专题13 等腰三角形（题型专练）数学新教材浙教版八年级上册

专题13 等腰三角形 （题型突破·举一反三） 题型01 等腰三角形的周长 题型02 等腰三角形的腰长（底边长） 题型03 中线与等腰三角形 题型04 等腰三角形与非负性结合 题型05 等腰三角形与新定义 题型06 格点中的等腰三角形 题型07 等腰三角形的概念与全等三角形 ▌题型01 等腰三角形的周长 1. 公式 设腰长为 a，底边长为 b，则C = 2a + b。 2. 关键限制（三角形三边关系） 两腰之和＞底边：2a > b 任意两边之差＜第三边，做题必须检验，舍去不合理解。 【典例1】（2026春•桥西区期末）某等腰三角形的两边长分别为3，6，则这个等腰三角形的周长是（　　） A．12 B．15 C．12或15 D．不能确定 【分析】求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给出等腰三角形有两条边长为3和6，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【解答】解：若3为腰长，6为底边长，由于3+3＝6，则三角形不存在； 若6为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边． 所以这个三角形的周长为6+6+3＝15． 故选：B． 【变式1-1】（2026•岳阳二模）等腰三角形的两边长分别为3和7，则这个三角形的周长为（　　） A．13 B．17 C．13或17 D．21 【分析】分两种情况讨论等腰三角形的腰长，结合三角形三边关系判断能否构成三角形，再计算符合条件的周长． 【解答】解：分两种情况讨论： 情况1：当3为腰长时，三角形三边长为3，3，7， ∵3+3＜7，不满足三角形两边之和大于第三边，不能构成三角形， ∴此情况舍去； 情况2：当7为腰长时，三角形三边长为3，7，7， ∵3+7＞7，7+7＞3，满足三角形三边关系，可以构成三角形， ∴三角形的周长为3+7+7＝17， 综上所述，这个三角形的周长为17， 故选：B． 【变式1-2】（2026春•河源期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝5，线段AB的垂直平分线交AB于点E，交AC于点D，则△BCD的周长为（　　） A．25 B．20 C．15 D．10 【分析】由线段垂直平分线的性质得到AD＝BD，再根据三角形的周长公式求解即可． 【解答】解：在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝5，线段AB的垂直平分线交AB于点E， ∵线段AB的垂直平分线交AB于点E，交AC于点D， ∴AD＝BD， ∴△BCD的周长＝BC+CD+BD＝BC+CD+AD＝BC+AC＝5+10＝15． 故选：C． 【变式1-3】（2026春•七里河区期末）等腰三角形的两边长是6cm和3cm,那么它的周长是 . 【分析】根据三角形的三边关系，等腰三角形的性质解答即可． 【解答】解：当腰为3cm时，3+3=6，不能构成三角形，因此这种情况不成立． 当腰为6cm时，6-3＜6＜6+3，能构成三角形； 6+6+3=15cm. 综上所述，它的周长是15cm. ▌题型02 等腰三角形的腰长（底边长） 1. 公式 设周长为 C，底边长为 b，则a=。 2. 已知两边长，分类讨论求腰长。 【典例1】（2026春•市南区期末）等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的腰长为（　　） A．7cm B．5cm C．3cm D．7cm或3cm 【分析】分两种情况：①当腰长为3cm时，②当底边长为3cm时，再结合三角形的三边关系解答即可． 【解答】解：①当腰长为3cm时，则底边长为13﹣3﹣3＝7（cm）， 三角形的三边长分别为3cm，3cm，7cm， ∵3+3＜7， ∴不能组成三角形，舍去； ②当底边长为3cm时，则腰长为， 三角形的三边长分别为3cm，5cm，5cm， ∵3+5＞5， ∴能组成三角形， ∴该等腰三角形的腰长为5cm． 故选：B． 【变式1-1】（2026•栖霞区校级三模）等腰△ABC的周长为18，若AB的长为8，则BC的长不可能是（　　） A．2 B．5 C．6 D．8 【分析】根据AB是底边或腰和△ABC是等边三角形三种情况分析解答． 