6.1.3离差平方和、方差与标准差（课件）-2026-2027学年北师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦“离差平方和、方差与标准差”核心知识点，通过复习平均数、众数等集中趋势统计量，结合甲丁射击成绩对比实例，自然引出数据波动程度的刻画需求，搭建从集中趋势到离散程度的知识支架。 其亮点在于以“数据意识”和“运算能力”为核心，通过经典例题分步演示、高频易错点归纳及“解题万能步骤”口诀，帮助学生规范运算。资料还总结数据变换对方差的影响规律，既提升学生数据分析能力，也为教师提供系统教学资源与分层练习设计支持。

北师大版数学八年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年5月30日 6.1.3离差平方和、方差与标准差 第六章 数据的分析 6.1.3 离差平方和、方差与标准差 同步知识点+练习题 【核心知识点精讲】 前面所学的平均数、众数，只能反映数据的集中趋势；本节所学的离差平方和、方差、标准差，用来反映数据的波动程度（稳定性），是初中统计必考重难点、期末高频考点。 一、基本概念：离差 离差：每个数据与平均数的差，即 $$x_i-\bar{x}$$。 作用：表示单个数据偏离平均水平的大小。 特点：一组数据中，所有离差的和为0（正负相互抵消），因此不能直接用离差判断波动。 二、离差平方和 1. 定义 将每一个数据的离差平方后相加，得到的结果叫做离差平方和。 2. 公式 $$S_\text{和}=(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2$$ 3. 作用 消除正负抵消问题，整体反映一组数据的总偏离程度；数值越大，数据整体波动越大。 三、方差（核心必考） 1. 定义 离差平方和的平均数，叫做这组数据的方差，用 $$S^2$$ 表示。 2. 方差公式（必须背诵） $$S^2=\dfrac{1}{n}\left[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2\right]$$ 3. 方差的意义 方差是刻画数据波动大小、稳定程度的核心统计量： ① 方差越大：数据波动越大、越不稳定、起伏大； ② 方差越小：数据波动越小、越稳定、越整齐。 四、标准差 1. 定义 方差的算术平方根叫做标准差，用 $$S$$ 表示。 2. 公式 $$S=\sqrt{\dfrac{1}{n}\left[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2\right]}$$ 3. 特点 标准差意义和方差完全一致，标准差更贴合原数据单位，实际应用更广。 五、三者关系总结 1. 离差平方和：总波动大小（未平均） 2. 方差：平均波动大小（平方单位） 3. 标准差：平均波动大小（原数据单位） 六、数据平移、缩放对方差的影响（超重点结论） 设原数据方差为$$S^2$$ 1. 数据全部加/减同一个数：方差不变（整体平移，波动不变） 2. 数据全部乘 $$a$$：方差变为原来的$$a^2$$ 倍 3. 数据全部乘 $$a$$ 再加 $$b$$：方差变为原来的 $$a^2$$ 倍 七、高频易错点 1. 计算方差忘记除以数据个数 $$n$$（变成平方和）； 2. 分不清：方差看波动，平均数看水平； 3. 认为方差越大越好（错误！稳定问题中方差越小越好）； 4. 标准差是方差开根号，不要直接等于方差； 5. 所有离差和为0，不能用来判断波动。 八、解题万能步骤 一算平均、二求离差、三平方和、四除得方、五开得标 --- 【经典满分例题】 例题：基础计算（求平方和、方差、标准差） 求数据：$$1、3、5$$ 的离差平方和、方差、标准差。 解： ① 求平均数：$$\bar{x}=\dfrac{1+3+5}{3}=3$$ ② 求离差：$$1-3=-2,\ \ 3-3=0,\ \ 5-3=2$$ ③ 离差平方和：$$(-2)^2+0^2+2^2=4+0+4=8$$ ④ 方差：$$S^2=\dfrac{8}{3}$$ ⑤ 标准差：$$S=\sqrt{\dfrac{8}{3}}=\dfrac{2\sqrt{6}}{3}$$ 答：平方和为8，方差为$$\dfrac{8}{3}$$，标准差为$$\dfrac{2\sqrt{6}}{3}$$。 例题2：波动对比判断 甲成绩方差0.2，乙成绩方差1.5，谁的成绩更稳定？ 解：$$0.2<1.5$$，甲方差更小 ∴ 甲成绩更稳定。 --- 【同步专项练习题】 一、填空题 1. 数据偏离平均数的差值叫做________。 2. 离差平方和的平均数叫做________；方差的算术平方根叫做________。 3. 方差越大，数据波动越________；方差越小，数据越________。 4. 一组数据全部加上同一个数，数据方差________。 二、计算题 1. 求数据 $$2、4、6$$ 的离差平方和、方差、标准差。 2. 已知数据：5、5、5、5，求方差和标准差。 三、应用题（稳定分析） 甲乙两名选手射击成绩方差分别为 $$S^2_甲=0.4$$，$$S^2_乙=0.9$$，若要选发挥稳定的选手参赛，应选谁？说明理由。 --- 【参考答案与解析】 一、填空题 1. 离差 2. 方差、标准差 3. 大、稳定 4. 不变 二、计算题 1. 解： $$\bar{x}=\dfrac{2+4+6}{3}=4$$ 平方和：$$(2-4)^2+(4-4)^2+(6-4)^2=4+0+4=8$$ 方差：$$S^2=\dfrac{8}{3}$$ 标准差：$$S=\dfrac{2\sqrt{6}}{3}$$ 2. 解： 数据全相同，无波动，离差均为0 方差：$$S^2=0$$，标准差：$$S=0$$ 三、应用题 解：选甲。 理由：甲乙平均水平相同的情况下，$$S^2_甲&lt;S^2_乙$$，甲方差更小，成绩波动更小，发挥更稳定。 【本节满分总结】 1. 平均看水平，方差看稳定； 2. 平方和是总波动，方差是平均波动，标准差还原单位； 3. 方差越小越稳定，数据整齐、起伏小； 4. 数据平移方差不变，数据缩放方差变平方倍。 体会刻画数据离散程度的意义. 会计算一组简单数据的离差平方和、方差和标准差，知道它们都能刻画这组数据的波动(离散)程度. 通过小组合作活动，培养学生的合作意识；通过解决实际问题，让学生体会数学与生活的密切联系． 复习导入 一般地，若n个数x1, x2, …, xn的权分别是f1,f2,…,fn ，则 就是这n个数的加权平均数. 一般地，n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数． 一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数. 我们学习了上面三个量是用来刻画数据的集中趋势的，那数据的离散程度如何表示呢？ 一级标题：黑体， 3 问题 甲与丁每次的射击成绩如图所示，他们的平均成绩都是8环，两个人的射击表现一样吗?你对甲、丁的射击表现有什么评价? 甲 丁 次序 次序 成绩/环 成绩/环 成绩/环 次数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6 6 10 9 6 7 10 9 10 7 6 10 成绩/环 次数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6 7 7 8 8 8 9 7 10 9 9 8 8 问题 (1) 你觉得谁发挥得更稳定?你的理由是什么? (1) 甲发挥得更稳定， 理由是甲的成绩数据点分布更集中. 问题 (1) 你觉得谁发挥得更稳定?你的理由是什么? (2) 你能设法通过计算说明两人成绩的稳定程度吗? 在实际生活中，除了关心数据的集中趋势外，人们往往还关注数据的离散程度，即它们相对于集中趋势的偏离情况. 在统计学里，数据的离散程度可以用离差平方和、方差或标准差等统计量来刻画. 知识点1 方差和标准差 离差平方和是各个数据与它们平均数之差的平方和，即 . 方差是各个数据与它们平均数之差的平方的平均数，即 其中， 是，，…，n的平均数. 标准差则是方差的算术平方根. 知识点1 方差和标准差 (1) 方差、标准差是描述一组数据离散程度的量. 一般而言，一组数据的方差和标准差越小，这组数据就越稳定. (2) 只有在两组数据的平均数相等或比较接近时，才用方差或标准差比较两组数据的离散程度. 知识点1 方差和标准差 例1 计算图中甲射击成绩的标准差(结果精确到0.01环). 知识点1 方差和标准差 解：=(6+7×3+8×5+9×3+10)=8(环)， =(6-8)+(7-8)×3+(8-8)×5+(9-8)×3+(10-8)]=， =≈1.04(环). 所以，甲射击成绩的标准差约为1.04环. 知识点1 方差和标准差 两组有关联的数据的平均数、方差的内在联系： 知识点1 方差和标准差 数据 平均数 方差 x1，x2，x3，x4，…，xn x1+a，x2+a，…，xn+a kx1，kx2，kx3，kx4，…，kxn kx1+a，kx2+a，…，kxn+a s2 +a s2 k k2s2 k+a k2s2 思考 (1) 计算图中丙射击成绩的方差，并对甲、丙的射击成绩进行比较. 知识点1 方差和标准差 甲 丙 次序 成绩/环 成绩/环 次数 次数 6 7 8 9 10 1 1 2 6 3 成绩/环 次数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6 7 7 8 8 8 9 7 10 9 9 8 8 知识点1 方差和标准差 甲成绩的平均数是8环， 方差约是1.08(环2). 丙成绩的平均数约是8.69环， 方差约是1.29(环2). 甲 丙 次序 成绩/环 成绩/环 次数 成绩/环 次数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6 7 7 8 8 8 9 7 10 9 9 8 8 次数 6 7 8 9 10 1 1 2 6 3 甲射击成绩的方差小于丙射击成绩的方差， 但甲的射击成绩的平均数小于丙射击成绩的平均数， 故甲射击成绩较丙更稳定，丙的射击成绩更好. 知识点1 方差和标准差 (2) 丁又进行了几次射击，这时他所有射击成绩的平均数没变，但方差变小了.你认为丁后面几次射击的成绩有什么特点? 知识点1 方差和标准差 丁成绩的平均数是8环， 方差是3 (环2). (2) 丁后面几次射击的成绩应集中在7，8，9环且这几次射击成绩的平均数为8环. 知识点1 离差平方和 1.为了推动中华传统文化进校园，某中学举办了以“弘扬传统，爱我中华”为主题的传统文化知识竞赛，八年级5名参赛选手的得分如下(单位：分)：89，88，90，90，93，则这组数据的离差平方和是　　. 返回 14 基础提优题 2.已知甲组数据为1，2，3，4，5，乙组数据为6，7，8，9，x，如果两组数据的离差平方和相等，那么x＝　　　　. 返回 5或10 【点拨】甲组数据都加上4，得5，6，7，8，9，或甲组数据都加上5，得6，7，8，9，10.因为乙组数据是6，7，8，9，x，两组数据的离差平方和相等，所以x＝5或10. 基础提优题 知识点2 方差、标准差 3.已知一组数据1，2，3，5，x，它的平均数是3，则这组数据的方差是(　　) A.2　　　 B.3　　　 C.4　　　 D.10 返回 A 基础提优题 4. 射击运动队进行射击测试，甲、乙两名选手的测试成绩如图，其成绩的方差分别记为和，则和的大小关系是(　　) A.＞　　 B.＜ C.＝　　 D.无法确定 返回 A 基础提优题 5.某小组五位同学参加某次考试(满分20分)的平均成绩是16分，其中三位男生成绩的方差为6，两位女生的成绩分别为17分、15分，则这五位同学成绩的标准差为(　　) A.分　　 B.2分　　 C.分　　 D.6分 返回 B 基础提优题 【点拨】设三位男生的成绩分别为a分、b分、c分.因为两位女生的成绩分别为17分、15分，所以三位男生成绩的平均数是(16×5－17－15)÷3＝16(分).所以三位男生成绩的方差＝×［(a－16)2＋(b－16)2＋(c－16)2］＝6，所以(a－16)2＋(b－16)2＋(c－16)2＝18，所以这五位同学成绩的方差＝×［(a－16)2＋(b－16)2＋(c－16)2＋(17－16)2＋(15－16)2］＝×(18＋1＋1)＝4，所以这五位同学成绩的标准差是＝2(分). 返回 基础提优题 6.甲、乙两支仪仗队队员的身高(单位：厘米)如下： 甲队：178，177，179，178，177，178，177，179，178，179； 乙队：178，179，176，178，180，178，176，178，177，180. (1)将下表填完整： 返回 身高/厘米 176 177 178 179 180 甲队人数 0 3 4   0 乙队人数 2 1   1   3 4 2 基础提优题 (2)甲队队员身高的平均数为　　厘米，乙队队员身高的平均数为　　厘米. 返回 178 178 基础提优题 (3)你认为哪支仪仗队身高更为整齐？请从方差的角度说明理由. 返回 【解】＝［3×(177－178)2＋4×(178－178)2＋3×(179－ 178)2］＝0.6， ＝［2×(176－178)2＋(177－178)2＋4×(178－178)2＋(179－178)2＋2×(180－178)2］＝1.8. 因为＜， 所以甲仪仗队身高更为整齐. 基础提优题 知识点3 用计算器求一组数据的方差和标准差 7.用计算器求数据65，67，69，70，71，73，75，68，66，71的方差为　　　，标准差是　　　　(标准差精确到0.001). 返回 8.85 2.975 基础提优题 8.淇淇在计算一组数据的方差时，列得没有化简的算式：s2＝.关于这组数据，下列结论：①平均数是4；②离差平方和是1.5；③众数是5；④n＝3.其中不正确的结论有(　　) A.1个　　 B.2个　　 C.3个　　 D.4个 返回 B 综合应用题 9.［2026邢台期中］在田径运动会“100米短跑”比赛后，嘉嘉帮助老师将20个运动员的成绩录入电脑，得到平均成绩为13.8秒，方差为3.64.后来老师核查时发现其中有2个成绩录入有误，一个错录为9秒，实际成绩是12秒；另一个错录为17秒，实际成绩是14秒，并且还漏掉了一个运动员的成绩(即嘉嘉实际按19个运动员的成绩计算)，且漏掉的运动员的成绩和算错的平均成绩一样，老师将错录的2个成绩进行了更正，并加上了漏掉的运动员的成绩，更正后实际成绩的方差是s2，则(　　) A.s2＝3.64　　 B.s2＜3.64 C.s2＞3.64　　 D.无法判断 返回 B 综合应用题 10.［2026烟台期末］某班数学综合与实践活动小组5位同学的一次数学测验成绩分别为81分，83分，89分，85分，87分，经过计算这组数据的方差为m，若小红和小明同学也想加入该小组，并且两人成绩均为85分，若加入后该小组成绩的方差为n，则m和n的大小关系为　　　 . 返回 m＞n 综合应用题 标准差：方差的算术平方根 各个数据与平均数之差的平方的平均数 方差 反映数据的离散程度 离差平方和 各个数据与它们平均数之差的平方和 课堂小结 $