专题5 解析几何 第2讲 圆锥曲线的方程及计算、证明、最值与范围问题-【名师带你过关】2027年数学高中总复习专题复习

第2讲　圆锥曲线的方程及计算、证明、最值与范围问题 真题感悟 1.解析：（1）方法一：（直接法） 由题意知 得 所以椭圆C的方程为 +=1. 方法二：由题意知 得 所以椭圆C的方程为 +=1. 方法三：（巧用椭圆的定义）设 F'为C的左焦点，连接MF'，则 =，=2， 在Rt△MFF'中， ===， 由椭圆的定义知 2a=+=4， 2c==2， 所以a=2，c=1. 又a2=b2+c2，所以 b=. 所以椭圆C的方程为 +=1. （2）证明：分析知直线AB的斜率存在. 易知当直线AB的斜率为0 时，AQ⊥y轴. 当直线AB的斜率不为0 时，设直线AB：x=ty+4，A，B，Q， 联立方程得 消去x得y2+24ty+36=0，Δ>0， 则y1+y2=，y1y2=. 因为N为线段 FP的中点， F，所以N. 由N，Q，B三点共线，得 kBN=kNQ，即 =，得 -y2=n，得 n=， 所以 n-y1=-y1=-y1===0. 所以n=y1，所以AQ⊥y轴. 2.解析：（1）设A，B， 把x=2y-1代入y2=2px，得y2-4py+2p=0， 由 Δ1=16p2-8p>0，得 p>. 由根与系数的关系，可得 y1+y2=4p，y1y2=2p， ∴=·=·=4，解得 p=2或 p=-（舍去），故p=2. （2）如图，由（1）知，抛物线的焦点为 F. 由题意知直线MN的斜率不可能为0， ∴设MN的方程为x=my+t，M，N， 联立 消去x得y2-4my-4t=0. ∴Δ=16m2+16t>0，即 m2+t>0， 由根与系数的关系得y3+y4=4m，y3y4=-4t， ∵·=0，∴·=0， 即 （x3-1）（x4-1）+y3y4=（my3+t-1）（my4+t-1）+y3y4=（m2+1）y3y4+m（t-1）（y3+y4）+（t-1）2=+m·4m+=0， 即 -4m2t-4t+4m2t-4m2+t2-2t+1=0. 即4m2=t2-6t+1. 设F到MN的距离为 d，则 d=. 又 ==·=·=4·， ∴S△MFN=·d=×4··=2·=·=·∣t-1∣=. ∵4m2=t2-6t+1≥0，解得 t≤3-2或 t≥3+2. ∴当且仅当 t=3-2时， 取得最小值 12-8. 即△MFN面积的最小值为 12-8. 重难攻坚 例1　证明： 易知直线AB的斜率不为0，F， 设直线AB的方程为x=my+，A，B， 由 得y2-2my-1=0. ∴ （1）不妨设点A在第一象限，点B在第四象限， 由y=-，得y'=-. ∵=2x2，y2<0， ∴l的斜率为 -=-=. ∴l的方程为y-y2=，即y=x+. 令x=0，得y=，即E. ∵=2x1，y1y2=-1，∴直线OA的方程为y=x=x=-2y2x， 令x=-，得y=y2，即D. 又 F，∴==. 即=.得证. （2）由（1）知l的垂线的方程为y-y2=-y2， 即y=-y2x+y2. 由 得点G的纵坐标yG=y2. ∵A，O，D，G四点共线， ∴要证明=·，只需证明=·. ∵==， ·==， ∴式成立， 即=·.得证. 跟踪演练1 1.解析：∵点P在椭圆C上， ∴+=1. 又直线MP的斜率为 ，直线NP的斜率为 ， ∴直线NP的方程为y=， 令x=-6，则y=， ∴点 F的坐标为. ∴直线MF的斜率为 =. ∴kMP·kMF=·===-. 2.证明：如图，设直线MP的斜率为k，则直线MP的方程为y=k. 令x=-6，则y=-4k，可得E. 而直线MF的斜率为-， ∴直线MF的方程为y=-. 联立 可得 y2+2ky=0. 易得Q点的纵坐标为 ，将其代入直线x=-2ky-2，可得x=， ∴Q. ∴直线NQ的斜率为 =，直线NE的斜率为 =， ∴kNQ=kNE.∴E，N，Q三点共线. 例2　解析：（1）由椭圆C：+=1过点 ，得 +=1①， ∵e=，∴e=，即 a2=b2②， 由①②联立解得 则椭圆的标准方程为 +=1. （2）当直线AB垂直于x轴时，A，B，O三点共线，不能构成三角形， 故直线AB的斜率存在，则设直线AB的方程为y=kx+2，A，B， 联立 得x2+16kx+4=0. 则 Δ=-16=16>0. 即 k>或 k<， 则 则 == ， 点O到直线AB的距离为 d=， 则 S△AOB=··d= =4-， 令 =t，t>0，则 k2=. 则 S△AOB=12·=12·≤12·=，当且仅当t=，即 t=2，即 k=±时等号成立，故△AOB面积的最大值为 . 跟踪演练2　解析：（1）双曲线C：x2-=1的离心率为 ，a=1， 可得c=，∴b=1. 可得双曲线C：x2-y2=1. 可得双曲线的渐近线方程为y=±x. （2）设经过点P的直线方程为y=kx-1，M，N， 联立方程组 消去y得 x2+2kx-2=0. ∴ 解得1<k<. ∴MN的中点为 ， ∴线段MN的中垂线方程为y+=-， 令x=0得截距 t=>2. 即线段MN的中垂线l在y轴上截距 t的取值范围是 . 例3　解析：（1）由题意易得c=2，=2，解得 a=1，故 b=. 所以C的方程为x2-=1. （2）如图，由题意得直线l的斜率存在，故设l的方程为y=k， 联立 可得 x2+4k2x-4k2-3=0. 则 3-k2≠0，Δ=16k4-4=36k2+36>0. 设A，B， 则x1x2=<0，x1+x2=. 解得 k∈.结合M， 故 kMA+kMB=+==-1， 令 t=2k+1，则 t∈. 故kMA+kMB=-1=-1≤， 当且仅当 t=2，即 k=时取等号. 故直线MA和MB的斜率之和的最大值为 . 跟踪演练3　解析：（1）由抛物线的定义可知F. 因为=，所以xM=. 因为=，所以 +=，解得 p=2，故C的方程为y2=4x. （2）如图，由题意知直线AB的斜率不为0，设A，B，直线AB：x=my+t， 联立方程 得y2-4my-4t=0，Δ>0. 则yA+yB=4m，yAyB=-4t. 因为以AB为直径的圆过点O，所以OA⊥OB，则xAxB+yAyB=0， 即 ·+yAyB=0. 解得yAyB=-16=-4t，所以 t=4. 又xA+xB=m+8=4m2+8，所以Q， 当 m=0时，kOQ=0， 当 m≠0时，kOQ===∈∪. 故直线OQ斜率的最大值为 . 例4　解析：（1）设双曲线的方程为 =1， 由题意知S△OPF=·c·=c=. ∴c=. 则 解得 ∴该双曲线的渐近线方程为y=±x=±x，即x±y=0. （2）设所求双曲线的方程为 -=1， 设点P在第一象限，其中x>0，y>0， ∵=，=， 则·=c=c2. 可得x=c. S△OPF=·c·y=， 则y=. 即点P. ∴=≥4. 当且仅当c=时，等号成立， 此时点P，F. 则 解得 因此该双曲线的方程为x2-=1. 跟踪演练4　解析：（1）由题意设焦点 F，其中c=，如图， e==2，所以a2+b2=4a2，即 b=a. 又焦点到渐近线的距离为 3，所以 b=3，a=. 所以双曲线C的标准方程为 -=1. （2）显然直线l的斜率存在，设其方程为y=kx+2， 联立直线l与C的方程，得 消去y得 x2-4kx-13=0， 因为直线l与C的两支分别交于点A，B，所以 得0≤k2<3，设A，B，则 x1+x2=，x1x2=-，·=x1x2+y1y2=x1x2+ =x1x2+2k+4 =++4 ==9-≤， 综上， ·的取值范围是 . 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2讲　圆锥曲线的方程及计算、证明、最值与范围问题 　　圆锥曲线的综合问题是高考考查的重点内容,范围、最值问题是常见的热点题型,常以解答题的形式压轴出现,难度较大. 1.(2024·全国甲卷理)(证明问题)设椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点为F,点M在C上,且MF⊥x轴. (1)求C的方程. (2)过点P(4,0)的直线交C于A,B两点,N为线段FP的中点,直线NB交直线MF于点Q,证明:AQ⊥y轴. 2.(2023·全国甲卷理)(最值问题)已知直线x-2y+1=0与抛物线C:y2=2px(p>0)交于A,B两点,|AB|=4. (1)求p. (2)设F为C的焦点,M,N为C上两点,且·=0,求△MFN面积的最小值. 考点一　证明问题 例1　如图,O为坐标原点,F为抛物线y2=2x的焦点,过F的直线交抛物线于A,B两点,直线AO交抛物线的准线于点D,设抛物线在B点处的切线为l. (1)若直线l与y轴的交点为E,求证:|DE|=|EF|. (2)过点B作l的垂线与直线AO交于点G,求证:|AD|2=|AO|·|AG|. (1)圆锥曲线中的证明问题,主要有两类:一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系,如:某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等;二是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等). (2)解决证明问题时,主要根据直线、圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等,通过相关的性质应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明. 跟踪演练1 已知椭圆C:+y2=1的左、右顶点分别为M,N,点P(x0,y0)(y0≠0)在椭圆C上,若点E(-6,yE),F(-6,yF)分别在直线MP,NP上. (1)求kMP·kMF的值. (2)连接FM并延长交椭圆C于点Q,求证:E,N,Q三点共线. 考点二　与长度、周长、面积相关的范围(最值)问题 例2　已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率e=,且过点. (1)求椭圆C的标准方程. (2)过点P(0,2)的直线l与椭圆C交于A,B两点,O是坐标原点,求△AOB面积的最大值. 利用根与系数的关系解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下: (1)设直线方程,设交点坐标为(x1,y1),(x2,y2); (2)联立直线与圆锥曲线的方程,得到关于x(或y)的一元二次方程,注意Δ的判断; (3)列出根与系数的关系; (4)将所求问题或题中的关系转化为x1+x2,x1x2(或y1+y2,y1y2)的形式; (5)代入根与系数的关系求解. 跟踪演练2 已知双曲线C:x2-=1(b>0)的离心率为. (1)求此双曲线的渐近线方程. (2)若经过点P(0,-1)的直线与双曲线C的右支交于不同的两点M,N,求线段MN的中垂线l在y轴上的截距t的取值范围. 考点三　与角度、斜率相关的范围(最值)问题 例3　若双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一个焦点是F(2,0),且离心率为2. (1)求双曲线C的方程. (2)已知点M(0,1),过焦点F的直线l与双曲线C的两支相交于A,B两点,求直线MA和MB的斜率之和的最大值. 　　解决与斜率、角度有关的最值问题的关键是建立关于斜率的目标函数,然后运用基本不等式或者函数求解有关的问题. 跟踪演练3 已知O为坐标原点,F是抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,M是C上一点,且|MF|==. (1)求C的方程. (2)A,B是C上两点(A,B异于点O),以AB为直径的圆过点O,Q为AB的中点,求直线OQ斜率的最大值. 考点四　与向量相关的范围(最值)问题 例4　已知双曲线的中心为原点O,右焦点为F(c,0),P是双曲线右支上一点,且△OFP的面积为. (1)若点P的坐标为(2,),求此双曲线的渐近线方程. (2)若·=c2,当取得最小值时,求此双曲线的方程. 解决圆锥曲线中的最值问题,常见的方法有: (1)函数法:一般需要找出所求几何量的函数解析式,要注意自变量的取值范围.求函数的最值时,一般会用到配方法、基本不等式或者函数的单调性. (2)方程法:根据题目中的等量关系建立方程,根据方程的解的情况得出目标量的不等关系,再求出目标量的最值. (3)不变量法:在平面几何中有一些不变量的最值结果,在求最值时,可以考虑观察图形的几何特点,判断某个特殊位置满足的最值条件,然后再证明. 跟踪演练4 已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的焦点到渐近线的距离为3,离心率为2. (1)求双曲线C的标准方程. (2)经过点(0,2)的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于点A,B,O为坐标原点,求·的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $