接得到长度的目的． （2）对于淇淇的方案，原始条件仅和，无法证明三角形全等；通过增加的条件，构造出直角相等，结合已有条件，利用全等三角形的判定证明，从而得到，使方案可行． (1) 小问详解： 解：嘉嘉，理由：在和中， ， ， ，故嘉嘉的方案可行． (2) 小问详解： 解：对淇淇方案增加“使”； 理由：， ， 在和中， ， ， ． 47．【答案】（1） 证明：， ， ， ，， ．     （2）．      【分析】 本题主要考查了证明三角形全等的条件以及利用勾股定理逆定理的应用，熟练运用证明三角形全等，并利用勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）利用等量代换，可得，利用即可证明两个三角形全等． （2）根据（1）的条件，利用勾股定理逆定理，可得到对应的两条边相等，进而求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ，， ， 由（1）可知：， ． 答：． 48．【答案】（1）； （2）①，理由如下： 直线，直线， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 故答案为：； ②成立．证明如下： 如图2， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ； （3）当或或时，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等． 【分析】 本题主要考查了三角形全等的判定与性质、等角的余角相等、三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． （1）利用平角的定义即可求解； （2）① 先证明出，得出，，即可得出结果； ② 证明出，得出，，即可得出结论； （3）由以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等．可知，而，的表示由，的位置决定，故需要对，的位置分当在上，在上时或当在上，在上时，或当到达，在上时，分别讨论． 【详解】 解：（1），， ， 故答案为：； （2）① 略 ② 略 （3）① 当在上，在上时，即， ，， 以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等． ， ， ； ② 当在上，在上时，即， ，， ， ， ； ③ 当到达，在上时，即， ，， ， ， ． 综上所述，当或或时，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等． 49．【答案】（1）证明：， ，即． 在和中， ． ． （2）证明：如图1，过点C作于点E，过点D作，交的延长线于点F，． ∵， ∴， ， ． 在和中， ． ． ，， ； （3）2 【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形； （1）证明，即可得证； （2）过点C作于点E，过点D作，交的延长线于点F，证明，得到，根据三角形的面积公式，即可得出结论； （3）过点D作，交的延长线于点H，先证明，求出的长，再证明，根据线段的和差关系以及全等三角形的性质，即可得出结果． 【详解】 解：（1）略 （2）略 （3）如图2，过点D作，交的延长线于点H． ， ． ， ， ， 又∵，， ∴， ． ， ． ， 又∵， ∴， ． ， ， ， 即的长为2． 50．【答案】（1） 证明：， ， 于，， ，， ， 在和中， ， ， ，；     （2）     （3）或或      【分析】 （1）证明，由全等三角形的性质可得出答案； （2）过点作轴于点，过点作交的延长线于点，过点作于点，由全等三角形的性质得出，，则可得出答案． （3）分，，三种情况，根据A和B的坐标，结合等腰直角三角形的性质，通过全等三角形的性质，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 如图，过点作轴于点，过点作交的延长线于点，过点作于点， 由（1）（2）可得， ，， ，， ，， ， 点的纵坐标为，横坐标为， ． (3) 小问详解： 当时，过点A作y轴的垂线，过点B，C作该垂线的垂线，垂足分别为D，E，与x轴交于点F， ∵，， ∴，， 同（1）可得：， ∴，， ∴，， ∴； 当时，过点B作x轴的垂线，过点A，C作该垂线的垂线，垂足分别为D，E， 同（1）可得：， ∴，， ∴； 当时，过点C作y轴的垂线，过点A，B作该垂线的垂线，垂足分别为D，E， 同（1）可得：， ∴，， ∵，， ∴，， 设，则， 由可得：， ∴， ∴， ∴； 综上：点C的坐标为或或． 【点睛】 本题考查了三角形的综合应用，图形与坐标，掌握全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质是解题的关键． 考点03 角的平分线 1．A 2．B 3．D 4．B 5．B 6．B 7．B 8．【答案】2 【分析】 角的平分线上的点到角的两边的距离相等，据此求解即可． 【详解】 解：∵，平分，， ∴点到直线的距离． 9．【答案】（1）证明：过M作ME⊥AD于E，    ∵DM平分∠ADC，∠C=90°，ME⊥AD， ∴MC=ME， ∵M为BC的中点， ∴BM=MC=ME， ∵∠B=90°，ME⊥AD， ∴AM平分∠DAB； （2）AM⊥DM， 证明如下： ∵∠B=∠C=90°， ∴∠B+∠C=180°， ∴AB//DC， ∴∠BAD+∠ADC=180°， ∵AM平分∠DAB，DM平分∠ADC， ∴∠MAD=∠BAD，∠MDA=∠ADC， ∴∠MAD+∠MDA=90°， ∴∠AMD=90°， ∴AM⊥DM． 【分析】 （1）过M作ME⊥AD于E，根据角平分线性质求出ME=MC=MB，再根据角平分线的判定即可； （2）根据平行线性质求出∠BAD+∠ADC=180°，结合已知求出∠MAD+∠MDA=90°，即可求出答案． 【详解】 （1）略 （2）略 【点睛】 本题考查了平行线的性质，角平分线性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力，难度适中． 10．【答案】4 【分析】 作于，先利用角平分线的性质得到，再根据即可得． 【详解】 解：如图，作于， 平分，， ， ， ， 解得， 故答案为：4． 【点睛】 本题考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键． 11．【答案】7度 【分析】 本题主要考查了角平分线的判定定理，三角形外角的性质，证明点P在的平分线上是本题的关键．由，，，可证点P在的平分线上，可得，由三角形外角性质可求解． 【详解】 解：，，， ∴点P在的平分线上， ， ， 故答案为：． 12．【答案】1 【分析】 作于点F，由角平分线的性质推出，再利用三角形面积公式求解即可． 【详解】 解：如图，作于点F， ∵平分，，， ∴， ∴． 故答案为：1． 【点睛】 本题考查角平分线的性质，通过作辅助线求出三角形ACD中AC边上的高是解题的关键． 13．【答案】 【分析】 本题考查的是作角平分线，三角形的内角和定理的应用，证明，，可得. 【详解】 解：由作法得平分，平分， ∴，． ∵ ∵， ∴． 故答案为： 14．【答案】（1） 如图，即为所求．      （2） 解：． 证明：在和中， ， ∴， ∴．      【分析】 （1）根据角平分线的画法即可得出； （2）证明，根据全等三角形的性质即可得出结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查尺规作图—角平分线，全等三角形的判定与性质，正确理解题意是解题的关键． 15．【答案】 【分析】 本题考查的知识点是角平分线的判定定理和定义，三角形的内角和定理，解题关键是熟练掌握角平分线的判定定理． 先由点在内部，且到三边的距离相等得出点是的内心，再由三角形的内角和定理可得和的度数和，再三角形的内角和定理计算即可． 【详解】 解：点在内部且到三边的距离相等， 点是的内心， 即、分别是和的角平分线， 设，，则，， 在中，， ， ， 在中，， 即， ． 故答案为：． 16．【答案】（1） 解：点如图所示，      （2）8      【分析】 本题考查了作图—角平分线、角平分线的性质和全等三角形的判定和性质，正确的作图是解决本题的关键． （1）以点B为圆心，以任意长为半径画弧分别交于点，以F为圆心，以任意长为半径画弧，以G为圆心，以任意长为半径画弧交上一条弧于点H，连接射线交于点D，此时点D即为所求； （2）根据角平分线的性质得到，再利用证明求得，则，利用三角形的周长公式即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由作图知是的平分线，且，， ， 在和中， ， ， ，则， 的周长为 ． 故答案为：8． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 全等三角形 3大高频考点概览 考点01 全等三角形及其性质 考点02 三角形全等的判定 考点03 角的平分线 考点01 全等三角形及其性质 1．（25-26学年八上·广东汕头潮阳区·期中）下列图形中被虚线分成的两部分不是全等形的是（   ） A.      B.          C.      D.      2．（25-26学年八上·广东江门恩平·期中）如图，，若，，则的度数为（　　） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·广东惠州惠城区·期中）如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是（        ） A. AC＝DE B. ∠BAD＝∠CAE C. AB＝AE D. ∠ABC＝∠AED 4．（25-26学年八上·广东江门鹤山·期中）如图，点E，F在线段上，，，，那么的长度是（       ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 8 5．（25-26学年八上·广东惠州仲恺区·期中）如图，，点分别在边上，若，，，则的长度为（       ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6．（2026·广东广州白云区·综合练习）如图，在平面直角坐标系中，△AOB≌△COD，则点D的坐标是　　　　　　　　　　　　． 7．（25-26学年八上·广东汕头潮南区·期中）已知的三边长为3，，6，的周长为14，若，则的值为　　　　　　． 8．（25-26学年八上·广东汕头潮阳区·期中）如图，在中，，，，点在直线上．点从点出发，在三角形边上沿的路径向终点运动；点从点出发，在三角形边上沿的路径向终点运动．点和分别以单位秒和单位秒的速度同时开始运动，在运动过程中，若有一点先到达终点时，该点停止运动，另一个点要继续运动，直到两点都到达相应的终点时整个运动才能停止．在某时刻，分别过和作于点，于点，则点的运动时间等于 　　　　　秒时，与全等． 9．（25-26学年八上·广东东莞南城区·期中）如图，已知，点在边上，与交于点． （1）若，，求线段的长； （2）若，，求的度数． 考点02 三角形全等的判定 1．