等腰三角形专项训练卷2026-2027学年浙教版八年级上册数学（浙江专用）

等腰三角形专项训练卷 2026-2027学年浙教版八年级上册数学（浙江专用） —— 参考答案与详细解析 —— （满分 240 分，建议用时 120 分钟） 本卷共 40 道解答题，全卷不含选择题与填空题 一、基础巩固题 1．【答案】证明见解析 【解析】证明：∵ DE∥AC， ∴ ∠EDA＝∠DAC（两直线平行，内错角相等）． ∵ AD 平分 ∠BAC，∴ ∠BAD＝∠DAC． ∴ ∠BAD＝∠EDA．∴ AE＝DE（等角对等边）． ∵ AD⊥BD，∴ ∠ADB＝90°，∴ ∠BDE＝90°－∠EDA． 在 Rt△ABD 中，∠B＝90°－∠BAD， ∴ ∠BDE＝∠B． ∴ BE＝DE（等角对等边）． ∴ △BDE 是等腰三角形． 【易错卡点】由 ∠BAD＝∠EDA 得出 AE＝DE 就收笔，把 AE 当成了要证的腰；本题证的是 BE＝DE，必须再用「直角三角形两锐角互余」在 ∠BDE 与 ∠B 之间搭一次桥． 2．【答案】（1）底边长 3 cm，两腰长均为 9 cm；（2）7.5 cm、7.5 cm 或 6 cm、9 cm 【解析】（1）设底边长为 x cm，则腰长为 3x cm． 由周长得 x＋3x＋3x＝21，解得 x＝3，∴ 3x＝9． 检验：3＋9＞9，能构成三角形． ∴ 三边长分别为 3 cm、9 cm、9 cm． （2）「一边长为 6 cm」未说明它是腰还是底，需分类讨论． ① 若 6 cm 为底边长，则两腰长为 (21－6)÷2＝7.5（cm），三边为 6、7.5、7.5． 检验：6＋7.5＞7.5，能构成三角形． ② 若 6 cm 为腰长，则另一腰长也为 6 cm，底边长为 21－6×2＝9（cm），三边为 6、6、9． 检验：6＋6＞9，能构成三角形． ∴ 其他两边长为 7.5 cm、7.5 cm 或 6 cm、9 cm． 【易错卡点】第（2）问只讨论「6 是腰」或只讨论「6 是底」，漏掉另一种情形． 3．【答案】证明见解析 【解析】已知：如图，OC 平分 ∠AOB，P 是 OC 上任意一点，PD⊥OA 于点 D，PE⊥OB 于点 E． 求证：PD＝PE． 证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB， ∴ ∠PDO＝∠PEO＝90°． ∵ OC 平分 ∠AOB，∴ ∠DOP＝∠EOP． 在 △PDO 和 △PEO 中， ∵ ∠PDO＝∠PEO，∠DOP＝∠EOP，OP＝OP， ∴ △PDO≌△PEO（AAS）． ∴ PD＝PE． 【易错卡点】把「已知」写成结论、或漏写「P 是 OC 上任意一点」这一关键表述，证明就失去一般性． 4．【答案】（1）50°；（2）证明见解析 【解析】（1）∵ AB＝AC，∴ ∠ABC＝∠C＝40°． ∵ AB＝AC，BD＝CD，∴ AD⊥BC（等腰三角形底边上的中线也是底边上的高）， ∴ ∠ADB＝90°． ∴ ∠BAD＝90°－∠ABC＝90°－40°＝50°． （2）证明：∵ BE 平分 ∠ABC，∴ ∠ABE＝∠CBE＝∠ABC． ∵ EF∥BC，∴ ∠FEB＝∠CBE． ∴ ∠FBE＝∠FEB． ∴ FB＝FE（等角对等边）． 【易错卡点】第（2）问去证 △FBE 与某个三角形全等，绕远路；直接导角用「等角对等边」一步到位． 5．【答案】36° 【解析】∵ AB＝AD，∴ ∠B＝∠ADB． ∵ ∠BAD＝36°，∴ ∠ADB＝＝72°． ∵ AD＝CD，∴ ∠C＝∠CAD． ∵ ∠ADB 是 △ADC 的外角，∴ ∠ADB＝∠C＋∠CAD＝2∠C． ∴ 2∠C＝72°，∴ ∠C＝36°． 【易错卡点】只用一次「等边对等角」就卡住；要看到 ∠ADB 同时是 △ABD 的底角、又是 △ADC 的外角，用外角搭桥． 二、能力提升题 6．【答案】（1）证明见解析；（2）75° 【解析】（1）证明：∵ AD∥BC，∴ ∠DAC＝∠ACB（两直线平行，内错角相等）． ∵ AC 平分 ∠BCD，∴ ∠ACD＝∠ACB． ∴ ∠DAC＝∠ACD． ∴ AD＝CD（等角对等边）． （2）∵ AD＝CD，∴ ∠DAC＝∠ACD． ∵ ∠D＝120°，∴ ∠DAC＝∠ACD＝＝30°． ∴ ∠ACB＝∠ACD＝30°． ∵ AC＝BC，∴ ∠B＝∠BAC． ∴ ∠B＝＝75°． 【易错卡点】第（1）问试图证 △ADC≌△ABC，条件不足；本题只需「平行线导角 + 角平分线」即得等腰． 7．【答案】（1）30°；（2）6 cm 【解析】（1）∵ AB＝AC，∠A＝40°， ∴ ∠ABC＝∠C＝＝70°． ∵ DE 垂直平分 AB，∴ DA＝DB，∴ ∠DBA＝∠A＝40°． ∴ ∠DBC＝∠ABC－∠DBA＝70°－40°＝30°． （2）∵ DE 垂直平分 AB，∴ AD＝BD． ∴ △BCD 的周长＝BC＋CD＋BD＝BC＋CD＋AD＝BC＋AC＝16． ∵ △ABC 的周长＝AB＋AC＋BC＝26， ∴ AB＝26－(AC＋BC)＝26－16＝10，∴ AC＝AB＝10． ∴ BC＝16－AC＝16－10＝6（cm）． 【易错卡点】第（2）问把「△BCD 的周长」直接当成 BD＋CD，漏掉 BC；或忘记 AD＝BD 的等量替换． 8．【答案】（1）50°；（2）证明见解析 【解析】（1）∵ ∠AFD＝155°，∴ ∠CFD＝180°－155°＝25°． ∵ DF⊥BC，∴ ∠FDC＝90°． 在 △CDF 中，∠C＝180°－90°－25°＝65°． ∵ AB＝BC，∴ ∠A＝∠C＝65°，∴ ∠B＝180°－65°－65°＝50°． ∵ DE⊥AB，∴ ∠BED＝90°． 在 Rt△BDE 中，∠BDE＝90°－∠B＝90°－50°＝40°． ∴ ∠EDF＝∠BDF－∠BDE＝90°－40°＝50°． （2）证明：∵ AB＝BC，F 是 AC 的中点， ∴ BF⊥AC，且 BF 平分 ∠ABC． ∴ ∠CFD＝90°－∠C，∠CBF＝∠ABC． ∵ ∠A＝∠C，∴ ∠ABC＝180°－2∠C， ∴ ∠ABC＝90°－∠C． ∴ ∠CFD＝∠ABC＝∠B． 【易错卡点】第（1）问把 ∠EDF 误算成 ∠BDF＋∠BDE＝130°；DE 与 DF 在 DB 同侧，应作差． 9．【答案】（1）34°；（2）17 cm 【解析】（1）∵ EF 垂直平分 AC，∴ EA＝EC，∴ ∠EAC＝∠C． ∴ ∠AEB＝∠EAC＋∠C＝2∠C（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和）． ∵ AD⊥BC，BD＝DE，∴ AD 是线段 BE 的垂直平分线，∴ AB＝AE． ∴ ∠B＝∠AEB＝2∠C． 在 △ABE 中，∠BAE＋∠B＋∠AEB＝180°， ∴ 44°＋2∠C＋2∠C＝180°，解得 ∠C＝34°． （2）由（1）知 AB＝AE＝EC． ∴ △ABC 的周长＝AB＋BC＋AC＝AE＋BD＋DC＋AC＝EC＋BD＋DC＋AC． ∵ BD＝DE，且 DC＝DE＋EC（E 在 D、C 之间）， ∴ BD＋EC＝DE＋EC＝DC＝5． ∴ 周长＝(BD＋EC)＋DC＋AC＝5＋5＋7＝17（cm）． 【易错卡点】第（2）问去单独求 BD 的长度，会得到很不整齐的数；应观察 BD＋EC＝DC，用整体代换． 10．【答案】（1）27°；（2）26 【解析】（1）∵ DE 垂直平分 AC，∴ DA＝DC，∴ ∠DCA＝∠A＝42°． ∵ AB＝AC，∴ ∠ACB＝＝69°． ∴ ∠DCB＝∠ACB－∠DCA＝69°－42°＝27°． （2）∵ DE 垂直平分 AC，AE＝5，∴ AC＝2AE＝10，∴ AB＝AC＝10． ∵ DA＝DC，∴ △DCB 的周长＝DC＋DB＋BC＝DA＋DB＋BC＝AB＋BC＝16． ∴ BC＝16－AB＝16－10＝6． ∴ △ABC 的周长＝AB＋AC＋BC＝10＋10＋6＝26． 【易错卡点】把 ∠DCB 当成 ∠ACB 直接答 69°；∠DCB 是 ∠ACB 与 ∠DCA 的差． 11．【答案】（1）115°；（2）证明见解析 【解析】（1）∵ △ABD 是等腰直角三角形，且 ∠BAD＝90°， ∴ AB＝AD，∠DBA＝45°． ∵ AB＝AC，∠BAC＝40°，∴ ∠ABC＝＝70°． ∴ ∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝45°＋70°＝115°． （2）证明：∵ △ABD 和 △ACE 都是等腰直角三角形，∠BAD＝∠CAE＝90°， ∴ AB＝AD，AC＝AE． 又 AB＝AC，∴ AD＝AE． 在 △ABD 和 △ACE 中， ∵ AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE， ∴ △ABD≌△ACE（SAS）． ∴ BD＝CE． 【易错卡点】把 ∠DBC 误算成 ∠DBA－∠ABC；须先判断 D、A、C 与 B 的相对位置，本题是两角相加． 12．【答案】（1）8 cm、8 cm、12 cm；（2）9 cm、9 cm 或 10 cm、8 cm 【解析】（1）设腰长为 a cm，则底边长为 1.5a cm． 由周长得 a＋a＋1.5a＝28，解得 a＝8，∴ 1.5a＝12． 检验：8＋8＞12，能构成三角形． ∴ 三边长分别为 8 cm、8 cm、12 cm． （2）「一边长为 10 cm」未说明它是否为腰，需分类讨论． ① 若 10 cm 为底边长，则腰长为 (28－10)÷2＝9（cm），三边为 10、9、9． 检验：9＋9＞10，能构成三角形． ② 若 10 cm 为腰长，则另一腰长也为 10 cm，底边长为 28－10×2＝8（cm），三边为 10、10、8． 检验：8＋10＞10，能构成三角形． ∴ 另两边长为 9 cm、9 cm 或 10 cm、8 cm． 【易错卡点】第（1）问设「腰长＝1.5×底边」，把 1.5 倍关系设反；题中说的是「底边长是腰长的 1.5 倍」． 13．【答案】（1）证明见解析；（2）19° 【解析】（1）证明：∵ ∠A＝∠ABE，∴ EA＝EB（等角对等边）． 又 AD＝DB，∴ ED 是等腰 △EAB 底边 AB 上的中线， ∴ ED 也平分顶角 ∠AEB，即 ED 平分 ∠AEB． （2）∵ AB＝AC，∠A＝38°， ∴ ∠ABC＝∠ACB＝＝71°． 由（1）知 EA＝EB，AD＝DB， ∴ ED⊥AB，即 ∠BDF＝90°． 在 Rt△BDF 中，∠F＝90°－∠DBF＝90°－∠ABC＝90°－71°＝19°． 【易错卡点】第（1）问去证 △ADE≌△BDE 时，误把 ∠A＝∠ABE 当作全等条件；应先用「等角对等边」得 EA＝EB，再用三线合一． 14．【答案】（1）∠BDC＝50°，∠ABE＝20°；（2）∠BEC＋∠BDC＝110° 【解析】（1）∵ BD＝BC，∴ ∠BCD＝∠BDC． ∵ ∠ABC＝80°，∴ ∠BDC＝＝50°． ∵ ∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°，∠A＝40°， ∴ ∠ACB＝180°－40°－80°＝60°． ∵ CE＝BC，∴ △BCE 是等边三角形，∴ ∠EBC＝60°． ∴ ∠ABE＝∠ABC－∠EBC＝80°－60°＝20°． （2）∠BEC＋∠BDC＝110°． 理由：设 ∠BEC＝α，∠BDC＝β． ∵ CE＝BC，∴ ∠CBE＝∠BEC＝α． 在 △ABE 中，由外角得 α＝∠A＋∠ABE＝40°＋∠ABE． ∴ ∠ABC＝∠ABE＋∠CBE＝∠ABE＋(40°＋∠ABE)＝40°＋2∠ABE． ∵ BD＝BC，∴ ∠BCD＝∠BDC＝β． 在 △BDC 中，(40°＋2∠ABE)＋2β＝180°， ∴ β＝70°－∠ABE． ∴ α＋β＝(40°＋∠ABE)＋(70°－∠ABE)＝110°，即 ∠BEC＋∠BDC＝110°． 【易错卡点】第（2）问看到 α、β 两个未知量就放弃；关键是先把 ∠ABC 用 ∠ABE 表示，再代入两个三角形的内角和消元． 15．【答案】证明见解析 【解析】（1）证明：在 △ABD 和 △CBE 中， ∵ ∠BAD＝∠BCE，∠B＝∠B，BD＝BE， ∴ △ABD≌△CBE（AAS）． ∴ BA＝BC． （2）证明：∵ BA＝BC，∴ ∠BAC＝∠BCA． ∵ ∠BAD＝∠BCE， ∴ ∠BAC－∠BAD＝∠BCA－∠BCE， 即 ∠FAC＝∠FCA． ∴ FA＝FC，即 △AFC 为等腰三角形． 【易错卡点】第（2）问再去证全等；已知 BA＝BC 后，用「等边对等角」作角差一步得 ∠FAC＝∠FCA． 16．【答案】（1）证明见解析；（2）直线 OA 垂直平分线段 BC 【解析】（1）∵ AB＝AC，∴ ∠ABC＝∠ACB． ∵ BD 平分 ∠ABC，CE 平分 ∠ACB， ∴ ∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB， ∴ ∠OBC＝∠OCB． ∴ OB＝OC，即 △OBC 是等腰三角形． （2）直线 OA 垂直平分线段 BC． 理由：在 △AOB 和 △AOC 中， ∵ AB＝AC，OB＝OC，OA＝OA， ∴ △AOB≌△AOC（SSS）， ∴ ∠BAO＝∠CAO，即 OA 平分 ∠BAC． 又 AB＝AC，∴ OA 垂直平分 BC（等腰三角形顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合）． 另解：∵ OB＝OC，AB＝AC，∴ 点 A、O 都在线段 BC 的垂直平分线上， ∴ 直线 OA 垂直平分线段 BC． 【易错卡点】第（2）问只答「OA⊥BC」或只答「OA 平分 BC」，漏掉另一半；「垂直平分」必须同时说明垂直与平分． 17．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【解析】（1）证明：∵ AC⊥BC，BD⊥AD， ∴ ∠ACB＝∠BDA＝90°，即 △ABC 与 △BAD 都是直角三角形． 在 Rt△ABC 和 Rt△BAD 中， ∵ AB＝BA（公共斜边），AC＝BD， ∴ Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）． ∴ BC＝AD． （2）证明：由（1）知 Rt△ABC≌Rt△BAD， ∴ ∠ABC＝∠BAD（全等三角形的对应角相等）， 即 ∠OBA＝∠OAB． ∴ OA＝OB（等角对等边）． ∴ △OAB 是等腰三角形． 【易错卡点】第（1）问用「边边角」或只说明「都是直角三角形」就下结论；两个直角三角形全等必须凑齐「斜边＋一条直角边」（HL），其中 AB 是公共斜边（AB＝BA，不是 AB＝AB），写对应关系时不能错位．第（2）问去证 △OAB 与某个三角形全等、或反复用勾股定理算长度；由（1）的全等直接得∠OBA＝∠OAB，一步「等角对等边」即可． 18．【答案】证明见解析 【解析】过点 D 作 DG∥AC 交 BC 于点 G． ∵ DG∥AC，∴ ∠GDF＝∠E，∠DGB＝∠ACB． 在 △GDF 和 △CEF 中， ∵ ∠GDF＝∠E，DF＝EF，∠DFG＝∠EFC（对顶角相等）， ∴ △GDF≌△CEF（ASA）． ∴ GD＝CE． ∵ BD＝CE，∴ BD＝GD． ∴ ∠B＝∠DGB． ∵ ∠DGB＝∠ACB，∴ ∠B＝∠ACB． ∴ AB＝AC，即 △ABC 是等腰三角形． 【易错卡点】直接去证 △BDF≌△CEF，边 DF＝EF 与 BD＝CE 不是对应关系，证不下去；须作平行线把 BD、CE 转化到同一三角形中． 19．【答案】（1）56°；（2）y＝45＋；（3）36° 或 ()° 【解析】（1）∵ AB＝AC，∠A＝44°， ∴ ∠ABC＝∠C＝＝68°． ∵ BE 平分 ∠ABC，∴ ∠ABE＝∠CBE＝34°． ∵ CD⊥AB，∴ ∠BDC＝90°． 在 △BDP 中，∠BPD＝180°－90°－34°＝56°． （2）∵ ∠A＝x°，∴ ∠ABC＝°＝(90－)°． ∴ ∠ABP＝∠ABC＝(45－)°． ∵ CD⊥AB，∴ ∠BDP＝90°． ∴ ∠BPD＝90°－∠ABP＝90°－(45－)°＝(45＋)°． ∵ ∠BPD 与 ∠EPC 是对顶角，∴ y＝∠EPC＝∠BPD＝45＋． ∴ y 与 x 的关系式为 y＝45＋． （3）∵ CD⊥AB，∴ 在 Rt△ACD 中，∠ACD＝90°－∠A＝(90－x)°． ∵ E 在 AC 上，P 在 CD 上，∴ ∠PCE＝∠ACD＝(90－x)°． 在 △EPC 中， ∠PEC＝180°－∠EPC－∠PCE＝180°－(45＋)－(90－x)＝(45＋)°． 分三种情况讨论： ① 若 EP＝EC，则 ∠EPC＝∠PCE：45＋＝90－x，解得 x＝36； ② 若 PC＝PE，则 ∠PCE＝∠PEC：90－x＝45＋，解得 x＝； ③ 若 CP＝CE，则 ∠CPE＝∠CEP：45＋＝45＋，解得 x＝0， 与 ∠A＞0 矛盾，舍去． 经检验，x＝36 与 x＝ 都满足 ∠A＜90°． 综上所述，当 △EPC 是等腰三角形时，∠A 的度数为 36° 或 ()°． 【易错卡点】第（3）问只分「腰＝腰」一种情况；等腰三角形未指明哪两边相等时必须分三种情况讨论，且要检验结果是否满足 ∠A＜90°． 20．【答案】（1）证明见解析；（2）DE＝DF 【解析】（1）∵ EF∥BC，∴ ∠AEF＝∠B，∠AFE＝∠C． ∵ AB＝AC，∴ ∠B＝∠C，∴ ∠AEF＝∠AFE． ∴ AE＝AF，即 △AEF 是等腰三角形． （2）DE＝DF． 理由：∵ AB＝AC，AD⊥BC，∴ AD 平分 ∠BAC． 又 △AEF 是等腰三角形，AE＝AF， ∴ AD⊥EF，且 AD 平分 EF（三线合一）， 即 AD 是线段 EF 的垂直平分线． ∵ 点 D 在直线 AD 上，∴ DE＝DF（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）． 【易错卡点】第（2）问用「面积法」或「全等」硬算；识别 AD 是 EF 的垂直平分线，直接由性质得 DE＝DF． 21．【答案】（1）证明见解析；（2）32 【解析】（1）证明：∵ AE∥BC， ∴ ∠B＝∠DAE，∠C＝∠CAE（两直线平行，同位角、内错角相等）． ∵ AE 平分 ∠DAC，∴ ∠DAE＝∠CAE． ∴ ∠B＝∠C． ∴ AB＝AC，即 △ABC 是等腰三角形． （2）∵ F 是 AC 的中点，∴ AF＝CF． ∵ AE∥BC，∴ ∠C＝∠CAE，∠AFE＝∠GFC（对顶角相等）． 在 △AFE 和 △CFG 中， ∵ ∠CAE＝∠C，AF＝CF，∠AFE＝∠GFC， ∴ △AFE≌△CFG（ASA）． ∴ AE＝GC＝8． ∵ GC＝2BG，∴ BG＝4，∴ BC＝BG＋GC＝4＋8＝12． 由（1）得 AC＝AB＝10． ∴ △ABC 的周长＝AB＋AC＋BC＝10＋10＋12＝32． 【易错卡点】第（2）问忘记由（1）的结论取 AC＝AB＝10；另「GC＝2BG」中 BG 与 GC 的大小关系容易看反． 22．【答案】（1）证明见解析；（2）36° 【解析】（1）证明：∵ BE 平分 ∠DEC，∴ ∠DEB＝∠BEC． ∵ DE∥BC，∴ ∠DEB＝∠EBC（两直线平行，内错角相等）． ∴ ∠BEC＝∠EBC． ∴ BC＝CE（等角对等边）． （2）∵ BC＝CE，CE＝AB，∴ BC＝AB． ∴ ∠A＝∠C． 设 ∠A＝∠C＝x． ∵ EA＝EB，∴ ∠ABE＝∠A＝x． ∵ ∠BEC 是 △ABE 的外角，∴ ∠BEC＝∠A＋∠ABE＝2x． 由（1）∠EBC＝∠BEC＝2x． 在 △EBC 中，∠BEC＋∠EBC＋∠C＝180°， ∴ 2x＋2x＋x＝180°，解得 x＝36°． ∴ ∠C＝36°． 【易错卡点】第（2）问漏用第（1）问的结论 ∠EBC＝∠BEC；另外 EA＝EB 给出的 ∠ABE＝∠A 极易被忽略，导致方程列不出来． 23．【答案】①②③ 正确，④ 错误 【解析】① 正确． ∵ AB＝AC，∴ ∠B＝∠C＝40°． ∵ ∠BAD＝180°－∠B－∠ADB＝140°－∠ADB， ∠CDE＝180°－∠ADE－∠ADB＝140°－∠ADB， ∴ ∠CDE＝∠BAD． ② 正确． ∵ AB＝AC，D 为 BC 中点，∴ AD⊥BC，∴ ∠ADC＝90°． ∵ ∠ADE＝40°，∴ ∠CDE＝∠ADC－∠ADE＝50°． 在 △CDE 中，∠DEC＝180°－∠C－∠CDE＝180°－40°－50°＝90°． ∴ DE⊥AC． ③ 正确． ∵ ∠BAD＝30°，由①得 ∠CDE＝30°， ∴ ∠ADC＝∠ADE＋∠CDE＝40°＋30°＝70°． 在 △ADC 中，∠DAC＝180°－∠C－∠ADC＝180°－40°－70°＝70°， ∴ ∠DAC＝∠ADC，∴ CD＝AC． ∵ AB＝AC，∴ CD＝AB． 在 △ABD 和 △DCE 中， ∵ ∠B＝∠C＝40°，AB＝CD，∠BAD＝∠CDE＝30°， ∴ △ABD≌△DCE（ASA）． ∴ BD＝CE． ④ 错误． ∵ ∠AED 是 △CDE 的外角，∴ ∠AED＝∠C＋∠CDE＞40°． 又 ∠ADE＝40°，∴ ∠AED≠∠ADE，即 AE≠AD． ∴ △ADE 为等腰三角形时只有两种可能： · 若 AE＝DE，则 ∠DAE＝∠ADE＝40°，此时 ∠BAD＝∠BAC－∠DAE＝100°－40°＝60°； · 若 AD＝DE，则 ∠DAE＝∠AED＝＝70°，此时 ∠BAD＝100°－70°＝30°． ∴ ∠BAD 的取值是 60° 或 30°，并不唯一，故 ④ 不正确． 【易错卡点】④ 最容易只看「AE＝DE」一种情况就判对；等腰三角形必须把三种可能都列出，且要先用外角排除 AE＝AD． 24．【答案】8 个 【解析】∵ OA＝＝5． 按「哪两条边相等」分三种情况讨论： ① 以点 O 为圆心、OA 长为半径画圆，该圆与 x 轴、y 轴共有 4 个交点， 这 4 个交点分别与 O、A 构成 4 个以 OA 为腰的等腰三角形； ② 以点 A 为圆心、OA 长为半径画圆，该圆与 x 轴正半轴、y 轴正半轴共有 2 个交点， 这 2 个交点分别与 O、A 构成 2 个以 AO 为腰的等腰三角形； ③ 作线段 OA 的垂直平分线，它与 x 轴正半轴、y 轴正半轴共有 2 个交点， 这 2 个交点分别与 O、A 构成 2 个以 OA 为底的等腰三角形． ∴ 符合条件的点 B 共有 4＋2＋2＝8（个）． 【易错卡点】只画「以 O 为圆心」的一种圆，得 4 个就收工；必须把「OA 为腰」的两种和「OA 为底」的一种都考虑，且注意落在坐标轴上的交点是否重合． 25．【答案】②③④ 正确，① 错误 【解析】① 错误． AB 上取一点、AC 上取一点，如果这两点都是任意取的，它们到 D 的距离一般不相等； 只有当这两点关于直线 AD 对称时，到 D 的距离才相等．故 ① 不正确． ② 正确． ∵ AD 平分 ∠BAC，∴ AD 上任意一点到 AB、AC 两边的距离相等（角平分线的性质）． ③ 正确． ∵ AB＝AC，∴ ∠B＝∠C． ∵ DE⊥AB，DF⊥AC，∴ ∠BED＝∠CFD＝90°． ∴ ∠BDE＝90°－∠B，∠CDF＝90°－∠C． ∴ ∠BDE＝∠CDF． ④ 正确． ∵ AB＝AC，AD 平分 ∠BAC， ∴ AD 既是底边 BC 上的中线，又是底边 BC 上的高， ∴ BD＝CD，且 AD⊥BC（三线合一）． 【易错卡点】① 把「角平分线上的点到两边距离相等」误搬到「两边上各取一点到 D 的距离」，混淆了「点到直线的距离」与「两点间距离」． 26．【答案】（1）90°；（2）证明见解析 【解析】（1）∵ △ABC 是等边三角形，∴ AC＝BC，∠ACB＝∠B＝60°． ∵ D 是 AC 的中点，∴ CD＝AC． ∵ CE＝BC，∴ CD＝CE． ∴ ∠E＝∠CDE． ∵ ∠E＋∠CDE＝∠ACB＝60°，∴ ∠E＝∠CDE＝30°． 在 △BEF 中，∠EFB＝180°－∠B－∠E＝180°－60°－30°＝90°． （2）证明：连结 BD． ∵ △ABC 是等边三角形，D 是 AC 的中点， ∴ BD⊥AC，且 BD 平分 ∠ABC，∴ ∠ABD＝∠CBD＝30°． ∵ ∠E＝30°，∠DBE＝∠CBD＝30°，∴ ∠E＝∠DBE． ∴ BD＝DE． 由（1）∠EFB＝90°，∴ ∠DFB＝90°． 在 Rt△BDF 中，∠DBF＝30°，∴ DF＝BD． ∴ DF＝DE，即 DE＝2DF． 【易错卡点】第（2）问只想到证全等，找不到另一组边；应当先由「等角对等边」得 BD＝DE，再用含 30° 角的直角三角形性质处理 DF． 27．【答案】15° 或 45° 或 75° 【解析】① 当点 B 是顶角顶点（即 AB＝BC）时： ∵ BD⊥AC，∴ AD＝CD＝AC（等腰三角形底边上的高也是中线）． 又 BD＝AC，∴ BD＝AD． ∴ 在 Rt△ABD 中，∠A＝∠ABD＝＝45°． 此时底角为 45°． ② 当点 B 是底角顶点、且 BD 在 △ABC 外部时（此时 AC＝BC，∠C 为钝角）： ∵ AC＝BC，BD＝AC，∴ BD＝BC． 在 Rt△BDC 中，sin∠BCD＝＝，∴ ∠BCD＝30°． ∴ 顶角 ∠ACB＝180°－30°＝150°， ∴ 底角 ∠A＝∠ABC＝＝15°． ③ 当点 B 是底角顶点、且 BD 在 △ABC 内部时（此时 AC＝BC，∠C 为锐角）： 同②得 ∠BCD＝30°，即顶角 ∠C＝30°， ∴ 底角 ∠A＝∠ABC＝＝75°． 综上所述，这个等腰三角形底角的度数为 15°、45° 或 75°． 【易错卡点】常见只分「B 是顶角顶点」和「B 是底角顶点」两类，漏掉「BD 在三角形外部」这一情形，从而丢掉 15° 这个答案． 28．【答案】8 【解析】过点 A 作 AM⊥CD 于点 M，过点 B 作 BN⊥CE 于点 N． 则 ∠AMD＝∠AMC＝∠BNC＝90°． ∵ AC⊥BC，∴ ∠ACB＝90°， ∴ ∠ACM＋∠BCN＝90°． 又 ∠BCN＋∠CBN＝90°， ∴ ∠ACM＝∠CBN． 在 △ACM 和 △CBN 中， ∵ ∠AMC＝∠CNB＝90°，∠ACM＝∠CBN，AC＝CB， ∴ △ACM≌△CBN（AAS）． ∴ AM＝CN，CM＝BN． ∵ AD＝AC，AM⊥CD， ∴ DM＝CM＝CD＝3（等腰三角形底边上的高也是中线）． ∴ 在 Rt△ADM 中，AM＝＝＝4． ∴ CN＝AM＝4． ∵ BC＝BE，BN⊥CE， ∴ EN＝CN＝CE（等腰三角形底边上的高也是中线）． ∴ CE＝2CN＝8． 【易错卡点】不加辅助线直接硬算；关键是看出 △ACM 与 △CBN 的「一线三等角」全等，把 AM 的长度平移成 CN． 29．【答案】（1）证明见解析；（2）50°；（3）证明见解析 【解析】（1）证明：∵ AC＝AD，∴ ∠ACD＝∠ADC． ∵ ∠AED 是 △ABE 的外角，也是 △CDE 的外角，且 ∠BAC＝∠BDC＝α， ∴ ∠AED＝∠ABD＋α＝∠ACD＋α． ∴ ∠ABD＝∠ACD． 又 ∠ACD＝∠ADC，∴ ∠ABD＝∠ADC． （2）∵ AC＝AD，∠CAD＝β， ∴ ∠ACD＝＝90°－． ∵ ∠AED 是 △CDE 的外角，且 ∠BDC＝α， ∴ ∠AED＝∠ACD＋α＝90°－＋α． ∵ ∠AED＝65°，∴ 90°－＋α＝65°． ∴ β－2α＝50°． （3）证明：延长 BA 到点 F，使 AF＝AC，连结 FD． ∵ ∠BAC＝α，∠CAD＝β，∴ ∠DAF＝180°－α－β． ∵ α＋2β＝180°，∴ ∠DAF＝(α＋2β)－α－β＝β． ∴ ∠DAF＝∠DAC． 在 △ADF 和 △ADC 中， ∵ AF＝AC，∠DAF＝∠DAC，AD＝AD， ∴ △ADF≌△ADC（SAS）． ∴ FD＝CD，∠F＝∠ACD． 由（1）得 ∠ABD＝∠ACD，∴ ∠F＝∠ABD． ∴ FD＝BD． ∴ BD＝CD． 【易错卡点】第（2）问在两个三角形中各自设未知量，越算越乱；关键是抓住 ∠AED 同时是两个三角形的外角，一步建立等式． 30．【答案】（1）4 根；（2）5 根 【解析】（1）由题意可知 P1P2＝P2P3＝P3P4＝P4P5＝…，即每焊上一根钢条就新产生一个等腰三角形． ∵ ∠A＝20°，AP1＝P1P2，∴ △AP1P2 是等腰三角形，∴ ∠AP2P1＝∠A＝20°． 由平角关系得 ∠P2P1P3＝40°；又 P1P2＝P2P3， ∴ △P1P2P3 的底角 ∠P2P1P3＝∠P1P3P2＝40°． 依此类推，每焊一根钢条，新得到的等腰三角形的底角依次为 20°、40°、60°、80°、100°、…（公差为 ∠A＝20°）． ∵ 等腰三角形的底角必须是锐角， ∴ 当算出的底角达到 100°（＞90°）时就无法再焊下一根． ∴ 满足 20°n＜90° 的最大正整数为 n＝4，即这样的钢条至多需要 4 根． （2）当 ∠A＝15° 时，同理每焊一根钢条，新等腰三角形的底角依次为 15°、30°、45°、60°、75°、90°、…（公差为 ∠A＝15°）． 当底角达到 90° 时，新等腰三角形的两条腰互相平行，钢条无法再触及另一边，故不能再焊． ∴ 满足 15°n＜90° 的最大正整数为 n＝5，即这样的钢条至多需要 5 根． 【易错卡点】把「等长钢条」当成了任意长度的钢条，于是可以一直焊下去；关键是每焊一根后新形成的等腰三角形底角必须是锐角，超过 90° 就焊不动了． 三、素养挑战题 31．【答案】（1）证明见解析；（2）∠AEB＝90°，且 AE＝BE＋2CM． 【解析】（1）∵ △ABC 和 △ADE 是顶角相等的等腰三角形， ∴ AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE． ∴ ∠BAC－∠CAD＝∠DAE－∠CAD，即 ∠BAD＝∠CAE． 在 △BAD 和 △CAE 中， ∵ AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE， ∴ △BAD≌△CAE（SAS），∴ BD＝CE． （2）∠AEB＝90°，且 AE＝BE＋2CM．理由如下： 同（1）的方法可证 △ACD≌△BCE， ∴ AD＝BE，∠ADC＝∠BEC． ∵ △DCE 是等腰直角三角形，∴ ∠CDE＝∠CED＝45°， ∴ ∠ADC＝180°－∠CDE＝180°－45°＝135°，∴ ∠BEC＝135°． ∴ ∠AEB＝∠BEC－∠CED＝135°－45°＝90°． ∵ CD＝CE，CM⊥DE，∴ DM＝ME． ∵ ∠DCE＝90°，∴ 在 Rt△DCE 中 DM＝ME＝CM，∴ DE＝2CM． ∴ AE＝AD＋DE＝BE＋2CM． 【易错卡点】① 第（2）问不去说明「△ACD≌△BCE」，直接凭图猜 ∠AEB＝90°，缺少全等这一关键环节；注意两次全等的对应关系不同：第（1）问是 △BAD≌△CAE，第（2）问是 △ACD≌△BCE． ② 把「∠ADC＝180°－∠CDE＝135°」写成 ∠ADC＝∠CDE＝45°，忘记 A、D、E 三点共线这一条件决定了 ∠ADC 与 ∠CDE 互补． ③ 得到 DE＝2CM 后，忘记 AE＝AD＋DE，把 AE 与 BE 的关系写成 AE＝BE＋CM． 32．【答案】（1）t＝12，两点在点 C 处重合；（2）存在，t＝12 或 t＝16． 【解析】（1）∵ M 从点 A、N 从点 B 同时出发沿同一方向（A→C→B→A）运动， ∴ 出发时 N 在 M 前方 12 cm 处（沿运动方向）， ∴ 当 N 比 M 多走 12 cm 时两点重合，即 2t＝t＋12，解得 t＝12． 此时 M 走了 12 cm，恰好从 A 沿边到点 C，所以两点在点 C 处重合． （2）存在． 由（1）知 t＝12 s 时 M、N 都在点 C 处，此时 AM＝AN＝AC，满足条件； 当 12＜t≤18 s 时，M、N 都在 BC 上，CM＝t－12，BN＝36－2t （N 沿 B→C→A→B 回到 B 共走 36 cm，且第一次回到 B 用 18 s 即停止）． 若 AM＝AN，则 △AMN 是等腰三角形，∴ ∠AMN＝∠ANM，∴ ∠AMC＝∠ANB． ∵ △ABC 是等边三角形，∴ ∠C＝∠B＝60°，又 AC＝AB， ∴ △ACM≌△ABN（AAS），∴ CM＝BN． ∴ t－12＝36－2t，解得 t＝16． 检验：t＝16＜18，且此时 CM＝BN＝4＞0，点 M、N 都在 BC 边上，成立． ∴ 当运动时间为 12 s 或 16 s 时，AM＝AN． 【易错卡点】① 第（1）问把「追及」的方向搞反，写成 2t＝t－12 或 2t＋t＝12，关键是要先看清沿 A→C→B→A 的顺时针方向出发时 N 在 M 的前方 12 cm 处． ② 第（2）问漏掉 t＝12 s（两点重合于 C 时 AM＝AN＝AC 也满足），只写出 t＝16 s；或者只凭 CM＝BN 列式而不写 △ACM≌△ABN 的说理． ③ 忘记 N 在 t＝18 s 时就已经回到 B 停止运动，把解出的 t 值拿到 18 s 之外去「检验」． 33．【答案】（1）4 个；（2）2 个；【想一想】5 条；【算一算】∠B 的度数为 5°、20°、42.5°、80° 或 140°． 【解析】（1）分三类讨论（记另一个顶点为 P，P 在直线 l 上）： ① 以 O 为顶角顶点：以 O 为圆心、OA 长为半径画弧交直线 l 于 P1、P2 两点，得 △OAP1、△OAP2，共 2 个； ② 以 A 为顶角顶点：以 A 为圆心、AO 长为半径画弧交直线 l 于 O 和另一点 P3，得 △AOP3，共 1 个； ③ 以 P 为顶角顶点：作 OA 的垂直平分线交直线 l 于 P4（此时 PA＝PO），得 △AOP4，共 1 个． ∴ 一共能画 2＋1＋1＝4 个． （2）仍然分以上三类，但当 OA 与直线 l 的锐角为 60°，且 OA＝OP1 时 △AOP1 恰为等边三角形： ① 中交得的两点中，P1 使 △AOP1 为等边三角形； ② 中以 A 为圆心、AO 为半径画弧，除 O 外所得交点恰好也是 P1； ③ 中 OA 的垂直平分线交直线 l 的交点也恰好是 P1． 即 ②③ 两类作图得到的点与 ① 中一点重合，只剩下 ① 中的另一个点 P2． ∴ 只能画 2 个． 【想一想】设过顶点 C 的直线 CD 交 AB 于点 D，记 ∠ACD＝x． ∵ ∠A＝20°，∠B＝50°，∴ ∠ACB＝110°，∠BCD＝110°－x， △ACD 的内角为 20°、x、160°－x；△BCD 的内角为 50°、110°－x、20°＋x． 若 △ACD 是等腰三角形，则： ① ∠A＝∠ACD：x＝20°； ② ∠A＝∠ADC：20°＝160°－x，x＝140°，但 x＞∠ACB＝110°，直线落在三角形外，舍去； ③ ∠ACD＝∠ADC：x＝160°－x，x＝80°． 若 △BCD 是等腰三角形，则： ④ ∠B＝∠BCD：50°＝110°－x，x＝60°； ⑤ ∠B＝∠BDC：50°＝20°＋x，x＝30°； ⑥ ∠BCD＝∠BDC：110°－x＝20°＋x，x＝45°． 不同取值为 20°、80°、60°、30°、45°，共 5 个，对应 5 条不同的直线． 【算一算】设直线 CD 交 AB 于点 D，记 ∠ACD＝x． ∵ ∠BAC＝10°，∴ △ACD 的内角为 10°、x、170°－x； 记 ∠B＝β，则 ∠ACB＝170°－β，△BCD 的内角为 β、170°－β－x、10°＋x． 两个三角形都要是等腰三角形，逐一搭配讨论（注意 x＞0、x＜∠ACB）： ① 10°＝x（x＝10°）与 ∠B＝∠BCD 搭配：β＝170°－β－10°，β＝80°； ② 10°＝x（x＝10°）与 ∠B＝∠BDC 搭配：β＝10°＋10°，β＝20°； ③ 10°＝x（x＝10°）与 ∠BCD＝∠BDC 搭配：170°－β－10°＝20°，β＝140°； ④ 10°＝170°－x（x＝160°）与 ∠B＝∠BCD 搭配：β＝170°－β－160°，β＝5°； ⑤ x＝170°－x（x＝85°）与 ∠B＝∠BCD 搭配：β＝170°－β－85°，β＝42.5°． 其余搭配或得 β≤0，或所得 x≥∠ACB 使 D 落在 AB 之外，均舍去． ∴ ∠B 的度数为 5°、20°、42.5°、80° 或 140°． 【易错卡点】① 画图时只想到「以 O 为圆心、OA 为半径画弧」一种作法（得 2 个）就作答，漏掉以 A、以 P 为顶角顶点的两类作图． ② 60° 的情形照搬 50° 的「4 个」，没有发现三种作图给出的点重合在一起（△AOP1 恰为等边三角形），实际只有 2 个． ③【想一想】只讨论 △ACD 或只讨论 △BCD 一侧，漏解；还要检验 x＜∠ACB，把直线落到三角形外的 x＝140° 舍去． ④【算一算】分类搭配不完整，尤其容易漏掉 42.5° 与 140° 这两组非整数解． 34．【答案】（1）（2）证明见解析． 【解析】（1）∵ △ABC 和 △ADE 互为「兄弟三角形」， ∴ ∠BAC＝∠DAE，AB＝AC，AD＝AE， ∴ ∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，即 ∠CAE＝∠BAD， ∴ △BAD≌△CAE（SAS），∴ BD＝CE． （2）过点 A 作 AG⊥BM 于点 G，AH⊥EM 于点 H． ∵ △ABC 和 △ADE 互为「兄弟三角形」， ∴ ∠BAC＝∠DAE，AB＝AC，AD＝AE， ∴ ∠BAC＋∠DAC＝∠DAE＋∠DAC，即 ∠CAE＝∠BAD， ∴ △BAD≌△CAE（SAS），∴ ∠ABG＝∠ACH． ∵ AG⊥BM，AH⊥EM，∴ ∠AGB＝∠AHC＝90°． 在 △ABG 和 △ACH 中， ∵ ∠AGB＝∠AHC，∠ABG＝∠ACH，AB＝AC， ∴ △ABG≌△ACH（AAS），∴ AG＝AH． ∵ AG⊥BM，AH⊥EM，且 AG、AH 分别是点 A 到 ∠BME 两边的距离， ∴ 点 A 在 ∠BME 的平分线上，即 AM 平分 ∠BME． 【易错卡点】① 第（2）问只证到「△BAD≌△CAE」就停手，忘了还要再作两条垂线、用「到角两边距离相等的点在角平分线上」收尾；只看全等是证不出角平分线的． ② 作垂线时把垂足作在 BM 与 EM 的延长线上却不加说明，导致「点到角两边的距离」这一判定依据说不通；应指明 D、E 均在 △ABC 外时垂足落在线段上． ③ 两问的角相等结论写混：第（1）问中间量是 ∠CAE＝∠BAD，第（2）问因为 D、E 在 △ABC 外，同样是 ∠CAE＝∠BAD，但符号推导过程（减 ∠DAC 还是加 ∠DAC）不同，不要互相照抄． 35．【答案】（1）PQ＝2 cm；（2）t＝ 秒；（3）t＝5.5 秒或 6 秒或 6.6 秒． 【解析】∵ ∠B＝90°，AB＝8 cm，BC＝6 cm， ∴ AC＝＝＝10（cm）． （1）t＝2 时，AP＝2，∴ PB＝8－2＝6；BQ＝2×2＝4． ∵ ∠PBQ＝90°，∴ PQ＝＝＝＝2（cm）． （2）点 Q 在 BC 上时，PB＝8－t，BQ＝2t，且 ∠PBQ＝90°． ∵ 直角三角形中斜边最长，∴ △PQB 为等腰三角形只能有 PB＝BQ， ∴ 8－t＝2t，解得 t＝． 检验：t＝＜3，此时点 Q 确在 BC 上，且 PB＞0，成立． （3）点 Q 在 CA 上时，CQ＝2t－6，由 0＜CQ≤10 得 3＜t≤8． 过点 B 作 BH⊥AC，垂足为 H． 由面积法得 AB·BC＝AC·BH，∴ BH＝＝4.8（cm）． 在 Rt△BCH 中，CH＝＝＝3.6（cm）． 设 CQ＝m（3.6＜m≤10），则 HQ＝m－3.6，且在 Rt△BHQ 中 BQ2＝BH2＋HQ2． ① 若 BC＝CQ，则 m＝6，2t－6＝6，t＝6； ② 若 BC＝BQ，则 BQ＝6，∴ 4.82＋(m－3.6)2＝36，(m－3.6)2＝12.96， m－3.6＝3.6，m＝7.2，2t－6＝7.2，t＝6.6； ③ 若 BQ＝CQ，则 m2＝4.82＋(m－3.6)2， m2＝23.04＋m2－7.2m＋12.96，7.2m＝36，m＝5，2t－6＝5，t＝5.5． ∴ 当点 Q 在 CA 上运动时，能使 △BCQ 成为等腰三角形的运动时间为 5.5 秒、6 秒或 6.6 秒． 【易错卡点】① 第（2）问在直角三角形中去讨论三条边两两相等——斜边最长，等边只可能出现在两条直角边上，多算反而添错． ② 第（3）问误以为 Q 在 CA 上时 ∠BCQ 仍是直角，直接套勾股定理；此时 ∠BCQ＝∠C≠90°，必须过 B 作 AC 的垂线把 △BCQ 拆成两个直角三角形． ③ 解出 m 后忘记检验 Q 的位置范围（3＜t≤8），把使 Q 落在 CA 之外的值保留下来；若 BC＝BQ，另一解 m－3.6＝－3.6（即 m＝0，Q 与 C 重合）也应舍去． 36．【答案】5＋5． 【解析】∵ 将 △BCD 绕点 B 逆时针旋转 90° 得到 △BAE， ∴ AE＝CD，BE＝BD，∠DBE＝90°， ∴ △DBE 是等腰直角三角形，∴ DE＝BD． ∴ △AED 的周长＝AD＋AE＋DE＝AD＋CD＋BD＝AC＋BD． ∵ AC 的长为定值，∴ 当 BD 取最小值时，△AED 的周长最小． ∵ △ABC 是等腰直角三角形，BC＝5，∠ABC＝90°， ∴ AB＝BC＝5，AC＝＝5． 由「垂线段最短」知，当 BD⊥AC 时 BD 最小， 此时 BD＝AC＝，DE＝BD＝5． ∴ △AED 周长的最小值＝AC＋DE＝5＋5． 【易错卡点】① 没有把 △AED 的周长转化为「AC＋√2BD」，而是一个劲地分别去求 AD、AE、DE 的最小值，找不到突破口；关键是用旋转把 AE 换成 CD，让 AD＋AE＝AC 成为定值． ② 判断「BD 最小」时凭图觉得 D 靠近 A 或 C 时最小，没有说出依据（点到直线上各点的连线中垂线段最短）． ③ 旋转方向是逆时针 90°，若误按顺时针作图，会把 ∠DBE 写成 ∠ABC 的补角，DE＝√2BD 这一步就不成立． 37．【答案】① 是；② CD＝；【深入探究】AD＝CB（证明见解析）；【推广应用】DE＝2a． 【解析】① 是． 设等腰直角三角形 ABC 中 AB＝AC，∠A＝90°，则 BC＝AB． 取 C 为勾股顶点，此时另两边为 CA、CB，CB2－CA2＝2AB2－AB2＝AB2； 而第三边 AB 上的高恰为 AC＝AB，其平方为 AB2，两者相等， 所以等腰直角三角形是勾股高三角形． ② ∵ CD⊥AB，∴ CA2＝AD2＋CD2，CB2＝BD2＋CD2． ∵ BD＝2AD＝2，∴ AD＝1，BD＝2，∴ CB＞CA． 由 C 为勾股顶点且 CB＞CA 得 CB2－CA2＝CD2， ∴ (BD2＋CD2)－(AD2＋CD2)＝CD2，即 BD2－AD2＝CD2． ∴ CD2＝4－1＝3，∴ CD＝． 【深入探究】AD＝CB．证明如下： ∵ C 为勾股顶点且 CA＞CB，CD 是 AB 边上的高， ∴ CA2－CB2＝CD2． ∵ CD⊥AB，∴ CA2＝AD2＋CD2， ∴ (AD2＋CD2)－CB2＝CD2，∴ AD2＝CB2． ∵ AD＞0，CB＞0，∴ AD＝CB． 【推广应用】DE＝2a．证明如下： ∵ 等腰 △ABC 中 AB＝AC＞BC，CD⊥AB， ∴ 勾股顶点为 C，且 CA2－CB2＝CD2． 由【深入探究】的结论得 AD＝CB（即 AD＝BC）． ∵ DE∥BC，∴ △ADE∽△ABC， ∴ ＝＝． ∵ AB＝AC，∴ AE＝AD＝BC． ∴ CE＝AC－AE＝AC－BC＝a． 取 BC 的中点 M，连接 AM，则 AM⊥BC，BM＝BC． 在 Rt△ABM 中，cos B＝＝； 在 Rt△CDB 中，cos B＝，∴ BD＝． ∴ AD＝AB－BD＝AB－． ∵ AD＝BC，∴ AB－＝BC，∴ 2AB2－BC2＝2AB·BC， ∴ 2AB(AB－BC)＝BC2，即 BC2＝2a·AB． ∵ ＝＝，∴ DE＝＝＝2a． 【易错卡点】① 判断等腰直角三角形是否属于勾股高三角形时，误把直角顶点 A 当作勾股顶点——A 处两条边相等，平方差为 0，必然不成立；勾股顶点应取 C（或 B），此时两腰与斜边的平方差恰好等于第三边 AB 上的高（即一条腰）的平方． ② 求 CD 时把 CA2－CB2＝CD2 与 CB2－CA2＝CD2 写反，得到 CD2＝AD2－BD2＝－3 这样的负数；应先比较 AD 与 BD 的大小确定谁大，再定符号． ③【推广应用】中没有先用【深入探究】的 AD＝BC，导致 AD 与 CE 的关系断链，无法把 BC2 与 a·AB 联系起来． 【拓展提示】【推广应用】中求 DE 的关键一步是「DE∥BC ⇒ △ADE∽△ABC」，用到后续才系统学习的「平行线分线段成比例」。现阶段可这样理解并直接使用：△ADE 与 △ABC 都是等腰三角形且顶角同为 ∠A，两腰对应成比例，故对应边成比例 DE/BC＝AD/AB＝AE/AC。若尚未接触该结论，本题可暂作拓展题选做。 38．【答案】（1）证明见解析；（2）PB＝PA＋PC；（3）PA＋PB＝PC． 【解析】（1）∵ △ABC 是等边三角形，∴ AB＝AC， ∵ 点 P 与点 A 重合，∴ PB＝AB，PC＝AC，PA＝0， ∴ PA＋PB＝PC（或 PA＋PC＝PB）． （2）PB＝PA＋PC．证明如下： 在 BP 上截取 BF＝CP，连接 AF． ∵ △ABC 和 △ADE 都是等边三角形， ∴ AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°， ∴ ∠BAC＋∠CAD＝∠DAE＋∠CAD，即 ∠BAD＝∠CAE， ∴ △BAD≌△CAE（SAS），∴ ∠ABD＝∠ACE． ∵ AC＝AB，CP＝BF，∴ △CAP≌△BAF（SAS）， ∴ ∠CAP＝∠BAF，AF＝AP， ∴ ∠CAP＋∠CAF＝∠BAF＋∠CAF，即 ∠FAP＝∠BAC＝60°， ∴ △AFP 是等边三角形，∴ PF＝AP． ∴ PA＋PC＝PF＋BF＝PB． （3）PA＋PB＝PC．证明如下： 在 CP 上截取 CF＝BP，连接 AF． 同（2）可证 △BAD≌△CAE，∴ ∠ABD＝∠ACE． ∵ AB＝AC，BP＝CF，∴ △BAP≌△CAF（SAS）， ∴ ∠CAF＝∠BAP，AP＝AF， ∴ ∠BAF＋∠BAP＝∠BAF＋∠CAF，即 ∠FAP＝∠BAC＝60°， ∴ △AFP 是等边三角形，∴ PF＝AP． ∴ PA＋PB＝PF＋CF＝PC． 【易错卡点】① 只会对图①（点 P 与 A 重合）作说明，图②图③不知从何下手——这类「线段和」问题的固定套路是「截长补短」：在最长线段上截一段等于已知线段，再证剩下的部分与另一条相等． ② 截取后忘记证 △AFP 是等边三角形，于是 PF＝AP 拿不到，线段和关系就断链． ③ 两次全等的对应顶点写乱（如把 △CAP≌△BAF 写成 △CAP≌△ABF），导致角相等的结论与实际不符． 39．【答案】（1）证明见解析；（2）BE＝；问题 2：BC＝． 【解析】（1）∵ 等腰 △ABC 中，AB＝AC，∠A＞90°，△BDE 由 △ABE 翻折得到， ∴ ∠ABC＝∠C，∠BDE＝∠A＝180°－2∠C． ∵ ∠EDC＋∠BDE＝180°， ∴ ∠EDC＝180°－(180°－2∠C)＝2∠C，即 ∠EDC＝2∠ACB． （2）连接 AD，交 BE 于点 F． ∵ 折叠，∴ EA＝ED，AF＝FD，AD⊥BE，AE＝AC＝2． ∵ E 是 AC 的中点，∴ EA＝EC， ∴ EF 是 △ADC 的中位线，∴ EF＝CD＝． 在 Rt△AEF 中，AF＝＝＝． 在 Rt△ABF 中，BF＝＝＝． ∴ BE＝BF＋EF＝＋＝． 问题 2：连接 AD，过点 B 作 BM⊥AD 于点 M，过点 C 作 CG⊥BM 于点 G． ∵ AB＝BD＝4，∴ AM＝MD，∠ABM＝∠DBM＝∠ABD． ∵ 2∠BDC＝∠ABD，∴ ∠BDC＝∠ABD＝∠DBM，∴ BM∥CD． 又 BM⊥AD，∴ CD⊥AD． 在 Rt△ACD 中，AD＝＝＝， ∴ AM＝MD＝． 在 Rt△BDM 中，BM＝＝＝． ∵ CG⊥BM，CD⊥AD，BM⊥AD，∴ 四边形 CGMD 是矩形， ∴ CG＝MD＝，GM＝CD＝1． ∴ BG＝BM－GM＝－1＝． 在 Rt△BCG 中，BC＝＝＝． 【易错卡点】① 第（1）问不去用「翻折前后对应角相等」得 ∠BDE＝∠A，而是盯着 ∠EDC 与 ∠ACB 硬凑，缺少把 ∠A 换成 180°－2∠C 这一步． ② 第（2）问没看出 EF 是 △ADC 的中位线，于是找不到求 AF 的第二个条件；另外注意 EA＝ED＝EC＝2 只给出「E 是 AC 中点」与折叠的直接推论，不要与 AB 混淆． ③ 问题 2 中把 2∠BDC＝∠ABD 中的 ∠BDC 误写成 ∠ACD 或 ∠ADC；这一条件的作用是证出 ∠BDC＝∠DBM 从而 BM∥CD，进而得到 CD⊥AD，整条思路的入口一旦写错就完全走不通． 【拓展提示】本题第（2）问用到「三角形中位线」，问题 2 用到「矩形」的判定与性质，均属后续内容。中位线结论在此可用全等直接证明（八上范围）：延长 EF 至 G 使 FG＝EF，由 △AFE≌△DFG（SAS）得 AE＝DG 且 AE∥DG，又 AE＝EC，故 DG∥EC 且 DG＝EC，于是四边形 ECDG 是平行四边形，从而 EF∥CD 且 EF＝½CD。学有余力的同学可据此把本题完整纳入八上知识体系；若尚未学习，可暂作拓展题选做。 40．【答案】（1）CE∥AB，证明见解析；（2）∠BAC＝20°；（3）证明见解析． 【解析】（1）CE∥AB．证明如下： 由旋转的性质可得 ∠DCE＝∠ACB． ∵ AB＝AC，∴ ∠B＝∠ACB，∴ ∠B＝∠DCE，∴ CE∥AB． （2）设 ∠BAC＝x，则 ∠ADC＝2∠BAC＝2x． 由旋转的性质可得 AC＝DC，∴ ∠CAD＝∠ADC＝2x． ∵ 点 B、C、D 在同一条直线上，且 ∠ACB 是 △ACD 的外角， ∴ ∠ACB＝∠ADC＋∠CAD＝4x． ∵ AB＝AC，∴ ∠B＝∠ACB＝4x． 在 △ABC 中，∠BAC＋∠ABC＋∠ACB＝180°， ∴ x＋4x＋4x＝180°，解得 x＝20°，即 ∠BAC＝20°． （3）连接 CF、CG． 由旋转的性质可知 ∠BAC＝∠D，CB＝CE，CA＝CD． ∵ CA＝CD，∴ ∠CAD＝∠D，∴ ∠BAC＝∠CAD． 在 △AGC 和 △AFC 中， ∵ AG＝AF，∠GAC＝∠FAC，AC＝AC， ∴ △AGC≌△AFC（SAS），∴ CG＝CF，∠AGC＝∠AFC． ∵ CA＝CD，点 F 为线段 AD 的中点，∴ CF⊥AD，∴ ∠AFC＝90°， ∴ ∠AGC＝90°，∴ ∠BGC＝90°． 在 Rt△BGC 和 Rt△EFC 中， ∵ CB＝CE，CG＝CF，∴ Rt△BGC≌Rt△EFC（HL），∴ BG＝EF． ∴ AB＝AG＋BG＝AF＋BG＝AE＋EF＋BG＝AE＋2BG． 【易错卡点】① 第（1）问只写「由旋转得 ∠DCE＝∠ACB」就下结论 CE∥AB，漏掉用 AB＝AC 得 ∠B＝∠ACB 这一步——没有 ∠B＝∠DCE，同位角相等就用不上． ② 第（2）问没有用「∠ACB 是 △ACD 的外角」，把 ∠ACB 写成 180°－4x 之类，方程列不出来；关键是 D 落在直线 BC 上使得 ∠ACB＝∠ADC＋∠CAD＝4x． ③ 第（3）问看到 CG＝CF、CB＝CE 就急着说两个三角形全等，没有先由「CA＝CD 且 F 是 AD 中点」得出 CF⊥AD（三线合一），用不上 HL；另外错把结论写成 AB＝AE＋BG（漏掉系数 2），要意识到 AF＝AE＋EF 而 EF＝BG，所以 AF＋BG＝AE＋2BG． 学科网（北京）股份有限公司 $ 等腰三角形专项训练卷 2026-2027学年浙教版八年级上册数学（浙江专用） （满分 240 分，建议用时 120 分钟） 本卷共 40 道解答题，全卷不含选择题与填空题 班级：＿＿＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿＿＿　学号：＿＿＿＿＿＿　得分：＿＿＿＿＿＿ 卷首速览　等腰三角形核心知识点 + 常用几何模型 一、核心知识点 1．定义　有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角。 2．性质定理　① 等边对等角：等腰三角形的两个底角相等；② 三线合一：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合；③ 等腰三角形是轴对称图形，其对称轴是底边上的高（顶角平分线、底边中线）所在直线。 3．判定定理　① 等角对等边：有两个角相等的三角形是等腰三角形；② 定义法：有两条边相等的三角形是等腰三角形。 4．三边关系（分类依据）　三角形任意两边之和大于第三边。已知等腰三角形两边长时，必须分「已知边为腰」与「已知边为底」两类讨论，并逐一检验能否构成三角形。 5．等边三角形　三边都相等，三个内角都等于 60°。判定：三边相等的三角形、三个角都相等的三角形、有一个角是 60° 的等腰三角形，都是等边三角形。 6．关联结论　① 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；反之，到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。② 角平分线上的点到角两边的距离相等；反之，到角两边距离相等的点在角的平分线上。③ 等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。 二、常用几何模型（本卷高频） ◆ 三线合一：特征——等腰 △ABC（AB＝AC），作顶角平分线（或底边上的高、中线）AD；结论——由一条线得另外两条：AD⊥BC 且 BD＝DC；把等腰三角形分成两个全等的直角三角形。 ◆ 手拉手全等：特征——两个等腰三角形共顶点 A，且 ∠BAC＝∠DAE；结论——△BAD≌△CAE（SAS），BD＝CE；两条「拉手线」的夹角等于旋转角。 ◆ 一线三等角：特征——一条直线上有三个相等的角（常用特例：一线三垂直，α＝90°）；结论——∠ACB＝∠DBE，可判定两三角形相似；当 α＝90° 且另有一组对边相等时两三角形全等。 ◆ 折叠（翻折）：特征——沿某条直线翻折，对应点落在指定位置；结论——折痕是对应点连线的垂直平分线；折叠前后两图形全等，对应边、对应角都相等。 ◆ 倍长中线：特征——题中出现三角形一边上的中线；结论——延长中线至一倍，构造一对全等三角形（SAS），把分散的边集中到同一个三角形中。 ◆ 截长补短：特征——要证 a＝b＋c 型的线段和差关系；结论——在长线段上截取一段等于已知线段，或把短线段延长，再构造全等完成转化。 ◆ 8 字型（对顶角）：特征——两条线段相交，需要寻找角与角之间的关系；结论——对顶角相等；配合三角形外角定理「角搭桥」，是角度计算与证明的常用手段。 ◆ 垂线段最短：特征——求某条线段的最小值；结论——直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短（作高找到最小值位置）。 三、常用解题思路 1．见「角平分线 ＋ 平行线」→ 立即想等腰三角形：角平分线、平行线、等腰三角形三者「知二得三」。 2．见等腰三角形中出现高、中线、角平分线中的任意一条 → 想三线合一，把图形补成两个全等的直角三角形。 3．要证线段相等 → 优先找「等角对等边」；要证线段和差 → 用截长补短构造全等。 4．遇到「动点」「不确定的等腰三角形」→ 先固定哪两条边相等，按三类分类讨论，再检验点是否落在题目允许的范围内。 —————　以下为试题部分，请先通读上面的知识点与模型，再开始作答　————— 一、基础巩固题（第 1～5 题，每题 4 分，共 20 分。请写出必要的解答过程） 1．（4 分）如图，AD 平分 ∠BAC，AD⊥BD，垂足为点 D，DE∥AC 交 AB 于点 E．求证：△BDE 是等腰三角形． 2．（4 分）等腰三角形的周长为 21 cm． （1）若已知腰长是底边长的 3 倍，求各边长； （2）若已知一边长为 6 cm，求其他两边长． 3．（4 分）请证明命题：「角平分线上的点到角两边的距离相等」是真命题． （要求：结合图形写出「已知」「求证」，再写出证明过程） 4．（4 分）如图，在 △ABC 中，AB＝AC，D 是 BC 边上的中点，连结 AD，BE 平分 ∠ABC 交 AC 于点 E，过点 E 作 EF∥BC 交 AB 于点 F． （1）若 ∠C＝40°，求 ∠BAD 的度数； （2）求证：FB＝FE． 5．（4 分）如图，在 △ABC 中，点 D 在 BC 边上，AB＝AD＝CD．若 ∠BAD＝36°，求 ∠C 的度数． 二、能力提升题（第 6～30 题，每题 6 分，共 150 分。请写出必要的解答过程） 6．（6 分）如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，AC 平分 ∠BCD． （1）求证：AD＝CD； （2）若 AC＝BC，∠D＝120°，求 ∠B 的度数． 7．（6 分）如图，在 △ABC 中，AB＝AC，DE 是边 AB 的垂直平分线，交 AB 于点 E，交 AC 于点 D，连结 BD． （1）若 ∠A＝40°，求 ∠DBC 的度数； （2）若 △BCD 的周长为 16 cm，△ABC 的周长为 26 cm，求 BC 的长． 8．（6 分）如图，在 △ABC 中，AB＝BC，DE⊥AB 于点 E，DF⊥BC 于点 D，交 AC 于点 F． （1）若 ∠AFD＝155°，求 ∠EDF 的度数； （2）若点 F 是 AC 的中点，求证：∠CFD＝∠B． 9．（6 分）如图，在 △ABC 中，EF 垂直平分 AC，交 AC 于点 F，交 BC 于点 E，AD⊥BC，且 BD＝DE，连结 AE． （1）若 ∠BAE＝44°，求 ∠C 的度数； （2）若 AC＝7 cm，DC＝5 cm，求 △ABC 的周长． 10．（6 分）如图，在 △ABC 中，AB＝AC，AC 的垂直平分线分别交 AB、AC 于点 D、E． （1）若 ∠A＝42°，求 ∠DCB 的度数； （2）若 AE＝5，△DCB 的周长为 16，求 △ABC 的周长． 11．（6 分）如图，在 △ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝40°，分别以 AB、AC 为边在 △ABC 的外部作两个等腰直角三角形 ABD 和 ACE，使 ∠BAD＝∠CAE＝90°． （1）求 ∠DBC 的度数； （2）求证：BD＝CE． 12．（6 分）一个等腰三角形的周长为 28 cm． （1）如果底边长是腰长的 1.5 倍，求这个等腰三角形的三边长； （2）如果一边长为 10 cm，求这个等腰三角形的另两边长． 13．（6 分）如图，在 △ABC 中，点 D 是 AB 的中点，点 F 是 BC 延长线上一点，连结 DF，交 AC 于点 E，连结 BE，∠A＝∠ABE． （1）求证：ED 平分 ∠AEB； （2）若 AB＝AC，∠A＝38°，求 ∠F 的度数． 14．（6 分）如图，在 △ABC 中，∠A＝40°，点 D、E 分别在边 AB、AC 上，BD＝BC＝CE，连结 CD、BE． （1）若 ∠ABC＝80°，求 ∠BDC、∠ABE 的度数； （2）写出 ∠BEC 与 ∠BDC 之间的关系，并说明理由． 15．（6 分）如图，在 △ABC 中，点 E 在 AB 上，点 D 在 BC 上，BD＝BE，∠BAD＝∠BCE，AD 与 CE 相交于点 F． （1）证明：BA＝BC； （2）求证：△AFC 为等腰三角形． 16．（6 分）如图，已知 △ABC 中，AB＝AC，BD 和 CE 分别是 ∠ABC 和 ∠ACB 的角平分线，且相交于点 O． （1）试说明 △OBC 是等腰三角形； （2）连结 OA，试判断直线 OA 与线段 BC 的关系，并说明理由． 17．（6 分）如图，已知 AC⊥BC，BD⊥AD，AC 与 BD 相交于点 O，且 AC＝BD． （1）求证：BC＝AD； （2）求证：△OAB 是等腰三角形． 18．（6 分）如图，E 在 △ABC 的边 AC 的延长线上，D 点在边 AB 上，DE 交 BC 于点 F，DF＝EF，BD＝CE．求证：△ABC 是等腰三角形． 19．（6 分）如图，已知等腰 △ABC 中，AB＝AC，∠A＜90°，CD 是 AB 边上的高，BE 是 △ABC 的角平分线，CD 与 BE 交于点 P．当 ∠A 的大小变化时，△EPC 的形状也随之改变． （1）当 ∠A＝44° 时，求 ∠BPD 的度数； （2）设 ∠A＝x°，∠EPC＝y°，求变量 y 与 x 的关系式； （3）当 △EPC 是等腰三角形时，请直接写出 ∠A 的度数． 20．（6 分）如图，在等腰 △ABC 中，AB＝AC，AD 是 BC 边上的高，点 E、F 分别是边 AB、AC 上的点，且 EF∥BC． （1）试说明 △AEF 是等腰三角形； （2）试比较 DE 与 DF 的大小关系，并说明理由． 21．（6 分）如图，在 △ABC 中，已知点 D 在线段 AB 的反向延长线上，过 AC 的中点 F 作线段 GE 交 ∠DAC 的平分线于点 E，交 BC 于点 G，且 AE∥BC． （1）求证：△ABC 是等腰三角形； （2）若 AE＝8，AB＝10，GC＝2BG，求 △ABC 的周长． 22．（6 分）如图，在 △ABC 中，点 D、E 分别在边 AB、AC 上，DE∥BC，EB 平分 ∠DEC． （1）求证：BC＝CE； （2）若 CE＝AB，EA＝EB，求 ∠C 的度数． 23．（6 分）如图，△ABC 中，AB＝AC，∠B＝40°，D 为线段 BC 上一动点（不与点 B、C 重合），连结 AD，作 ∠ADE＝40°，DE 交线段 AC 于点 E．判断以下四个结论是否正确，并逐条说明理由： ① ∠CDE＝∠BAD； ② 当 D 为 BC 中点时，DE⊥AC； ③ 当 ∠BAD＝30° 时，BD＝CE； ④ 当 △ADE 为等腰三角形时，∠BAD＝30°． 24．（6 分）已知在平面直角坐标系 xOy 中，O（0，0），A（4，3），点 B 在 x 轴或 y 轴上移动．若 O、A、B 三点可构成等腰三角形，求符合条件的点 B 的个数，并说明理由． 25．（6 分）如图，在 △ABC 中，AB＝AC，AD 是 △ABC 的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E、F．判断以下四个结论是否正确，并逐条说明理由： ① AB 上一点与 AC 上一点到 D 的距离相等； ② AD 上任意一点到 AB、AC 的距离相等； ③ ∠BDE＝∠CDF； ④ BD＝CD，AD⊥BC． 26．（6 分）如图，△ABC 是等边三角形，延长 BC 到点 E，使 CE＝BC．点 D 是边 AC 的中点，连结 ED 并延长交 AB 于点 F． （1）求 ∠EFB 的度数； （2）求证：DE＝2DF． 27．（6 分）等腰 △ABC 中，BD⊥AC，垂足为点 D，且 BD＝AC．求这个等腰三角形底角的度数．（本题未指明哪两条边相等，也未给出图形，请分类讨论并画出相应的示意图） 28．（6 分）如图，点 D、C、E 在同一条直线 l 上，点 A、B 在直线 l 的同侧，AC⊥BC．若 AD＝AC＝BC＝BE＝5，CD＝6，求 CE 的长． 29．（6 分）如图，在四边形 ABCD 中，AC 与 BD 相交于点 E，AC＝AD，∠BAC＝∠BDC＝α，∠CAD＝β． （1）求证：∠ABD＝∠ADC； （2）当 ∠AED＝65° 时，求 β－2α 的度数； （3）当 α＋2β＝180° 时，求证：BD＝CD． 30．（6 分）课本「目标与评定」中有这样一道思考题：如图，钢架中 ∠A＝20°，焊上等长的钢条来加固钢架．若 AP1＝P1P2，且相邻钢条首尾相接（P1P2＝P2P3＝P3P4＝…），问这样的钢条至多需要多少根？ （1）求当 ∠A＝20° 时，这样的钢条至多需要多少根； （2）继续探究：当 ∠A＝15° 时，这样的钢条至多需要多少根？ 三、素养挑战题（第 31～40 题，每题 7 分，共 70 分。请写出必要的解答过程） 31．（7 分）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为「手拉手」图形． （1）问题发现：如图 1，若 △ABC 和 △ADE 是顶角相等的等腰三角形，BC、DE 分别是底边．求证：BD＝CE； （2）解决问题：如图 2，若 △ACB 和 △DCE 均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点 A、D、E 在同一条直线上，CM 为 △DCE 中 DE 边上的高，连接 BE．请判断 ∠AEB 的度数及线段 CM、AE、BE 之间的数量关系，并说明理由． 32．（7 分）如图，在等边 △ABC 中，AB＝12 cm，现有 M、N 两点分别从点 A、B 同时出发，沿 △ABC 的边按顺时针方向运动，已知点 M 的速度为 1 cm/s，点 N 的速度为 2 cm/s，当点 N 第一次到达点 B 点时，M、N 同时停止运动，设运动时间为 t（s）． （1）当 t 为何值时，M、N 两点重合？两点重合在什么位置？ （2）当点 M、N 在 BC 边上运动时，是否存在使 AM＝AN 的位置？若存在，请求出此时点 M、N 的运动时间；若不存在，请说明理由． 33．（7 分）（1）如图 1，线段 OA 的一个端点 O 在直线 l 上，且 OA 与直线 l 所成的锐角为 50°，以 OA 为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点 P 在直线 l 上，这样的等腰三角形能画几个？ （2）如图 1，如果 OA 与直线 l 所成的锐角为 60°，以 OA 为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点 P 在直线 l 上，这样的等腰三角形能画几个？ 【想一想】如图 2，△ABC 中，∠A＝20°，∠B＝50°，过顶点 C 作一条直线 CD，分割出一个等腰三角形，这样的直线最多可以画几条？ 【算一算】如图 2，在 △ABC 中，∠BAC＝10°，若存在过点 C 的一条直线 CD，能把该三角形分成两个等腰三角形，试求 ∠B 的度数． 34．（7 分）新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为「兄弟三角形」． （1）如图 1，△ABC 和 △ADE 互为「兄弟三角形」，点 A 为重合的顶角顶点．求证：BD＝CE； （2）如图 2，△ABC 和 △ADE 互为「兄弟三角形」，点 A 为重合的顶角顶点，点 D、E 均在 △ABC 外，连接 BD、CE 交于点 M，连接 AM．求证：AM 平分 ∠BME． 35．（7 分）如图，已知 △ABC 中，∠B＝90°，AB＝8 cm，BC＝6 cm，P、Q 是 △ABC 边上的两个动点，其中点 P 从点 A 开始沿 A→B 方向运动，且速度为每秒 1 cm，点 Q 从点 B 开始沿 B→C→A 方向运动，且速度为每秒 2 cm，它们同时出发，设出发的时间为 t 秒． （1）出发 2 秒后，求 PQ 的长； （2）当点 Q 在边 BC 上运动时，出发几秒钟，△PQB 能形成等腰三角形？ （3）当点 Q 在边 CA 上运动时，求能使 △BCQ 成为等腰三角形的运动时间． 36．（7 分）如图，等腰 Rt△ABC 中，D 是 AC 上一动点，连接 BD．将 △BCD 绕点 B 逆时针旋转 90° 得到 △BAE，连接 ED．若 BC＝5，求 △AED 周长的最小值． 37．（7 分）我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，这样的两边交点为勾股顶点． 【特例感知】 ① 等腰直角三角形______勾股高三角形（请填写「是」或者「不是」）； ② 如图 1，已知 △ABC 为勾股高三角形，其中 C 为勾股顶点，CD 是 AB 边上的高．若 BD＝2AD＝2，试求线段 CD 的长度． 【深入探究】 如图 1，已知 △ABC 为勾股高三角形，其中 C 为勾股顶点且 CA＞CB，CD 是 AB 边上的高．试探究线段 AD 与 CB 的数量关系，并给予证明． 【推广应用】 如图 2，等腰 △ABC 为勾股高三角形，其中 AB＝AC＞BC，CD 为 AB 边上的高，过点 D 作 BC 的平行线与 AC 边交于点 E．若 CE＝a，试求线段 DE 的长度． 38．（7 分）△ABC 和 △ADE 都是等边三角形． （1）将 △ADE 绕点 A 旋转到图①的位置时，连接 BD、CE 并延长相交于点 P（点 P 与点 A 重合），有 PA＋PB＝PC（或 PA＋PC＝PB）成立，请证明； （2）将 △ADE 绕点 A 旋转到图②的位置时，连接 BD、CE 相交于点 P，连接 PA，猜想线段 PA、PB、PC 之间有怎样的数量关系？并加以证明； （3）将 △ADE 绕点 A 旋转到图③的位置时，连接 BD、CE 相交于点 P，连接 PA，猜想线段 PA、PB、PC 之间的数量关系，直接写出结论，不需要证明． 39．（7 分）综合与实践 问题情境：数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张等腰三角形纸片探究折叠的性质．已知 AB＝AC，∠A＞90°，点 E 为 AC 上一动点，将 △ABE 以 BE 为对称轴翻折．同学们经过思考后进行如下探究： 独立思考：小明说「当点 D 落在 BC 上时，∠EDC＝2∠ACB」；小红说「若点 E 为 AC 中点，给出 AC 与 DC 的长，就可求出 BE 的长」． 实践探究：奋进小组的同学们经过探究后提出问题 1，请你回答： 问题 1：在等腰 △ABC 中，AB＝AC，∠A＞90°，△BDE 由 △ABE 翻折得到． （1）如图 1，当点 D 落在 BC 上时，求证：∠EDC＝2∠ACB； （2）如图 2，若点 E 为 AC 中点，AC＝4，CD＝3，求 BE 的长． 问题解决：小明经过探究发现：若将问题 1 中的等腰三角形换成 ∠A＜90° 的等腰三角形，可以将问题进一步拓展． 问题 2：如图 3，在等腰 △ABC 中，AB＝AC＝BD＝4，∠A＜90°，2∠BDC＝∠ABD．若 CD＝1，求 BC 的长． 40．（7 分）在等腰三角形 ABC 中，AB＝AC，△DEC 是由 △ABC 绕点 C 按顺时针方向旋转 α 角（0＜α＜180°）得到，且点 A 的对应点 D 恰好落在直线 BC 上，如图 1． （1）判断直线 CE 与直线 AB 的位置关系，并证明； （2）当 ∠ADC＝2∠BAC 时，求 ∠BAC 的大小； （3）如图 2，点 F 为线段 AD 的中点，点 G 在线段 AB 上且 AG＝AF，当点 E 在线段 AD 上时，求证：AB＝AE＋2BG． 学科网（北京）股份有限公司 $