2026-2027学年苏科版数学九年级上册---圆专项练习《涉及圆的中点问题怎么处理》

2026-2027九上数学《涉及圆的中点问题怎么处理》 【知识梳理】与圆有关的中点有： 弧+中点或弦+中点=垂径定理 【课前热身】 1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，AD＝CD．过点D作DE⊥AB于点E．连接AC交DE于点F．若AE＝4，BE＝16，则DF的长为 ___________________ 第1题 第2题 第3题 2．如图，⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝4，AD＝6，∠BAD＝60°，点C为弧BD的中点，则AC的长为 ___________________ 3．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝BD．设∠ABC＝α，则∠ADC＝____________________ （用含α的代数式表示）． 4．如图，由4个边长为1的小正方形组成的图形，若⊙O经过其顶点A、B、C，则圆心O到AB的距离为 ___________________ ． 第4题 第5题 第6题 5．如图，在⊙O中，OA＝4，，直径AB⊥CD于点E，连接OC，OD． ∠COD的度数为 ___________________；求CD的长度为 ___________________． 6．如图，AB是⊙O的直径，点C为圆上一点，D是弧AC的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，⊙O半径为3，则AC的长为为 ___________________ 7．如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果C是⊙O中弦AB的中点，CD经过圆心O交⊙O于点D，并且AB＝2m，CD＝3m，则⊙O的半径长为 __________________ m． 第7题 第8题 第9题 8．如图，C是的中点，弦AB＝8，CD⊥AB，且CD＝2，则所在圆的半径为 __________ 9．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A，C分别在x轴、y轴上，以AB为弦的⊙D与y轴相切．若点A的坐标为（4，0），则点D的坐标为 ____________________ ． 10．正方形ABCD内接于⊙O，E是的中点，连接BE、CE，则∠ABE＝_________ °． 11．如图，AB是⊙O的弦，C是的中点． （1）连接OC，求证：OC垂直平分AB； （2）若AB＝8，，求⊙O的半径． 12．如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E． （1）求证：DE＝DB； （2）若∠BAC＝90°，BD＝4，求△ABC外接圆的半径． 【典型例题】 13．如图，AB为⊙O的直径，点C为直径AB上方半圆上一个动点（不与A，B重合），点D为直径AB下方半圆的中点． （1）如图1，若AB＝10，AC＝6． ①填空：BC＝_____ ，AD＝________________ ，BD＝________________ ； ②请求出CD的长；观察所求的线段长，直接写出线段CA，CB与CD之间的数量关系． （2）当点C在半圆上运动时，（1）中线段CA，CB与CD之间的数量关系还成立吗？若成立，请就图2的情形进行证明；若不成立，请说明理由． 14．[学习心得] （1）宁宁在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易， 例如：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°．D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数．