（25-26学年八上·广东云浮罗定·期中）如图，∠ABC＝∠ABD，还应补充一个条件，才能推出△ABC≌△ABD．补充下列其中一个条件后，不一定能推出△ABC≌△ABD的是（　　） A. BC＝BD B. AC＝AD C. ∠ACB＝∠ADB D. ∠CAB＝∠DAB 2．（25-26学年八上·广东江门鹤山·期中）如图，已知，添加下列某一个条件后，能用判定的是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（2026·广东广州白云区·综合练习）如图，点在上，点在上，．下列条件中不能判断的是（　　） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·广东韶关·期中）如图，已知，，要使，则不符合条件的是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·广东汕头潮阳区·期中）如图，，，三点在同一条直线上，，，，则不正确的结论是（       ） A. 与互为余角 B.  C. ≌ D.  6．（25-26学年八上·广东江门恩平·期中）一块三角形玻璃，被摔成如图所示的四块，小敏想去店里买一块形状、大小与原来一样的玻璃，借助“全等三角形”的相关知识，小敏只带了一块去，则这块玻璃的编号是（     ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 7．（25-26学年八上·广东广州增城区·期中）如图，已知，，现添加以下一个条件仍不能判定的是（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年八上·广东惠州仲恺区·期中）如图1，已知，，线段，求作．作法：如图2，①作线段；②在的同旁作，，与的另一边交于点．则就是所作三角形，这样作图的依据是（   ） A. 已知两边及夹角 B. 已知三边 C. 已知两角及夹边 D. 已知两边及一边对角 9．（25-26学年八上·广东东莞南城区·期中）如图，要测量池塘两岸相对的两点A、B的距离，可以在池塘外取的垂线上的两点C、D，使得，再画出的垂线，使点E与点A、C在一条直线上，这时测得线段的长就是线段的长，其原理运用到三角形全等的判定是（     ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年八上·广东东莞南城区·期中）小明不小心把一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），为了能配一块与原来完全一样的三角形，小明应该带（       ）去玻璃商店． A. 第1块 B. 第2块 C. 第3块 D. 第4块 11．（25-26学年八上·广东汕头潮阳区·期中）如图，在和中，点A，E，B，D在同一直线上，，，若只添加一个条件，不能判定的是（       ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年八上·广东揭阳榕城区·期中）如图，小敏将等腰直角三角板放置于直角坐标系中，直角顶点C与x轴上表示的点重合，点B坐标为，则点A的坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年八上·广东广州南沙区·期中）如图，已知，补充下列条件中的一个后，仍不能判定的是（    ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年八上·广东汕头潮南区·期中）如图，中，点D为的中点．点E是下方一点，连接，．平分，．若，，则的长为（       ） A. 11 B. 10 C. 9 D. 8 15．（25-26学年八上·广东惠州惠城区·期中）如图，中，，是边的中线，平分，，与相交于点．下列结论一定成立的是（     ） ①与的面积相等；②；③；④ A. ①② B. ②③ C. ①③④ D. ①②④ 16．（2026·广东广州白云区·综合练习）如图，已知，，，求证：． 17．（25-26学年八上·广东江门恩平·期中）如图，在和中，，添加一个条件：　　　　　　，使得． 18．（25-26学年八上·广东江门恩平·期中）在平面直角坐标系中，点A（3，0），点B（0，5）和点C（0，3）． （Ⅰ）请直接写出OB的长度：OB=             ； （Ⅱ）如图：若点D在x轴上，且点D的坐标为（－5，0），求证：△AOB≌△COD． 19．（25-26学年八上·广东惠州惠城区·期中）已知：如图，点A，F，C，D在同一直线上，，，．求证：． 20．（25-26学年八上·广东惠州惠城区·期中）如图，在和中，已知，，要使，还需添加一个条件，那么这个条件可以是　　　　　　（只需写一个，不添加辅助线）． 21．（25-26学年八上·广东广州增城区·期中）如图，，，，求证：． 22．（25-26学年八上·广东广州南沙区·期中）风筝是中国传统工艺，有着悠久的历史和丰富的文化内涵．如图，左边的风筝可以抽象成右边的“筝形”，其中，，连接，求证：． 23．（25-26学年八上·广东广州南沙区·期中）如图，，，共线，，若，，则的判断依据是　　　　　　　　　　　． 24．（25-26学年八上·广东江门鹤山·期中）如图，要测量池塘的长度，但点，之间不能直接测量，已知点，，，在同一条直线上，小明想了个办法先在的一边取了个点，连接，再在的另一边取了个点，使得，且，同时． （1）求证：； （2）若，，求的长． 25．（25-26学年八上·广东东莞·期中）如图，点A，B，C，D同一直线上，，，．求证：． 26．（25-26学年八上·广东惠州仲恺区·期中）完成下列证明过程． 如图，已知，，D，C在上，且，求证：．    证明：∵， ∴______________________（__________________________）， ∵，∴，即______________， 在和中，，__________________________， ∴___________________． 27．（25-26学年八上·广东汕头潮南区·期中）如图，在河岸两侧的，两点处分别有一个电线塔，嘉淇想要测量这两个电线塔之间的距离，于是他在点所在河岸一侧的平地上取一点，使点，，在一条直线上，另取点，使得，然后测得，，在的延长线上取一点，使得，量得．    （1）求的度数 （2）请帮嘉淇计算这两个电线塔之间的距离是多少米？ 28．（25-26学年八上·广东汕头潮南区·期中）如图，，，点在上，且．求证：． 29．（25-26学年八上·广东韶关·期中）某校八年级学生到野外活动，为测量一池塘两端A，B的距离，甲、乙两位同学分别设计出如下两种方案： 甲方案 乙方案 如图1，先在平地取一个可直达，的点，再连接，，并分别延长至，至，使，，最后测出的长即为，的距离． 如图2，过点作，再由点观测，在的延长线上取一点，使，这时只要测出的长即为，的距离． （1）以上两位同学所设计的方案，可行的有______； （2）请你选择一种可行的方案，说说它可行的理由． 30．（25-26学年八上·广东韶关·期中）【发现问题】小强在一次学习过程中遇到了下面的问题：如图①，是的中线，若，，求的取值范围． 【探究方法】小强所在的小组通过探究发现，延长至点E，使，连接BE，可以证出，利用全等三角形的性质可将已知的边长与转化到中，进而求出的取值范围． 方法小结：从上面的思路可以看出，解决问题的关键是将中线延长一倍，构造出全等三角形，我们把这种方法叫做“倍长中线法” ．    （1）请你利用上面解答问题的思路方法，写出求的取值范围的过程； （2）【问题拓展】 如图②，在和中，，，与互补，连接、，E是的中点，求证：． 31．（25-26学年八上·广东韶关·期中）乐乐与爸爸、妈妈在操场上荡秋千．乐乐坐在秋千上的起始位置是A处，起始位置与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面 1.2 m 高的处接住她，妈妈用力一推，爸爸在处接住她．若妈妈与爸爸到秋千起始位置的水平距离分别为 和． （1）与全等吗？ 请说明理由； （2）爸爸在距离地面多高的地方接住乐乐？ 32．（25-26学年八上·广东汕头潮阳区·期中）在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫做倍长中线法． （1）如图，是的中线，且，延长至点E，使，连接，可证得， 请写出证明过程； （2）如图， 在中， 若，是的中线，求的取值范围． 33．（25-26学年八上·广东江门恩平·期中）图为人民公园的荷花池，现要测量此荷花池两旁A、B两棵树间的距离(不能直接测量)，请你根据所学三角形全等的知识，设计一种测量方案求出AB的长(要求画出草图，写出测量方案和理由)． 34．（25-26学年八上·广东惠州惠城区·期中）如图，已知中，厘米，厘米，点D为的中点．如果点P在线段上以每秒2厘米的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上以每秒a厘米的速度由C点向A点运动，设运动时间为t（秒）（）． （1）用代数式表示的长度； （2）若点P、Q的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等，请说明理由； （3）若点P、Q的运动速度不相等．当点Q的运动速度a为多少时，能够使与全等？ 35．（25-26学年八上·广东惠州惠城区·期中）如图，正方形的边长为3，、分别是、边上的点，且．将绕点逆时针旋转，得到．求证：． 36．（25-26学年八上·广东清远英德·期中）如图，在中，，点C的坐标为，点A的坐标为，则B点的坐标是　　　　　　． 37．（25-26学年八上·广东广州增城区·期中）已知：如图，中，为的角平分线，且，E为延长线上的一点，，过E作，F为垂足．下列结论：①．②平分；④；④．其中正确的是　　　　　　　　　　　．（只填序号） 38．（25-26学年八上·广东广州增城区·期中）已知，，，垂足为点A，射线，垂足为点B． （1）如图1，若点E在线段上，点D在射线上，，请你添加一个条件：______，使得，判定全等的依据是：______； （2）在（1）的条件下，证明你的结论； （3）若点E从A点出发以的速度沿射线运动，点D在射线上，随着E点运动而运动，始终保持．若点E的运动时间为t秒，则当以点B、D、E组成的三角形与全等时，求t的值． 39．（25-26学年八上·广东广州南沙区·期中）李华同学用11块高度都是1cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个正方形ABCD（∠ABC＝90°，AB＝BC），点B在EF上，点A和C分别与木墙的顶端重合，求两堵木墙之间的距离EF． 40．（25-26学年八上·广东云浮罗定·期中）如图，在中，已知，是的高，，直线，动点D从点C开始沿射线方向以每秒3厘米的速度运动，动点E也同时从点C开始在直线上以每秒1厘米的速度向远离C点的方向运动，连接、，设运动时间为t秒． 备用图 （1）请直接写出、的长度（用含有t的代数式表示）：________，________； （2）当t为多少时，的面积为？ （3）探究：当t为多少时，？并简要说明理由． 41．（25-26学年八上·广东云浮罗定·期中）（1）如图1，在中，，，是边上的中线，延长到点E使，连结，把，，集中在中，利用三角形三边关系可得的取值范围．的取值范围是_________________． （2）如图2，在中，是边上的中线，点E，F分别在，上，且，求证：．