【解答】解：当AB是底边时，BC的长为（18﹣8）÷2＝5，5+5＞8，能围成三角形，故不符合题意； 当AB是腰时，BC的长为18﹣8﹣8＝2，2+8＞8，能围成三角形，故不符合题意； 当△ABC是等边三角形，AB＝BC＝AC＝6，能围成三角形，但和AB的长为8矛盾，故符合题意； 故选：C． 【变式1-2】（2026•榆树市模拟）等腰三角形周长为16cm，一边长为4cm，该等腰三角形的底边长为（　　） A．4cm B．8cm C．8cm或4cm D．5cm 【分析】分4cm的边是腰长与底边长两种情况讨论求解． 【解答】解：①4cm是腰长时，底边为16﹣4×2＝8cm， 此时三角形的三边长分别为4cm、4cm、8cm， ∵4+4＝8， ∴不能组成三角形； ②4cm是底边时，腰长为（16﹣4）＝6cm， 此时，三角形的三边分别为6cm、6cm、4cm， 能组成三角形， 所以，该等腰三角形的底边长为4cm． 故选：A． 【变式1-3】（2026春•历城区期中）将一根长14厘米的铁棒截成三段，首尾相连焊接成一个等腰三角形，如图，如果第一次在4厘米处（剪刀处）截断，那么第二次截断处的位置应该是（　　） A．②或③ B．④或⑤ C．②，③或④ D．③，④或⑤ 【分析】分两种情况：当4cm为等腰三角形的腰时；当4cm为等腰三角形的底时；然后分别进行计算即可解答． 【解答】解：分两种情况： 当4cm为等腰三角形的腰时， ∵等腰三角形的周长是14cm， ∴等腰三角形的底边长＝14﹣4﹣4＝6（cm）， ∴第二次截断处的位置应该是②或④； 当4cm为等腰三角形的底时， ∵等腰三角形的周长是14cm， ∴等腰三角形的腰长5（cm）， ∴第二次截断处的位置应该是③； 综上所述：第二次截断处的位置应该是②或④或③， 故选：C． ▌题型03 中线与等腰三角形 已知：等腰三角形一腰上的中线将周长分为 m、n 两部分， 解题步骤 （1）设腰长 2x（设2x方便消分母，中线分得线段为x），底边长 y； （2）分两种情况列方程： 情况①：腰+半腰 = m，底+半腰 = n 即 情况②：腰+半腰 = n，底+半腰 = m 即 （3）解出 x，,y 后检验三边关系：两腰之和＞底边，不成立舍去。 【典例1】（2026•雅安模拟）在等腰△ABC中，AB＝AC，中线CD将这个三角形的周长分为12和15两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（　　） A．7 B．7或11 C．10 D．8或10 【分析】题中给出了周长关系，要求底边长，首先应先想到等腰三角形的两腰相等，寻找问题中的等量关系，列方程求解，然后结合三角形三边关系验证答案． 【解答】解：设等腰三角形的底边长为x，腰长为y，则根据题意，等腰三角形的两腰相等，寻找问题中的等量关系，列方程可得： ①或②， 解方程组①得：，根据三角形三边关系定理，此时能组成三角形； 解方程组②得：，根据三角形三边关系定理此时能组成三角形， 即等腰三角形的底边长是11或7； 故选：B． 【变式1-1】（2025秋•涪城区校级期末）等腰三角形的周长为36，一腰上的中线把周长分为1：2两部分，则这个等腰三角形的底边长为（　　） A．4 B．10 C．20 D．4或20 【分析】设等腰三角形的腰长与底边长分别为xcm、ycm，根据题意分两种情况列出方程组求解，然后利用三角形的三边关系判断即可得解． 【解答】解：设等腰三角形的腰长与底边长分别为x、y， 根据题意得或， 解得或， 当x＝8，y＝20时，三角形的三边分别为8、8、20， ∵8+8＝16＜20， ∴不能组成三角形， 当x＝16，y＝4时，三角形的三边分别为16、16、4， 能够组成三角形， 所以这个等腰三角形的底边长为4． 故选：A． 【变式1-2】（2026春•杨浦区校级月考）在等腰三角形ABC中，AB＝AC，周长为16cm，AC边上的中线BD把△ABC分成周长差为4cm的两个三角形，求△ABC底边BC的长　　 cm． 【分析】设AB＝AC＝x cm，BC＝y cm，根据三角形周长得到第一个方程，再利用中线性质得到两个三角形的周长差即为腰长与底边长的差，分两种情况建立方程组求解，最后根据三角形三边关系检验，得到符合条件的BC的长． 