若以点A为圆心，AB长为半径作辅助圆⊙A，则C，D两点必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，∠BDC是⊙A的圆周角，则∠BDC＝_______ °； [初步运用] （2）如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝26°，求∠BAC的度数； [方法迁移] （3）如图3，已知线段AB和直线l，用直尺和圆规在l上作出所有的点P，使得∠APB＝30°（不写作法，保留作图痕迹）； [问题拓展] （4）①如图4①，已知矩形ABCD，AB＝2，BC＝m，点M为边CD上的一点． 若满足∠AMB＝45°的点M恰好有两个，则m的取值范围为 ____________________ ． ②如图4②，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD是BC边上的高，且BD＝6，CD＝2，求AD的长， 15．【问题提出】 苏科版（数学）九年级（上册）习题2.1有这样一道练习题： 如图①，BD、CE是△ABC的高，M是BC的中点，点B、C、D、E是否在以点M为圆心的同一个圆上？为什么？在解决此题时，若想要说明“点B、C、D、E在以点M为圆心的同一个圆上”只需证明________________ ． 【初步思考】 如图②，BD、CE是锐角△ABC的高，连接DE，求证：∠ADE＝∠ABC．（请你在空白处根据小敏的思路完成证明过程）． 【推广运用】 如图③，BD、CE、AF是锐角△ABC的高，连接DE、EF、FD，猜想∠EFB与∠DFC之间存在的关系，并说明理由． 16．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC＝BC，且CD∥AB，连接AD交⊙O于点E． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）连接BE，若BE为直径，，AE＝8，求⊙O的半径． 17．如图，∠AOB＝90°，C，D是的三等分点，连结AB分别交OC，OD于点E，F． （1）求出∠AEC的度数： （2）求证：AE＝BF＝CD． 【巩固提升】 18．如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径是1，直线AB与x轴交于点P（x，0），且与x轴正半轴的夹角为45°，若直线AB与⊙O有公共点，则x的取值范围是____________________ ． 19．如图，AB是⊙O的直径，AD⊥AB于点A，OD交⊙O于点C，AE⊥OD于点E，交⊙O于点F，F为弧BC的中点，P为线段AB上一动点，若CD＝4，则PE+PF的最小值是_____ ． 20．如图，在以A、B、C、D四点构成的四边形中，∠ABC＝90°，AB＝DB＝CB＝4．若P在线段AD上，且始终满足PD＝2PA，连接PC，则PC的最小值为 ____________________ ． 21．如图，点C，D分别在半径OA，OB上，点E在上，∠AOB＝∠CED＝90°．若CE＝6，DE＝8，AC＝BD，则⊙O的半径长为________________ ． 22．如图，A（2，0）、B（6，0），以AB为直径作⊙M，射线OF交⊙M于E、F两点，C为弧AB的中点，D为EF的中点．当射线OF绕O点旋转时，CD的最小值为 __________________ ． 23．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，AD＝6，AD、AB、BC分别与⊙O相切于E、F、G三点，过点C作⊙O的切线交AD于点N，切点为M．当CN⊥AD时，⊙O的半径为__________ ． 24．如图，⊙O是△ABC的外接圆，且BC为⊙O的直径，点E为△ABC的内心，BE的延长线交⊙O于点F，连接CF．若BC＝5，，则AC的长为 ________ ． 25．如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连接OB，IA．若∠CAI＝35°，则∠OBC的度数为 ________ ． 26．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，∠D＝45°，，点E为四边形ABCD内部一点，且满足CE2﹣AE2＝2BE2，则点E在运动过程中所形成的图形的长为_____ ． 27．如图，∠XOY＝45°，等边三角形ABC的两个顶点A、B分别在OX、OY上移动，AB＝2，那么OC的最大值为 ____________________ ． A． B． C． D． 【解答】解：如图： ∵A、B、C、D四点共圆，∠BAD＝60°， ∴∠BCD＝180°﹣60°＝120°， ∵∠BAD＝60°，AC平分∠BAD， ∴∠CAD＝∠CAB＝30°， 将△ACD绕点C逆时针旋转120°得△CBE， 则∠E＝∠CAD＝30°，BE＝AD＝6，AC＝CE， ∴∠ABC+∠EBC＝（180°﹣∠CAB﹣∠ACB）+（180°﹣∠E﹣∠BCE）＝180°， ∴A、B、E三点共线， 过C作CM⊥AE于M， ∵AC＝CE， ∴， 在Rt△AMC中，， 故选：C． 3．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝BD．设∠ABC＝α，则∠ADC＝　180°　 （用含α的代数式表示）． 【解答】解：∵AB＝BD＝BC， ∴∠BAD＝∠BDA，∠BDC＝∠BCD， ∵四边形内角和为360°， ∴∠ABD+∠BAD+∠BDA+∠DBC+∠BDC+∠BCD＝360°， ∴∠ABC+∠ADB+∠ADB+∠BDC+∠BDC＝360°， 即∠ABC+2∠ADB+2∠BDC＝360°， ∵∠ABC＝α，∠ADB+∠BDC＝∠ADC， ∴2∠ADC＝360°﹣α， ∴． 解法二：∵AB＝BC＝BD，∴A，C，D可看作是以点B为圆心，BD为半径的圆上的点，则弧AC所对的圆周角的度数为， ∴∠ADC＝180°． 故答案为：180． 4．如图，由4个边长为1的小正方形组成的图形，若⊙O经过其顶点A、B、C，则圆心O到AB的距离为 　　 ． 【解答】解：如图，取AB的中点，过点D作DE⊥AB交AB于点D，交CF于点E，则圆心O在DE上，在取DE上取圆心O，连接OB，OC， 根据题意得：DE⊥CF，，DE＝3，OB＝OC， ∵OB2＝OD2+BD2，OC2＝OE2+CE2， ∴OD2+BD2＝OE2+CE2， ∴， 解得：， 即圆心O到AB的距离为． 故答案为：． 5．如图，在⊙O中，OA＝4，，直径AB⊥CD于点E，连接OC，OD． （1）求∠COD的度数； （2）求CD的长度． 【解答】解：（1）∵AB⊥CD， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵AB⊥CD， ∴， ∴， 在Rt△COE中，∠OCE＝90°﹣∠COE＝30°， ∴， ∴， ∴． 6．如图，AB是⊙O的直径，点C为圆上一点，D是弧AC的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，⊙O半径为3，则AC的长为（　　） A．4 B． C． D．8 【解答】解：连接OD交AC于F，如图， ∵D是弧AC的中点， ∴OD⊥AC， ∴AF＝CF， ∵AB是直径， ∴∠C＝90°， ∴OD∥BC， ∴∠D＝∠CBE， 在△BCE和△DFE中， ， ∴△BCE≌△DFE（ASA）， ∴BC＝DF， ∵OFBC， ∴OFDF， ∴OFOD＝1， 在Rt△OAF中，AF2， ∴AC＝2AF＝4． 故选：B． 7．（2024春•内江校级月考）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果C是⊙O中弦AB的中点，CD经过圆心O交⊙O于点D，并且AB＝2m，CD＝3m，则⊙O的半径长为 　　 m． 【解答】解：如图，连接OA， ∵C是⊙O中的弦AB的中点，且AB＝2m， ∴OC⊥AB，， 设⊙O的半径长为rm， 则OA＝OD＝rm， ∵CD＝3m， ∴OC＝CD﹣OD＝（3﹣r）m， 在Rt△AOC中，OC2+AC2＝OA2， 即（3﹣r）2+12＝r2， 解得， 即⊙O的半径长为， ∴∠MCB＝∠NBC＝90°，BC＝AB＝OA＝OC＝4， ∴四边形MNBC是矩形， ∴MN＝BC＝4，∠MNB＝90°，MC＝NB， ∴MN⊥AB， ∴NBAB＝2， ∴MC＝NB＝2， ∴OM＝4﹣2＝2， 设圆的半径是r， ∴DB＝r，DN＝4﹣r， ∵BD2＝DN2+NB2， ∴r2＝（4﹣r）2+22， ∴r， ∴MD， ∴点D的坐标为（，2）． 故答案为：（，2）． 10．（2024•南京模拟）正方形ABCD内接于⊙O，E是的中点，连接BE、CE，则∠ABE＝　22.5　 °． 