专题4 立体几何 专题突破练四-【名师带你过关】2027年数学高中总复习专题复习

专题突破练四 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.(2022·全国甲卷理)如图,在四棱锥P􀆼ABCD中,PD⊥底面ABCD,CD∥AB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=. (1)证明:BD⊥PA. (2)求PD与平面PAB所成的角的正弦值. 2.(2024·梅州二模)如图,在四棱锥P􀆼ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,底面ABCD为直角梯形,△PAD为等边三角形,AD∥BC,AD⊥AB,AD=AB=2BC=2. (1)证明:AD⊥PC. (2)点N在棱PC上运动,求△ADN面积的最小值. (3)点M为PB的中点,在棱PC上找一点Q,使得AM∥平面BDQ,求的值. 3.(2023·广东二模)如图,在四棱锥P􀆼ABCD中,底面ABCD是平行四边形,∠ABC=120°,AB=1,BC=2,PD⊥CD. (1)证明:AB⊥PB. (2)若平面PAB⊥平面PCD,且PA=,求直线AC与平面PBC所成角的正弦值. 4.(2023·新课标全国Ⅰ卷)如图,在正四棱柱ABCD􀆼A1B1C1D1中,AB=2,AA1=4.点A2,B2,C2,D2分别在棱AA1,BB1,CC1,DD1上,AA2=1,BB2=DD2=2,CC2=3. (1)证明:B2C2∥A2D2. (2)点P在棱BB1上,当二面角P􀆼A2C2􀆼D2为150°时,求B2P. 5.(2024·全国甲卷理)如图,在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中,四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形,EF∥AD,BC∥AD,AD=4,AB=BC=EF=2,ED=,FB=2,M为AD的中点. (1)证明:BM∥平面CDE. (2)求二面角F􀆼BM􀆼E的正弦值. 6.(2024·北京)如图,在四棱锥P􀆼ABCD中,BC∥AD,AB=BC=1,AD=3,点E在AD上,且PE⊥AD,PE=DE=2. (1)若F为线段PE中点,求证:BF∥平面PCD. (2)若AB⊥平面PAD,求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题突破练四 1. 解析：（1）证明：如图1在四边形ABCD中，作DE⊥AB于点E，CF⊥AB于点F， 图1 因为CD//AB，AD=CD=CB=1，AB=2， 所以四边形ABCD为等腰梯形.所以AE=BF=. 故DE=，BD==. 所以AD2+BD2=AB2.所以AD⊥BD. 因为PD⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD， 所以PD⊥BD， 又PD∩AD=D， 所以BD⊥平面PAD. 又因为PA⊂平面PAD， 所以BD⊥PA； （2）如图2，以点D为原点建立空间直角坐标系，BD=， 则A，B，P， 则=，=，=. 设平面PAB的法向量n=， 则有，可取n=， 则cos〈n，〉==. 所以PD与平面PAB所成角的正弦值为. 图2 2. 图1 解析：（1）证明：如图1，取AD的中点H，连接PH，CH，则AH∥BC且AH=BC.又AD⊥AB， 所以四边形ABCH为矩形，所以CH⊥AD. 又△PAD为等边三角形， 所以PH⊥AD，PH∩CH=H，PH，CH⊂平面PHC. 所以AD⊥平面PHC. 又PC⊂平面PHC， 所以AD⊥PC. （2）如图2，连接HN.由AD⊥平面PHC， 又HN⊂平面PHC， 所以AD⊥HN.所以S△ADH=AD·HN=HN. 要使△ADN的面积最小，即要使HN最小， 当且仅当HN⊥PC时HN取最小值， 因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PH⊂平面PAD， 所以PH⊥平面ABCD. 又HC⊂平面ABCD，所以PH⊥HC， 图2 在Rt△HPC中，CH=2，PH=，所以PC==. 当HN⊥PC时HN===， 所以△ADN面积的最小值为. （3）如图3，4，连接AC交BD于点G，连接MC交BQ于点F，连接FG. 图3 因为AD∥BC且AD=2BC=2，所以△CGB∽△AGD. 所以==. 因为AM∥平面BDQ，又AM⊂平面ACM， 平面BDQ∩平面ACM=GF， 所以GF∥AM. 所以==. 在△PBC中，过点M作MK∥PC，如图5， 则有==2.所以PQ=2MK，所以PQ=2MK=4CQ，即=4. 图4　　图5 3. 解析：（1）证明：如图1，连接BD. 因为四边形ABCD是平行四边形，且∠ABC=120°，AB=1，BC=2，所以CD=1，∠BCD=60°，AB∥CD. 所以BD2=BC2+CD2-2BC·CDcos∠BCD=1+4-2×1×2×=3. 所以BD=. 所以BC2=BD2+CD2.所以CD⊥BD. 又因为CD⊥PD，BD∩PD=D，BD，PD⊂平面PBD.所以CD⊥平面PBD， 因为PB⊂平面PBD，所以CD⊥PB. 因为AB∥CD，所以AB⊥PB. （2）如图2，设平面PAB和平面PCD的交线为直线l， 因为CD∥AB，CD⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，所以CD∥平面PAB. 因为CD⊂平面PCD，平面PAB∩平面PCD=l， 所以CD∥l. 因为CD⊥平面PBD，所以l⊥平面PBD. 因为PB，PD⊂平面PBD，所以∠BPD是平面PAB与平面PCD的二面角. 因为平面PAB⊥平面PCD，所以∠BPD=90°，即BP⊥DP 在Rt△ABP中，因为PA=，AB=1，所以PB=. 在Rt△BPD中，因为BD=，则PD=，所以△BPD为等腰直角三角形. 方法一：由（1）得CD⊥平面PBD，如图3，以点D为坐标原点，DB所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，过点D垂直于平面ABCD的直线为z轴建立空间直角坐标系，则A，B，C，P， 所以=，=，=. 设平面PBC的法向量为n=， 则 取x=1，则y=，z=1，得n=， 记直线AC与平面PBC所成角为θ， 则sin θ====. 所以直线AC与平面PBC所成角的正弦值为. 方法二：在△ABC中，因为AB=1，BC=2，∠ABC=120°，则 AC=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠ABC==. 设点A到平面PBC的距离为d， 由（1）知CD⊥平面PBD，因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC. 又因为AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以AD∥平面PBC. 所以VA-PBC=VD-PBC. 因为VD-PBC=VC-BPD，所以VA-PBC-VC-BPD. 设点A到平面PBC的距离为d，由（1）知CD⊥平面PBD， 所以·S△PBC·d=·S△BPD·CD， 在△PBC中，PB=，BC=2，PC=PA=， 因为PB2+PC2=BC2，所以PB⊥PC. 所以S△PBC=××=. 所以×·d=××××1. 解得d=. 记直线AC与平面PBC所成角为θ，则sin θ===. 所以直线AC与平面PBC所成角的正弦值为. 4. 解析：（1）证明：以C为坐标原点，CD，CB，CC1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，则C（0，0，0），C2（0，0，3），B2（0，2，2），D2（2，0，2），A2（2，2，1）. ∴=（0，-2，1），=（0，-2，1）. ∴∥. 又B2C2，A2D2不在同一条直线上， ∴B2C2∥A2D2. （2）设P（0，2，λ）（0≤λ≤4）， 则=（-2，-2，2），=（0，-2，3-λ），=（-2，0，1）， 设平面PA2C2的法向量n =（x，y，z）， 则 令z=2，得y=3-λ，x=λ-1. ∴n=（λ-1，3-λ，2）. 设平面A2C2D2的法向量m=（a，b，c）， 则 令a=1，得b=1，c=2. ∴m=（1，1，2）. ∴====. 化简可得λ2-4λ+3=0. 解得λ=1或λ=3. ∴P（0，2，1）或P（0，2，3）. ∴B2P=1. 5. 解析：（1）证明：因为BC∥AD，EF=2，AD=4，M为AD的中点，所以BC∥MD，BC=MD. 四边形BCDM为平行四边形，所以BM∥CD.又因为BM⊄平面CDE，CD⊂平面CDE， 所以BM∥平面CDE. （2）如图，作BO⊥AD交AD于O，连接OF. 因为四边形ABCD为等腰梯形，BC∥AD，AD=4，AB=BC=2，所以CD=2. 结合（1）BCDM为平行四边形，可得BM=CD=2，又AM=2， 所以△ABM为等边三角形，O为AM中点. 所以OB=. 又因为四边形ADEF为等腰梯形，M为AD中点，所以EF=MD，EF∥MD. 四边形EFMD为平行四边形，FM=ED=AF， 所以△AFM为等腰三角形，△ABM与△AFM底边上中点O重合，OF⊥AM，OF==3. 因为OB2+OF2=BF2，所以OB⊥OF. 所以OB，OD，OF互相垂直. 以OB方向为x轴，OD方向为y轴，OF方向为z轴，建立O􀆼xyz空间直角坐标系， F，B，M，E，=，=，=，设平面BFM的法向量为m=，平面EMB的法向量为n=， 则即，令x1=得y1=3，z1=1.即m=. 则即令x2=，得y2=3，z2=-1. 即n=，cos〈m，n〉===，则sin〈m，n〉=. 故二面角F􀆼BM􀆼E的正弦值为. 6. 解析：（1）证明：取PD的中点为S，接SF，SC，则SF∥ED，SF=ED=1. 而ED∥BC，ED=2BC，故SF∥BC，SF=BC.故四边形SFBC为平行四边形. 故BF∥SC，而BF⊄平面PCD，SC⊂平面PCD， 所以BF∥平面PCD. （2）因为ED=2，故AE=1，故AE∥BC，AE=BC. 故四边形AECB为平行四边形，故CE∥AB，所以CE⊥平面PAD. 而PE，ED⊂平面PAD，故CE⊥PE，CE⊥ED. 而PE⊥ED， 故建立如图所示的空间直角坐标系， 则A，B，C，D，P， 则=，=，=，=. 设平面PAB的法向量为m=， 则由可得取m=， 设平面PCD的法向量为n=， 则由可得取n=， 故cos〈m，n〉==-. 故平面PAB与平面PCD夹角的余弦值为. 学科网（北京）股份有限公司 $