专题5 解析几何 第1讲 直线、圆、圆锥曲线-【名师带你过关】2027年数学高中总复习专题复习

解析几何 第1讲　直线、圆、圆锥曲线 1.考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题、直线与圆的位置关系(特别是弦长问题),此类问题难度属于中低档,一般以选择题、填空题的形式出现. 2.考查圆锥曲线的标准方程、椭圆的离心率、双曲线的离心率以及渐近线问题、抛物线的性质及应用问题,题型多为选择题、填空题,难度中等. 3.直线与圆锥曲线的位置关系是高考的必考内容,涉及直线与圆锥曲线的相交、相切、弦长、面积以及中点弦等问题,各种题型均可涉及,难度中等. 1.(2024·北京)(点到直线的距离)圆x2+y2-2x+6y=0的圆心到直线x-y+2=0的距离为 (　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　 A.　　　 B.2 C.3　　　　 D.3 2.(2024·全国甲卷理)(直线与圆的位置关系及弦长问题)已知b是a,c的等差中项,直线ax+by+c=0与圆x2+y2+4y-1=0交于A,B两点,则|AB|的最小值为 (　　) A.1　　　　 B.2 C.4 D.2 3.(2023·新高考Ⅰ卷)(直线与圆相切)过点(0,-2)与圆x2+y2-4x-1=0相切的两条直线的夹角为α,则sin α= (　　) A.1　　 B. C. D. 4.(2025·全国Ⅰ卷)(直线与圆的位置关系)若圆x2+(y+2)2=r2(r>0)上到直线y=x+2的距离为1的点有且仅有2个,则r的取值范围是 (　　) A.(0,1) B.(1,3) C.(3,+¥) D.(0,+¥) 5.(2023·新高考Ⅰ卷)(椭圆的标准方程及性质)设椭圆C1:+y2=1(a>1),C2:+y2=1的离心率分别为e1,e2,若e2=e1,则a= (　　) A.　　　　 B. C.　　　　 D. 6.(多选)(2023·新高考Ⅱ卷)(抛物线的定义及几何性质)设O为坐标原点,直线y=-(x-1)过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,且与C交于M,N两点,l为C的准线,则 (　　) A.p=2 B.|MN|= C.以MN为直径的圆与l相切 D.△OMN为等腰三角形 7.(2024·新高考Ⅰ卷)(双曲线的标准方程及性质)设双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2作平行于y轴的直线交C于A,B两点,若|F1A|=13,|AB|=10,则C的离心率为　　　　　　.  考点一　直线的方程 1.已知直线l1:A1x+B1y+C1=0,直线l2:A2x+B2y+C2=0,则l1∥l2⇔A1B2-A2B1=0,且A1C2-A2C1≠0(或B1C2-B2C1≠0),l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0. 2.点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0(A,B不同时为零)的距离d=. 3.两条平行直线l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0(A,B不同时为零)间的距离d=. 例1　(1)(多选)下列说法正确的是 (　　) A.直线xsin α+y+2=0的倾斜角θ的取值范围是∪ B.“a=-1”是“直线a2x-y+1=0与直线x-ay-2=0互相垂直”的充要条件 C.过点P(1,2)且在x轴、y轴截距相等的直线方程为x+y-3=0 D.经过平面内任意相异两点(x1,y1),(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)=(y2-y1)(x-x1)表示. (2)当点M(2,-3)到直线(4m-1)x-(m-1)y+2m+1=0的距离取得最大值时,m等于 (　　) A.2 B. C.-2 D.-4 (1)利用A1B2-A2B1=0后,要注意代入检验,排除两条直线重合的可能性. (2)要注意直线方程每种形式的局限性. (3)讨论两直线的位置关系时,要注意直线的斜率是否存在. 跟踪演练1 1.(多选)已知直线l:x-y+1=0,下列四个说法中正确的是 (　　) A.直线l的倾斜角为 B.若直线m:x-y+1=0,则l⊥m C.点(,0)到直线l的距离为2 D.过点(2,2),并且与直线l平行的直线方程为x-y-4=0 2.若直线l1:ax+2y-6=0与直线l2:x+(a-1)y-a-1=0平行,则直线l1与l2的距离为　　　　.   考点二　圆的方程 1.圆的标准方程 当圆心为(a,b),半径为r时,其标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2. 2.圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0,其中D2+E2-4F>0,表示以为圆心,为半径的圆. 例2　(1) 圆C:x2+y2-2x+4y=0的圆心C坐标和半径r分别为 (　　) A.C(1,-2),r= B.C(1,-2),r=5 C.C(-1,2),r= D.C(-1,2),r=5 (2)(多选)设圆C:(x-k)2+(y-k)2=4(k∈R),则下列命题正确的是 (　　) A.所有圆的面积都是4π B.存在k∈R,使得圆C过点(3,0) C.经过点(2,2)的圆C有且只有一个 D.不论k如何变化,圆心C始终在一条直线上 (1)几何法:通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系,进而求得圆的基本量和方程. (2)代数法:即用待定系数法先设出圆的方程,再由条件求得各系数. 跟踪演练2 1.已知A,B,圆M经过A,B两点,且圆的周长被x轴平分,则圆M的标准方程为 (　　) A.+=3 B.(x-2)2+y2=4 C.x2+y2=4 D.(x-1)2+y2=4 2.已知M(-1,1),若坐标原点O(0,0)在动直线l:mx+ny-2m+2n=0上的投影为点N,则|MN|的取值范围是 (　　) A. B. C. D. 考点三　直线、圆的位置关系 1.直线与圆的位置关系:相交、相切和相离. 其判断方法为: (1)点线距离法. (2)判别式法:设圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2,直线l:Ax+By+C=0(A2+B2≠0), 联立方程组 消去y,得到关于x的一元二次方程,其根的判别式为Δ,则直线与圆相离⇔Δ<0,直线与圆相切⇔Δ=0,直线与圆相交⇔Δ>0. 2.圆与圆的位置关系,即内含、内切、相交、外切、外离. 考向1　直线与圆的位置关系 例3　(多选)已知直线l:y=kx-k,圆C:x2+y2=4,则下列结论正确的有 (　　) A.直线l过定点(1,0) B.直线l与圆C可能相切 C.直线l被圆C截得的弦长最长为4 D.若直线l被圆C截得的弦长为,则k=±1 考向2　圆与圆的位置关系 例4　(1) 已知圆C1:x2+y2=1和圆C2:x2+y2-6x-8y+9=0,则两圆公切线的条数为 (　　) A.1 B.2 C.3 D.4 (2)(多选)已知圆C1:(x-1)2+(y-2a)2=9,圆C2:x2+y2-8x+2ay+a2+12=0,a∈R,则下列选项正确的是 (　　) A.直线C1C2恒过定点(3,0) B.当圆C1和圆C2外切时,若P,Q分别是圆C1,C2上的动点,则|PQ|max=10 C.若圆C1和圆C2共有2条公切线,则a< D.当a=时,圆C1与圆C2相交弦的弦长为 (1)与圆的弦长有关的问题常用几何法,即利用圆的半径r,圆心到直线的距离d,及半弦长,构成直角三角形的三边,利用其关系来处理. (2)两圆相交公共弦的方程可通过两圆方程相减求得,进而在一个圆内,利用垂径定理求公共弦长. 跟踪演练3 1.已知圆C:(x-1)2+(y+2)2=16,过点D(0,1)的动直线l与圆C相交于M,N两点,当|MN|=2时,直线l的方程为 (　　) A.4x+3y-3=0 B.3x-4y+4=0 C.x=0或4x+3y-3=0 D.4x+3y-3=0或3x-4y+4=0 2.(多选)若圆O1:x2+y2+2x-3=0与圆O2:x2+y2-2y-1=0交于A,B两点,则下列选项中正确的是 (　　) A.点(1,-1)在圆O2内 B.直线AB的方程为x+y-1=0 C.圆O1上的点到直线AB距离的最大值为2+ D.圆O2上存在两点P,Q,使得|PQ|>|AB| 考点四　圆锥曲线的定义与标准方程 1.圆锥曲线的定义 (1)椭圆:|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|). (2)双曲线:||PF1|-|PF2||=2a(0<2a<|F1F2|). (3)抛物线:|PF|=|PM|,l为抛物线的准线,点F不在定直线l上,PM⊥l于点M. 2.求圆锥曲线标准方程“先定型,后计算” “定型”:确定曲线焦点所在的坐标轴; “计算”:利用待定系数法求出方程中的a2,b2,p的值. 例5　(1)已知F1是椭圆C:+y2=1的左焦点,直线x=1与C交于A,B两点,则△F1AB周长为 (　　) A. B. C.2 D.4 (2)设抛物线y2=8x上一点P到y轴的距离是4,则点P到该抛物线焦点的距离是 (　　) A.6 B.8 C.9 D.10 (1)不要因忽略双曲线的定义中的“绝对值”致错. (2)不要将椭圆与双曲线中参数的关系式弄混,椭圆中的关系式为a2=b2+c2,双曲线中的关系式为c2=a2+b2. (3)确定圆锥曲线的方程时还要注意焦点位置. 跟踪演练4 1.设F1,F2为椭圆C:+y2=1的两个焦点,点P在C上,若·=0,则·等于 (　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　 A.1 B.2 C.4 D.5 2.已知双曲线C:x2-=1(m>0)的左、右焦点分别为F1,F2,直线l经过F2,且与C的右支相交于A,B两点,若|AB|=2,则△ABF1的周长为 (　　) A.6 B.8 C.10 D.12 考点五　椭圆、双曲线的几何性质 1.求离心率通常有两种方法 (1)求出a,c,代入公式e=. (2)根据条件建立关于a,b,c的齐次式,消去b后,转化为关于e的方程或不等式,即可求得e的值或取值范围. 2.与双曲线-=1(a>0,b>0)共渐近线bx±ay=0的双曲线方程为-=λ(λ≠0). 考向1　椭圆、双曲线的几何性质 例6　(1)(多选)已知椭圆C:+=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上,则下列说法正确的是 (　　) A.F1,F2的坐标分别为(-2,0),(2,0) B.椭圆的短轴长为10 C.|PF1|的最小值为1 D.当P是椭圆的短轴端点时,∠F1PF2取到最大值 (2)(多选)若P是双曲线C:x2-y2=2上一点,F1,F2分别为C的左、右焦点,则下列结论中正确的是 (　　) A.双曲线C的虚轴长为 B.若PF1⊥PF2,则△PF1F2的面积为2 C.的最小值是2- D.双曲线C的焦点到其渐近线的距离是2 考向2　离心率 例7　(1)已知椭圆E的中心在坐标原点O,焦点在x轴上,过E的右焦点且斜率为1的直线l交E于A,B两点,且原点O到直线l的距离等于E的短轴长,则E的离心率为 (　　) A. B. C. D. (2)(2024·新课标全国Ⅰ卷)设双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2作平行于y轴的直线交C于A,B两点,若|F1A|=13,|AB|=10,则C的离心率为　　　　.  (1)在“焦点三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,结合椭圆(或双曲线)的定义,运用平方的方法,建立与|PF1|·|PF2|的联系. (2)求双曲线渐近线方程的关键在于求或的值,也可将双曲线方程中等号右边的“1”变为“0”,然后因式分解得到. 跟踪演练5 1.(多选)椭圆C:+=1(m>0)的左、右焦点分别为F1,F2,上顶点为A,直线AF1与C的另一个交点为B,若∠F1AF2=,则 (　　) A.C的焦距为2 B.C的短轴长为2 C.C的离心率为 D.△ABF2的周长为8 2.若圆C:x2+y2-5y+4=0被双曲线E:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线截得的弦长为2,则双曲线E的离心率为　　　　.   考点六　抛物线的几何性质 抛物线的焦点弦的几个常见结论: 设AB是过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的弦,若A(x1,y1),B(x2,y2),α是直线AB的倾斜角,则:(1)x1x2=,y1y2=-p2. (2)|AB|=x1+x2+p=. (3)+=. (4)以线段AB为直径的圆与准线x=-相切.例8　(多选)已知抛物线y2=2px(p>0)经过点M(1,2),其焦点为F,过点F的直线l与抛物线交于两个不同的点A(x1,y1),B(x2,y2),O为坐标原点,设直线OA,OB的斜率分别为k1,k2,则 (　　) A.p=2 B.|AB|≥4 C.·=-4 D.k1k2=-4 　　利用抛物线的几何性质解题时,要注意利用定义构造与焦半径相关的几何图形(如三角形、直角梯形等)来沟通已知量与p的关系,灵活运用抛物线的焦点弦的特殊结论,使问题简单化且减少数学运算. 跟踪演练6 (多选)已知点A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线y2=8x上过焦点的两个不同的点,焦点为F,则 (　　) A.焦点F的坐标为(4,0) B.|AB|=x1+x2+4 C.y1y2=-8 D.+= 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题五　解析几何 第1讲　直线、圆、圆锥曲线 真题感悟 1.D　解析：化圆的方程为标准方程，得 +=10，所以该圆的圆心（1， - 3）到直线x-y+2=0的距离为 ==3. 故选D. 2.C　解析：根据题意有 2b=a+c，即 a-2b+c=0，所以直线 ax+by+c=0过点M. 设圆 x2+y2+4y-1=0的圆心为C，连接CM，则AB⊥CM时， 最小，将圆的方程化为x2+=5， 则C，所以=1，所以的最小值为 2=4.故选C. 3.B　解析：由x2+y2-4x-1=0，得 +y2=5，所以圆心为点（2，0），半径为 . 如图易知点（2，0）与点（0， -2）的距离为 2，所以点（0， - 2）与切点的距离为 =，所以sin=，cos=，所以sin α=2sincos=2××=. 故选B. 4.B　解析：由题意，在圆 x2+=r2中，圆心E，半径为 r， 到直线y=x+2的距离为 1 的点有且仅有两个， 得圆心E到直线y=x+2的距离为d==2， 故由图可知，当r=1时， 圆x2+=r2上有且仅有一个点 （A点） 到直线y=x+2的距离等于1； 当r=3时， 圆x2+=r2上有且仅有三个点 到直线y=x+2的距离等于1； 当则 r的取值范围为（1，3）时， 圆x2+=r2上有且仅有两个点到直线y=x+2的距离等于1. 故选B. 5.A　解析：方法一：由题意知 e1=，e2==，因为 e2=e1，所以 =×， 得 a=. 故选A. 方法二：代入验证，若 a=，则 e1===.又 e2=，所以 e2=e1，所以 a=符合题意. 由于是单选题，故选A. 6.AC　解析：由于y2=2px的焦点为 ，直线y=-过焦点，所以 -=0，解得 p=2， A正确；联立 消去y得 3x2-10x+3=0，设M，N，则 x1+x2=，所以 =x1+x2+p=，B不正确； 以MN为直径的圆的圆心的横坐标为 =，圆心到准线的距离d=+1==，故以MN为直径的圆与l相切，C正确；不妨令点M在第一象限，由 3x2-10x+3=0得x1=，x2=3，所以y1=，y2=-2，所以 ==，==，又 =，所以△OMN不是等腰三角形，D不正确. 故选AC. 7.　解析：方法一：如图，由题意得=10，=5，又AB∥y轴，故∠AF2F1=90°，由=13，得=12，故c=6，由双曲线的定义知， -=2a，得 2a=8，a=4，故 e==. 方法二：由题可知A，B，F2三点横坐标相等，设A在第一象限，将x=c代入 -=1，得y=±，即A，B，故 ==10，==5，又 -=2a，得 =+2a=2a+5=13，解得 a=4，代入 =5得b2=20，故c2=a2+b2=36，即c=6，所以 e===. 重难攻坚 例1　（1）AD　解析：对于A，直线的倾斜角为 θ，则 tan θ=-sin α∈，因为0≤θ<π，所以 θ∈∪，故A正确； 对于B，当 a=-1时，直线x-y+1=0与直线x+y-2=0斜率分别为 1，-1，斜率之积为 -1，故两直线相互垂直，所以充分性成立，若“直线a2x-y+1=0与直线x-ay-2=0互相垂直”，则a2+a=0，故a=0或a=-1，所以得不到a=-1，故必要性不成立，故B错误； 对于C，当截距为0 时，设直线方程为y=kx，又直线过点P，代入直线方程可得 k=2，所以直线方程为y=2x. 当截距不为0 时，设直线方程为 +=1，又直线过点P， 代入直线方程可得 a=3，所以直线方程为x+y-3=0， 所以过点P且在x轴、y轴截距相等的直线方程为x+y-3=0或y=2x，故C错误； 对于D，经过平面内任意相异两点 ，的直线， 当斜率等于0 时， y1=y2，x1≠x2，方程为y=y1，能用方程 =表示； 当斜率不存在时， y1≠y2，x1=x2，方程为x=x1，能用方程=表示； 当斜率不为0 且斜率存在时，直线方程为 -=0，也能用方程=表示，故D正确. （2）C　解析：将直线 x-y+2m+1=0转化为 m-x+y+1=0， 联立方程组 解得 所以直线恒过定点N， 则 kMN==. 当直线MN与该直线垂直时，点M到该直线的距离取得最大值， 此时 ·kMN=-1，解得 m=-2. 跟踪演练1 1.CD　解析：直线l的斜率 k1=，倾斜角为 ，A不正确； 直线m的斜率 k2=，倾斜角为 ，与直线l不垂直，B不正确； 点 到直线l的距离d==2，C正确； 过点，与直线l平行的直线方程为y-2=，即 x-y-4=0，D正确. 2.　解析：由于 l1与 l2平行，则 a=2，即 a2-a-2=0，解得 a=-1或 a=2. 当 a=2时，两直线方程分别为 2x+2y-6=0，x+y-3=0，此时两直线重合，不符合题意； 当 a=-1时，两直线方程分别为x-2y+6=0，x-2y=0，此时两直线平行，符合题意， 综上所述， a=-1，两直线方程分别为x-2y+6=0，x-2y=0， 所以直线 l1与 l2的距离为 d==. 例2　（1）A　解析：圆C：x2+y2-2x+4y=0，即C：+=5， 它的圆心C坐标和半径 r分别为C，r=. （2）AD　解析：对于A，由于每个圆的半径都是 2，故面积都是4π，A正确； 对于B，由于 +=2k2-6k+9=2+≥>4，故圆C必定不过点 ，B错误； 对于C， +=4，解得 k=2-或 k=2+，有两个圆，C错误； 对于D，圆心（k， k）始终在直线y=x上，D正确. 跟踪演练2 1.B　解析：由题意，得kAB=-，AB中点为 ， 所以线段AB的中垂线方程为y-=. 令y=0得x=2. 所以M，半径 r=2. 所以圆M的标准方程为 +y2=4. 2.B　解析：如图，直线l：mx+ny-2m+2n=0，即 m+n=0， 令 解得 所以动直线l恒过定点P. 因为坐标原点O在动直线l上的投影为点N， 故∠ONP=90°，所以N在以OP为直径的圆上. 则圆的圆心为 Q，半径 r= =. 又==2， 所以-r≤≤+r，即 ≤≤3， 即 的取值范围是 . 例3　ACD　解析：对于A，直线l：y=kx-k，即y=k，则直线l恒过定点（1，0），故A正确； 对于B，因为12+02=1<4，所以定点（1，0）在圆C内部，所以直线l与圆C恒相交，故B错误； 对于C，直线l与y轴垂直时，直线l过圆C的圆心，直线l被圆C截得的弦长最长，为4，此时l：y=0， 故C正确； 对于D，直线l：kx-y-k=0，圆心C到直线l的距离 d==，得 k=±1. 故D正确. 例4　（1）C　解析：圆 C1：x2+y2=1的圆心为 C1，半径 r1=1，圆C2：x2+y2-6x-8y+9=0的圆心C2，半径r2=4， 则==5=r1+r2，故两圆外切，则两圆公切线的条数为 3. （2）ABD　解析：对于A，由圆C1：+=9，圆 C2：x2+y2-8x+2ay+a2+12=0，a∈R， 可知C1，半径r1=3，C2，半径r2=2， 故直线 C1C2的方程为y+a=-a. 即y=-a，所以直线 C1C2恒过定点（3，0）.A正确； 对于B，当圆 C1和圆 C2外切时， =r1+r2，即=3+2. 解得 a=±， 当 a=时，如图所示，当P，C1，C2，Q共线时， =+r1+r2=+5=10； 同理求得当 a=时， =10， B正确； 对于C，若圆C1和圆C2共有 2 条公切线，则两圆相交， 则<<r1+r2， 即1<<5，解得-<a<，C错误； 对于D，当 a=时，两圆相交， C1：+=9， C2：+=4， 将两方程相减可得公共弦方程 6x-2y-=0， 则C1到 6x-2y-=0的距离为 =，则圆 C1与圆 C2相交弦的弦长为 2=，D正确. 跟踪演练3 1.C　解析：当直线l与x轴垂直时，易知直线l的方程为x=0， C：+=16中，令x=0得 =15，解得y=±-2. 故此时=-2-（--2）=2，符合题意； 当直线l与x轴不垂直时，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=kx+1，即kx-y+1=0. 又圆心C，半径r=4， 则圆心C（1， - 2）到直线l的距离为 d=. 又=2=2=2， 所以d==1，解得k=. 则直线l的方程为y=-x+1，即4x+3y-3=0. 综上可知，直线l的方程为x=0或4x+3y-3=0. 2.BC　解析：对于A，因为12+-2×-1=3>0，所以点（1， - 1）在圆O2外，故A错误； 对于B，因为圆O1和圆O2交于A，B两点，将两圆方程相减可得x+y-1=0， 即公共弦AB所在直线的方程为x+y-1=0，故B正确； 对于C，圆 O1的圆心坐标为（-1，0），半径为 2， 圆心O1到直线AB：x+y-1=0的距离 d==， 所以圆O1上的点到直线AB距离的最大值为 2+. 故C正确； 对于D，直线AB经过圆O2的圆心（0，1）， 所以线段AB是圆O2的直径，故圆O2中不存在比AB长的弦 .D错误. 例5　（1）D　解析：由题意知， a=，b=1， 则c===1， 故直线x=1经过椭圆的右焦点， 故△F1AB的周长为4a=4×=4，故选D. （2）A　解析：抛物线y2=8x的焦点为 F，准线方程为x=-2， P到y轴的距离是4，故P到准线的距离是 6，故点P到该抛物线焦点的距离是6，故选A. 跟踪演练4 1.B　解析：因为椭圆C：+y2=1，所以 a=2，b=1，c=. 又因为·=0，所以⊥，即PF1⊥PF2. 设PF1=m，PF2=n，则 m+n=4①， 且m2+n2=②， 由①2-②得到 2mn=4，即 mn=2，所以·=2. 2.B　解析：如图，双曲线 x2-=1的实半轴长 a=1， 由双曲线的定义，可得-=2a=2，-=2a=2， 所以=2+，=2+，又=2，则△ABF1的周长为++=++6=+6=8. 例6　（1）ACD　解析：椭圆 +=1，其中a2=9，b2=5， ∴c2=a2-b2=4. 对于A，c=2，F1，F2的坐标分别为 ，，故A正确； 对于B，椭圆的短轴长为 2b=2，故B错误； 对于C，a-c≤≤a+c， ∴的最小值为 1，故C正确； 对于D，当P是椭圆的长轴端点时，∠F1PF2=0； 当P不是长轴端点时，0<∠F1PF2<π，利用余弦定理可知 cos∠F1PF2= = =-1≥-1=-1. 当 =，即P是椭圆的短轴端点时， cos∠F1PF2最小，此时∠F1PF2最大，故D正确. （2）BC　解析：由双曲线C：x2-y2=2，得双曲线C：-=1， 设双曲线C的实半轴长为 a，虚半轴长为 b，半焦距为c，则 a=，b=，c=2. 选项A，双曲线C的虚轴长为 2，故A错误； 选项B，=4，又PF1⊥PF2， 则 得=4. 故△PF1F2的面积为 =2，故B正确； 选项C，易知 =c-a=2-，故C正确； 选项D，易得双曲线C的焦点坐标为 ，渐近线方程为x±y=0， 所以双曲线C的焦点到其渐近线的距离为 =，故D错误. 例7　（1）A　解析：设椭圆的方程为 +=1，右焦点F， 所以直线l的方程为y=x-c. 因为原点O到直线l的距离等于E的短轴长，即=2b，得c2=8b2. 又a2=b2+c2，所以c2=8⇒8a2=9c2. 所以 e==. （2）　解析：=13，==5， 且AF2⊥F1F2， ==12. 由双曲线定义可得 2a=-=8， 2c==12， 化简得a=4，c=6， 则C的离心率e=. 跟踪演练5 1.ABD　解析：如图，由于∠F1AF2=， 所以∠F1AO=∠OAF2=. 故cos∠F1AO=cos====， 因此 ==，故 m2=3. 所以椭圆C：+=1，a=2，b=，c=1. 对于A，焦距为2c=2，故A正确； 对于B，短轴长为 2b=2，B正确； 对于C，离心率为 e==，C错误； 对于D，△ABF2的周长为4a=8，D正确. 2. 　解析：对于双曲线E：-=1，其渐近线方程为 bx±ay=0，对于圆C：x2+y2-5y+4=0，有x2+=， 圆心C，半径 r=. 渐近线被圆截得的弦长为 2，所以圆心C到渐近线的距离 d==. 由点到直线距离公式，得 d==，所以4a2=b2. 又b2=c2-a2，所以 e==， 所以双曲线E的离心率为 . 例8　ABD　解析：因为抛物线y2=2px经过点M， 所以22=2p，解得 p=2，故A正确； 所以抛物线方程为y2=4x，则焦点 F. 设直线l：x=my+1，则 消去x整理得y2-4my-4=0. 则 Δ=16m2+16>0， 所以 y1+y2=4m，y1y2=-4. 则 x1+x2=m+2=4m2+2， x1x2==m2y1y2+m+1=1. 所以=x1+x2+2=4m2+4≥4，故B正确； 因为=，=， 所以·=x1x2+y1y2=-3，故C错误； 由题意知， x1≠0且 x2≠0，所以 k1k2=·=-4，故D正确. 跟踪演练6　BD　解析：由抛物线y2=8x，可得焦点为 F，故A错误； 由抛物线的性质可得=+=x1+2+x2+2=x1+x2+4，故B正确； 设直线AB的方程为x=my+2，与抛物线的方程联立，可得y2-8my-16=0， 则 y1+y2=8m，y1y2=-16，故C错误； +=+ =+ =+ = = = =，故D正确. 学科网（北京）股份有限公司 $