【解答】解：设AB＝AC＝x cm，BC＝y cm， 由△ABC周长为16cm得： 2x+y＝16， ∵BD是AC边上的中线， ∴AD＝CD， 又BD是△ABD和△BCD的公共边， ∴|x﹣y|＝4， 分两种情况讨论： （1）当x＞y时，x﹣y＝4， 联立方程组， 两式相加得3x＝20，解得， 代入x﹣y＝4得， 此时三边长为，，，满足三角形三边关系，符合题意． （2）当x＜y时，y﹣x＝4， 联立方程组， 解得， 此时三边长为4cm，4cm，8cm，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能构成三角形，故舍去． 综上，底边BC的长为． 故答案为：． 【变式1-3】（2025秋•勃利县期末）若等腰三角形一腰上的中线将三角形的周长分为9cm和15cm两部分，则这个三角形的腰长是 　10cm ． 【分析】已知给出的9cm和15cm两部分，没有明确哪一部分含有底边，要分类讨论，设三角形的腰为x，分两种情况讨论：xx＝9或xx＝15． 【解答】解：设三角形的腰为x，如图：△ABC是等腰三角形，AB＝AC，BD是AC边上的中线， 则有AB+AD＝9或AB+AD＝15，分下面两种情况解． ①xx＝9， ∴x＝6， ∵三角形的周长为9+15＝24cm， ∴三边长分别为6，6，12， ∵6+6＝12，不符合三角形的三边关系， ∴舍去； ②xx＝15 ∴x＝10 ∵三角形的周长为24cm ∴三边长分别为10，10，4． 综上可知：这个等腰三角形的腰长为10cm． 故答案为：10cm． ▌题型04 等腰三角形与非负性结合 1. 两种非负形式（和为0则各自为0） ① 平方： ② 绝对值： 若 ，则 m=0，n=0 2. 等腰三角形核心限制 两边相等；任意两边之和大于第三边。 3. 解题四步骤 （1）根据「几个非负数相加等于0」，分别令每一项=0，解出两条边长； （2）分两种情况讨论等腰： ① 第一条线段为腰，第二条为底 ② 第二条线段为腰，第一条为底 （3）用三角形三边关系检验，舍去不成立的情况； （4）求周长等答案。 【典例1】（2026春•碑林区校级期末）若实数m，n满足|m﹣25|+（12﹣n）2＝0，且m，n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是　62　 ． 【分析】由非负数的性质得到m＝25，n＝12，由三角形三边关系定理判定等腰三角形的腰长是25，不能是12，即可求出等腰三角形的周长． 【解答】解：∵|m﹣25|+（12﹣n）2＝0， ∴m﹣25＝0，12﹣n＝0， ∴m＝25，n＝12， 如果等腰三角形的腰长是25， ∵12+25＞25，满足三角形三边关系定理， ∴此时等腰三角形的周长＝25+25+12＝62； 如果等腰三角形的腰长是12， ∵12+12＜25，不满足三角形三边关系定理， ∴等腰三角形的腰长不能是12， ∴△ABC的周长是62． 故答案为：62． 【变式1-1】（2026春•新城区期末）若实数a，b满足|a﹣7|+（b﹣11）2＝0，则以a，b的值为两边长的等腰三角形的周长是　25或29　 ． 【分析】根据非负数的性质列式求出a、b的值，再分a是腰长与底边两种情况讨论求解． 【解答】解：根据题意得，a﹣7＝0，b﹣11＝0， 解得a＝7，b＝11， ①a＝7是腰长时，三角形的三边分别为7、7、11， ∵7+7＝14， ∴7、7、11能组成三角形， ∴三角形的周长为25， ②a＝7是底边时，三角形的三边分别为7、11、11， 能够组成三角形， 周长＝7+11+11＝29； 综上所述，三角形的周长为25或29． 故答案为：25或29． 【变式1-2】（2026春•宝山区校级期中）等腰三角形的两边a、b满足（a﹣3）2+|b﹣8|＝0，则该等腰三角形的周长是　19　 ． 【分析】根据非负数的性质求出a，b的值，分情况讨论等腰三角形的腰长，结合三角形三边关系判断能否构成三角形，进而计算周长． 【解答】解：根据非负数的性质可知： （a﹣3）2+|b﹣8|＝0，且（a﹣3）2≥0，|b﹣8|≥0， ∴a﹣3＝0，b﹣8＝0， 解得a＝3，b＝8， ∵该三角形是等腰三角形， ∴三边长为3，3，8或8，8，3， ∵3+3＜8，不满足三角形三边关系，该情况不合题意，舍去， ∴等腰三角形的周长为8+8+3＝19． 故答案为：19． 【变式1-3】（2026春•南山区校级期中）若a，b是一个等腰三角形的两边长，且满足|a﹣6|+（b﹣4）2＝0，则该等腰三角形的周长是　14或16　 ． 【分析】先根据非负数的性质求出a＝6，b＝4，再根据等腰三角形的定义分情况解答即可． 【解答】解：∵|a﹣6|+（b﹣4）2＝0， ∴a﹣6＝0，b﹣4＝0， ∴a＝6，b＝4， 当6为底边长时，腰长为4， 4+4＝8＞6，则能组成三角形， 此时，该等腰三角形的周长为6+4+4＝14； 当4为底边长时，腰长为6， 4+6＝10＞6，则能组成三角形， 此时，6+6+4＝16，即该等腰三角形的周长为16， 综上所述，该等腰三角形的周长为14或16， 故答案为：14或16． ▌题型05 等腰三角形与新定义 1. 拆定义：把题目陌生新定义翻译成等式、角度关系、线段关系； 2. 套等腰固有性质：等边对等角、等角对等边、三线合一、两腰相等； 3. 分类讨论：等腰三角形永远分三类：①AB=AC ②AB=BC ③AC=BC； 4. 方程求解：设角度/边长为x，结合内角和、三边关系列方程； 5. 检验取舍：排除无法构成三角形、不符合新定义的解。 【典例1】（2026春•福田区校级期末）定义：经过三角形一个顶点及其对边上一点的直线，若能将此三角形分割成两个等腰三角形，称这个三角形为“钻石三角形”，这条直线称为这个三角形的“钻石分割线”．在△ABC中，∠BAC＝20°，若存在过点C的“钻石分割线”，使△ABC是“钻石三角形”，则∠B的度数不可能是（　　） A．20° B．40° C．70° D．100° 【分析】分五种情况分别画出图形进行讨论，求出结果即可． 【解答】解：分五种情况分别画出图形进行讨论如下： 如图a， 当AD＝CD时， 则∠ACD＝∠A＝20°， ∴∠CDB＝∠ACD+∠A＝40°， ∴①当CD＝BD时，； ②当CD＝BC时，∠B＝∠CDB＝40°； ③当BD＝BC时，∠B＝180°﹣40°﹣40°＝100°； 如图b， 当AC＝AE，CE＝BE时， 则， ∴∠B＝∠BCE＝40°； 如图c， 当AC＝CE，CE＝BE时， 则∠AEC＝∠A＝20°， ∴∠B＝∠BCE＝10°； 综上所述，∠B的度数为70°或40°或100°或10°． 故选：A． 【变式1-1】（2025春•浑南区期末）定义：等腰三角形的底边长与其腰长的比值k称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰三角形的周长为16cm，一边长为6cm，则它的“优美比”k为（　　） A． B． C．或 D．或 【分析】分两种情况：等腰三角形的腰长和底边长都有可能是6cm，由等腰三角形的“优美比”的定义，即可求解． 【解答】解：当等腰三角形的腰长是6cm时， ∴等腰三角形底边长是16﹣2×6＝4（cm）， 6+4＞6，满足三角形三边关系， ∴此时等腰三角形的“优美比”k； 当等腰三角形的底边长是6cm时， ∴等腰三角形腰长是（16﹣6）＝5（cm）， 5+5＞6，满足三角形三边关系， ∴此时等腰三角形的“优美比”k， ∴等腰三角形的“优美比”k或． 故选：C． 【变式1-2】（2026春•历城区期末）等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰三角形的周长为16，其中一边长为4，则它的“优美比”为　　 ． 【分析】根据等腰三角形的性质，一边长为4可能是腰或底边，但需满足三角形三边关系．通过计算，4为腰时不能构成三角形，故只能为底边，从而求出腰长，再计算优美比． 【解答】解：分两种情况讨论： 当4为腰长时，底边长为16﹣4﹣4＝8，则4+4＝8，不满足三角形三边关系，故舍去． 当4为底边长时，则16﹣4＝12，腰长为12÷2＝6此时6+6＝12＞4，6+4＝10＞6，满足三角形三边关系，则“优美比”为． 故答案为：． 【变式1-3】（2025秋•西城区校级期中）定义：等腰三角形的腰长与其底边长的比值k称为这个等腰三角形的“优美比”．例如一个等腰三角形的腰长为2cm，底边长为3cm，则这个等腰三角形的“优美比”k为．若等腰三角形ABC的周长为13cm，AB＝5cm，则它的“优美比”k为　或　 ． 【分析】由三角形三边关系定理判定等腰三角形的腰长和底边长都有可能是5cm，由等腰三角形的“优美比”的定义，即可求解． 【解答】解：当等腰三角形的腰长是5cm时， ∵等腰△ABC的周长为13cm， ∴此等腰三角形的底边长是13﹣5×2＝3（cm）， 5+3＞5，满足三角形三边关系定理， ∴此时这个等腰三角形的“优美比”k为； 当等腰三角形的底边长是5cm时， ∵等腰△ABC的周长为13cm， ∴此等腰三角形的腰长是（13﹣5）＝4（cm）， 4+4＞5，满足三角形三边关系定理， ∴此时这个等腰三角形的“优美比”k为， ∴等腰△ABC的“优美比”k为或． 故答案为：或． ▌题型06 格点中的等腰三角形 已知两个点，找第三个格点，使之成为等腰三角形，如果已知的两个点连接的线段为等腰三角形的底，则根据格点的特征作出垂直平分线，若已知的两个点连接的线段为等腰三角形的腰，则根据格点的特征找出与之相等的线段即可。 【典例1】（2026春•青岛期中）如图，在5×5的正方形网格中，点A，B均在格点上，要在格点上确定一点C，使△ABC是以AB为腰的等腰三角形，则网格中满足条件的点C的个数是（　　） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【分析】根据等腰三角形的定义求解即可； 【解答】解：根据题意，得符合要求的点有如下：6个； 故选：B． 【变式1-1】（2025秋•攀枝花期末）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A，B是两个格点，如果点C也是图形中的格点，且△ABC为等腰三角形，所有符合条件的点C有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【分析】根据等腰三角形的定义，在网格中画出图形即可． 【解答】解：如图，点C1，C2，C3，C4，C5即为所求． 故选：C． 【变式1-2】（2026春•中原区校级期中）我们称网格线的交点为格点．如图，在5行×5列的长方形网格中有两个格点A、B，连接AB，在网格中再找一个格点C，使得△ABC是等腰三角形，则满足条件的格点C的个数是（　　） A．10个 B．9个 C．8个 D．7个 【分析】本题考查了等腰三角形的判定、垂直平分线以及网格作图，解题的关键是利用分类讨论思想和熟悉等腰三角形的性质，分AB为底边、AB 为腰且 A 为顶点、AB 为腰且 B 为顶点三种情况讨论，找出所有满足条件的格点即可． 【解答】解：设网格小正方形的边长为1， 分三种情况讨论： 当AB＝AC时，如图， 此时满足条件的格点C共有3个； 当AC＝BC时，则点C在线段 AB 的垂直平分线上，如图， 此时满足条件的格点C有2个； BA＝BC时，如图， 此时满足条件的格点C共有3个， 综上所述，满足条件的格点C共有3+2+3＝8个， 故选：C． 【变式1-3】如图，在由边长为1的小正方形组成的5×5的网格中，点A，B在小方格的顶点上，要在小方 格的顶点确定一点C，连接AC和BC，使△ABC是等腰三角形．则方格图中满足条件的点C的个数是 . 【分析】根据等腰三角形的判定找出符合的所有点即可． 【解答】解：如图所示： C在C1，C2，C3，C4位置上时，AC=BC； C在C5，C6位置上时，AB=BC； 即满足点C的个数是6． ▌题型07 等腰三角形的概念与全等三角形 1.标记条件：圈出等腰带来的等边，标出垂直、中点、角平分线； 2.寻找目标全等三角形：看要证的边/角在哪两个三角形里； 3.凑齐3个全等条件：用等腰性质补齐缺少的边； 4.全等推结论：全等→对应边等、对应角等，再结合等腰二次推导。 【典例1】（2025秋•南昌期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠ACB，BD为△ABC的角平分线，若E为线段BD上一点，∠DEC＝∠A，求证：AB＝EC． 【分析】证明△ABD≌△ECD（ASA），可得结论． 【解答】证明：∵∠A＝∠DEC＝180°﹣3α， ∴∠BDC＝∠ADB＝2α， 在△ABD和△ECD中， ， ∴△ABD≌△ECD（ASA）， ∴AB＝EC． 【变式1-1】（2026春•虹口区期末）如图，已知：在△ABC中，AB＝AC，D、E是边BC上的两个三等分点．求证：∠BAD＜∠DAE． 【分析】延长AD至点F，使DF＝AD，连接EF，先根据等边对等角得∠B＝∠C，再证得△ABD≌△FED（SAS），得∠BAD＝∠F，AB＝FE，然后，根据“大边对大角”得∠B＝∠C＜∠AED，证得AE＜AB，即AE＜EF，可得∠F＜∠FAE，即∠BAD＜∠DAE． 【解答】证明：如图，延长AD至点F，使DF＝AD，连接EF， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵D、E是边BC上的两个三等分点， ∴BD＝ED， 在△ABD和△FED中， ， ∴△ABD≌△FED（S，A，S）， ∴∠BAD＝∠F，AB＝FE， 又∵∠B＝∠C＜∠AED， ∴AE＜AB，即AE＜EF， ∴∠F＜∠FAE， ∴∠BAD＜∠DAE． 【变式1-2】（2026春•雁塔区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在边BC上，点E，F在线段AD上，且∠AEB＝∠AFC＝130°，∠BAC＝50°．请说明：AE＝CF． 【分析】先证明∠ABE＝∠FAC，进而结合已知证明△ABE≌△CAF（AAS），根据全等三角形的性质即可得证． 【解答】证明：∵∠AEB＝130°， ∴∠ABE+∠BAE＝∠180﹣AEB＝50°， ∵∠BAC＝∠BAE+∠FAC＝50°， ∴∠ABE＝∠FAC， 在△ABE和△CAF中， ∴△ABE≌△CAF（AAS）， ∴AE＝CF． 【变式1-3】（2026•十堰模拟）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，CD∥AB，DE⊥AC，垂足为E，且AB＝CE，连接AD．求证：△ACD为等腰三角形． 【分析】由平行线的性质推出∠BCD+∠B＝90°，求出∠BCD＝90°，由余角的性质推出∠BAC＝∠DCE，由垂直的定义得到∠B＝∠DEC＝90°，判定△ABC≌△CED（ASA），推出AC＝CD，即可证明△ACD是等腰三角形． 【解答】证明：∵CD∥AB， ∴∠BAC＝∠DCE， ∵DE⊥AC， ∴∠B＝∠DEC＝90°， ∵AB＝CE， ∴△ABC≌△CED（ASA）， ∴AC＝CD， ∴△ACD是等腰三角形． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13 等腰三角形 （题型突破·举一反三） ▌题型01 等腰三角形的周长 【典例1】B． 【变式1-1】B． 【变式1-2】C． 【变式1-3】15cm. ▌题型02 等腰三角形的腰长（底边长） 【典例1】B． 【变式1-1】C． 【变式1-2】A． 【变式1-3】C． ▌题型03 中线与等腰三角形 【典例1】B． 【变式1-1】A． 【变式1-2】． 【变式1-3】10cm． ▌题型04 等腰三角形与非负性结合 【典例1】62． 【变式1-1】25或29． 【变式1-2】19． 【变式1-3】14或16． ▌题型05 等腰三角形与新定义 【典例1】A． 【变式1-1】C． 【变式1-2】． 【变式1-3】或． ▌题型06 格点中的等腰三角形 【典例1】B． 【变式1-1】C． 【变式1-2】C． 【变式1-3】6． ▌题型07 等腰三角形的概念与全等三角形 【典例1】 【解答】证明：∵∠A＝∠DEC＝180°﹣3α， ∴∠BDC＝∠ADB＝2α， 在△ABD和△ECD中， ， ∴△ABD≌△ECD（ASA）， ∴AB＝EC． 【变式1-1】 【解答】证明：如图，延长AD至点F，使DF＝AD，连接EF， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵D、E是边BC上的两个三等分点， ∴BD＝ED， 在△ABD和△FED中， ， ∴△ABD≌△FED（S，A，S）， ∴∠BAD＝∠F，AB＝FE， 又∵∠B＝∠C＜∠AED， ∴AE＜AB，即AE＜EF， ∴∠F＜∠FAE， ∴∠BAD＜∠DAE． 【变式1-2】 【解答】证明：∵∠AEB＝130°， ∴∠ABE+∠BAE＝∠180﹣AEB＝50°， ∵∠BAC＝∠BAE+∠FAC＝50°， ∴∠ABE＝∠FAC， 在△ABE和△CAF中， ∴△ABE≌△CAF（AAS）， ∴AE＝CF． 【变式1-3】 【解答】证明：∵CD∥AB， ∴∠BAC＝∠DCE， ∵DE⊥AC， ∴∠B＝∠DEC＝90°， ∵AB＝CE， ∴△ABC≌△CED（ASA）， ∴AC＝CD， ∴△ACD是等腰三角形． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13 等腰三角形 （题型突破·举一反三） 题型01 等腰三角形的周长 题型02 等腰三角形的腰长（底边长） 题型03 中线与等腰三角形 题型04 等腰三角形与非负性结合 题型05 等腰三角形与新定义 题型06 格点中的等腰三角形 题型07 等腰三角形的概念与全等三角形 ▌题型01 等腰三角形的周长 1. 公式 设腰长为 a，底边长为 b，则C = 2a + b。 2. 关键限制（三角形三边关系） 两腰之和＞底边：2a > b 任意两边之差＜第三边，做题必须检验，舍去不合理解。 【典例1】（2026春•桥西区期末）某等腰三角形的两边长分别为3，6，则这个等腰三角形的周长是（　　） A．12 B．15 C．12或15 D．不能确定 【变式1-1】（2026•岳阳二模）等腰三角形的两边长分别为3和7，则这个三角形的周长为（　　） A．13 B．17 C．13或17 D．21 【变式1-2】（2026春•河源期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝5，线段AB的垂直平分线交AB于点E，交AC于点D，则△BCD的周长为（　　） A．25 B．20 C．15 D．10 【变式1-3】（2026春•七里河区期末）等腰三角形的两边长是6cm和3cm,那么它的周长是 . ▌题型02 等腰三角形的腰长（底边长） 1. 公式 设周长为 C，底边长为 b，则a=。 2. 已知两边长，分类讨论求腰长。 【典例1】（2026春•市南区期末）等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的腰长为（　　） A．7cm B．5cm C．3cm D．7cm或3cm 【变式1-1】（2026•栖霞区校级三模）等腰△ABC的周长为18，若AB的长为8，则BC的长不可能是（　　） A．2 B．5 C．6 D．8 【变式1-2】（2026•榆树市模拟）等腰三角形周长为16cm，一边长为4cm，该等腰三角形的底边长为（　　） A．4cm B．8cm C．8cm或4cm D．5cm 【变式1-3】（2026春•历城区期中）将一根长14厘米的铁棒截成三段，首尾相连焊接成一个等腰三角形，如图，如果第一次在4厘米处（剪刀处）截断，那么第二次截断处的位置应该是（　　） A．②或③ B．④或⑤ C．②，③或④ D．③，④或⑤ ▌题型03 中线与等腰三角形 已知：等腰三角形一腰上的中线将周长分为 m、n 两部分， 解题步骤 （1）设腰长 2x（设2x方便消分母，中线分得线段为x），底边长 y； （2）分两种情况列方程： 情况①：腰+半腰 = m，底+半腰 = n 即 情况②：腰+半腰 = n，底+半腰 = m 即 （3）解出 x，,y 后检验三边关系：两腰之和＞底边，不成立舍去。 【典例1】（2026•雅安模拟）在等腰△ABC中，AB＝AC，中线CD将这个三角形的周长分为12和15两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（　　） A．7 B．7或11 C．10 D．8或10 【变式1-1】（2025秋•涪城区校级期末）等腰三角形的周长为36，一腰上的中线把周长分为1：2两部分，则这个等腰三角形的底边长为（　　） A．4 B．10 C．20 D．4或20 【变式1-2】（2026春•杨浦区校级月考）在等腰三角形ABC中，AB＝AC，周长为16cm，AC边上的中线BD把△ABC分成周长差为4cm的两个三角形，求△ABC底边BC的长 cm． 【变式1-3】（2025秋•勃利县期末）若等腰三角形一腰上的中线将三角形的周长分为9cm和15cm两部分，则这个三角形的腰长是 ． ▌题型04 等腰三角形与非负性结合 1. 两种非负形式（和为0则各自为0） ① 平方： ② 绝对值： 若 ，则 m=0，n=0 2. 等腰三角形核心限制 两边相等；任意两边之和大于第三边。 3. 解题四步骤 （1）根据「几个非负数相加等于0」，分别令每一项=0，解出两条边长； （2）分两种情况讨论等腰： ① 第一条线段为腰，第二条为底 ② 第二条线段为腰，第一条为底 （3）用三角形三边关系检验，舍去不成立的情况； （4）求周长等答案。 【典例1】（2026春•碑林区校级期末）若实数m，n满足|m﹣25|+（12﹣n）2＝0，且m，n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是 ． 【变式1-1】（2026春•新城区期末）若实数a，b满足|a﹣7|+（b﹣11）2＝0，则以a，b的值为两边长的等腰三角形的周长是　 ． 【变式1-2】（2026春•宝山区校级期中）等腰三角形的两边a、b满足（a﹣3）2+|b﹣8|＝0，则该等腰三角形的周长是 ． 【变式1-3】（2026春•南山区校级期中）若a，b是一个等腰三角形的两边长，且满足|a﹣6|+（b﹣4）2＝0，则该等腰三角形的周长是　 ． ▌题型05 等腰三角形与新定义 1. 拆定义：把题目陌生新定义翻译成等式、角度关系、线段关系； 2. 套等腰固有性质：等边对等角、等角对等边、三线合一、两腰相等； 3. 分类讨论：等腰三角形永远分三类：①AB=AC ②AB=BC ③AC=BC； 4. 方程求解：设角度/边长为x，结合内角和、三边关系列方程； 5. 检验取舍：排除无法构成三角形、不符合新定义的解。 【典例1】（2026春•福田区校级期末）定义：经过三角形一个顶点及其对边上一点的直线，若能将此三角形分割成两个等腰三角形，称这个三角形为“钻石三角形”，这条直线称为这个三角形的“钻石分割线”．在△ABC中，∠BAC＝20°，若存在过点C的“钻石分割线”，使△ABC是“钻石三角形”，则∠B的度数不可能是（　　） A．20° B．40° C．70° D．100° 【变式1-1】（2025春•浑南区期末）定义：等腰三角形的底边长与其腰长的比值k称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰三角形的周长为16cm，一边长为6cm，则它的“优美比”k为（　　） A． B． C．或 D．或 【变式1-2】（2026春•历城区期末）等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰三角形的周长为16，其中一边长为4，则它的“优美比”为 ． 【变式1-3】（2025秋•西城区校级期中）定义：等腰三角形的腰长与其底边长的比值k称为这个等腰三角形的“优美比”．例如一个等腰三角形的腰长为2cm，底边长为3cm，则这个等腰三角形的“优美比”k为．若等腰三角形ABC的周长为13cm，AB＝5cm，则它的“优美比”k为 ． ▌题型06 格点中的等腰三角形 已知两个点，找第三个格点，使之成为等腰三角形，如果已知的两个点连接的线段为等腰三角形的底，则根据格点的特征作出垂直平分线，若已知的两个点连接的线段为等腰三角形的腰，则根据格点的特征找出与之相等的线段即可。 【典例1】（2026春•青岛期中）如图，在5×5的正方形网格中，点A，B均在格点上，要在格点上确定一点C，使△ABC是以AB为腰的等腰三角形，则网格中满足条件的点C的个数是（　　） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【变式1-1】（2025秋•攀枝花期末）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A，B是两个格点，如果点C也是图形中的格点，且△ABC为等腰三角形，所有符合条件的点C有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式1-2】（2026春•中原区校级期中）我们称网格线的交点为格点．如图，在5行×5列的长方形网格中有两个格点A、B，连接AB，在网格中再找一个格点C，使得△ABC是等腰三角形，则满足条件的格点C的个数是（　　） A．10个 B．9个 C．8个 D．7个 【变式1-3】如图，在由边长为1的小正方形组成的5×5的网格中，点A，B在小方格的顶点上，要在小方 格的顶点确定一点C，连接AC和BC，使△ABC是等腰三角形．则方格图中满足条件的点C的个数是 . ▌题型07 等腰三角形的概念与全等三角形 1.标记条件：圈出等腰带来的等边，标出垂直、中点、角平分线； 2.寻找目标全等三角形：看要证的边/角在哪两个三角形里； 3.凑齐3个全等条件：用等腰性质补齐缺少的边； 4.全等推结论：全等→对应边等、对应角等，再结合等腰二次推导。 【典例1】（2025秋•南昌期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠ACB，BD为△ABC的角平分线，若E为线段BD上一点，∠DEC＝∠A，求证：AB＝EC． 【变式1-1】（2026春•虹口区期末）如图，已知：在△ABC中，AB＝AC，D、E是边BC上的两个三等分点．求证：∠BAD＜∠DAE． 【变式1-2】（2026春•雁塔区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在边BC上，点E，F在线段AD上，且∠AEB＝∠AFC＝130°，∠BAC＝50°．请说明：AE＝CF． 【变式1-3】（2026•十堰模拟）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，CD∥AB，DE⊥AC，垂足为E，且AB＝CE，连接AD．求证：△ACD为等腰三角形． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $