6.1.3离差平方和、方差与标准差（课件）2026-2027学年北师大版数学八年级上册

# 北师大版八年级上册数学6.1.3 离差平方和、方差与标准差专项练习（1321字） ## 一、核心知识点梳理 平均数反映一组数据的集中趋势\(2\(1\(3，5\)3\)4\)而离差平方和、方差、标准差用来刻画一组数据的**离散程度（波动大小）**。离差指每个数据与平均数的差\(2\(1\(3，5\)3\)4\)离差平方和就是所有$(x_i-\bar{x})^2$相加。方差是离差平方的平均数\(2\(1\(3，5\)3\)4\)公式：$s^2=\dfrac1n\left[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2\right]$。标准差是方差的算术平方根：$s=\sqrt{s^2}$。 规律：方差（标准差）越大\(2\(1\(3，5\)3\)4\)数据波动越大\(2\(1\(3，5\)3\)4\)稳定性越差；方差（标准差）越小\(2\(1\(3，5\)3\)4\)数据越集中\(2\(1\(3，5\)3\)4\)波动越小\(2\(1\(3，5\)3\)4\)稳定性越好。离差平方和只反映数据整体偏离平均数的总量\(2\(1\(3，5\)3\)4\)受数据个数影响；方差消除了数据个数影响\(2\(1\(3，5\)3\)4\)适合不同样本间对比稳定性；标准差单位与原始数据单位一致\(2\(1\(3，5\)3\)4\)实际场景更常用。 解题步骤： 1. 计算这组数据的算术平均数$\bar{x}$； 2. 求出每个数据与平均数的差（离差）； 3. 计算各离差的平方\(2\(1\(3，5\)3\)4\)相加得到离差平方和； 4. 离差平方和除以数据个数$n$得到方差； 5. 对方差开算术平方根\(2\(1\(3，5\)3\)4\)得到标准差。 易错提醒：①求方差**必须先算平均数**；②是“每个数据减去平均数”\(2\(1\(3，5\)3\)4\)不要写成平均数减数据；③是平方之后再求和\(2\(1\(3，5\)3\)4\)不能先求和再平方；④方差单位是原数据单位的平方\(2\(1\(3，5\)3\)4\)标准差单位和原数据一致；⑤比较稳定性\(2\(1\(3，5\)3\)4\)直接对比方差或标准差\(2\(1\(3，5\)3\)4\)两者结论一致；⑥离差之和永远为0\(2\(1\(3，5\)3\)4\)不能用来衡量波动\(2\(1\(3，5\)3\)4\)所以要用平方消除正负。 ## 二、基础过关（选择题） 1. 一组数据的方差越大\(2\(1\(3，5\)3\)4\)说明这组数据（） A.平均数越大 B.波动越大 C.数据越多 D.中位数越大 2. 数据$2\(2\(1\(3，5\)3\)4\)4$\(2\(1\(3，5\)3\)4\)平均数$\bar{x}=3$\(2\(1\(3，5\)3\)4\)离差平方和是（） A.$2$ B.$4$ C.$6$ D.$8$ 3. 两组数据：\(\bar{x}_\(s^2_甲=\dfrac{(8-9)^2+(9-9)^2+(8-9)^2+(10-9)^2+(10-9)^2}{5}\)=\dfrac{8+9+8+10+10}{5}=9\)$s^2=1.2$\(2\(1\(3，5\)3\)4\)\(\bar{x}_\(s^2_乙=\dfrac{(7-9)^2+(10-9)^2+(10-9)^2+(9-9)^2+(9-9)^2}{5}\)=\dfrac{7+10+10+9+9}{5}=9\)$s^2=0.8$\(2\(1\(3，5\)3\)4\)则稳定性（） A.\(\bar{x}_\(s^2_甲=\dfrac{(8-9)^2+(9-9)^2+(8-9)^2+(10-9)^2+(10-9)^2}{5}\)=\dfrac{8+9+8+10+10}{5}=9\)稳定 B.\(\bar{x}_\(s^2_乙=\dfrac{(7-9)^2+(10-9)^2+(10-9)^2+(9-9)^2+(9-9)^2}{5}\)=\dfrac{7+10+10+9+9}{5}=9\)稳定 C.一样稳定 D.无法判断 4. 数据$1\(2\(1\(3，5\)3\)4\)3$的方差是（） A.$1$ B.$2$ C.$3$ D.$4$ ## 三、能力提升（填空题） 5. 数据$3\(2\(1\(3，5\)3\)4\)5$\(2\(1\(3，5\)3\)4\)平均数是4\(2\(1\(3，5\)3\)4\)方差为____\(2\(1\(3，5\)3\)4\)标准差为____。 6. 一组数据离差平方和为16\(2\(1\(3，5\)3\)4\)一共4个数据\(2\(1\(3，5\)3\)4\)则方差是____。 7. 已知一组数据方差是9\(2\(1\(3，5\)3\)4\)则标准差等于____。 8. 数据$5\(2\(1\(3，5\)3\)4\)7\(2\(1\(3，5\)3\)4\)5$\(2\(1\(3，5\)3\)4\)平均数$\bar{x}=5$\(2\(1\(3，5\)3\)4\)离差平方和为____。 ## 四、解答题（基础计算+实际应用） 9. 计算数据$2\(2\(1\(3，5\)3\)4\)4\(2\(1\(3，5\)3\)4\)5\(2\(1\(3，5\)3\)4\)7\(2\(1\(3，5\)3\)4\)7$的离差平方和、方差与标准差。 10. \(\bar{x}_\(s^2_甲=\dfrac{(8-9)^2+(9-9)^2+(8-9)^2+(10-9)^2+(10-9)^2}{5}\)=\dfrac{8+9+8+10+10}{5}=9\)、\(\bar{x}_\(s^2_乙=\dfrac{(7-9)^2+(10-9)^2+(10-9)^2+(9-9)^2+(9-9)^2}{5}\)=\dfrac{7+10+10+9+9}{5}=9\)两名选手5次射击成绩（单位：环）：\(\bar{x}_\(s^2_甲=\dfrac{(8-9)^2+(9-9)^2+(8-9)^2+(10-9)^2+(10-9)^2}{5}\)=\dfrac{8+9+8+10+10}{5}=9\)：8\(2\(1\(3，5\)3\)4\)9\(2\(1\(3，5\)3\)4\)8\(2\(1\(3，5\)3\)4\)10\(2\(1\(3，5\)3\)4\)10；\(\bar{x}_\(s^2_乙=\dfrac{(7-9)^2+(10-9)^2+(10-9)^2+(9-9)^2+(9-9)^2}{5}\)=\dfrac{7+10+10+9+9}{5}=9\)：7\(2\(1\(3，5\)3\)4\)10\(2\(1\(3，5\)3\)4\)10\(2\(1\(3，5\)3\)4\)9\(2\(1\(3，5\)3\)4\)9。分别计算两人方差\(2\(1\(3，5\)3\)4\)判断谁发挥更稳定。 ## 五、参考答案与解析 1. B。解析：方差衡量波动大小\(2\(1\(3，5\)3\)4\)方差越大\(2\(1\(3，5\)3\)4\)波动越大。 2. A。解析：$(2-3)^2+(4-3)^2=1+1=2$。 3. B。解析：\(\bar{x}_\(s^2_乙=\dfrac{(7-9)^2+(10-9)^2+(10-9)^2+(9-9)^2+(9-9)^2}{5}\)=\dfrac{7+10+10+9+9}{5}=9\)方差更小\(2\(1\(3，5\)3\)4\)波动小\(2\(1\(3，5\)3\)4\)更稳定。 4. A。解析：平均数$\bar{x}=2$\(2\(1\(3，5\)3\)4\)$s^2=\dfrac{(1-2)^2+(3-2)^2}{2}=\dfrac{1+1}{2}=1$。 5.$1$；$1$。解析：$\dfrac{(3-4)^2+(5-4)^2}{2}=1$\(2\(1\(3，5\)3\)4\)标准差$\sqrt{1}=1$。 6.$4$。解析：方差=离差平方和÷个数\(2\(1\(3，5\)3\)4\)$16\div4=4$。 7.$3$。解析：标准差是方差算术平方根\(2\(1\(3，5\)3\)4\)$\sqrt9=3$。 8.$4$。解析：$(5-5)^2+(7-5)^2+(5-5)^2=0+4+0=4$。 9.解：数据$2\(2\(1\(3，5\)3\)4\)4\(2\(1\(3，5\)3\)4\)5\(2\(1\(3，5\)3\)4\)7\(2\(1\(3，5\)3\)4\)7$\(2\(1\(3，5\)3\)4\)共5个。 平均数$\bar{x}=\dfrac{2+4+5+7+7}{5}=5$。 离差平方和：$(2-5)^2+(4-5)^2+(5-5)^2+(7-5)^2+(7-5)^2$ $\(=9+1+0+4+4=18\)$。 方差$s^2=\dfrac{18}{5}=3.6$。 标准差$s=\sqrt{3.6}=\sqrt{\dfrac{18}{5}}=\dfrac{3\sqrt{10}}{5}$。 答：离差平方和18\(2\(1\(3，5\)3\)4\)方差3.6\(2\(1\(3，5\)3\)4\)标准差$\dfrac{3\sqrt{10}}{5}$。 10.解：\(\bar{x}_\(s^2_甲=\dfrac{(8-9)^2+(9-9)^2+(8-9)^2+(10-9)^2+(10-9)^2}{5}\)=\dfrac{8+9+8+10+10}{5}=9\)成绩：8\(2\(1\(3，5\)3\)4\)9\(2\(1\(3，5\)3\)4\)8\(2\(1\(3，5\)3\)4\)10\(2\(1\(3，5\)3\)4\)10。 $\bar{x}_\(\bar{x}_\(s^2_甲=\dfrac{(8-9)^2+(9-9)^2+(8-9)^2+(10-9)^2+(10-9)^2}{5}\)=\dfrac{8+9+8+10+10}{5}=9\)=\dfrac{8+9+8+10+10}{5}=9$。 $s^2_\(\bar{x}_\(s^2_甲=\dfrac{(8-9)^2+(9-9)^2+(8-9)^2+(10-9)^2+(10-9)^2}{5}\)=\dfrac{8+9+8+10+10}{5}=9\)=\dfrac{(8-9)^2+(9-9)^2+(8-9)^2+(10-9)^2+(10-9)^2}{5}$ $=\dfrac{1+0+1+1+1}{5}=0.8$。 \(\bar{x}_\(s^2_乙=\dfrac{(7-9)^2+(10-9)^2+(10-9)^2+(9-9)^2+(9-9)^2}{5}\)=\dfrac{7+10+10+9+9}{5}=9\)成绩：7\(2\(1\(3，5\)3\)4\)10\(2\(1\(3，5\)3\)4\)10\(2\(1\(3，5\)3\)4\)9\(2\(1\(3，5\)3\)4\)9。 $\bar{x}_\(\bar{x}_\(s^2_乙=\dfrac{(7-9)^2+(10-9)^2+(10-9)^2+(9-9)^2+(9-9)^2}{5}\)=\dfrac{7+10+10+9+9}{5}=9\)=\dfrac{7+10+10+9+9}{5}=9$。 $s^2_\(\bar{x}_\(s^2_乙=\dfrac{(7-9)^2+(10-9)^2+(10-9)^2+(9-9)^2+(9-9)^2}{5}\)=\dfrac{7+10+10+9+9}{5}=9\)=\dfrac{(7-9)^2+(10-9)^2+(10-9)^2+(9-9)^2+(9-9)^2}{5}$ $=\dfrac{4+1+1+0+0}{5}=1.2$。 $\because 0.8<1.2$\(2\(1\(3，5\)3\)4\)\(\bar{x}_\(s^2_甲=\dfrac{(8-9)^2+(9-9)^2+(8-9)^2+(10-9)^2+(10-9)^2}{5}\)=\dfrac{8+9+8+10+10}{5}=9\)的方差更小。 答：\(\bar{x}_\(s^2_甲=\dfrac{(8-9)^2+(9-9)^2+(8-9)^2+(10-9)^2+(10-9)^2}{5}\)=\dfrac{8+9+8+10+10}{5}=9\)方差0.8\(2\(1\(3，5\)3\)4\)\(\bar{x}_\(s^2_乙=\dfrac{(7-9)^2+(10-9)^2+(10-9)^2+(9-9)^2+(9-9)^2}{5}\)=\dfrac{7+10+10+9+9}{5}=9\)方差1.2\(2\(1\(3，5\)3\)4\)\(\bar{x}_\(s^2_甲=\dfrac{(8-9)^2+(9-9)^2+(8-9)^2+(10-9)^2+(10-9)^2}{5}\)=\dfrac{8+9+8+10+10}{5}=9\)发挥更稳定。 ## 练习小结 离差平方和、方差、标准差是刻画数据离散程度的统计量\(2\(1\(3，5\)3\)4\)和平均数（集中趋势）搭配使用\(2\(1\(3，5\)3\)4\)完整描述一组数据特征。离差本身有正有负\(2\(1\(3，5\)3\)4\)相加会相互抵消\(2\(1\(3，5\)3\)4\)无法反映波动\(2\(1\(3，5\)3\)4\)所以引入平方得到离差平方和；方差是离差平方的平均值\(2\(1\(3，5\)3\)4\)消除样本数量影响；标准差是方差开方\(2\(1\(3，5\)3\)4\)单位和原始数据一致\(2\(1\(3，5\)3\)4\)实际问题中更直观。核心结论简单好记：方差越小\(2\(1\(3，5\)3\)4\)数据波动越小\(2\(1\(3，5\)3\)4\)稳定性越好。做题时最容易犯的错误：计算顺序颠倒\(2\(1\(3，5\)3\)4\)先求和再平方；平均数算错\(2\(1\(3，5\)3\)4\)导致后面全部出错；混淆方差和标准差\(2\(1\(3，5\)3\)4\)题目问标准差\(2\(1\(3，5\)3\)4\)只算出方差直接作答。在体育比赛、产品质量检测等场景\(2\(1\(3，5\)3\)4\)经常用方差对比稳定性。注意：方差只描述波动\(2\(1\(3，5\)3\)4\)不代表平均数高低\(2\(1\(3，5\)3\)4\)两组数据平均数不同\(2\(1\(3，5\)3\)4\)也可以对比方差看波动。本节是统计章节的难点\(2\(1\(3，5\)3\)4\)计算量大\(2\(1\(3，5\)3\)4\)步骤多\(2\(1\(3，5\)3\)4\)对计算细心程度要求高\(2\(1\(3，5\)3\)4\)也是期末必考题型。通过练习\(2\(1\(3，5\)3\)4\)学会完整计算流程\(2\(1\(3，5\)3\)4\)理解集中趋势与离散程度两类统计量的不同意义\(2\(1\(3，5\)3\)4\)建立完整数据分析思路\(2\(1\(3，5\)3\)4\)提升数据分析素养\(2\(1\(3，5\)3\)4\)为后续统计综合大题打好基础。 （全文：1321字） 继续写**6.2.1 数据的离散程度综合应用**\(2\(1\(3，5\)3\)4\)同样1321字专项练习吗？ 北师大版（新教材）数学八年级上册 6.1.3离差平方和、方差与标准差 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/24 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第6章 数据的分析 了解刻画数据离散程度的两个量度——方差、标准差. 了解方差、标准差的意义. 能借助计算器求出相应的数值，并在具体问题情境中加以应用. 情境导入 小优和小翼的最近 5 次数学成绩如下： 波动较小 小优：90，88，90，93，90 小翼：70，80，90，80，100 对于二人的分数，你觉得各有什么特点？ 小优成绩非常稳定，小翼近来进步很大. 如何理解非常稳定？ 叁 肆 叁 壹 新知初探 探究一：方差 贰 在本节一开始的射击问题中，甲与丁每次的射击成绩如图 6-4所示，他们的平均成绩都是8环，两个人的射击表现一样吗?你对甲、丁的射击表现有什么评价? 新知初探 贰 (1)你觉得谁发挥得更稳定?你的理由是什么? (2)你能设法通过计算说明两人成绩的稳定程度吗?与同伴进行交流。 知识点1 离差平方和 1.为了推动中华传统文化进校园，某中学举办了以“弘扬传统，爱我中华”为主题的传统文化知识竞赛，八年级5名参赛选手的得分如下(单位：分)：89，88，90，90，93，则这组数据的离差平方和是　　. 返回 14 基础提优题 中考考法 2.已知甲组数据为1，2，3，4，5，乙组数据为6，7，8，9，x，如果两组数据的离差平方和相等，那么x＝　　　　. 返回 5或10 【点拨】甲组数据都加上4，得5，6，7，8，9，或甲组数据都加上5，得6，7，8，9，10.因为乙组数据是6，7，8，9，x，两组数据的离差平方和相等，所以x＝5或10. 基础提优题 中考考法 新知初探 贰 归纳总结 现实生活中，除了关心数据的“平均水平”外，人们还关注数据的离散程度，即它们相对于平均水平的偏离情况. 在统计学里，数据的离散程度可以用离差平方和、方差 或标准差等统计量来刻画 离差平方和是各个数据与它们平均数之差的平方和 ，即 新知初探 贰 方差和标准差 方差是各个数据与平均数之差的平方的平均数， 即 一般而言，一组数据的方差或标准差越小，这组数据就越稳定. 其中， 是 x1，x2，…，xn 的平均数，s2 是方差，而标准差就是方差的算术平方根. 新知初探 探究二：典例精析 贰 例2 计算图6-4中甲射击成绩的标准差（结果精确到0.01环）. 解： 环 (环)。 所以 ，甲射击成绩的标准差约为1.04环。 新知初探 贰 (1)计算图6-1中丙射击成绩的方差，并对甲、丙的射击成绩进行比较。 思考交流 (2)丁又进行了几次射击，这时，他所有射击成绩的平均数没变，但方差变小了。你认为丁后面几次射击的成绩有什么特点?与同伴进行交流。 新知初探 贰 随堂练习 1.某组数据为2, 4, 6, 8，其方差为______。 2.某组数据为1, 3, 5, 7, 9，这组数据的方差为 。 3.某组数据的平均数为15，方差为25，请计算这组数据的标准差， 并分析数据的离散程度。 5 8 解：标准差为5，说明数据点与平均数的平均距离为5，数据 的离散程度较大。 知识点2 方差、标准差 3.已知一组数据1，2，3，5，x，它的平均数是3，则这组数据的方差是(　　) A.2　　　 B.3　　　 C.4　　　 D.10 返回 A 基础提优题 中考考法 4. 射击运动队进行射击测试，甲、乙两名选手的测试成绩如图，其成绩的方差分别记为和，则和的大小关系是(　　) A.＞　　 B.＜ C.＝　　 D.无法确定 返回 A 基础提优题 中考考法 5.某小组五位同学参加某次考试(满分20分)的平均成绩是16分，其中三位男生成绩的方差为6，两位女生的成绩分别为17分、15分，则这五位同学成绩的标准差为(　　) A.分　　 B.2分　　 C.分　　 D.6分 返回 B 基础提优题 中考考法 6.甲、乙两支仪仗队队员的身高(单位：厘米)如下： 甲队：178，177，179，178，177，178，177，179，178，179； 乙队：178，179，176，178，180，178，176，178，177，180. (1)将下表填完整： 返回 身高/厘米 176 177 178 179 180 甲队人数 0 3 4   0 乙队人数 2 1   1   3 4 2 基础提优题 中考考法 (2)甲队队员身高的平均数为　　厘米，乙队队员身高的平均数为　　厘米. 返回 178 178 基础提优题 中考考法 (3)你认为哪支仪仗队身高更为整齐？请从方差的角度说明理由. 返回 【解】＝［3×(177－178)2＋4×(178－178)2＋3×(179－ 178)2］＝0.6， ＝［2×(176－178)2＋(177－178)2＋4×(178－178)2＋(179－178)2＋2×(180－178)2］＝1.8. 因为＜， 所以甲仪仗队身高更为整齐. 基础提优题 中考考法 课堂小结 肆 数据的离散程度 离差平方和 方差 标准差 叁 肆 叁 肆 谢谢观看 THANKS $