【解答】解：连接OA、OD、OE，如图所示． ∵四边形ABCD是园内接正方形， ∴∠AOD＝90°． ∵E是的中点， ∴∠AOE＝45°， ∴∠ABE45°＝22.5°． 故答案为：22.5． 11．（2024秋•南京期末）如图，AB是⊙O的弦，C是的中点． （1）连接OC，求证：OC垂直平分AB； （2）若AB＝8，，求⊙O的半径． 【解答】（1）证明：连接OA，OB，OC， ∵由C是的中点， ∴， ∴∠AOC＝∠BOC， ∵OA＝OB， ∴OC垂直平分AB； （2）解：由（1）知，OC垂直平分AB， ∵AB＝8，， ∴ADAB＝4， ∴CD2， 设⊙O的半径为r， 则OD＝r﹣2，OA＝r， 在Rt△AOD中， AD2+OD2＝OA2，即42+（r﹣2）2＝r2， 解得r＝5． 12．如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E． （1）求证：DE＝DB； （2）若∠BAC＝90°，BD＝4，求△ABC外接圆的半径． 【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE，∠BAE＝∠CAD， ∴， ∴∠DBC＝∠CAD， ∴∠DBC＝∠BAE， ∵∠DBE＝∠CBE+∠DBC，∠DEB＝∠ABE+∠BAE， ∴∠DBE＝∠DEB， ∴DE＝DB； （2）解：连接CD，如图所示： 由（1）得：， ∴CD＝BD＝4， ∵∠BAC＝90°， ∴BC是直径， ∴∠BDC＝90°， ∴BC4， ∴△ABC外接圆的半径42． 13．如图，AB为⊙O的直径，点C为直径AB上方半圆上一个动点（不与A，B重合），点D为直径AB下方半圆的中点． （1）如图1，若AB＝10，AC＝6． ①填空：BC＝　8　 ，AD＝　5　 ，BD＝　5　 ； ②请求出CD的长；观察所求的线段长，直接写出线段CA，CB与CD之间的数量关系． （2）当点C在半圆上运动时，（1）中线段CA，CB与CD之间的数量关系还成立吗？若成立，请就图2的情形进行证明；若不成立，请说明理由． 【解答】解：（1）①∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°，∠ADB＝90°， ∵AB＝10，AC＝6， ∴BC＝8， ∵点点D为直径AB下方半圆的中点， ∴AD＝BD， ∴AD＝BD＝5， 故答案为：8，5，5； ②过点D作DF⊥BC交于点F，过点D作DE⊥AC交延长线于点E， ∴∠AED＝∠BFD＝90°， ∵D是的中点， ∴∠ACD＝∠DCB， ∴CD是∠ACB的平分线， ∴DE＝DF， ∵AD＝BD， ∴Rt△ADE≌Rt△BDF（HL）， ∴AE＝BF， ∵DE＝DF，CD＝CD， ∴Rt△DCE≌Rt△DCF（HL）， ∴CE＝CF， ∴CE＝AC+AE，CF＝BC﹣BF， ∵AC＝6，BC＝8， ∴6+AE＝8﹣AE， 解得AE＝1， ∴CE＝7， ∵∠ACD＝45°， ∴CD＝7； ∵AC+BC＝14， ∴AC+BCCD； （2）成立，理由如下： 过点D作DG⊥CD交CA的延长线于点G， ∵∠ADB＝90°， ∴∠ADG＝∠BDC， ∵∠ACD＝45°， ∴GD＝DC， ∵AD＝BD， ∴△BCD≌△AGD（SAS）， ∴BC＝AG， ∵∠ACD＝45°，∠CDG＝90°， ∴CGCD， ∴CG＝AC+AG＝AC+BCCD， ∴AC+BCCD． 14．（2025秋•南京校级月考）[学习心得] （1）宁宁在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易， 例如：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°．D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数．若以点A为圆心，AB长为半径作辅助圆⊙A，则C，D两点必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，∠BDC是⊙A的圆周角，则∠BDC＝　45　 °； [初步运用] （2）如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝26°，求∠BAC的度数； [方法迁移] （3）如图3，已知线段AB和直线l，用直尺和圆规在l上作出所有的点P，使得∠APB＝30°（不写作法，保留作图痕迹）； [问题拓展] （4）①如图4①，已知矩形ABCD，AB＝2，BC＝m，点M为边CD上的一点． 若满足∠AMB＝45°的点M恰好有两个，则m的取值范围为 　2≤m1　 ． ②如图4②，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD是BC边上的高，且BD＝6，CD＝2，求AD的长， 【解答】解：（1）∵∠BAC是⊙A的圆心角，∠BDC是⊙A的圆周角，∠BAC＝90°， ∴∠BDC∠BAC＝45°； 故答案为：45； （2）如图2，取BD的中点O，连接AO、CO， ∵∠BAD＝∠BCD＝90°， ∴OABD，OCBD， ∴OA＝OB＝OC＝OD， ∴点A、B、C、D共圆， ∴∠BDC＝∠BAC， ∵∠BDC＝26°， ∴∠BAC＝26°； （3）作图如下： 由图知，∠AP1B∠AOB＝30°；同理∠AP2B＝30°， （4）①在BC上截取BF＝BA＝2，连接AF，以AF为直径⊙O，⊙O交AD于E，交BC于F，连接EF，过圆心O作OG⊥EF于H且交圆O．于G，过G作⊙O的切线KQ交AD于K交BC于Q，如图所示： ∵BA＝BF＝2， ∴AF＝2， ∴⊙O的半径为，即OF＝OG， ∵OG⊥EF， ∴FH＝1， ∴OH＝1， ∴GH1， ∴BF≤m＜BQ， ∴2≤m＜21，即2≤m1， 故答案为：2≤m1； ②如图，作△ABC的外接圆，过圆心O作OE⊥BC于点E，作OF⊥AD于点F，连接OA、OB、OC， ∵∠BAC＝45°， ∴∠BOC＝90°． 在Rt△BOC中，BC＝6+2＝8， ∴BO＝CO＝4， ∵OE⊥BC，O为圆心， ∴BEBC＝4， ∴DE＝OF＝2． 在Rt△BOE中，BO＝4，BE＝4， ∴OE＝DF＝4． 在Rt△AOF中，AO＝4，OF＝2， ∴AF2， ∴AD＝24． 15．【问题提出】 苏科版（数学）九年级（上册）习题2.1有这样一道练习题： 如图①，BD、CE是△ABC的高，M是BC的中点，点B、C、D、E是否在以点M为圆心的同一个圆上？为什么？ 在解决此题时，若想要说明“点B、C、D、E在以点M为圆心的同一个圆上”只需证明BM＝EM＝DM＝CM ． 【初步思考】 如图②，BD、CE是锐角△ABC的高，连接DE，求证：∠ADE＝∠ABC．（请你在空白处根据小敏的思路完成证明过程）． 【推广运用】 如图③，BD、CE、AF是锐角△ABC的高，连接DE、EF、FD，猜想∠EFB与∠DFC之间存在的关系，并说明理由． 【解答】【问题提出】解：连接EM、DM． 想要说明“点B、C、D、E在以点M为圆心的同一个圆上”只需证明BM＝EM＝DM＝CM． 故答案为BM＝EM＝DM＝CM． 【初步思考】解：取BC的中点M，连接EM、DM． ∵BD、CE是锐角△ABC的高， ∴∠BDC＝∠BEC＝90°， 在Rt△BDC中，M是BC中点， ∴DM＝BM＝CM，同理可证EM＝BM＝CM， ∴BM＝EM＝DM＝CM， ∴B、C、D、E四点共圆， ∴∠ABC+∠EDC＝180°，∵∠EDC+∠ADE＝180°， ∴∠ADE＝∠ABC． 【推广运用】解：猜想：∠EFB＝∠DFC． 由上面可知，四边形A、C、F、E四点共圆， ∴∠EFB＝∠BAC， 四边形A、B、F、D四点共圆， ∴∠DFC＝∠BAC， ∴∠EFB＝∠DFC． 16．（2025秋•鼓楼区校级月考）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC＝BC，且CD∥AB，连接AD交⊙O于点E． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）连接BE，若BE为直径，，AE＝8，求⊙O的半径． 【解答】（1）证明：如图1，连接OA、OB、OC， ∵AC＝BC，OA＝OB， ∴OC是AB的垂直平分线， ∴OC⊥AB， ∵CD∥AB， ∴OC⊥CD， 又∵OC是⊙O的半径， ∴CD是⊙O的切线； （2）解：如图2，连接BE，延长CO交AB于点F， ∵BE是直径， ∴∠BAE＝90°， 由（1）得，OC是AB的垂直平分线， ∴AF＝BF，∠BFC＝90°， 又∵OB＝OE， ∴OF是△ABE的中位线， ∴， 设OB＝OC＝r， 在Rt△BCF和Rt△BOF中，由勾股定理得： BF2＝BC2﹣CF2，即， BF2＝OB2﹣OF2，即BF2＝r2﹣42， ∴， 90﹣r2﹣8r﹣16＝r2﹣16， 2r2+8r﹣90＝0， r2+4r﹣45＝0， 解得r＝5或﹣9（舍）， ∴⊙O的半径为5． 17．如图，∠AOB＝90°，C，D是的三等分点，连结AB分别交OC，OD于点E，F． （1）求出∠AEC的度数： （2）求证：AE＝BF＝CD． 【解答】（1）解：连接AC，DB， ∵C，D是三等分点， ∴AC＝CD＝DB， 又∵∠AOB＝90°， ∴∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝30°， ∵OA＝OB，∠AOB＝90°， ∴∠OAB＝∠OBA＝45°， ∴∠AEC＝∠AOC+∠OAB＝30°+45°＝75°； （2）证明：∵∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝30°，∠AEC＝75°， 又∵OA＝OC， ∴∠ACO（180°﹣∠AOC）（180°﹣30°）＝75°， ∴∠AEC＝∠ACO， ∴AE＝AC， 同理可得 BF＝DB， ∴AE＝BF＝CD． 18．如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径是1，直线AB与x轴交于点P（x，0），且与x轴正半轴的夹角为45°，若直线AB与⊙O有公共点，则x的取值范围是　　 ． 【解答】解：∵直线AB与x轴正方向夹角为45°， ∴设直线AB的解析式为y＝x+b，切点为C，连接OC，如图， ∴OC⊥AB， ∴△POC是等腰直角三角形， ∵⊙O的半径为1， ∴OC＝PC＝1， 在直角三角形COP中，由勾股定理得：OP， ∴， 同理可得，当直线与x轴负半轴相交时，， ∴， 故答案为：． 19．（2026秋•鼓楼区校级月考）如图，AB是⊙O的直径，AD⊥AB于点A，OD交⊙O于点C，AE⊥OD于点E，交⊙O于点F，F为弧BC的中点，P为线段AB上一动点，若CD＝4，则PE+PF的最小值是　6　 ． 【解答】解：延长DO交⊙O于点M，连接PM，PF，OF，EP，如图， ∵AF⊥OD，F为弧BC的中点， ∴， ∴∠AOC＝∠COF＝∠BOF， ∵∠AOC+∠COF+∠BOF＝180°（平角的定义）， ∴∠AOC＝∠COF＝∠BOF＝60°， ∴∠BOM＝∠AOC＝60°＝∠BOF， ∴点F关于AB的对称点为点M， ∴PM＝PF（轴对称的性质）， ∴PE+PF＝PE+PM≥EM， 当E，P，M三点共线时，PE+PF最小，最小值为EM的长， ∵∠AOC＝60°，AD⊥AB， ∴∠D＝90°﹣∠AOC＝90°﹣60°＝30°， 故在Rt△ACD中，OD＝2OA， ∵CD＝4， ∴OD＝OC+4＝2OA＝2OC，即OC＝4， ∴OC＝OA＝OB＝OM＝OF＝4， ∵AF⊥OC，∠AOC＝60°， ∴∠OAE＝90°﹣∠AOE＝90°﹣60°＝30°， ∴OEOA4＝2， ∴EM＝OE+OM＝2+4＝6，即PE+PF的最小值为6， 故答案为：6． 20．如图，在以A、B、C、D四点构成的四边形中，∠ABC＝90°，AB＝DB＝CB＝4．若P在线段AD上，且始终满足PD＝2PA，连接PC，则PC的最小值为 　　 ． 【解答】解：∵AB＝DB＝CB＝4， ∴点A、C、D在以点B为圆心，4为半径的圆上， 如图，以点B为圆心，4为半径作⊙B，作直径AE，连接DE，过点P作PF∥DE，交AE于点F， ∵PF∥DE， ∴△APF∽△ADE， ∴， ∵PD＝2PA， ∴APAD， ∴AFAE， ∵半径AB＝4， ∴直径AE＝2AB＝8， ∴AFAE， ∵AE为直径， ∴∠ADE＝90°， ∵PF∥DE， ∴∠APF＝∠ADE＝90°， ∴点P在以AF中点O为圆心，AF为直径的圆上，如图： 连接OP，OC， 则 OP＝OAAF， 当点P在线段OC上时，PC的长取得最小值，如图： ∵OA， ∴OB＝AB﹣OA， 又∠ABC＝90°，BC＝4， ∴在 Rt△OBC 中，， ∴PC 的最小值， 故答案为：． 21．（2025秋•南京月考）如图，点C，D分别在半径OA，OB上，点E在上，∠AOB＝∠CED＝90°．若CE＝6，DE＝8，AC＝BD，则⊙O的半径长为　　 ． 【解答】解：如图，作EG⊥OB，EF⊥OA，垂足分别为G、F，连接OE． ∵∠AOB＝90°， ∴四边形OGEF是矩形， ∴∠CED＝∠FEG＝90°， ∴∠CED﹣∠CEG＝∠FEG﹣∠CEG， 即∠FEC＝∠EGD， ∵∠EFC＝∠EGD＝90°， ∴△EFC∽△EGD， ∴， 设EF＝3x，AC＝BD＝a，则EG＝4x， ∵四边形OGEF是矩形， ∴EF＝OG＝3x， ∴在Rt△OGE中，， ∴OA＝OB＝OE＝5x， ∴OC＝5x﹣a，CF＝OF﹣OC＝a﹣x，DG＝OB﹣OG﹣BD＝2x﹣a， ∵，即， ∴， ∵在Rt△CDF中，DF2+CF2＝CD2， ∴（3x）2+（a﹣x）2＝62，即， ∵x＞0， ∴， ∴． 故答案为：． 22．如图，A（2，0）、B（6，0），以AB为直径作⊙M，射线OF交⊙M于E、F两点，C为弧AB的中点，D为EF的中点．当射线OF绕O点旋转时，CD的最小值为 　22　 ． 【解答】解：连接MD，如图， ∵D为EF的中点， ∴MD⊥EF， ∴∠ODM＝90°， ∴点D在以A点为圆心，2为半径的圆， 当D点为CA与⊙A的交点时，CD的值最小，此时CD＝AC﹣2＝22， 即CD的最小值为22． 故答案为：22． 23．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，AD＝6，AD、AB、BC分别与⊙O相切于E、F、G三点，过点C作⊙O的切线交AD于点N，切点为M．当CN⊥AD时，⊙O的半径为　2或1.5　 ． 【解答】解：连接EG，OM， ∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC， ∵AD、BC分别与⊙O相切于E、G三点， ∴EG过圆心O， ∵CN⊥AD， ∴四边形CNEG是矩形， ∴EG＝CN， ∵CN是⊙O的切线， ∴OM⊥CN， ∴四边形EOMN和四边形CMOG是正方形， 设⊙O的半径为r， ∴BF＝BG＝6﹣r， ∴AF＝AE＝5﹣（6﹣r）＝r﹣1， ∴DN＝6﹣r﹣（r﹣1）＝7﹣2r， ∵DN2+CN2＝CD2， ∴（7﹣2r）2+（2r）2＝52， 解得：r＝2，r＝1.5， ∴⊙O的半径为2或1.5， 故答案为：2或1.5． 24．（2025秋•江宁区月考）如图，⊙O是△ABC的外接圆，且BC为⊙O的直径，点E为△ABC的内心，BE的延长线交⊙O于点F，连接CF．若BC＝5，，则AC的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D． 【解答】解：⊙O是△ABC的外接圆，点E为△ABC的内心，如图，连接OF交AC于点G，作FH⊥BC于点H， ∴∠CBF＝∠ABF，∠ACE＝∠BCE， ∴， ∴OG⊥AC，AG＝CG， ∵BC为⊙O的直径， ∴∠BFC＝90°， ∵∠CEF＝∠CBF+∠BCE，∠ECF＝∠ACF+∠ACE，∠CBF＝∠ABF＝∠ACF， ∴∠CEF＝∠ECF， ∴△CEF是等腰直角三角形，， 在直角三角形BCF中，由勾股定理得：BF2， ∵S△BCFBF•CFBC•FH， ∴FH2， ∵S△OCFOC•FHOF•CG，OC＝OF， ∴FH＝CG＝2， ∴AC＝2CG＝4， 故选：B． 25．（2025秋•玄武区校级月考）如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连接OB，IA．若∠CAI＝35°，则∠OBC的度数为 　20°　 ． 【解答】解：如图，连接OC， ∵点I是△ABC的内心， ∴AI平分∠BAC， ∵∠CAI＝35°， ∴∠BAC＝2∠CAI＝2×35°＝70°， ∵点O是△ABC外接圆的圆心， ∴∠BOC＝2∠BAC＝2×70°＝140°， ∵OB＝OC， ∴， 故答案为：20°． 26．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，∠D＝45°，，点E为四边形ABCD内部一点，且满足CE2﹣AE2＝2BE2，则点E在运动过程中所形成的图形的长为　π　 ． 【解答】解：作AE和BE的垂直平分线，这两条垂直平分线相交于点O，以OA长为半径画圆，点G 第5页（共31页） 学科网（北京）股份有限公司 $