小艾同学受到（1）的启发，在解决（2）的问题时，延长到点H，使……请你帮她完成证明过程． （3）如图3，在四边形中，为钝角，为锐角，，，，点E，F分别在，上，且，连结，试探索线段，，之间的数量关系，并加以证明． 42．（25-26学年八上·广东东莞·期中）如图，于点，求证： （1）； （2）． 43．（25-26学年八上·广东东莞·期中）为了解学生对所学知识的应用能力，某校老师在七年级数学兴趣小组活动中，设置了这样的问题：因为池塘两端，的距离无法直接测量，请同学们设计方案测量，的距离，甲、乙两位同学分别设计出了如下两种方案： 甲：如图1，在平地上取一个可以直接到达点，的点，连接并延长到点，连接并延长到点，使，，连接，测出的长即可． 乙：如图2，先确定直线，过点作直线，在直线上找可以直接到达点的一点，连接，作，交直线于点，最后测量的长即可． （1）甲、乙两同学的方案哪个可行？并说明理由． （2）请将不可行的方案稍加修改使之可行，你的修改是：                    ，请说明理由． 44．（25-26学年八上·广东惠州仲恺区·期中）如图所示，，．求证：． 45．（25-26学年八上·广东东莞南城区·期中）如图，在中，，为边上的高，，，点从点出发，在直线上以的速度移动，过点作的垂线交直线于点．当点运动　　　　　　　　时，． 46．（25-26学年八上·广东东莞南城区·期中）为测量某一水池两端，之间的距离，嘉嘉和淇淇分别设计出如下两种方案． 课题 测量水池两端、之间的距离 测量示意图     步骤说明 在平地上取一点，分别连接，并延长到，两点，使得，，测量，两点间的距离即可． 在平地上取一点，连接，，在的延长线上取一点，使得，测量，两点间的距离即可． （1）以上两位同学方案可行的是________的方案，并仅对此方案的可行性说明理由； （2）请你将不可行的方案稍加修改，使其可行，并说明理由． 47．（25-26学年八上·广东东莞南城区·期中）如图，已知，且 （1）求证： （2）若，，求的长度． 48．（25-26学年八上·广东韶关·期中）（1）提出问题：如图1，在中，，点正好落在直线上，则、的关系为 　　． （2）探究问题：①如图2，在中，，，点正好落在直线上，分别作于点，于点，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由． ②如图3，将①中的条件改为：在中，，、、三点都在上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问①中结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）解决问题：如图4，直线经过的直角顶点，的边上有两个动点、，点以的速度从点出发，沿移动到点，点以的速度从点出发，沿移动到点，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点、分别作，，垂足分别为点、，若，，设运动时间为，当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时，求此时的值．（直接写出结果） 49．（25-26学年八上·广东汕头潮阳区·期中）综合与探究 数学活动：三角形全等中的数学问题 【提出问题】 如图，和都是等腰直角三角形（，，），且这两个三角形的顶点O重合，连接．请你认真阅读下面关于这个图形的探究片段，解决所提出的问题： 【探究一】（1）小红看到图1后，很快发现，请你帮助小红证明这一结论． 【探究二】（2）小红继续探究：如图2，连接和，小红发现．请你帮助小红证明这一结论． 【探究三】（3）小红还想进一步探究：如图3，连接和，且，的延长线交于点E，若，，求线段的长． 50．（25-26学年八上·广东惠州惠城区·期中）综合与实践：【积累经验】 我们在第十二章《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判定，在一些探究题中经常用以上知识转化角和边，进而解决问题．例如：我们在解决：“如图1，在中，，，线段经过点，且于点，于点．求证：，”这个问题时，只要证明，即可得到解决． （1）请写出证明过程； （2）【类比应用】如图2，在平面直角坐标系中，，，点的坐标为，点的坐标为，求点B的坐标． （3）【拓展提升】如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，以为一边构造等腰直角三角形，直接写出在第一象限内满足条件的所有点C的坐标______． 考点03 角的平分线 1．（25-26学年八上·广东韶关·期中）如图，用直尺和圆规作已知角的平分线，则说明为的平分线的依据是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·广东韶关·期中）如图，在中，平分，，D到的距离是（       ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 3．（25-26学年八上·广东江门恩平·期中）如图，在中，，是的角平分线，若，，则的面积是（　　） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 4．（25-26学年八上·广东广州南沙区·期中）如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝9，DE＝2，AB＝5，则AC长是（       ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5．（25-26学年八上·广东云浮罗定·期中）如图，在中，，平分，，，则的面积是（       ） A. 10 B. 5 C. 3 D. 2 6．（25-26学年八上·广东东莞·期中）如图，在中，，，平分，则点D到直线的距离为（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年八上·广东东莞南城区·期中）如图，是的角平分线，于点E，于点F，若，，则的面积为（     ） A. 14 B. 21 C. 24 D. 42 8．（2026·广东广州白云区·综合练习）如图，在中，，平分，，则点到直线的距离为　　　　． 9．（25-26学年八上·广东惠州惠城区·期中）（多选）已知：如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，且DM平分∠ADC． （1）求证：AM平分∠DAB． （2）试说明线段DM与AM有怎样的位置关系？并证明你的结论． 10．（25-26学年八上·广东江门鹤山·期中）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，S△ABC＝15，DE＝3，AB＝6，则AC长是　　　． 11．（25-26学年八上·广东惠州仲恺区·期中）如图，已知于A，于B，且，则　　　　　　． 12．（25-26学年八上·广东汕头潮南区·期中）如图，在中，平分若则　　　　． 13．（25-26学年八上·广东东莞南城区·期中）在小学，我们学习过“三角形的内角和为”．如图，在中，，根据作图痕迹推断的度数为　　　　　　　　． 14．（2026·广东广州白云区·综合练习）如图，在中，D是边上的一点，且． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线，交于点M．（保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）连接，试猜想与的数量关系，并证明你的猜想． 15．（25-26学年八上·广东广州南沙区·期中）如图，在中，，点在内部，且到三边的距离相等，则　　　　　　　． 16．（25-26学年八上·广东云浮罗定·期中）如图，中，． （1）尺规作图：（要求保留作图痕迹，不写作法）在上确定一点D，使D到的距离相等； （2）在（1）的条件下，过点D作，交于点E，则的周长为_________． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 全等三角形 3大高频考点概览 考点01 全等三角形及其性质 考点02 三角形全等的判定 考点03 角的平分线 考点01 全等三角形及其性质 1．（25-26学年八上·广东汕头潮阳区·期中）下列图形中被虚线分成的两部分不是全等形的是（   ） A.      B.          C.      D.      【答案】A 【分析】 根据全等形的定义判断即可． 【详解】 解：观察选项可知，选项B，C，D中的虚线把图形分成全等的两部分， 故选：A． 【点睛】 此题考查了全等图形的定义：对应边相等，对应角相等的图形是全等图形，解题的关键是理解全等图形的定义，属于中考基础题． 2．（25-26学年八上·广东江门恩平·期中）如图，，若，，则的度数为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据全等三角形的性质即可得到结论． 【详解】 解：，， ∴， ∵， ， 故选：A． 【点睛】 本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，熟练掌握全等三角形的性质定理是解题的关键． 3．（25-26学年八上·广东惠州惠城区·期中）如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是（        ） A. AC＝DE B. ∠BAD＝∠CAE C. AB＝AE D. ∠ABC＝∠AED 【答案】B 【分析】 根据全等三角形的性质即可得到结论． 【详解】 解：∵△ABC≌△ADE， ∴AC＝AE，AB＝AD，∠ABC＝∠ADE，∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC， 即∠BAD＝∠CAE． 故A，C，D选项错误，B选项正确， 故选：B． 【点睛】 本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 4．（25-26学年八上·广东江门鹤山·期中）如图，点E，F在线段上，，，，那么的长度是（       ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 8 【答案】A 【分析】 本题考查的是全等三角形的性质，熟知全等三角形的性质是正确解题的关键． 根据全等三角形的性质求出，进而求出． 【详解】 解：∵，， ∴， ∴， 故选：A． 5．（25-26学年八上·广东惠州仲恺区·期中）如图，，点分别在边上，若，，，则的长度为（       ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【分析】 本题考查全等三角形的性质，由可得即可得到答案． 【详解】 解：∵ ∴， ∵， ∴， 故选：B． 6．（2026·广东广州白云区·综合练习）如图，在平面直角坐标系中，△AOB≌△COD，则点D的坐标是　　　　　　　　　　　　． 【答案】（-2，0） 【分析】 根据全等三角形对应边相等可得OD=OB，然后写出点D的坐标即可． 【详解】 ∵△AOB≌△COD， ∴OD=OB， ∴点D的坐标是（﹣2，0）． 故答案为（﹣2，0）． 【点睛】 本题考查了全等三角形的性质，主要利用了全等三角形对应边相等的性质，是基础题． 7．（25-26学年八上·广东汕头潮南区·期中）已知的三边长为3，，6，的周长为14，若，则的值为　　　　　　． 【答案】2 【分析】 本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键．根据全等三角形的性质可得和的周长相等，再根据三角形的周长公式建立方程，解方程即可得． 【详解】 解：∵，且的周长为14， ∴的周长为14， ∵的三边长为3，，6， ∴， 解得， 当时，三角形三边长为3，5，6， ∵，满足任意两边之和大于第三边， ∴符合题意． 故答案为：2． 8．（25-26学年八上·广东汕头潮阳区·期中）如图，在中，，，，点在直线上．点从点出发，在三角形边上沿的路径向终点运动；点从点出发，在三角形边上沿的路径向终点运动．点和分别以单位秒和单位秒的速度同时开始运动，在运动过程中，若有一点先到达终点时，该点停止运动，另一个点要继续运动，直到两点都到达相应的终点时整个运动才能停止．在某时刻，分别过和作于点，于点，则点的运动时间等于 　　　　　秒时，与全等． 【答案】2或或12 【分析】 本题考查了全等三角形的性质，分情况讨论是解题的关键：分四种情况，点在上，点在上；点、都在上；点到上，点在上；点到点，点在上，进行讨论求解即可． 【详解】 解：与全等， 斜边斜边， 分四种情况： 当点在上，点在上，如图： ， ， ， 当点、都在上时，此时、重合，如图： ， ， ， 当点到上，点在上时，如图： ， ， ，不符合题意， 当点到点，点在上时，如图： ， ， ， 综上所述：点的运动时间等于2或或12秒时，与全等， 故答案为：2或或12． 9．（25-26学年八上·广东东莞南城区·期中）如图，已知，点在边上，与交于点． （1）若，，求线段的长； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）22     （2）      【分析】 本题考查全等三角形的性质，三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应角、对应边相等，是解题的关键． （1）由全等三角形的对应边相等得出，结合即可求解； （2）由全等三角形的对应角相等，结合三角形内角和定理，即可求解． (1) 小问详解： 解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 考点02 三角形全等的判定 1．（25-26学年八上·广东云浮罗定·期中）如图，∠ABC＝∠ABD，还应补充一个条件，才能推出△ABC≌△ABD．补充下列其中一个条件后，不一定能推出△ABC≌△ABD的是（　　） A. BC＝BD B. AC＝AD C. ∠ACB＝∠ADB D. ∠CAB＝∠DAB 【答案】B 【分析】根据题意，∠ABC=∠ABD，AB是公共边，结合选项，逐个验证得出正确结果． 【详解】A. 补充BC=BD,根据SAS可推出△ABC≌△ABD，故本选项错误； B. 补充AC=AD，没有两边及其一边的对角相等的两三角形全等的判断方法，不能推出△ABC≌△ABD，故本选项正确； C. 补充∠ACB=∠ADB, 根据AAS可推出△ABC≌△AB，故本选项错误； D. 补充∠CAB=∠DAB, 根据ASA可推出△ABC≌△AB，故本选项错误. 故选B. 【点睛】本题考查全等三角形的判定，三角形全等的判定定理有：AAS、SSS、ASA、SAS、HL. 2．（25-26学年八上·广东江门鹤山·期中）如图，已知，添加下列某一个条件后，能用判定的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查添加条件使三角形全等，根据，，结合的判定方法，添加两边的夹角即可． 【详解】 解：∵，， ∴当时，； 故应添加的条件为． 3．（2026·广东广州白云区·综合练习）如图，点在上，点在上，．下列条件中不能判断的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定，全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边． 根据全等三角形的判定定理依次判断各个选项即可． 【详解】 解：A、若，则依据，可得， 由，，，可得， 故A选项能判断； B、若，则不能得到， 故B选项不能判断； C、若，由，，则可得， 故C选项能判断； D、若，则由，，，可得， 故D选项能判断； 故选：B． 4．（25-26学年八上·广东韶关·期中）如图，已知，，要使，则不符合条件的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据全等三角形的判定解决此题． 【详解】 解：A、∵，∴，即，又由，，根据可判定，故此选项不符合题意； B、由，，，根据可判定，故此选项不符合题意； C、由， ，，这是两边及一边的对角，不能判定，故此选项符合题意； D、由，，，根据可判定，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】 本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理：、、、、是解决本题的关键． 5．（25-26学年八上·广东汕头潮阳区·期中）如图，，，三点在同一条直线上，，，，则不正确的结论是（       ） A. 与互为余角 B.  C. ≌ D.  【答案】D 【分析】 本题考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是推出≌． 证明≌，根据全等三角形的性质即可求出答案． 【详解】 解：A：， 在和中， ， ∴≌， ∴， ∵和互余， ∴与也互余，正确，故该选项不合题意； B：由A选项可知，正确，故该选项不合题意； C：由A选项可知≌，正确，故该选项不合题意； D：，， ∴，但不一定与相等，故该选项符合题意． 故选：D． 6．（25-26学年八上·广东江门恩平·期中）一块三角形玻璃，被摔成如图所示的四块，小敏想去店里买一块形状、大小与原来一样的玻璃，借助“全等三角形”的相关知识，小敏只带了一块去，则这块玻璃的编号是（     ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】C 【分析】 显然第③ 中有完整的三个条件，用ASA易证现要的三角形与原三角形全等． 【详解】 因为第③ 块中有完整的两个角以及他们的夹边，利用ASA易证三角形全等，故应带第③ 块． 故选：C． 【点睛】 本题考查了全等三角形的应用（有两个角对应相等，且夹边也对应相等的两三角形全等）；学会把实际问题转化为数学问题解答是关键． 7．（25-26学年八上·广东广州增城区·期中）如图，已知，，现添加以下一个条件仍不能判定的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：，注意：不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 根据已知两组对应边对应相等，结合全等三角形的判定方法对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】 解：，， A．若，则符合“”，，恰当，故本选项不符合题意； B．若，则符合“”，不能判定，不恰当，故本选项符合题意； C．若，则，即，符合“”，，恰当，故本选项不符合题意． D．若，则根据“”，，恰当，故本选项不符合题意； 故选：B． 8．（25-26学年八上·广东惠州仲恺区·期中）如图1，已知，，线段，求作．作法：如图2，①作线段；②在的同旁作，，与的另一边交于点．则就是所作三角形，这样作图的依据是（   ） A. 已知两边及夹角 B. 已知三边 C. 已知两角及夹边 D. 已知两边及一边对角 【答案】C 【分析】 本题考查作图—复杂作图，全等三角形的判定，解题的关键是理解作图过程中产生的相等元素，据此得出全等的判定方法． 【详解】 解：由作图可知，这个作图的依据是：两角夹边对应相等的两个三角形全等，即． 故选：C． 9．（25-26学年八上·广东东莞南城区·期中）如图，要测量池塘两岸相对的两点A、B的距离，可以在池塘外取的垂线上的两点C、D，使得，再画出的垂线，使点E与点A、C在一条直线上，这时测得线段的长就是线段的长，其原理运用到三角形全等的判定是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，根据题意得出，又因为，证明，故，即可作答． 【详解】 解：依题意，， 即， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 10．（25-26学年八上·广东东莞南城区·期中）小明不小心把一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），为了能配一块与原来完全一样的三角形，小明应该带（       ）去玻璃商店． A. 第1块 B. 第2块 C. 第3块 D. 第4块 【答案】B 【分析】 本题主要考查三角形全等的判定，看这4块玻璃中哪个包含的条件符合某个判定．解题的关键是熟练掌握判定两个三角形全等的判定定理：、、、、．本题应先假定选择哪块，再对应三角形全等判定的条件进行验证． 【详解】 解：1、3、4块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去， 只有第2块有完整的两角及夹边，符合，满足题目要求的条件，是符合题意的． 故选：B． 11．（25-26学年八上·广东汕头潮阳区·期中）如图，在和中，点A，E，B，D在同一直线上，，，若只添加一个条件，不能判定的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了全等三角形的判定，根据所添加的条件进行逐一判断即可求解；掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】 解：， ， ， 又， 添加，则（），故选项A不符合题意； 添加，无法证明，故选项B符合题意； 添加，则（），故选项C不符合题意； 添加，则（），故选项D不符合题意； 故选：B． 12．（25-26学年八上·广东揭阳榕城区·期中）如图，小敏将等腰直角三角板放置于直角坐标系中，直角顶点C与x轴上表示的点重合，点B坐标为，则点A的坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了平面直角坐标系、全等三角形的判定及性质，添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 过点，点分别作，垂直于轴，通过证明，得到，，即可得出点的坐标． 【详解】 解：如图，过点，点分别作，垂直于轴， 则， ∴， ∵点C与x轴上表示的点重合，点B坐标为， ∴，，， ∴， 由题意可知，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴点的坐标为， 故选：A． 13．（25-26学年八上·广东广州南沙区·期中）如图，已知，补充下列条件中的一个后，仍不能判定的是（    ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定定理，根据题意可得，，据此根据全等三角形的判定定理逐一判断即可． 【详解】 解：A、添加条件，结合，， 可利用证明，故此选项不符合题意； B、添加条件，结合，， 可利用证明，故此选项不符合题意； C、添加条件，结合，， 不可利用证明，故此选项符合题意； D、添加条件，结合，， 可利用证明，故此选项不符合题意； 故选：C． 14．（25-26学年八上·广东汕头潮南区·期中）如图，中，点D为的中点．点E是下方一点，连接，．平分，．若，，则的长为（       ） A. 11 B. 10 C. 9 D. 8 【答案】B 【分析】 本题主要考查全等三角形的性质与判定及等腰三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定及等腰三角形的性质与判定是解题的关键；连接并延长交于点F，在的延长线上取一点H，使，连接，由题意易得，然后可得，则有，进而可得，则问题可求解． 【详解】 解：连接并延长交于点F，在的延长线上取一点H，使，连接，如图所示： ∵点D为的中点，，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 15．（25-26学年八上·广东惠州惠城区·期中）如图，中，，是边的中线，平分，，与相交于点．下列结论一定成立的是（     ） ①与的面积相等；②；③；④ A. ①② B. ②③ C. ①③④ D. ①②④ 【答案】D 【分析】 利用和三角形面积公式可对进行判断；利用等角的余角相等可对进行判断；根据和的大小关系和全等三角形的判定方法可对进行判断；由于，，则根据三角形外角性质可对进行判断． 【详解】 解：，是边的中线，． ，， ，所以成立； ， ． ，， ，所以成立； ， 错误，所以不成立； 平分， ． ，， ， ，所以成立． 故选：D. 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法. 16．（2026·广东广州白云区·综合练习）如图，已知，，，求证：． 【答案】证明：∵， ∴， 即 在和中， ， ∴． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定定理，解题关键是掌握全等三角形的判定方法：（直角三角形）．由已知条件可得，再利用“”证明全等即可． 【详解】 略 17．（25-26学年八上·广东江门恩平·期中）如图，在和中，，添加一个条件：　　　　　　，使得． 【答案】(答案不唯一) 【分析】 本题考查了全等三角形的判定，注意：判定两个三角形全等的方法有，，，，．从图中知道，，结合，再添加一个条件或或，都使得． 【详解】 解：由题意知：，， 添加，则； 添加，则； 添加，则． 故答案为：或或． 18．（25-26学年八上·广东江门恩平·期中）在平面直角坐标系中，点A（3，0），点B（0，5）和点C（0，3）． （Ⅰ）请直接写出OB的长度：OB=             ； （Ⅱ）如图：若点D在x轴上，且点D的坐标为（－5，0），求证：△AOB≌△COD． 【答案】（Ⅰ）5； （Ⅱ）， ， ， 轴轴， ， 在和中， ， ． 【分析】 （Ⅰ）根据点的坐标即可得； （Ⅱ）先根据点的坐标可得的长，再根据三角形全等的判定定理（定理）即可得证． 【详解】 解：（Ⅰ）， ， 故答案为：5； （Ⅱ） 略 【点睛】 本题考查了平面直角坐标系、三角形全等的判定定理，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键． 19．（25-26学年八上·广东惠州惠城区·期中）已知：如图，点A，F，C，D在同一直线上，，，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，还涉及平行线的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．利用证明即可求证． 【详解】 略 20．（25-26学年八上·广东惠州惠城区·期中）如图，在和中，已知，，要使，还需添加一个条件，那么这个条件可以是　　　　　　（只需写一个，不添加辅助线）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】 本题考查的知识点是添加条件使两个三角形全等，熟记判定定理并根据题目条件灵活运用是解此题的关键． 要使，已知，，具备了一组边和一组角对应相等，还缺少边或角对应相等的条件，结合判定方法及图形进行选择即可． 【详解】 解：要使，已知，， 则可以添加，运用来判定其全等； 也可添加一组角或来判定其全等． 故答案为：或或． 21．（25-26学年八上·广东广州增城区·期中）如图，，，，求证：． 【答案】证明：， ． 又，， ． ． 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键．根据“”证明，即可得出结论． 【详解】 略 22．（25-26学年八上·广东广州南沙区·期中）风筝是中国传统工艺，有着悠久的历史和丰富的文化内涵．如图，左边的风筝可以抽象成右边的“筝形”，其中，，连接，求证：． 【答案】证明：在与中， ∵，，， ∴ ∴． 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理． 利用证明即可． 【详解】 略 23．（25-26学年八上·广东广州南沙区·期中）如图，，，共线，，若，，则的判断依据是　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定，两个直角三角形，如果斜边和其中一条直角边对应相等，则可以判断这两个三角形全等． 【详解】 解：， 在和中， ， ， 判断的依据是． 故答案为：． 24．（25-26学年八上·广东江门鹤山·期中）如图，要测量池塘的长度，但点，之间不能直接测量，已知点，，，在同一条直线上，小明想了个办法先在的一边取了个点，连接，再在的另一边取了个点，使得，且，同时． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 在与中， ， ∴；     （2）      【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质． （1）先由平行线的性质得到，再利用证明即可； （2）利用全等三角形的性质证明，再结合已知条件即可得到答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 答：的长是． 25．（25-26学年八上·广东东莞·期中）如图，点A，B，C，D同一直线上，，，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴， 即． 在和中， ， ∴． 【分析】 本题考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．根据“”证明． 【详解】 略 26．（25-26学年八上·广东惠州仲恺区·期中）完成下列证明过程． 如图，已知，，D，C在上，且，求证：．    证明：∵， ∴______________________（__________________________）， ∵，∴，即______________， 在和中，，__________________________， ∴___________________． 【答案】A；；两直线平行，同位角相等；；，； 【分析】 先证明，求得，利用即可证明． 【详解】 证明：∵， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∵， ∴，即， 在和中， ，，， ∴． 故答案为：A；；两直线平行，同位角相等；；，；． 【点睛】 本题主要考查了全等三角形的证明，熟练掌握全等三角形的判断条件是解题的关键． 27．（25-26学年八上·广东汕头潮南区·期中）如图，在河岸两侧的，两点处分别有一个电线塔，嘉淇想要测量这两个电线塔之间的距离，于是他在点所在河岸一侧的平地上取一点，使点，，在一条直线上，另取点，使得，然后测得，，在的延长线上取一点，使得，量得．    （1）求的度数 （2）请帮嘉淇计算这两个电线塔之间的距离是多少米？ 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握三角形内角和定理和全等三角形的判定与性质是解此题的关键． （1）根据三角形内角和定理即可求得答案． （2）证得即可求得答案． (1) 小问详解： ∵，， ∴． (2) 小问详解： ∵， ∴． 在和中 ∴． ∴． ∴． ∴这两个电线塔之间的距离是． 28．（25-26学年八上·广东汕头潮南区·期中）如图，，，点在上，且．求证：． 【答案】证明：∵， ∴． ∵，， ∴． ∴． 【分析】 由题意易得，进而可证，然后问题可求证． 【详解】 略 【点睛】 本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 29．（25-26学年八上·广东韶关·期中）某校八年级学生到野外活动，为测量一池塘两端A，B的距离，甲、乙两位同学分别设计出如下两种方案： 甲方案 乙方案 如图1，先在平地取一个可直达，的点，再连接，，并分别延长至，至，使，，最后测出的长即为，的距离． 如图2，过点作，再由点观测，在的延长线上取一点，使，这时只要测出的长即为，的距离． （1）以上两位同学所设计的方案，可行的有______； （2）请你选择一种可行的方案，说说它可行的理由． 【答案】（1）甲方案、乙方案     （2）见解析      【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是： （1）根据全等三角形的判定与性质可解答甲、乙； （2）甲方案利用“”，证明，测出的长即为，B的距离；乙方案利用“”，证明，测出的长即为，的距离． (1) 小问详解： 解：根据“”证明，可得，所以甲方案可行； 根据“”证明，可得，所以方案乙可行， (2) 小问详解： 解：甲方案：在和中， ， ： 乙方案：， ． 在和中， ， ． ． 30．（25-26学年八上·广东韶关·期中）【发现问题】小强在一次学习过程中遇到了下面的问题：如图①，是的中线，若，，求的取值范围． 【探究方法】小强所在的小组通过探究发现，延长至点E，使，连接BE，可以证出，利用全等三角形的性质可将已知的边长与转化到中，进而求出的取值范围． 方法小结：从上面的思路可以看出，解决问题的关键是将中线延长一倍，构造出全等三角形，我们把这种方法叫做“倍长中线法” ．    （1）请你利用上面解答问题的思路方法，写出求的取值范围的过程； （2）【问题拓展】 如图②，在和中，，，与互补，连接、，E是的中点，求证：． 【答案】（1） 解：如图① 中，延长至点，使． 在和中， ， ， ， ， ， ， ；     （2） 证明：如图② 中，延长到，使得，连接．    同法可证， ，， ， ， 与互补， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ．      【分析】 （1）如图① 中，延长至点，使．证明，推出，求出的取值范围，可得结论； （2）如图② 中，延长到，使得，连接．证明，推出，可得结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会倍长中线，构造全等三角形解决问题． 31．（25-26学年八上·广东韶关·期中）乐乐与爸爸、妈妈在操场上荡秋千．乐乐坐在秋千上的起始位置是A处，起始位置与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面 1.2 m 高的处接住她，妈妈用力一推，爸爸在处接住她．若妈妈与爸爸到秋千起始位置的水平距离分别为 和． （1）与全等吗？ 请说明理由； （2）爸爸在距离地面多高的地方接住乐乐？ 【答案】（1） ，理由如下： ， ， ； ， ；     （2）      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，证明是解答本题的关键． （1）由直角三角形的性质得出，根据可证明； （2）由全等三角形的性质得出，求出的长则可得出答案； (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ； ∵分别为和， ， ； ∵妈妈在距地面 高的处，且， ∴爸爸在距离地面高的地方接住乐乐． 32．（25-26学年八上·广东汕头潮阳区·期中）在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫做倍长中线法． （1）如图，是的中线，且，延长至点E，使，连接，可证得， 请写出证明过程； （2）如图， 在中， 若，是的中线，求的取值范围． 【答案】（1） 解：是的中线， ， 在和中， ， ；     （2）      【分析】 本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系． （1）由证明三角形全等可得出答案； （2）同理（1）得，进而得出，由三角形三边关系得到，再根据即可得出答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵，是的中线， 同理（1）得， ∴， ∴，即， ∵， ∴． 33．（25-26学年八上·广东江门恩平·期中）图为人民公园的荷花池，现要测量此荷花池两旁A、B两棵树间的距离(不能直接测量)，请你根据所学三角形全等的知识，设计一种测量方案求出AB的长(要求画出草图，写出测量方案和理由)． 【答案】解：分别以点A、点B为端点，作AQ、BP，使其相交于点C， 使得CP＝CB，CQ＝CA，连接PQ， 测得PQ即可得出AB的长度． 理由：由上面可知：PC＝BC，QC＝AC， 又∠PCQ＝∠BCA， ∴△PCQ≌△BCA ∴AB＝PQ． 【分析】 本题属于主观性试题，有多种方案，我们可以构造8字形的全等三角形来测得荷花池的长度（如下图）． 【详解】 略 【点睛】 本题考查了全等三角形的应用；此题带有一定主观性，学生要根据已知知识对新问题进行探索和对基础知识进行巩固，这种作法较常见，要熟练掌握． 34．（25-26学年八上·广东惠州惠城区·期中）如图，已知中，厘米，厘米，点D为的中点．如果点P在线段上以每秒2厘米的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上以每秒a厘米的速度由C点向A点运动，设运动时间为t（秒）（）． （1）用代数式表示的长度； （2）若点P、Q的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等，请说明理由； （3）若点P、Q的运动速度不相等．当点Q的运动速度a为多少时，能够使与全等？ 【答案】（1）     （2）与全等，理由见解析     （3）当点Q的运动速度a为时，能够使与全等      【分析】 本题考查了三角形的动点运动问题，全等三角形的判定，列代数式，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （1）直接根据时间和速度表示的长； （2）根据“”证明即可； （3）因为点P、Q的运动速度不相等，所以，那么只能与相等，列出二元一次方程组求解即可． (1) 小问详解： 解：设运动时间为t（秒），根据题意得，； (2) 小问详解： 解：与全等，理由如下： 当秒时，厘米，厘米，厘米， ∵点D为的中点， ∴厘米， 在与中， ∴； (3) 小问详解： 解：结合（2）得，若点P、Q的运动速度不相等， 则此时当时，结合，则， ∴， 解得， ∴当点Q的运动速度a为时，能够使与全等． 35．（25-26学年八上·广东惠州惠城区·期中）如图，正方形的边长为3，、分别是、边上的点，且．将绕点逆时针旋转，得到．求证：． 【答案】证明：如图，将绕点D逆时针旋转，得到， 则，，． ∵四边形是正方形， ∴， ∴． ∵， ∴， 又∵， ∴点B，F，C，M在一条直线上． ∵， ∴， ∴． 【分析】 本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质和判定，正方形的性质等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先利用旋转的性质得出，，．再利用正方形的性质得出，从而可证明，再说明，从而可得，于是可得出结论． 【详解】 略 36．（25-26学年八上·广东清远英德·期中）如图，在中，，点C的坐标为，点A的坐标为，则B点的坐标是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定与性质，同角的余角相等，解题的关键是证明． 过A和B分别作于D，于E，利用已知条件可证明，再有全等三角形的性质和已知数据即可求出B点的坐标． 【详解】 解：如下图，过A和B分别作于D，于E， ， ， ， 在和中， ， ， ， 点C的坐标为，点A的坐标为， ， ， ， 点的坐标是， 故答案为： 37．（25-26学年八上·广东广州增城区·期中）已知：如图，中，为的角平分线，且，E为延长线上的一点，，过E作，F为垂足．下列结论：①．②平分；④；④．其中正确的是　　　　　　　　　　　．（只填序号） 【答案】① ③ ④ 【分析】 由“”可证，故① 正确，由三角形的内角和定理可求，故② 错误；由外角的性质可证，可得，故③ 正确，通过证明，，可得，，可判断④ 正确，即可求解． 【详解】 解：① ∵为的角平分线， ∴， 在△ABD和△EBC中， ， ∴，故① 正确； ② ∵， ∴， ∵， ∴， ∴不平分，故② 错误； ③ ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴为等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∴．故③ 正确； ④ 过E作于G点， ∵E是的角平分线上的点，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，故④ 正确； 综上，① ③ ④ 正确； 故答案为：① ③ ④ ． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 38．（25-26学年八上·广东广州增城区·期中）已知，，，垂足为点A，射线，垂足为点B． （1）如图1，若点E在线段上，点D在射线上，，请你添加一个条件：______，使得，判定全等的依据是：______； （2）在（1）的条件下，证明你的结论； （3）若点E从A点出发以的速度沿射线运动，点D在射线上，随着E点运动而运动，始终保持．若点E的运动时间为t秒，则当以点B、D、E组成的三角形与全等时，求t的值． 【答案】（1），．     （2） 证明：∵，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴．     （3）3或7或10．      【分析】 本题考查了直角三角形全等的判定和性质，三角形的内角和，掌握知识点是解题的关键． （1）根据证明，即可解答； （2）先证明，推导出，，得到，根据证明，即可解答； （3）分情况，当E在线段上，或当E在线段延长线上，由即可求解． (1) 小问详解： 解：添加一个条件：，使得，判定全等的依据是：． 故答案为：，(答案不唯一)． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： ∵，， ∴， ∵， 当E在线段上时， 若， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 若， ∴， ∴， ∴（舍去）， 当E在线段延长线上时， 若， ∴， ∵， ∴， 若， ∴， ∵， ∴， ∴当或7或10秒时，与全等． 答：t的值为3或7或10． 39．（25-26学年八上·广东广州南沙区·期中）李华同学用11块高度都是1cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个正方形ABCD（∠ABC＝90°，AB＝BC），点B在EF上，点A和C分别与木墙的顶端重合，求两堵木墙之间的距离EF． 【答案】11cm 【分析】 根据∠ABE的余角相等求出∠EAB＝∠CBF，然后利用“角角边”证明△ABE和△BCF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE＝BF，BE＝CF，于是得到结论． 【详解】 解：∵AE⊥EF，CF⊥EF， ∴∠AEB＝∠BFC＝90°， ∴∠EAB+∠ABE＝90°， ∵∠ABC＝90°， ∴∠ABE+∠CBF＝90°， ∴∠EAB＝∠CBF， 在△ABE和△BCF中， ， ∴△ABE≌△BCF（AAS）， ∴AE＝BF＝5cm，BE＝CF＝6cm， ∴EF＝5+6＝11（cm）． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键． 40．（25-26学年八上·广东云浮罗定·期中）如图，在中，已知，是的高，，直线，动点D从点C开始沿射线方向以每秒3厘米的速度运动，动点E也同时从点C开始在直线上以每秒1厘米的速度向远离C点的方向运动，连接、，设运动时间为t秒． 备用图 （1）请直接写出、的长度（用含有t的代数式表示）：________，________； （2）当t为多少时，的面积为？ （3）探究：当t为多少时，？并简要说明理由． 【答案】（1），t     （2）当为或时，的面积为     （3） 如果，则有 同（2）分两种情况： ①若在点右侧，当E在射线上时，D必在上，如下图： 则 由，即可得： 检验： 因此，由定理可得， ②若在点左侧，当E在的反向延长线上时，D必在延长线上，如下图： 则，， 由，即可得： 检验： ， ∴由定理可得， 综上，秒或4秒时，．      【分析】 本题考查了线段的和与差、三角形全等的判定定理与性质，熟记判定定理与性质是解题关键．需注意的一点是：动点D的位置要分情况讨论，避免漏解． （1）根据“”即可得； （2）根据可求出的长，因为要求t则需要求出的长，由点D的位置可知，需分点D在点B右侧和点D在点B左侧两种情况，根据线段的和与差分别讨论即可； （3）先假设，则有，同（2）分两种情况讨论解出t的值，再检验两种情况下的t值，能否使得即可 (1) 小问详解： 解：由“”得：， 故答案为：； (2) 小问详解： ， ， 求的长分以下两种情况： 若在点右侧，，则 若在点左侧，，则 综上所述：当为或时，的面积为； (3) 小问详解： 略 41．（25-26学年八上·广东云浮罗定·期中）（1）如图1，在中，，，是边上的中线，延长到点E使，连结，把，，集中在中，利用三角形三边关系可得的取值范围．的取值范围是_________________． （2）如图2，在中，是边上的中线，点E，F分别在，上，且，求证：．小艾同学受到（1）的启发，在解决（2）的问题时，延长到点H，使……请你帮她完成证明过程． （3）如图3，在四边形中，为钝角，为锐角，，，，点E，F分别在，上，且，连结，试探索线段，，之间的数量关系，并加以证明． 【答案】（1） （2）证明：如图，延长到，使得，连结，． ∵在中，是边上的中线， ∴ ， 在和中， ， ， ， ， 又， ， 在中，， ，， ． （3）结论：． 理由：延长到，使得． ， ， ，             ，， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，三角形的三边关系等知识，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． （1）证明，推出，在中，利用三角形的三边关系解决问题即可； （2）如图2中，延长到，使得，连接．证明，推出，再证明，利用三角形的三边关系即可解决问题； （3）结论：．延长到，使得，通过两次全等证明即可解决问题． 【详解】 解：（1）；理由如下： ∵是边上的中线， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在，且， ， ， ， ． （2）略 （3）略 42．（25-26学年八上·广东东莞·期中）如图，于点，求证： （1）； （2）． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵ ∴．     （2） 证明：∵ ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴．      【分析】 （1）利用证明． （2）根据，根据全等三角形的性质即可得解． 此题考查了全等三角形的判定与性质，对顶角性质，垂直的定义，利用证明是解题的关键． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 43．（25-26学年八上·广东东莞·期中）为了解学生对所学知识的应用能力，某校老师在七年级数学兴趣小组活动中，设置了这样的问题：因为池塘两端，的距离无法直接测量，请同学们设计方案测量，的距离，甲、乙两位同学分别设计出了如下两种方案： 甲：如图1，在平地上取一个可以直接到达点，的点，连接并延长到点，连接并延长到点，使，，连接，测出的长即可． 乙：如图2，先确定直线，过点作直线，在直线上找可以直接到达点的一点，连接，作，交直线于点，最后测量的长即可． （1）甲、乙两同学的方案哪个可行？并说明理由． （2）请将不可行的方案稍加修改使之可行，你的修改是：                    ，请说明理由． 【答案】（1） 甲同学的方案可行． 理由：由题意得， 在与中 ， ， ，故甲同学的方案可行．     （2） 使； 理由：当时，， 在与中 ， ， ． 【分析】 （1）根据全等三角形的判定与性质可得甲同学的方案可行； （2）使，利用证明，再利用全等三角形的性质可得结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查的是全等三角形的实际应用，熟练的证明两个三角形全等是解本题的关键． 44．（25-26学年八上·广东惠州仲恺区·期中）如图所示，，．求证：． 【答案】证明：在和中， ， ， ． 【分析】 本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．证明即可得到结论． 【详解】 略 45．（25-26学年八上·广东东莞南城区·期中）如图，在中，，为边上的高，，，点从点出发，在直线上以的速度移动，过点作的垂线交直线于点．当点运动　　　　　　　　时，． 【答案】3或7 【分析】 本题主要考查了三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定定理，注意分类讨论． 分两种情况：当点在射线上时，当点在射线上时，分别画出图形求出结果即可． 【详解】 解：当点在射线上时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴此时点运动时间为； 当点在射线上时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴−−， ∴此时点运动时间为． 综上所述，点运动或时，． 故答案为：或． 46．（25-26学年八上·广东东莞南城区·期中）为测量某一水池两端，之间的距离，嘉嘉和淇淇分别设计出如下两种方案． 课题 测量水池两端、之间的距离 测量示意图     步骤说明 在平地上取一点，分别连接，并延长到，两点，使得，，测量，两点间的距离即可． 在平地上取一点，连接，，在的延长线上取一点，使得，测量，两点间的距离即可． （1）以上两位同学方案可行的是________的方案，并仅对此方案的可行性说明理由； （2）请你将不可行的方案稍加修改，使其可行，并说明理由． 【答案】（1）嘉嘉；见解析     （2）对淇淇方案增加“使”；见解析      【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理（、等），并能通过构造全等三角形将不可直接测量的线段转化为可测量线段是解题的关键． （1）对于嘉嘉的方案，通过构造、，结合对顶角相等的条件，利用全等三角形的判定证明，从而得到，实现通过测量长度来间接得到长度的目的． （2）对于淇淇的方案，原始条件仅和，无法证明三角形全等；通过增加的条件，构造出直角相等，结合已有条件，利用全等三角形的判定证明，从而得到，使方案可行． (1) 小问详解： 解：嘉嘉，理由：在和中， ， ， ，故嘉嘉的方案可行． (2) 小问详解： 解：对淇淇方案增加“使”； 理由：， ， 在和中， ， ， ． 47．（25-26学年八上·广东东莞南城区·期中）如图，已知，且 （1）求证： （2）若，，求的长度． 【答案】（1） 证明：， ， ， ，， ．     （2）．      【分析】 本题主要考查了证明三角形全等的条件以及利用勾股定理逆定理的应用，熟练运用证明三角形全等，并利用勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）利用等量代换，可得，利用即可证明两个三角形全等． （2）根据（1）的条件，利用勾股定理逆定理，可得到对应的两条边相等，进而求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ，， ， 由（1）可知：， ． 答：． 48．（25-26学年八上·广东韶关·期中）（1）提出问题：如图1，在中，，点正好落在直线上，则、的关系为 　　． （2）探究问题：①如图2，在中，，，点正好落在直线上，分别作于点，于点，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由． ②如图3，将①中的条件改为：在中，，、、三点都在上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问①中结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）解决问题：如图4，直线经过的直角顶点，的边上有两个动点、，点以的速度从点出发，沿移动到点，点以的速度从点出发，沿移动到点，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点、分别作，，垂足分别为点、，若，，设运动时间为，当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时，求此时的值．（直接写出结果） 【答案】（1）； （2）①，理由如下： 直线，直线， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 故答案为：； ②成立．证明如下： 如图2， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ； （3）当或或时，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等． 【分析】 本题主要考查了三角形全等的判定与性质、等角的余角相等、三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． （1）利用平角的定义即可求解； （2）① 先证明出，得出，，即可得出结果； ② 证明出，得出，，即可得出结论； （3）由以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等．可知，而，的表示由，的位置决定，故需要对，的位置分当在上，在上时或当在上，在上时，或当到达，在上时，分别讨论． 【详解】 解：（1），， ， 故答案为：； （2）① 略 ② 略 （3）① 当在上，在上时，即， ，， 以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等． ， ， ； ② 当在上，在上时，即， ，， ， ， ； ③ 当到达，在上时，即， ，， ， ， ． 综上所述，当或或时，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等． 49．（25-26学年八上·广东汕头潮阳区·期中）综合与探究 数学活动：三角形全等中的数学问题 【提出问题】 如图，和都是等腰直角三角形（，，），且这两个三角形的顶点O重合，连接．请你认真阅读下面关于这个图形的探究片段，解决所提出的问题： 【探究一】（1）小红看到图1后，很快发现，请你帮助小红证明这一结论． 【探究二】（2）小红继续探究：如图2，连接和，小红发现．请你帮助小红证明这一结论． 【探究三】（3）小红还想进一步探究：如图3，连接和，且，的延长线交于点E，若，，求线段的长． 【答案】（1）证明：， ，即． 在和中， ． ． （2）证明：如图1，过点C作于点E，过点D作，交的延长线于点F，． ∵， ∴， ， ． 在和中， ． ． ，， ； （3）2 【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形； （1）证明，即可得证； （2）过点C作于点E，过点D作，交的延长线于点F，证明，得到，根据三角形的面积公式，即可得出结论； （3）过点D作，交的延长线于点H，先证明，求出的长，再证明，根据线段的和差关系以及全等三角形的性质，即可得出结果． 【详解】 解：（1）略 （2）略 （3）如图2，过点D作，交的延长线于点H． ， ． ， ， ， 又∵，， ∴， ． ， ． ， 又∵， ∴， ． ， ， ， 即的长为2． 50．（25-26学年八上·广东惠州惠城区·期中）综合与实践：【积累经验】 我们在第十二章《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判定，在一些探究题中经常用以上知识转化角和边，进而解决问题．例如：我们在解决：“如图1，在中，，，线段经过点，且于点，于点．求证：，”这个问题时，只要证明，即可得到解决． （1）请写出证明过程； （2）【类比应用】如图2，在平面直角坐标系中，，，点的坐标为，点的坐标为，求点B的坐标． （3）【拓展提升】如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，以为一边构造等腰直角三角形，直接写出在第一象限内满足条件的所有点C的坐标______． 【答案】（1） 证明：， ， 于，， ，， ， 在和中， ， ， ，；     （2）     （3）或或      【分析】 （1）证明，由全等三角形的性质可得出答案； （2）过点作轴于点，过点作交的延长线于点，过点作于点，由全等三角形的性质得出，，则可得出答案． （3）分，，三种情况，根据A和B的坐标，结合等腰直角三角形的性质，通过全等三角形的性质，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 如图，过点作轴于点，过点作交的延长线于点，过点作于点， 由（1）（2）可得， ，， ，， ，， ， 点的纵坐标为，横坐标为， ． (3) 小问详解： 当时，过点A作y轴的垂线，过点B，C作该垂线的垂线，垂足分别为D，E，与x轴交于点F， ∵，， ∴，， 同（1）可得：， ∴，， ∴，， ∴； 当时，过点B作x轴的垂线，过点A，C作该垂线的垂线，垂足分别为D，E， 同（1）可得：， ∴，， ∴； 当时，过点C作y轴的垂线，过点A，B作该垂线的垂线，垂足分别为D，E， 同（1）可得：， ∴，， ∵，， ∴，， 设，则， 由可得：， ∴， ∴， ∴； 综上：点C的坐标为或或． 【点睛】 本题考查了三角形的综合应用，图形与坐标，掌握全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质是解题的关键． 考点03 角的平分线 1．（25-26学年八上·广东韶关·期中）如图，用直尺和圆规作已知角的平分线，则说明为的平分线的依据是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据作图得到，，以及为公共边，则可利用证明，即可求解． 【详解】 解:由作法得，，而为公共边， 所以． 所以． 2．（25-26学年八上·广东韶关·期中）如图，在中，平分，，D到的距离是（       ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】B 【分析】 本题考查了角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，能够正确理解距离的概念是解题的关键． 作于，根据角平分线的性质求解即可． 【详解】 解：作于，如图， 由图可得，且平分， ， ∴D到的距离是3， 故选：B． 3．（25-26学年八上·广东江门恩平·期中）如图，在中，，是的角平分线，若，，则的面积是（　　） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】D 【分析】 过点D作 ，垂足为E，根据角平分线性质定理，得，进而根据面积公式求解． 【详解】 解：如图，过点D作 ，垂足为E， ∵是的角平分线，， ∴. ∴的面积是． 故选：D 【点睛】 本题考查三角形角平分线性质定理，面积计算；根据角平分线性质定理得到线段相等是解题的关键． 4．（25-26学年八上·广东广州南沙区·期中）如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝9，DE＝2，AB＝5，则AC长是（       ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【详解】 如图，作DF⊥AC交AC于点F， ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF， ∴S△ABC＝S△ADC＋S△ADB＝AC·DF＋AB·DE＝DE（AC＋AB）＝9， ∴×2×（AC＋5）＝9， ∴AC＝4 故选：B． 5．（25-26学年八上·广东云浮罗定·期中）如图，在中，，平分，，，则的面积是（       ） A. 10 B. 5 C. 3 D. 2 【答案】B 【分析】 本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．过D点作于E点，如图，先根据角平分线的性质得到，然后根据三角形面积公式求解． 【详解】 解：过D点作于E点，如图，    ∵平分，，， ∴， ∴的面积． 故选：B． 6．（25-26学年八上·广东东莞·期中）如图，在中，，，平分，则点D到直线的距离为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查点到直线的距离，角平分线的性质．过点D作于点E，则的长就是点D到直线的距离，根据角平分线的性质即可求解． 【详解】 解：过点D作于点E， ∵， ∴， ∵平分， ∴． ∴点D到直线的距离为． 故选：B． 7．（25-26学年八上·广东东莞南城区·期中）如图，是的角平分线，于点E，于点F，若，，则的面积为（     ） A. 14 B. 21 C. 24 D. 42 【答案】B 【分析】 本题考查角平分线的性质，根据角平分线的性质可得，再根据求解即可． 【详解】 解：∵平分，，，， ∴， ∵， 故选：B． 8．（2026·广东广州白云区·综合练习）如图，在中，，平分，，则点到直线的距离为　　　　． 【答案】2 【分析】 角的平分线上的点到角的两边的距离相等，据此求解即可． 【详解】 解：∵，平分，， ∴点到直线的距离． 9．（25-26学年八上·广东惠州惠城区·期中）（多选）已知：如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，且DM平分∠ADC． （1）求证：AM平分∠DAB． （2）试说明线段DM与AM有怎样的位置关系？并证明你的结论． 【答案】（1）证明：过M作ME⊥AD于E，    ∵DM平分∠ADC，∠C=90°，ME⊥AD， ∴MC=ME， ∵M为BC的中点， ∴BM=MC=ME， ∵∠B=90°，ME⊥AD， ∴AM平分∠DAB； （2）AM⊥DM， 证明如下： ∵∠B=∠C=90°， ∴∠B+∠C=180°， ∴AB//DC， ∴∠BAD+∠ADC=180°， ∵AM平分∠DAB，DM平分∠ADC， ∴∠MAD=∠BAD，∠MDA=∠ADC， ∴∠MAD+∠MDA=90°， ∴∠AMD=90°， ∴AM⊥DM． 【分析】 （1）过M作ME⊥AD于E，根据角平分线性质求出ME=MC=MB，再根据角平分线的判定即可； （2）根据平行线性质求出∠BAD+∠ADC=180°，结合已知求出∠MAD+∠MDA=90°，即可求出答案． 【详解】 （1）略 （2）略 【点睛】 本题考查了平行线的性质，角平分线性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力，难度适中． 10．（25-26学年八上·广东江门鹤山·期中）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，S△ABC＝15，DE＝3，AB＝6，则AC长是　　　． 【答案】4 【分析】 作于，先利用角平分线的性质得到，再根据即可得． 【详解】 解：如图，作于， 平分，， ， ， ， 解得， 故答案为：4． 【点睛】 本题考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键． 11．（25-26学年八上·广东惠州仲恺区·期中）如图，已知于A，于B，且，则　　　　　　． 【答案】7度 【分析】 本题主要考查了角平分线的判定定理，三角形外角的性质，证明点P在的平分线上是本题的关键．由，，，可证点P在的平分线上，可得，由三角形外角性质可求解． 【详解】 解：，，， ∴点P在的平分线上， ， ， 故答案为：． 12．（25-26学年八上·广东汕头潮南区·期中）如图，在中，平分若则　　　　． 【答案】1 【分析】 作于点F，由角平分线的性质推出，再利用三角形面积公式求解即可． 【详解】 解：如图，作于点F， ∵平分，，， ∴， ∴． 故答案为：1． 【点睛】 本题考查角平分线的性质，通过作辅助线求出三角形ACD中AC边上的高是解题的关键． 13．（25-26学年八上·广东东莞南城区·期中）在小学，我们学习过“三角形的内角和为”．如图，在中，，根据作图痕迹推断的度数为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查的是作角平分线，三角形的内角和定理的应用，证明，，可得. 【详解】 解：由作法得平分，平分， ∴，． ∵ ∵， ∴． 故答案为： 14．（2026·广东广州白云区·综合练习）如图，在中，D是边上的一点，且． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线，交于点M．（保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）连接，试猜想与的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】（1） 如图，即为所求．      （2） 解：． 证明：在和中， ， ∴， ∴．      【分析】 （1）根据角平分线的画法即可得出； （2）证明，根据全等三角形的性质即可得出结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查尺规作图—角平分线，全等三角形的判定与性质，正确理解题意是解题的关键． 15．（25-26学年八上·广东广州南沙区·期中）如图，在中，，点在内部，且到三边的距离相等，则　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查的知识点是角平分线的判定定理和定义，三角形的内角和定理，解题关键是熟练掌握角平分线的判定定理． 先由点在内部，且到三边的距离相等得出点是的内心，再由三角形的内角和定理可得和的度数和，再三角形的内角和定理计算即可． 【详解】 解：点在内部且到三边的距离相等， 点是的内心， 即、分别是和的角平分线， 设，，则，， 在中，， ， ， 在中，， 即， ． 故答案为：． 16．（25-26学年八上·广东云浮罗定·期中）如图，中，． （1）尺规作图：（要求保留作图痕迹，不写作法）在上确定一点D，使D到的距离相等； （2）在（1）的条件下，过点D作，交于点E，则的周长为_________． 【答案】（1） 解：点如图所示，      （2）8      【分析】 本题考查了作图—角平分线、角平分线的性质和全等三角形的判定和性质，正确的作图是解决本题的关键． （1）以点B为圆心，以任意长为半径画弧分别交于点，以F为圆心，以任意长为半径画弧，以G为圆心，以任意长为半径画弧交上一条弧于点H，连接射线交于点D，此时点D即为所求； （2）根据角平分线的性质得到，再利用证明求得，则，利用三角形的周长公式即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由作图知是的平分线，且，， ， 在和中， ， ， ，则， 的周长为 ． 故答案为：8． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $