专题01 等腰三角形重难点八大题型汇编（专项训练）数学新教材浙教版八年级上册

专题01 等腰三角形重难点八大题型汇编 常考题型·精准突破 题型1腰和底不明时需分类（高频） 题型2顶角和底角不明时需讨论（重点） 题型3涉及高位置的讨论 题型4等腰三角形个数的讨论（重点） 题型5等腰三角形中动点引起的分类（难） 题型6等边三角形中动点综合问题（难） 题型7等边三角形-截长补短法解决动点综合问题（高频） 题型8等边三角形-作平行线法解决动点综合问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1腰和底不明时需分类(高频) 1．若一个等腰三角形的周长是，且其中一边的长为，则这个等腰三角形的腰长是（    ） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】B 【分析】未明确的边是腰还是底，需分类讨论并验证三角形三边关系. 【详解】解：当为腰长时，底边长为， ∵，不能构成三角形， ∴此情况不成立； 当为底边长时，腰长为， ∵，能构成三角形， ∴腰长为. 2．若，是等腰三角形，且它的周长是，，则必有一条边等于（     ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】本题需分情况讨论为等腰三角形的腰或底，结合三角形三边关系舍去不能构成三角形的情况，再利用全等三角形对应边相等得到结论． 【详解】解：∵是等腰三角形，周长为，，分两种情况讨论： 情况1：若为腰，则另一腰长为，底边长为， ∵，不满足三角形三边关系， ∴此情况不成立，舍去； 情况2：若为底，则两腰长相等， ∴腰长为，此时三边长为，，，满足三角形三边关系， ∵， ∴的边长与对应相等， ∴必有一条边等于或， 综上，必有一条边等于或，没有一条边等于， 故选项A符合题意． 3．在等腰中，若，则这个等腰三角形的底角为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【详解】解：∵三角形内角和为，若为底角，则两个底角的和为，不符合三角形内角和定理， ∴只能是等腰的顶角， ∴底角为． 4．设，是一个等腰三角形的两边长，且满足，则该三角形的周长是_______． 【答案】 【分析】先根据非负数的性质求出，的值，再分情况结合三角形三边关系讨论，计算符合条件的三角形周长即可 【详解】解：，且平方与绝对值均为非负数， ，， 解得，， 分两种情况讨论： 当为腰长时，三角形三边长分别为，，， ，不满足三角形三边关系，不能组成三角形，故此情况舍去； 当为腰长时，三角形三边长分别为，，， ，满足三角形三边关系，能组成三角形， 此时三角形的周长为 ◆题型2顶角和底角不明时需讨论(重点) 5．等腰三角形的一个内角为，则它的底角度数为（     ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】分情况讨论内角是顶角还是底角，结合三角形内角和定理排除不符合的情况，即可得到结果． 【详解】解：分两种情况讨论： 若为底角，则两个底角和为，∵三角形内角和为，，不符合题意，舍去； 若为顶角，∵等腰三角形两底角相等，三角形内角和为，∴底角度数为； 综上，该等腰三角形的底角度数为． 6．已知一个等腰三角形两个内角度数之比为，则这个等腰三角形顶角度数为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据等腰三角形两底角相等的性质，分两种情况讨论，即顶角为比例中的1份和顶角为比例中的4份，再利用三角形内角和为列方程求解． 【详解】解：设等腰三角形两个内角的度数分别为、， 情况1：当顶角为时，两个底角均为， ∵三角形内角和为， ∴， 解得，即顶角度数为； 情况2：当顶角为时，两个底角均为， ∵三角形内角和为， ∴， 解得，，即顶角度数为； 因此该等腰三角形的顶角度数为或． 7．等腰三角形的一个外角为，则它的底角是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】分该外角对应的是顶角还是底角两种情况讨论，进而求出底角的度数． 【详解】解：当顶角的外角为时， 则顶角为， ∴等腰三角形的底角度数为； 当底角的外角为时， 则底角为； 综上所述，底角可能为或． 8．等腰三角形的一个内角为，则它的另外两个内角分别为（   ） A．， B．， C．，或， D．，或， 【答案】C 【分析】分内角是顶角或底角两种情况讨论，利用等腰三角形两底角相等和三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵等腰三角形的一个内角为，未说明是顶角还是底角，因此分两种情况讨论； ①当为顶角时，∵三角形内角和为，等腰三角形两底角相等， ∴另外两个底角的度数都为，即另外两个内角为，； ②当为底角时，另一个底角为， ∴顶角为，即另外两个内角为，； 综上，另外两个内角为，或，． 9．若一个等腰三角形的一个内角为，则它的顶角的度数为（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】由于不能确定已知的等腰三角形的内角80°是顶角还是底角，需分是顶角或底角两种情况，分别利用等腰三角形性质和三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵等腰三角形两底角相等，三角形内角和为180°， ∴分两种情况讨论： ①当为顶角时，顶角度数即为． ②当为底角时，顶角度数为． 综上，该等腰三角形的顶角度数为或． 【点睛】灵活运用分类讨论思想是解题的关键． 10．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数为（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，分两种情况：高在三角形的内部和外部进行讨论求解即可． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当高在等腰三角形的内部时，如图， 由题意，得：，， ∴； ②当高在等腰三角形的外部时，如图： 由题意，得：， ∴； 综上所述，顶角的度数为或． 故选：B． ◆题型3涉及腰高位置的讨论 11．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则其顶角为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理，分两种情况：当等腰三角形为锐角三角形时；当等腰三角形为钝角三角形时；分别求解即可． 【详解】解：如图，当等腰三角形为锐角三角形时， ∵，， ∴，即顶角为； 当等腰三角形为钝角三角形时， ， ∵，， ∴， ∴，即顶角为； 综上所述，其顶角为或， 故选：C． 12．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的顶角的度数为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义以及三角形内角和定理，通过分该等腰三角形为锐角三角形和钝角三角形两种情况，并画出对应的图形进行分类讨论是正确解答本题的关键． 【详解】解：①当等腰三角形为锐角三角形时，如图1，    由题意得：，， ∴， ∴此等腰三角形的顶角的度数为； ②当等腰三角形为钝角三角形时，如图2，    由题意得：，， ∴， ∴， ∴此等腰三角形的顶角的度数为； 综上所述，此等腰三角形的顶角的度数为或， 故选：D． 13．已知是等腰中一腰上的高，，则顶角的度数可能有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的顶角不同，对进行分类讨论即可解答． 【详解】解：∵，是腰上的高， ∴，    ①如图1，若为顶角， 则，两底角为， 此时三角形的三个内角为：，，， ②如图2，为顶角， 则顶角为， 此时三角形的三个内角为：，，， ③如图3，若为顶角时， ， ∴， 即顶角， 此时三角形的三个内角为：，，， 顶角的度数可能有，，， 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，根据题意，对三角形进行分类讨论是解题的关键． ◆题型4等腰三角形个数的讨论(重点) 14．如图，在中，，，点在边上，连接，若点在边的垂直平分线上，则图中等腰三角形的个数为（   ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【分析】根据线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定、三角形的内角和、外角的性质解题即可． 【详解】解：由题意知，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴等腰三角形有、两个． 15．如图，在由边长为1的小正方形组成的的网格中，点A、B都在格点上，现要在图中确定格点C，连接和，使得是等腰三角形．则满足条件的格点C的个数有（     ）个． A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的定义结合网格的特点求解即可． 【详解】解：如图所示， 当点C在或或或的位置上时，， 当点C在或位置上时，， ∴满足条件的格点C的个数有6个． 16．如图，在的正方形网格中有两个格点，连接，在网格中再找一个格点C，使得是等腰直角三角形，则满足条件的格点C的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想． 根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①为等腰直角底边；②为等腰直角其中的一条腰． 【详解】解：如图：分情况讨论：①为等腰直角底边时，符合条件的点有0个； ②为等腰直角其中的一条腰时，符合条件的点有3个． 故共有3个点， 故选：C． ◆题型5等腰三角形中动点引起的分类(难) 17．如图，在中，，点P以每秒速度从B处向A处运动，同时点2以每秒速度从A处向C处运动，其中一个动点到达端点后，另一个点停止运动，当时，运动时间为________秒． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，根据平角的定义，推出，进而得到，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设运动时间为秒，由题意，得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 18．如图，在中，，，，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿方向运动，且速度为每秒，点Q从点B开始沿方向运动，且速度为每秒，P、Q两点同时出发，当点P运动到点B时两点停止运动，设运动时间为t秒．当点Q在边上运动时，当是以或为底边的等腰三角形时，______． 【答案】11或12 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，理解题意是解决本题的关键． 利用等腰三角形的性质可分为：以或为底边两种情况，分别求得的值． 【详解】解：设运动时间为t秒． 由题意可知，当点P运动到点B时两点停止运动，则， 当点Q在边上运动时，此时， ①当是以为底边的等腰三角形时：，如图所示， 则， ， ，． ， ， ， ， ； ②当是以为底边的等腰三角形时：，如图所示， 则， ． 故答案为：11或12． 19．如图，在中，，．点在边上运动（不与，重合），连接，作，使交边于点．在点的运动过程中，当是等腰三角形时，________． 【答案】或 【分析】本题主要考查三角形内角和定理和等腰三角形的性质，解题的关键是等腰三角形的性质． 根据等腰三角形的性质分类讨论，①当时；②当时；③当时；分情况求解即可． 【详解】解：， ． 当为等腰三角形时分三种情况：①当时，，， ． ，点不与点，重合， ∴不合题意； ②当时，， ， ； ③当时，， ， ∴ ． 综上所述，为或． 故答案为：或． 20．如图，在中，，，点在线段上运动（不与重合），连接，作，交线段于，在点的运动过程中，的形状也在改变，当是等腰三角形时，的度数是_______． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，解决本题的关键在于根据等腰三角形的性质和已知条件求出的度数． 需分类讨论，当腰长的情况，结合等边对等角以及三角形内角和为求解角度即可． 【详解】解：， ，， ①当时，， ，此时不符合； ②当时，即， ， ； ③当时，， ， ； 综上所述，当是等腰三角形时， 的度数是或． 故答案为：或． 21．如图，在中，，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿的方向运动，且速度为，点从点开始沿的方向运动，且速度为，，两点同时出发，设运动的时间为秒． (1)_____________，_____________（用含的代数式表示）； (2)当点在边上运动时， ①出发几秒后，是等腰三角形？ ②通过计算说明能否把的周长平分？ (3)当点在边上运动时，若是以或为底边的等腰三角形，直接写出此时的值． 【答案】(1)， ； (2)①秒， ②能，当点在上时， ∵，， ∴ 即    解得：秒   ∴当运动的时间为8秒时，能否把的周长平分 (3)为11秒或12秒时，是以或为底边的等腰三角形 【分析】（1）设运动的时间为秒，其中点从点开始沿的方向运动，且速度为，点从点开始沿的方向运动，且速度为，，两点同时出发，即可求解；         （2）① 当点在边上运动时，是等腰三角形时，则 ，联立方程即可求解；②根据题意得，联立方程即可； （3）当点在边上运动时，分类讨论，①若是以为底边的等腰三角形； ②若是以为底边的等腰三角形；联立方程或中线即可求解. 【详解】（1）解：∵设运动的时间为秒，其中点从点开始沿的方向运动，且速度为1cm/s，点从点开始沿的方向运动，且速度为2cm/s，，两点同时出发， ∴   故答案为：， ； （2）①当点在边上运动时，是等腰三角形时，则 ∴ 解得：； ∴出发秒后； ②略 （3）当点在边上运动时， ①若是以为底边的等腰三角形   则 ∴ ∴ 解得： ②若是以为底边的等腰三角形 则 解得： 综上所述：为11秒或12秒时，是以或为底边的等腰三角形. 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定，动点问题的存在问题，掌握各个知识点的衔接性是解题关键. ◆题型6等边三角形中动点综合问题(难) 22．如图，在边长为18的等边中，设点D在边上，且，已知点P从点B出发，以每秒2个单位长度速度沿方向运动；点Q从点C出发，以每秒a个单位长度速度沿方向运动．若点P、Q同时出发，设运动时间为t秒． (1)若点P运动到点C时，点Q恰好到达点D，求a的值； (2)当点Q沿方向运动时，能否成立，若成立，求a和t的值；若不成立，请说明理由． 【答案】(1) (2)成立，， 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据速度等于路程除以时间，进行求解即可； （2）根据全等三角形的判定方法，得到当时，，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵边长为18的等边， ∴，， ∵， ∴，， ∵点P运动到点C时，点Q恰好到达点D， ∴， ∴； （2）解：成立； 由（1）知：，， ∴当时，， ∴，， ∴，． 23．如图，是边长为的等边三角形，动点P从点B出发以的速度沿着路线向终点B运动，同时动点Q从点C出发以的速度沿着路线向终点C运动，设运动的时间为． (1)当P在边上运动时，______，______； (2)当是等边三角形时，求t的值． 【答案】(1)； (2)2或8 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质得到，再进一步可得到结论； （2）当点P在边上运动时，当点P在边上时，根据等边三角形的判定和性质即可得到结论． 【详解】（1）解：∵是边长为的等边三角形， ∴， 由题意可得：，， ∴； （2）解：∵是等边三角形， ∴． 当点在边上时（此时点在边上）， 有，解得； 当点在边上时（此时点在边上）， 有，解得． 综上所述，当是等边三角形时，的值为2或8． 24．如图1，是等边三角形，点、分别是边、所在直线上的动点（端点、除外），点从顶点A、点从顶点同时出发，且它们的运动速度相同，连接、交于点． (1)试说明：的理由； (2)当点、分别在线段、上运动时，的度数是否发生改变？若改变，请说明理由；若不改变，求出它的度数； (3)如图2，当点、分别运动到、后，继续在射线、上运动，直线、交点为，则的度数是否发生改变？若改变，请说明理由；若不变，则求出它的度数． 【答案】(1)理由见解析 (2)不改变， (3)不改变， 【分析】（1）由题意易得， ， ，然后利用证明； （2）由（1）可知：，则有，然后根据三角形外角的性质可进行求解； （3）由题意易得 ， ，则有，然后根据可得，进而根据全等三角形的性质及三角形外角的性质进行求解． 【详解】（1）证明：点、点是同时以相同的速度运动， ， 是等边三角形， ， ； （2）解：不改变， 理由： ， ， ， ， ； （3） 解：的度数不改变 ， 点、点是同时以相同的速度运动， ， 是等边三角形， ， ， ， 即， ， ， ． ◆题型7等边三角形-截长补短法解决动点综合问题(高频) 25．如图，和都是等边三角形，当点B，C，D在一条直线上时，连接，交于点M，连接， (1)求证：． (2)试探究线段与线段，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)，见解析 【分析】（1）利用可证即可； （2）在上取点F，使，连接，由全等三角形的性质得，，同理可证，由全等三角形的性质得，，由等边三角形的判定得是等边三角形，结合等边三角形的性质，即可求解； 【详解】（1）证明：与都是等边三角形， ，，， ， ， 在和中 ， （）， （2）解：； 理由如下： 如图，在上取点F，使，连接， ∵， ，， ， 同理可证：（）， ，， ， 是等边三角形， ， ． 26．已知中，，点在上，连接． (1)设，平分，点在射线上，连接． ①如图1，若，试说明； ②如图2，若，试说明； (2)如图3，若，，作点关于射线的对称点，连接并延长交射线于点，连接，若，的面积为7，求的长． 【答案】(1)证明：① ，，平分， ， ， 是等边三角形， ， ， ； ②如图，在上取一点H，使，连接， 由（1）知， 是等边三角形， ，， ， ，， ， 即， 在和中， ， ， ， ； (2) 【分析】（1）①根据角平分线的定义得，结合证明是等边三角形，推出，即可证明；②在上取一点H，使，连接，构造等边，再证 ，推出，可得； （2）连接，作于点M，交的延长线于点N，由轴对称的性质得，，，，根据三角形面积公式计算出，根据等腰三角形三线合一推出，，进而证明是等腰直角三角形，推出，即可求解． 【详解】（1）①略．②略． （2）解：如图，连接，作于点M，交的延长线于点N， 点与关于射线对称， ，，，， ， ， ，， ， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ． 27．在中，，点是边上一点，点在的延长线上，且，平分交于点，连接． (1)如图1，写出与相等的角； (2)如图2，当时，在上取点，使，连接． ①补全图形； ②求； (3)如图3，当，且，直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)和 (2)①；②； (3) 【分析】（1）利用“边角边”定理证明，根据全等三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，等量代换证明结论； （2）①在上截取，连接， ②证明，根据全等三角形的性质得到，进而证明为等边三角形，可得，进而可得，由（1）可得，则，进而可得； （3）延长交于N，证明，得到，再证明，得到，等量代换得到答案． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∴与相等的角是和 （2）①图略； ②如图2，在上截取，连接， ∵， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴为等边三角形； ∴ ∴ ∵ 由（1）可得 ∴ ∴ （3）证明：如图3，延长交于N， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴由（1）可得 ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴． 28．阅读理解： 问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：． 思考：“角平分线对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题． 方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题； 方法2：延长到点N，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题． (1)方法积累：结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明． (2)问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接，当时，探究线段之间的数量关系，并说明理由； (3)问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点D作，垂足为点E，请写出线段之间的数量关系． (4)实际运用：在（3）的条件下，已知，，，动点P从B出发，沿线段以2个单位每秒向C运动，到达C后立即原路原速度返回至B停止，运动时间为t秒，请直接写出使得的所有t的值． 【答案】(1)解：选择方法1，证明如下： 如图所示，在上截取，连接， ∵对角线平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 选择方法2，证明如下： 如图所示，延长到点N，使得，连接， ∵对角线平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； (2)解：，理由如下： 如图所示，在上截取，连接， 由（1）得， ∵， ∴是等边三角形， ∴； ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵对角线平分， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； (3) (4)4或18 【分析】（1）方法1：证明，得到，再证明，得到，即可证明；方法2：证明，得到，再证明，得到，即可证明； （2）在上截取，连接，证明是等边三角形，得到；可求出，得到，则可证明是等边三角形，得到，证明，得到，据此可得； （3）过点D作交的延长线于点F，连接，证明，得到，；再证明，得到，据此可得； （4）求出，得到；根据全等三角形的性质得到，，则可求出，进而得到；可求出，再分两种情况：点P从B向点C运动和点P从点C向点B运动，讨论求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图所示，过点D作交的延长线于点F，连接， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，； 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即； （4）解：如图所示， ∵， ∴， ∵， ∴； 由（3）可得，， ∴，， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴当点P从B向点C运动时，则， 当点P从点C向点B运动时，则， 综上所述，t的值为4或18． ◆题型8等边三角形-作平行线法解决动点综合问题(难) 29．问题解决 是等边三角形，点是直线上一点（不与，重合），点在射线上（不与，重合），且，连接，探究与的数量关系． (1)【特例探究】从特殊到一般是研究几何的一般思路，如图1，当点在边的中点时，请你直接写出线段与的数量关系________________； (2)【数学思考】如图2，当点是边上任意一点时（不是中点），同学们讨论发现结论依然成立．小颖的思路是通过作，然后证明和全等，进而得到结论．请你依据小颖的思路写出完整的证明过程； 类比延伸： (3)【拓展应用】如图3，是等边三角形，点在边上，点在的延长线上，，与的平分线所在的直线相交于点，请写出，，的数量关系并证明． 【答案】(1) (2)证明：如图2，过点作，交于点， 是等边三角形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 又， ． 在和中， ，，， ， ； (3)结论： 证明：过作交于， 是等边三角形， ∴同理可得是等边三角形， ， ， ， 在中，，，， ， 平分， ， ， ， 在与中，， ， ， ． 【分析】（1）根据等边三角形的性质结合等角对等边即可得到与的数量关系； （2）添加辅助线，结合等边三角形的性质证明和全等，由此可证明； （3）添加辅助线，证明与全等，由此可得，再由边的关系证明即可． 【详解】（1）解：， ∵是等边三角形，点D在边的中点， ∴，，且平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）略； （3）略． 30．综合实践 数学是一门充满乐趣，奥妙，又极具探索的学科，对一个人的思维也是一种“挑战”．几何图形变幻无穷，但只要我们借助图形的直观，从特殊情形出发，逐步“从特殊到一般”进行探索，思路和方法自然就会显现出来．于是数学课上，刘老师出示了以下的题目：如图，在等边中，点在上，点在的延长线上，且，试确定线段与的大小关系，并说明理由． 小优与同桌小秀讨论后，进行了如下解答： (1)【特殊情况，归纳猜想】如图，当为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出你的结论： （选填“”、“”或者“=”）； (2)【特例启发，推理证明】如图2，当不是的中点时，小优和小秀认为（1）中的结论仍然成立，所以他们尝试过点E作，交于点F．刘老师肯定了这种做法，请你帮助小优和小秀完成接下来的证明过程； (3)【拓展延伸，问题解决】当点E在的延长线上时，点D在边上，且，请自己画图，并探究（1）中的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明． 【答案】(1)= (2)如图，过点作交于点， 则， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； (3)不发生变化，证明如下： 如图，过点作交的延长线于点， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴． 【分析】（）证明，得到，即可求证； （）过点作交于点，可证是等边三角形，得到，再证明，得到，即可求证； （）过点作交的延长线于点，同理（）证明即可求证； 【详解】（1）解：∵是等边三角形，点为的中点， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）略 （3）略 31．如图，在等边中，点是边上一定点，点是直线上一动点，以为一边作等边，连接． 【问题思考】 如图1，若点与点重合时，求证：； 【类比探究】 如图2，若点在边上，求证：； 【拓展归纳】 如图3，若点在边的延长线上，请直接写出线段、与之间存在的数量关系的结论是：______（不证明）． 【答案】 问题思考：证明：∵是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴； 类比探究：作交于点，如图所示： ∵是等边三角形， ∴， ∵ ∴， ∴ ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ∴ ∴， ∴， ∴； 【拓展归纳】． 【分析】问题思考：利用等边三角形的性质证明：可得，再利用，从而可得结论； 类比探究：作交于点，如图所示：证明是等边三角形，利用等边三角形的性质再证明：可得，从而可得结论； 拓展归纳：过D作，交AC的延长线于点G，如图所示：证明为等边三角形，再证明△EGD≌△FCD，可得EG=FC，从而可得结论． 【详解】拓展归纳：线段CE，CF与CD之间的等量关系是FC=CD+CE； 理由如下： ∵△ABC是等边三角形， ∴∠A=∠B=60°， 过D作，交AC的延长线于点G，如图所示： ∵， ∴∠GDC=∠B=60°，∠DGC=∠A=60°， ∴， ∴△GCD为等边三角形， ∴DG=CD=CG， ∵△EDF为等边三角形， ∴ED=DF，∠EDF=∠GDC=60°， ∴∠EDG=∠FDC， 在△EGD和△FCD中， ， ∴△EGD≌△FCD（SAS）， ∴EG=FC， ∴FC=EG=CG+CE=CD+CE． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是等边三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，掌握作出适当的辅助线构建全等三角形是解题的关键． 综合攻坚·知能拔高 1．如图，在中，，点是边上一点，点是的中点，连接、，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得，因为点是的中点，可得，已知，则题目可求． 【详解】解：∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴． 2．如图，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，再分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，画射线交于点．若，，则的周长为（     ） A．16 B．17 C．18 D．无法确定 【答案】A 【分析】由平行线得到，然后结合角平分线得到，推出，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ 由作图得，平分 ∴ ∴ ∴ ∴的周长为． 3．如图，这是某种落地灯的简易示意图，已知悬杆与支杆，且．若的长度为，则此时，两点之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，连接，利用邻补角定义求出的度数，结合判定为等边三角形，从而得出的长． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴． 4．如图，在锐角中，，的角平分线和交于点F，平分交于点G．分析以下结论：①；②；③；④当时，，其中结论正确的是（     ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】根据可对①进行判断；由平分交于点G即可判断②；根据全等三角形的判定即可判断③；根据题意可证得，结合是的中点即可证明，继而判断④． 【详解】解： ，、为的角平分线， ，，， ，故①正确； 平分交于点G， ， ，故②正确； 已知公共边，（是角平分线）， 但题目没有给出或这类条件，故无法证明全等，故③错误； ， ， 又是底角的角平分线， ，， ， ， 又是的中点， ，故④正确． 5．下列关系图中，①处可以填的条件是_______． 【答案】或 或 或或 【分析】根据等边三角形的判定，解答即可； 【详解】解：根据三边相等的三角形是等边三角形，可以填或； 根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形，也可以填或或． 6．如图，在中，以点为圆心，的长为半径作圆弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，作直线交于点，若，，则的周长为___________． 【答案】 【分析】根据作图可得，是的垂直平分线，得到，再通过线段等量代换将的周长转化为，进而求出三角形周长． 【详解】解：由作图可知，， ， ， 由作图可知，直线是的垂直平分线， 点在直线上， ， ， 将代入得，， ，， ． 7．如图， 和 均是等边三角形， 、、在一条直线上，、分别与、交于点 、，有如下结论：① ；②；③④ ⑤．其中正确的结论是_______________(填序号) ． 【答案】①②④⑤ 【分析】①利用等边三角形的边、角性质，通过判定，证明结论①正确；②由等边三角形角度计算得与互补，根据同旁内角互补，两直线平行，证明，在证明后，由全等三角形对应边相等得到，据此判定结论②正确；③先通过证得，再用三角形外角性质推出，从而证，说明原结论错误；④在证得后直接判定结论④正确；⑤先由、判定为等边三角形，再根据等边三角形性质得到，判定结论⑤正确． 【详解】解：∵和都是等边三角形， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴，故①正确； ∵，， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ， 在和中 ， ， ∴， ∴， 根据三角形外角性质得到，则， ∴， ∴，故③错误； ∵由②中， 可得， ， ∴， ∴，故④正确； ⑤，，， 因此是等边三角形，，⑤正确； 综上，正确结论为①②④⑤． 8．如图，已知C为线段上一点，分别以，为边在线段同侧作等腰和等腰，使，，．连接，交于点G，连接，分别交，于点F，H．下列结论： ①； ②若C是的中点，则； ③若，则； ④若，则． 正确的是________．（填写序号） 【答案】①②③ 【分析】证明可得，据此可判断①；若C是的中点，则，则可证明，进而可证明得到，据此可判断②；若，则，可证明，进而可证明是等边三角形，得到，据此可判断③；若，则，可证明，据此可判断④． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，即，故①正确； 若C是的中点，则， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，故②正确； 若，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴，故③正确； 若，则， ∴， ∵，， ∴，故④错误． 综上所述，正确的有①②③． 9．如图，在中，点D、C在上，连接、，，，过点F作于E． (1)求证：是等腰三角形； (2)求证：． 【答案】(1)证明：是的外角， ， ，，， ， ， 是等腰三角形． (2)证明：由（1）得， ， ． 【分析】（1）根据三角形外角的性质可得，再由，可证明，得到，则是等腰三角形 （2）由三线合一定理即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 10．【问题呈现】 如图，在中，，点在边上，且，是线段上的一个动点（不与点重合，且），在线段上截取，连接． 【问题发现】 (1)若点与点重合，请根据题意补全图1，线段与有怎样的数量关系？ 【拓展延伸】 (2)如图2，若点C不与点D重合，请证明． 【答案】(1)解：如图，线段与的数量关系：． 理由：∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； (2)证明：如图，在上截取，连接， ∵，，， ∴、是等边三角形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）按题中条件补全图形，证明是等边三角形，推出，证明，根据全等三角形的性质即可得证； （2）如图，在上截取，连接，推出，证明、是等边三角形，推出，证明，得，即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 11．综合与探究 (1)【问题发现】如图①，在和中，，，B，C，E三点在同一直线上，，，则的长为________． (2)【问题提出】如图②，在中，，，过点C作，且，求的面积． (3)【问题解决】如图③，在四边形中，，，，，．求的面积（提示：在一个三角形中，相等的角所对的边也相等）． 【答案】(1)7 (2)8 (3)6 【分析】（1）证明，则，，由求得的长； （2）过作交延长线于点，证明，则，由求出面积； （3）过点作于点，过点作交的延长线于点，证明是等腰直角三角形，，则，由求出面积． 【详解】（1）解： ． 在和中， ， ， ，， ； （2）解：过作交延长线于点，如图， ，， ， ． 在和中， ， ， ， ； （3）解：过点作于点，过点作交的延长线于点，如图， 的面积为，的长为， ， ． ，， 是等腰直角三角形， ， ． ∵， ． ∵， ∴， ， ， ． 12．如图1，在中，为锐角，点D为射线上一动点，连接，以为直角边且在的上方作等腰直角，连接， (1)若； ①当点D在线段上时（与点B不重合），试探讨与的数量关系和位置关系； ②当点D在线段的延长线时，①中的结论是否仍然成立，请在图2中画出相应图形并直接写出你的猜想 (2)如图3，若，点D在线段上运动，试探究与的位置关系 【答案】(1)①； ②成立，画图如下： (2)解：，理由如下： 作交于点，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴. 【分析】（1）①证明，即可得出结论；②根据题意，补全图形，证明，即可得出结论； （2）作交于点，证明，推出，即可. 【详解】（1）解：①∵等腰直角，为直角边， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②理由如下： 同①法可得：， ∴，， 设交于点，则， ∴， ∴； （2）略 35 / 35 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 等腰三角形重难点八大题型汇编 常考题型·精准突破 ◆题型1腰和底不明时需分类(高频) 1．若一个等腰三角形的周长是，且其中一边的长为，则这个等腰三角形的腰长是（    ） A． B． C．或 D．无法确定 2．若，是等腰三角形，且它的周长是，，则必有一条边等于（     ） A． B．或 C． D．或 3．在等腰中，若，则这个等腰三角形的底角为（    ） A． B． C．或 D． 4．设，是一个等腰三角形的两边长，且满足，则该三角形的周长是_______． ◆题型2顶角和底角不明时需讨论(重点) 5．等腰三角形的一个内角为，则它的底角度数为（     ） A． B． C． D．或 6．已知一个等腰三角形两个内角度数之比为，则这个等腰三角形顶角度数为（    ） A． B． C．或 D．或 7．等腰三角形的一个外角为，则它的底角是（    ） A． B．或 C．或 D． 8．等腰三角形的一个内角为，则它的另外两个内角分别为（   ） A．， B．， C．，或， D．，或， 9．若一个等腰三角形的一个内角为，则它的顶角的度数为（   ） A． B．或 C．或 D．或 10．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数为（   ） A． B．或 C．或 D．或 ◆题型3涉及腰高位置的讨论 11．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则其顶角为（    ） A． B． C．或 D．或 12．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的顶角的度数为（    ） A． B． C．或 D．或 13．已知是等腰中一腰上的高，，则顶角的度数可能有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 ◆题型4等腰三角形个数的讨论(重点) 14．如图，在中，，，点在边上，连接，若点在边的垂直平分线上，则图中等腰三角形的个数为（   ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 15．如图，在由边长为1的小正方形组成的的网格中，点A、B都在格点上，现要在图中确定格点C，连接和，使得是等腰三角形．则满足条件的格点C的个数有（     ）个． A．4 B．5 C．6 D．7 16．如图，在的正方形网格中有两个格点，连接，在网格中再找一个格点C，使得是等腰直角三角形，则满足条件的格点C的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 ◆题型5等腰三角形中动点引起的分类(难) 17．如图，在中，，点P以每秒速度从B处向A处运动，同时点2以每秒速度从A处向C处运动，其中一个动点到达端点后，另一个点停止运动，当时，运动时间为________秒． 18．如图，在中，，，，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿方向运动，且速度为每秒，点Q从点B开始沿方向运动，且速度为每秒，P、Q两点同时出发，当点P运动到点B时两点停止运动，设运动时间为t秒．当点Q在边上运动时，当是以或为底边的等腰三角形时，______． 19．如图，在中，，．点在边上运动（不与，重合），连接，作，使交边于点．在点的运动过程中，当是等腰三角形时，________． 20．如图，在中，，，点在线段上运动（不与重合），连接，作，交线段于，在点的运动过程中，的形状也在改变，当是等腰三角形时，的度数是_______． 21．如图，在中，，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿的方向运动，且速度为，点从点开始沿的方向运动，且速度为，，两点同时出发，设运动的时间为秒． (1)_____________，_____________（用含的代数式表示）； (2)当点在边上运动时， ①出发几秒后，是等腰三角形？ ②通过计算说明能否把的周长平分？ (3)当点在边上运动时，若是以或为底边的等腰三角形，直接写出此时的值． ◆题型6等边三角形中动点综合问题(难) 22．如图，在边长为18的等边中，设点D在边上，且，已知点P从点B出发，以每秒2个单位长度速度沿方向运动；点Q从点C出发，以每秒a个单位长度速度沿方向运动．若点P、Q同时出发，设运动时间为t秒． (1)若点P运动到点C时，点Q恰好到达点D，求a的值； (2)当点Q沿方向运动时，能否成立，若成立，求a和t的值；若不成立，请说明理由． 23．如图，是边长为的等边三角形，动点P从点B出发以的速度沿着路线向终点B运动，同时动点Q从点C出发以的速度沿着路线向终点C运动，设运动的时间为． (1)当P在边上运动时，______，______； (2)当是等边三角形时，求t的值． 24．如图1，是等边三角形，点、分别是边、所在直线上的动点（端点、除外），点从顶点A、点从顶点同时出发，且它们的运动速度相同，连接、交于点． (1)试说明：的理由； (2)当点、分别在线段、上运动时，的度数是否发生改变？若改变，请说明理由；若不改变，求出它的度数； (3)如图2，当点、分别运动到、后，继续在射线、上运动，直线、交点为，则的度数是否发生改变？若改变，请说明理由；若不变，则求出它的度数． ◆题型7等边三角形-截长补短法解决动点综合问题(高频) 25．如图，和都是等边三角形，当点B，C，D在一条直线上时，连接，交于点M，连接， (1)求证：． (2)试探究线段与线段，之间的数量关系，并说明理由． 26．已知中，，点在上，连接． (1)设，平分，点在射线上，连接． ①如图1，若，试说明； ②如图2，若，试说明； (2)如图3，若，，作点关于射线的对称点，连接并延长交射线于点，连接，若，的面积为7，求的长． 27．在中，，点是边上一点，点在的延长线上，且，平分交于点，连接． (1)如图1，写出与相等的角； (2)如图2，当时，在上取点，使，连接． ①补全图形； ②求； (3)如图3，当，且，直接写出与之间的数量关系． 28．阅读理解： 问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：． 思考：“角平分线对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题． 方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题； 方法2：延长到点N，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题． (1)方法积累：结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明． (2)问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接，当时，探究线段之间的数量关系，并说明理由； (3)问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点D作，垂足为点E，请写出线段之间的数量关系． (4)实际运用：在（3）的条件下，已知，，，动点P从B出发，沿线段以2个单位每秒向C运动，到达C后立即原路原速度返回至B停止，运动时间为t秒，请直接写出使得的所有t的值． ◆题型8等边三角形-作平行线法解决动点综合问题(难) 29．问题解决 是等边三角形，点是直线上一点（不与，重合），点在射线上（不与，重合），且，连接，探究与的数量关系． (1)【特例探究】从特殊到一般是研究几何的一般思路，如图1，当点在边的中点时，请你直接写出线段与的数量关系________________； (2)【数学思考】如图2，当点是边上任意一点时（不是中点），同学们讨论发现结论依然成立．小颖的思路是通过作，然后证明和全等，进而得到结论．请你依据小颖的思路写出完整的证明过程； 类比延伸： (3)【拓展应用】如图3，是等边三角形，点在边上，点在的延长线上，，与的平分线所在的直线相交于点，请写出，，的数量关系并证明． 30．综合实践 数学是一门充满乐趣，奥妙，又极具探索的学科，对一个人的思维也是一种“挑战”．几何图形变幻无穷，但只要我们借助图形的直观，从特殊情形出发，逐步“从特殊到一般”进行探索，思路和方法自然就会显现出来．于是数学课上，刘老师出示了以下的题目：如图，在等边中，点在上，点在的延长线上，且，试确定线段与的大小关系，并说明理由． 小优与同桌小秀讨论后，进行了如下解答： (1)【特殊情况，归纳猜想】如图，当为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出你的结论： （选填“”、“”或者“=”）； (2)【特例启发，推理证明】如图2，当不是的中点时，小优和小秀认为（1）中的结论仍然成立，所以他们尝试过点E作，交于点F．刘老师肯定了这种做法，请你帮助小优和小秀完成接下来的证明过程； (3)【拓展延伸，问题解决】当点E在的延长线上时，点D在边上，且，请自己画图，并探究（1）中的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明． 31．如图，在等边中，点是边上一定点，点是直线上一动点，以为一边作等边，连接． 【问题思考】 如图1，若点与点重合时，求证：； 【类比探究】 如图2，若点在边上，求证：； 【拓展归纳】 如图3，若点在边的延长线上，请直接写出线段、与之间存在的数量关系的结论是：______（不证明）． 综合攻坚·知能拔高 1．如图，在中，，点是边上一点，点是的中点，连接、，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．如图，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，再分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，画射线交于点．若，，则的周长为（     ） A．16 B．17 C．18 D．无法确定 3．如图，这是某种落地灯的简易示意图，已知悬杆与支杆，且．若的长度为，则此时，两点之间的距离为（   ） A． B． C． D． 4．如图，在锐角中，，的角平分线和交于点F，平分交于点G．分析以下结论：①；②；③；④当时，，其中结论正确的是（     ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 5．下列关系图中，①处可以填的条件是_______． 6．如图，在中，以点为圆心，的长为半径作圆弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，作直线交于点，若，，则的周长为___________． 7．如图， 和 均是等边三角形， 、、在一条直线上，、分别与、交于点 、，有如下结论：① ；②；③④ ⑤．其中正确的结论是_______________(填序号) ． 8．如图，已知C为线段上一点，分别以，为边在线段同侧作等腰和等腰，使，，．连接，交于点G，连接，分别交，于点F，H．下列结论： ①； ②若C是的中点，则； ③若，则； ④若，则． 正确的是________．（填写序号） 9．如图，在中，点D、C在上，连接、，，，过点F作于E． (1)求证：是等腰三角形； (2)求证：． 10．【问题呈现】 如图，在中，，点在边上，且，是线段上的一个动点（不与点重合，且），在线段上截取，连接． 【问题发现】 (1)若点与点重合，请根据题意补全图1，线段与有怎样的数量关系？ 【拓展延伸】 (2)如图2，若点C不与点D重合，请证明． 11．综合与探究 (1)【问题发现】如图①，在和中，，，B，C，E三点在同一直线上，，，则的长为________． (2)【问题提出】如图②，在中，，，过点C作，且，求的面积． (3)【问题解决】如图③，在四边形中，，，，，．求的面积（提示：在一个三角形中，相等的角所对的边也相等）． 12．如图1，在中，为锐角，点D为射线上一动点，连接，以为直角边且在的上方作等腰直角，连接， (1)若； ①当点D在线段上时（与点B不重合），试探讨与的数量关系和位置关系； ②当点D在线段的延长线时，①中的结论是否仍然成立，请在图2中画出相应图形并直接写出你的猜想 (2)如图3，若，点D在线段上运动，试探究与的位置关系 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01等腰三角形重难点八大题型汇编 常考题型精准突破 ◆题型1腰和底不明时需分类（高频） 【答案】B 【详解】解：当8cm为腰长时，底边长为36-2×8=20， 8+8<20,不能构成三角形， 此情况不成立： 36-8=14, 当8cm为底边长时，腰长为 8+14>14,能构成三角形， ∴.腰长为14cm. 2. 【答案】A 【详解】解：，△ABC是等腰三角形，周长为23cm,BC=4cm,分两种情况讨论： 情况1：若BC为腰，则另一腰长为4cm,底边长为23-4-4=15cm, ,4+4=8<15,不满足三角形三边关系， 此情况不成立，舍去： 情况2：若BC为底，则两腰长相等， 234=9.5cm,此时三边长为4cm,9.5cm,9.5cm,满足三角形三边关系， 腰长为2 ,△ABC≌△DEF, ∴△DEF的边长与△ABC对应相等， ∴△DEF必有一条边等于9.5cm或4cm, 综上，△DEF必有一条边等于9.5cm或4cm,没有一条边等于15cm, 故选项A符合题意. 3. 【答案】B 【详解】解：，三角形内角和为180°，若120°为底角，则两个底角的和为120°+120°=240°>180°， 1/34 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 不符合三角形内角和定理， ∴，∠A=120°只能是等腰△ABC的顶角， 180°-120° 底角为 =30° 2 【答案】17 【详解】解：(a-3+7-b=0,且平方与绝对值均为非负数， ∴.a-3=0,7-b=0, 解得a=3,b=7, 分两种情况讨论：①当3为腰长时，三角形三边长分别为3,3,7， ·3+3<7,不满足三角形三边关系，不能组成三角形，故此情况舍去： ②当7为腰长时，三角形三边长分别为3,7,7， 3+7>7,满足三角形三边关系，能组成三角形， 此时三角形的周长为3+7+7=17 ◆题型2顶角和底角不明时需讨论（重点） 5. 【答案】A 【详解】解：分两种情况讨论 若100°为底角，则两个底角和为100°×2=200°，，三角形内角和为180°，200°>180°，不符合题 意，舍去： 若100°为顶角，，等腰三角形两底角相等，三角形内角和为180°，∴底角度数为 160.10=40 综上，该等腰三角形的底角度数为40° 6. 【答案】D 【详解】解：设等腰三角形两个内角的度数分别为X、4X, 情况1：当顶角为x时，两个底角均为4x, ,三角形内角和为180°， .x+4x+4x=180°， 2/34 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得x=20°，即项角度数为20°： 情况2：当顶角为4x时，两个底角均为x, ,三角形内角和为180°， .4x+x+x=180°， 解得x=30°，4x=120°，即顶角度数为120°： 因此该等腰三角形的顶角度数为20°或120°. 7. 【答案】B 【详解】解：①当顶角的外角为110°时，则顶角为180°-110°=70°， 180°-70°=55° ·等腰三角形的底角度数为 2 ②当底角的外角为110°时，则底角为180°-110°=70°： 综上所述，底角可能为55°或70° 8 【答案】c 【详解】解：等腰三角形的一个内角为0°，未说明是顶角还是底角，因此分两种情况讨论： ①当40°为顶角时，，三角形内角和为180°，等腰三角形两底角相等， .180°-40° “另外两个底角的度数都为一2 70°，即另外两个内角为70°，70°： ②当40°为底角时，另一个底角为40°， ∴顶角为180°-2×40°=100°，即另外两个内角为40°，100°： 综上，另外两个内角为40°，100°或70°，70°. 9. 【答案】D 【详解】解：，等腰三角形两底角相等，三角形内角和为180°， .分两种情况讨论： ①当80°为顶角时，顶角度数即为80° ②当80°为底角时，顶角度数为180°-2×80°=20°. 综上，该等腰三角形的顶角度数为80°或20° 10. 【答案】B 3/34 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：分两种情况讨论： ①当高在等腰三角形ABC的内部时，如图， B 由题意，得：∠ADB=90°，∠ABD=25°， ,∠A=180°-∠ADB-∠ABD=65°： ②当高在等腰三角形ABC的外部时，如图： D 由题意，得：∠ADB=90°，∠ABD=25°， .∠BAC=∠ADB+∠ABD=115°： 综上所述，顶角的度数为65°或115° 故选：B. ◆题型3涉及腰高位置的讨论 11. 【答案】C 【详解】解：如图，当等腰三角形为锐角三角形时， A B .BD⊥AC,∠ABD=40° ∴.∠A=90°-∠ABD=50°，即顶角为50°： 当等腰三角形为钝角三角形时， 4/34 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B ,BD⊥AC,∠ABD=40°， ∠BAD=90°-∠ABD=50°， ∴∠BAC=180°-∠BAD=130°，即顶角为130°： 综上所述，其顶角为50°或130°， 故选：C. 12. 【答案】D 【详解】解：①当等腰三角形为锐角三角形时，如图1， A 图1 由题意得：∠ABD=56°，BD⊥AC .∠A=90°-56°=34°， ∴此等腰三角形的顶角的度数为34° ②当等腰三角形为钝角三角形时，如图2， 、D 、A B 图2 由题意得：∠ABD=56°，BD⊥CD .∠BAD=90°-56°=34， ∴.∠BAC=180°-34°=146°， ∴.此等腰三角形的顶角的度数为146°： 综上所述，此等腰三角形的顶角的度数为146°或34°， 故选：D 5/34 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 13. 【答案】c 【详解】解：∠ABD=50°，BD是腰上的高， ∴∠BAD=90°-∠ABD=90°-50°=40°， D D C B B 图1 图2 图3 ①如图1，若∠A为顶角， 则∠A=40°，两底角为70°， 此时三角形的三个内角为：40°，70°，70°， ②如图2，∠BAC为顶角， 则顶角为∠BAC=∠D+∠ABD=140°， 此时三角形的三个内角为：140°，20°，20°， ③如图3，若∠BCA为顶角时， ∠A=90°-∠ABD=40°， ∴.∠A=∠ABC=40°， 即顶角∠BCA=100°， 此时三角形的三个内角为：100°，40°，40°， 顶角的度数可能有100°，140°，40°， 故选：C. 【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，根据题意，对三角形进行分类讨论是解题的关键 ◆题型4等腰三角形个数的讨论（重点） 14. 【答案】B 【详解】解：由题意知，DA=DC, .∠C=∠DAC=35°， 在△ABC中，∠B=70°，∠C=35°， 6134 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴∠BAC=180°-70°-35°=75° .∠ADB=∠C+∠DAC=70°=∠B, ∴，等腰三角形有△ADC、△ABD两个. 15. 【答案】C 【详解】解：如图所示， C ● C,。 B 当点c在C1或C2或C3或C4的位置上时，AC=BC, 当点C在C5或C6位置上时，AB=BC, .满足条件的格点C的个数有6个 16. 【答案】C 【详解】解：如图：分情况讨论：①AB为等腰直角△ABC底边时，符合条件的C点有0个： ②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有3个， 故共有3个点， 故选：C. B ◆题型5等腰三角形中动点引起的分类（难） 17 0 【答案】3 7/34 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：设运动时间为t秒，由题意，得：BP=2tcm,AQ=tcm, ..AP=AB-BP=20-2t cm, ,∠BPQ=∠CQP, .180°-∠BPQ=180°-∠CQP, ∠APQ=∠AQP ...AP=AQ, ∴.20-2t=t, .:ts20 3 20 故答案为：3· 18. 【答案】11或12 【详解】解：设运动时间为t秒. 由题意可知，当点P运动到点B时两点停止运动，则0≤t≤16， 当点0在边CA上运动时，此时6≤t≤16 ①当△BCQ是以BC为底边的等腰三角形时：BQ=CQ,如图所示， 则∠C=∠CBQ, .∠ABC=90°， ∴∠CBQ+∠ABQ=90°，∠A+∠C=90°. .∴.∠A=∠ABQ, ∴.BQ=AQ ∴CQ=AQ=2AC=10cm. ∴.BC+CQ=22cm, ∴.t=22÷2=11s: ②当△BCQ是以BQ为底边的等腰三角形时：CQ=BC,如图所示， 8/34 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则BC+CQ=24cm, ∴.t=24÷2=12s. 故答案为：11或12. 19. 【答案】60°或105 【详解】解：.AB=AC, ∴.∠B=∠C=30 当△ADE为等腰三角形时分三种情况：①当AD=AE时，∠ADE=30°， ∴.∠AED=∠ADE=30°， ∴.∠DAE=180°-∠ADE-∠AED=120° :∠BAC=180°-∠B-∠C=120°，点D不与点B,C重合， ∴，不合题意： ②当DA=DE时，∠ADE=30°， ∴.∠DAE=∠DEA -号1B0.Anm =75°， '.∠CDA=∠BAD+∠B =30°+75° =105°： ③当EA=ED时，∠ADE=30°， .∠EAD=∠EDA=30°， ∴，∠CDA=∠BAD+∠B =30°+30° =60°. 综上所述，∠CDA为60°或105°. 故答案为：60°或105° 9134 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 20. 【答案】110°或80° 需分类讨论，当腰长的情况，结合等边对等角以及三角形内角和为180°求解角度即可. 【详解】解：，AB=AC ∴.∠B=∠C=40°，∠BAC=100° ①当AD=AE时，∠ADE=∠AED=40°， ∴.∠DAE=100°，此时不符合： ②当DA=DE时，即∠DAE=∠DEA=号xi, ∴.∠BAD=100°-70°=30°， ∴.∠BDA=180°-30°-40°=110°： ③当EA=ED时，∠ADE=∠DAE=40°， ∴.∠BAD=100°-40°=60°， ∴.∠BDA=180°-60°-40°=80°： 综上所述，当△ADE是等腰三角形时， ∠BDA的度数是110°或80°. 故答案为：110°或80° 21. 【详解】(1)解：，设运动的时间为t秒，其中点P从点A开始沿A→B的方向运动，且速度为 1cm/s,点Q从点B开始沿B→C→A的方向运动，且速度为2cms,P,Q两点同时出发， .'.AP=t,BP=16-tcm,BQ=2tcm 故答案为：BP=16-tcm,BQ=2tcm: (2)①当点Q在边BC上运动时，△PQB是等腰三角形时，则BP=BQ .16-t=2t 解得：t=16 3 16 出发3秒后： ②略 (3)当点Q在边CA上运动时， ①若△BCQ是以BC为底边的等腰三角形 10134 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则BQ-0Q=AQ-号AC=-10 ...BC+CQ=BC+AC-AQ .2t=32-10 解得：t=11 ②若△BCQ是以BQ为底边的等腰三角形 B 则BC=CQ=12 2t=12+12 解得：t=12 综上所述：t为11秒或12秒时，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形 ◆题型6等边三角形中动点综合问题（难） 22. 【详解】(1)解：：边长为18的等边△ABC, ∴AB=BC=AC=18,∠B=∠C=60°， .AD=2 BD. BD=号AB=6.AD=2 ,点P运动到点C时，点Q恰好到达点D, 11/34 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 18 .2 a=18+12, q=10 : (2)解：成立： 由(1)知：∠B=∠C=60°，BD=6, ,当BP=CP,BD=CQ时，△BPD≌△CPQ, BP=号BC=9,CQ=6, 23 23. 【详解】(1)解：，△ABC是边长为10cm的等边三角形， ..AB=BC=10cm, 由题意可得：BP=3tcm,CQ=2tcm, ..BQ=(10-2t)cm: (2)解：，△BPQ是等边三角形， ∴BQ=BP 当点P在AB边上时（此时点Q在BC边上）， B 有10-2t=3t,解得t=2: 当点P在BC边上时（此时点Q在AB边上）， 有30-3t=2t-10,解得t=8. 综上所述，当△BPQ是等边三角形时，t的值为2或8. 12134 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 24. 【详解】(1)证明：.'点P、点Q是同时以相同的速度运动， ∴.AP=BQ .:△ABC是等边三角形， ∴.AB=CA,∠B=∠PAC=60°， ∴.△ABQ≌△CAP|SAS: (2)解：不改变， 理由：.：△ABQ≌△CAP, ∴.∠BAQ=∠ACP, .:∠AMC=180°-∠CAM+∠ACP=180°-∠CAM+∠BAQ, :∠PAC=∠CAM+∠BAQ=60, ∴.∠AMC=180°-60°=120°： (3)解：∠AMC的度数不改变， ,‘点P、点Q是同时以相同的速度运动， ∴.BP=CQ, .△ABC是等边三角形， ∴.BC=CA,∠ABC=∠ACB=60°， ∴.∠PBC=∠QCA=120°， .∴△PBC≌△QCA SAS, ∴.∠BCP=∠CAQ,∠BPC=∠AQC即∠BPC=∠MQC, ∴.∠AMC=∠AQC+∠MCQ=∠AQC+∠BCP=∠AQC+∠CAQ, .·∠AQC+∠CAQ=180°-∠QCA=60°， ∴.∠AMC=60° ◆题型7等边三角形-截长补短法解决动点综合问题（高频） 25. 【详解】(1)证明：.'△ABC与△EDC都是等边三角形， .∴AG=BC=AB,CE=CD,∠BCA=∠ECD=60, ∴.∠ACE=180°-∠BCA-∠ECD=60°， 13/34 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠BCE=∠ACD=60°+60°=120°， 在△BCE和△ACD中 t, ∴.△BCE≌△ACD(SAS), (2)解：BM=AM+CM: 理由如下： 如图，在DA上取点F,使DF=ME,连接CF, ,△BCE≌△ACD ∴.BE=AD,∠BEC=∠ADC ∴.∠MEC=∠FDC, 同理可证：△MEC≌△FDC(SAS), ∴.MC=FC,∠MCE=∠FCD, ∴.∠MCF=∠MCE+∠ECF=∠FCD+∠ECF=∠ECD=60°， ∴.△MCF是等边三角形， .∴.CM=MF, .BM=BE-ME =AD-DF =AM+MF =AM+CM 26, 【答案】(1)证明：①.∠BAC=a,c=120°，AD平分∠BAC, ∠BAE=∠EAC=3∠BAC=609 ·AB=BE ∴.△ABE是等边三角形， ∴.∠E=60°， ∴.∠E=∠EAC, ∴.BEAC: ②如图，在AE上取一点H,使AH=AB,连接BH, 14/34 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E H 图2 由(1)知∠BAE=60°， '.△ABH是等边三角形， ∴.BH=BA=AH,∠BHA=60°， ∴.∠BHE=180°-∠BHA=120°=∠BAC, ,'∠BDE=∠ADC,∠EBC=∠EAC=60°， ∴.180°-∠BDE-∠EBC=180°-∠ADC-∠EAC, 即∠E=∠C, 在△BHE和△BAC中， d, ∴.△BHE≌△BAC AAS, ∴.HE=AC, ∴.AE=AH+HE=AB+AC: (2)解：如图，连接AC,作AM⊥BF于点M,AN⊥FC交FC的延长线于点N, B M C' .CC AD 图3 点与关于射线对称， AC=Ac.FC=FC=3.∠AC-∠AC-2CAC,5aac-=Sax=7, FGAM-FC.AN-7, 2S△ACE=2×7=14 .AM=AN=FC-33 .AB=AC,AC=AC, ∴.AC=AB, 15/34 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,AM⊥BF, .MC=MB,∠MAC'=∠MAB=号∠BAC, .∠MAC+∠AC=, -BC+CAC-Cx9045 '.△AMF是等腰直角三角形， .AM=MF=14 MC=MF-FC=14-3=5 3 31 MB=MC=5 ∴.BF=BM+MF= 514_19 33-3 27. 【答案】 【详解】(1)解：，AF平分∠CAE ∴∠EAF=∠CAF, .AB=AC,AB=AE, ∴AC=AE, 在△ACF和△AEF中， 8, ∴.△ACF≌△AEF SAS, ,∠E=∠ACF, .AB=AE, ∴∠AEB=∠ABE, ∠ABE=∠ACF: .与∠ABE相等的角是∠AEB和∠ACF (2)①图略： ②如图2，在FB上截取BM=CF,连接AM, ,△ACF≌△AEF, ∴，EF=CF,∠E=∠ACF=∠ABM, 在△ABM和△ACF中， 16/34 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 △ABM≌△ACFSAS, ∴.AM=AF,∠BAM=∠CAF,∠AMB=∠AFC .AB=AC,∠BAC=60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴.∠MAF=∠MAC+∠CAF=∠MAC+∠BAM=∠BAC=60°， .AM=AF, △AMF为等边三角形： .∠AMF=60° ∴.∠AMB=120° ,∠AMB=∠AFC=120° 由(1)可得△ACF≌△AEF .∠AFE=∠AFC=120° ∴.∠CFE=360°-∠AFC-AFE=120° (3)证明：如图3，延长BA、CF交于N, AE‖BC, ∴.∠E=∠EBC .AB=AE. ∴.∠ABE=∠E, ∴.∠ABF=∠CBF, ,∠BAC=90°，AB=AC, ∴.∠ABC=45°， .∠ABF=∠CBF=22.5°，∠ACB=45°， ∴，由(1)可得△ACF≌△AEF ∴.∠ACF=∠E=∠ABF=22.5°，CF=EF ∴.∠BFC=180°-22.5°-45°-22.5°=90°， ∴.∠BFN=∠BFC=90°， 在△BFN和△BFC中， 飞， ∴，△BFN≌△BFCASA, ..CF=FN, 17134 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 即CN=2CF=2EF, ,∠BAC=90°， ∴.∠NAC=∠BAD=90°， 在△BAD和△CAN中， t ∴.△BAD≌△CANASA, ∴.BD=CN, .BD=2EF. R 图3 28. 【答案】(1)解：选择方法1，证明如下： 如图所示，在BC上截取BM=BA,连接DM, ,对角线BD平分∠ABC, ∴.∠ABD=∠MBD, 又，BA=BM,BD=BD ∴.△ABD≌△MBD|SAS, .DA=MD,∠A=∠BMD, :∠A+∠C=180°，∠BMD+∠DMC=180°， ∴.∠C=∠DMC, ..DM=DC, ..DA=DC: 选择方法2，证明如下： 如图所示，延长BA到点N,使得BN=BC,连接DN, 18/34 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B ,对角线BD平分∠ABC, ∴∠NBD=∠CBD, 又BN=BC,BD=BD, .△BDN≌△BDC SAS, DN=DC,∠C=∠DNB, :∠C+∠BAD=180°，∠DAN+∠DAB=180°， ∴∠C=∠DAN, ∴.∠DAN=∠DNA, ∴DA=DN, ..DA=DC: (2)解：BD=AB+BC,理由如下： 如图所示，在BD上截取BF=AB,连接AF, B 由(1)得DA=DC, ,∠DAC=60°， ∴，△ACD是等边三角形， ∴AC=AD,∠ADC=60°： .∠ABD+∠ADB+∠BAD=180°，∠BCD+∠BDC+∠CBD=180°， :,∠ABD+∠ADB+∠BAD+∠BCD+∠BDC+∠CBD=360°， ∴.∠BAD+∠BCD+∠ABC+∠ADC=360°， 又'，：∠BAD+∠BCD=180°， ∠ABC=120°， ,对角线BD平分∠ABC, ∠ABD=克∠ABC=60, 19134 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 又，BF=AB “△ABF是等边三角形， ∴，AF=AB,∠BAF=60°=∠DAC, ∠BAF-∠CAF=∠DAC-∠CAF, ∴.∠BAC=∠FAD ∴.△BAC≌△FAD SAS, ∴.BC=DF, .BD=BF+DF, ∴BD=AB+BC (3)BC=AB+2CE (4)4或18 【详解】(1)略 (2)略 (3)解：如图所示，过点D作DF⊥BA交BA的延长线于点F,连接BD, :∠BAD+∠C=180°，∠BAD+∠FAD=180°， ∴∠C=∠FAD, DF⊥BA,DE⊥BC, ∴，∠F=∠DEB=∠DEC=90°， 又，DA=DC, ·△DFA≌△DEC AAS, ..DF=DE,AF=CE; 又，BD=BD, .Rt△BDE≌Rt△BDF HL, .'BF=BE, .BC=BE+CE, ∴.BC=BF+CE=AB+CE+CE=AB+2CE,即BC=AB+2CE (4)解：如图所示， 20/34 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 DE⊥CE,DE=8,CE=6, 5a匙-号Drc5=24. S△ABD:SACED=5:3, S△AB=40; 由(3)可得△DFA≌△DEC,Rt△BDE≌Rt△BDF, .S△ADr=SACDE=24,S△BDE=S△BDF=S△ABD+SAADF=64, BEDE=64, :.2 .BE=16, ∴.BC=BE+CE=22: SABPD=5BP·DE=32, BP=8, ∴，当点P从B向点C运动时，则t 8≥4 当点P从点C向点B运动时，则t 22×2-8=18, 2 综上所述，t的值为4或18. ◆题型8等边三角形-作平行线法解决动点综合问题（难） 29. 【详解】(1)解：BD=DE, ,△ABC是等边三角形，点D在边AC的中点， ∴，∠ACB=∠ABC=60°，AD=CD,且BD平分∠ABC, .∠CBD=30°，∠DCE=120° .AD=CE, ..CD=CE, 21/34 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠E=180°-1200 =30, 2 ∴.∠CBD=∠E=30°， ∴BD=DE; (2)证明：如图2，过点D作DF‖BC,交AB于点F, ,'△ABC是等边三角形， ∴.∠AFD=∠ABC=60°，∠ADF=∠ACB=60°， ∴.∠AFD=∠ADF=60 F∴.△AFD 图2 是等边三角形， ∴.AD=DF=AF, '.AB=AC, ∴AB-AF=AC-AD, ∴.FB=CD, .‘AD=CE ∴.DF=CE, 又.'∠AFD=∠ACB=60, ∴.∠DFB=∠ECD=180°-60°=120°. 在△FBD和△CDE中， FB=CD,∠DFB=∠ECD,DF=CE, ∴.△FBD≌△CDE SAS, ∴DB=ED (3)结论： AC=CM+CN证明：过M作MF‖AC交AB于F, 22/34 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A F N .△ABC D M 是等边三角形， ∴.同理可得△BMF是等边三角形， ∴.BF=BM,AB=BC=AC,∠B=60°， .'AB-BF=BC-BM, .∴.AF=CM, ∴.'在△ABM中，∠MAB=180°-∠B-∠AMB,∠NMC=180°-∠AMN-∠AMB, ∠B=∠AMN=60°， ∴.∠NMC=∠MAF, .CN平分∠ACD .:∠ACN=180°-60 =60, 2 ∴.∠MCN=∠ACN+∠ACB=120°，∠AFM=180°-∠BFM=120°， ∴.∠MCN=∠AFM, 在△AFM与△MCN中，t, ∴△AFM≌△MCN ASA, ∴.FM=CN=BM, ∴.AC=BC=CM+BM=CM+CN 30. 【答案】(1)归 (2如图，过点E作EF‖BC交AC于点F, 则∠AEF=∠ABC=60°， ,∠A=60°， ∴.△AEF是等边三角形， 23134 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.AE=FE=AF,∠AFE=60, .∠EFC=∠DBE=120°， .AB=AC,AE=AF, .'BE=CF, .EFBC, ∴.∠ECB=∠CEF, ..ED=EC, ∴.∠D=∠ECB=∠CEF, 在△DBE和△EFC中， 乙， ∴.△DBE≌△EFC AAS, .BD=FE ..BD=AE; (3)不发生变化，证明如下： 如图，过点E作EF‖BC交CA的延长线于点F, F E A 4人3 D ∴.∠1=∠F,∠BCE+∠CEF=180°， ,∠B=∠1=∠BAC=60°， ∴.∠EAF=∠2=∠F=60°， “,△AEF是等边三角形， ∴.AE=EF,∠F=∠B=60°， .DE=CE, ∴∠3=∠BCE, .∠3+∠4=180°， .∠4=∠CEF, 在△BDE与△FEC中， 24/34 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 t, .△BDE≌△FEC AAS, ..BD=EF, ..AE=BD 31. 【答案】 问题思考：证明：：△ABC是等边三角形， ∴∠ABC=60°，AB=BC ,△BEF是等边三角形， ∴.BE=BF,∠EBF=60, ∴.∠ABE+∠EBC=∠CBF+∠EBC=60°， ∴，∠ABE=∠CBF, 在△ABE和△CBF中， EB=BF {∠ABE=∠CBF AB=BC :.△ABE≌△CBF(SAS), ∴AE=CF, ..CD=CB=CA=CE+AE=CE+CF. ..CE+CF=CD: 类比探究：作DG∥AB交AC于点G,如图所示： △ABC 是等边三角形， .∠A=∠B=∠ACB=60°， .DG∥AB ∴.∠GDC=∠B=60°，∠DGC=∠A=60° ∴.∠GDC=∠DGC=∠GCD=60° ∴△CDG是等边三角形， ∴DG=DC=CG, 25/34 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,△DEF是等边三角形， .DE=DF,∠EDF=60°， ∴：∠GDE+∠EDC=∠CDF+∠EDC=60°， ∴.∠GDE=∠CDF, 在△DEG和△CDF中， GD=CD {∠GDE=∠CDF DE=DF ∴.△GDE≌△CDF(SAS) ∴GE=CF, ..CD=CG=CE+EG=CE+CF, ..CE+CF=CD: 综合攻坚知能拔高 1. 【答案】B 【详解】解：，BC=BD+AD,BC=BD+CD ..AD=DC, ,点E是AC的中点， DE⊥AC, ∠C=50°， .∠CDE=90°-50°=40° 2: 【答案】A 【详解】解：AB‖CD ,∠BAE=∠AEC 由作图得，AE平分∠BAC ∴.∠BAE=∠CAE ∴.∠AEC=∠CAE ..CE=AC=5 26/34 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,△ACE的周长为AC+CE+AE=5+5+6=16. 3. 【答案】C 【详解】解：如图，连接BD, ∠BCE=120, ,∠BCD=180°-∠BCE=60°， .CD=BC, ,△BCD为等边三角形， ..BD=CD=60cm. 4. 【答案】C 【详解】解：.：∠BAC=50°，BE、CD为△ABC的角平分线， .∠CBF=∠ABC,∠BCF=2ACB,∠ABC+∠ACB=1B0.∠BAC=130 ÷∠BFC=180-∠CBF+∠BCF=180-∠ABC+∠ACB=15,枚OE确： .FG平分BC交BC于点G, .'BG=CG, .SABFG=S△CFG,故②正确： 已知BF公共边，∠DBF=∠GBF(BE是角平分线)， 但题目没有给出BD=BG或∠BDF=∠BGF这类条件，故无法证明全等，故③错误； .AB=AC, ∴.∠ABC=∠ACB, 又，BE、CD是底角的角平分线， ∠CBF∠ABc,∠BCF=ACB, 27134 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠CBF=∠BCF, .BF=CF, 又G是BC的中点， ∴FG⊥BC,故④正确. 【答案】AB=BC或AC=BC或∠A=60°或∠B=60或∠C=60° 【详解】解：根据三边相等的三角形是等边三角形，可以填AB=BC或AC=BC; 根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，也可以填∠A=60°或∠B=60°或∠C=60° 6. 【答案】16 【详解】解：由作图可知，AD=AC, .AC=6, .AD=6, 由作图可知，直线MN是BD的垂直平分线， ·点E在直线MN上， .'EB=ED C△ADE=AD+AE+DE, 将DE=EB代入得，C=AD+AE+EB=AD+AB, AB=10,AD=6, .C△ADE=6+10=16, 7. 【答案】①②④⑤ 【详解】解：：△DAC和△EBC都是等边三角形， ,∠ACD=∠BCE=60°，AC=DC,CE=CB, ∴.∠ACE=∠DCB=120°， 在△ACE与△DCB中， L, :△ACE≌△DCBSAS,故①正确： ,∠DCB=120°，∠EBC=60°， ,∠DCB+∠EBC=180°， DCEB,故②正确： 28/34 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,△ACE≌△DCB, ∴，∠BDC=∠EAC, .∠ACD=∠BCE=60°，AC=CD, 在△ACM和△DCN中， 6, ∴，△ACM≌△DCN ASA, ∴.AM=DN, 根据三角形外角性质得到∠AMC>∠MCE,则∠AMC>∠ACM, ..AC>AM ∴.AC>DN,故③错误： ,由②中△ACM≌△DCN, 可得AM=DN. .△ACE≌△DCB, ..AE=DB, .EM=BN,故④正确： ⑤∠CMN=60°，CM=CN,∠MCN=60°， 因此△CMN是等边三角形，∠CMN=60°，⑤正确： 综上，正确结论为①②④⑤， 8. 【答案】①②③ 【详解】解：，∠ACD=∠BCE, ·.∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE, ∴.∠ACE=∠DCB, 又，CD=CA,CE=CB. .△ACE≌△DCB SAS, ∴.∠CEA=∠CBD,即∠FEC=∠FBC,故①正确； 若C是AB的中点，则AC=BC=CE, ∴.∠CAE=∠CEA, ∴，∠CAE=∠CBD, 又，∠ACG=∠BCH, .△ACG≌△BCH ASA, 29/34 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.CG=CH,故②正确： 若AD‖CE,则∠CAD=∠BCE, ∴.∠CAD=∠ACD, .CA=CD. ∴.∠CAD=∠CDA=∠ACD ,∠CAD+∠CDA+∠ACD=180°， ∴.∠CAD=∠CDA=∠ACD=60°， ∠BCE=60°， .CE=CB, ,△CBE是等边三角形， .∠CBE=60°=∠ACD, .CD‖BE,故③正确： 若∠ACD=40°，则∠BCE=40°， ∴∠ACE=180°-40°=140°， ∠CAE+∠ACE+∠CEA=180°，∠CAE+∠AFB+∠ABF=180°， ∴.∠AFB=∠ACE=140°，故④错误. 综上所述，正确的有①②③. 9. 【答案】(1)证明：∠ADF是△ABD的外角， .∠ADF=∠1+∠4， .∠DAF=∠2+∠3，∠1=∠2，∠3=∠4， .∠ADF=∠DAF, ∴.AF=DF, ∴.△ADF是等腰三角形 (2)证明：由(1)得AF=DF, EF⊥AD, ∴.AE=DE. 10. 【答案】(1)解：如图，线段AE与BF的数量关系：AE=BF 30134 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D(C) 图1 理由：：BA=BC,∠EBD=60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴.AC=AB=BC,∠CAB=∠ABC=60°， ∴.∠EAC=∠FBC=120°， .DE=DF, “∠E=∠F, 在△ACE与△BCF中， i, ∴△ACE≌△BCF AAS, .'.AE=BF (2)证明：如图，在BE上截取BH=BD,连接DH, D E B 图2 :∠EBD=60°，BH=BD,BA=BC, ∴△BDH、△ABC是等边三角形，BH-AB=BD-BC, .∠DHB=∠DBH=60°，AH=CD, .∠DHE=∠DBF=120°， .DE=DF, ∠E=∠F, 在△DHE与△DBF中， b, .△DHE≌△DBF AAS, ∴HE=BF, ∴.AE=EH+AH=BF+CD 11. 31/34 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)解：.∠ACD=∠E=90° ∴.∠ACB=90°-∠DCE=∠D 在△ABC和△CED中， u ∴.△ABC≌△CED|AAS, ∴.AB=CE=3,BC=ED=4, ∴.BE=BC+CE=7: (2)解：过D作DE⊥BC交BC延长线于点E,如图， D .·DE⊥BCCD⊥AC -----------E C ∴.∠E=∠ACD=90°， ∴.∠ACB=90°-∠DCE=∠CDE. 在△ABC和△CED中， t, ∴.△ABC≌△CED AAS, .∴.BC=ED=4, SABCD)BC·DE=8: (3)解：过点A作AE⊥CD于点E,过点B作BF⊥DC交DC的延长线于点F,如图， .△ACD 12 CD 6 的面积为，的长为， 2x6×AE=12, .1 ∴.AE=4」 .∠ADC=45°，AE⊥CD, ∴.△ADE是等腰直角三角形， .∴.DE=AE=4, 32/34 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.CE=CD-DE=2 ,∠ACB=90°， ∴.∠ACE=90°-∠BCF=∠CBF .AC=CB. , ∴.△ACE≌△CBF AAS, .∴.BF=CE=2, .SAxD5CD·BF=6 12. 【详解】(1)解：①，等腰直角△ADF,AD为直角边， ∴.AD=AF,∠DAF=90, ,∠BAC=90°， ∴.∠BAD=∠CAF=90°-∠CAD, 又，AB=AC, .△ACF≌△ABD SAS,∠B=∠ACB=45° ∴.CF=BD,∠ACF=∠B=45°， ∴.∠DCF=∠ACF+∠ACB=90°， .CF⊥BD: ②理由如下： 同①法可得：△ACF≌△ABD SAS, ∴.CF=BD,∠ADB=∠AFC, 设AD,CF交于点E,则∠CED=∠AEF, .∠FCD=∠DAF=90°， ∴CF⊥BD: ②成立，画图如下： A 图2 33/34 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：CF⊥BC,理由如下： 作AE⊥AC交BC于点E,则∠CAE=90°=∠DAF, ∴.∠CAF=∠DAE=90°-∠CAD. ,∠BCA=45°， ∴∠AEC=45°=∠ACB, ..AC=AE, 又，AD=AF, ∴.△ACF≌△ADE SAS, ∴.∠ACF=∠AEC=45°， ∴，∠DCF=∠ACF+∠ACB=90°， .CF⊥BD 图3 【分析】(1)①证明△ACF≌△ABD,即可得出结论：②根据题意，补全图形，证明 △ACF≌△ABD,即可得出结论： (2)作AE⊥AC交BC于点E,证明△ACF≌△ADE SAS,推出 ∠DCF=∠ACF+∠ACB=90°，即可. 34/34