专题4 立体几何 第3讲 空间向量与空间角-【名师带你过关】2027年数学高中总复习专题复习

第3讲　空间向量与空间角 　　以空间几何体为载体考查空间角是高考命题的重点,空间向量是将空间几何问题坐标化的工具,利用空间向量求平面与平面的夹角或线面角是高考的热点,考查题型既有选择题、填空题,也有解答题,需强化巩固复习. 1.(2018·全国)在长方体ABCD􀆼A1B1C1D1中,AB=BC=2,AC1与平面BB1C1C所成的角为30°,则该长方体的体积为 (　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　 A.8 B.6 C.8 D.8 2.(2022·全国新Ⅰ卷)已知正方体ABCD􀆼A1B1C1D1,则 (　　) A.直线BC1与DA1所成的角为90° B.直线BC1与CA1所成的角为90° C.直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45° D.直线BC1与平面ABCD所成的角为45° 3.(2023·全国乙卷)已知△ABC为等腰直角三角形,AB为斜边,△ABD为等边三角形,若二面角C􀆼AB􀆼D为150°,则直线CD与平面ABC所成角的正切值为 (　　) A. B. C. D. 考点一　异面直线所成角及最值或范围 例1　(1)(2018·全国)在正方体ABCD􀆼A1B1C1D1中,E为棱CC1的中点,则异面直线AE与CD所成角的正切值为 (　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　 A. B. C. D. (2)(2017·全国)在直三棱柱ΑΒC􀆼Α1Β1C1中,∠ΑΒC=120°,ΑΒ=2,ΒC=CC1=1,则异面直线ΑΒ1与ΒC1所成角的余弦值为 (　　) A. B. C. D. 求异面直线所成角主要有以下两种方法: (1)几何法.基本思路是通过平移直线,把异面问题化归为共面问题来解决,具体步骤如下: ①平移:平移异面直线中的一条或两条,作出异面直线所成的角;②认定:证明作出的角就是所求异面直线所成的角;③计算:求该角的值,常利用解三角形;④取舍:由异面直线所成的角的取值范围是,当所作的角为钝角时,应取它的补角作为两条异面直线所成的角.求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围. (2)向量法.①求两直线的方向向量;②求两向量夹角的余弦;③因为直线夹角为锐角,所以②对应的余弦取绝对值即为直线所成角的余弦值. 考点二　求线面角及最值或范围 例2　(2022·全国乙卷)如图,在四面体ABCD中,AD⊥CD,AD=CD,∠ADB=∠BDC,E为AC的中点. (1)证明:平面BED⊥平面ACD. (2)设AB=BD=2,∠ACB=60°,点F在BD上,当△AFC的面积最小时,求CF与平面ABD所成的角的正弦值. 求直线与平面所成角的方法 (1)几何法求线面角的关键是找出线面角(重点是找垂线与射影),然后在三角形中应用余弦定理(勾股定理)求解. (2)向量法求线面角时要注意:线面角θ与直线的方向向量a和平面的法向量n所成的角<a,n>的关系是<a,n>+θ=或<a,n>-θ=,所以应用向量法求的是线面角的正弦值,而不是余弦值. 考点三　求二面角或平面夹角最值或范围 例3　(2022·全国新Ⅱ卷)如图,PO是三棱锥P􀆼ABC的高,PA=PB,AB⊥AC,E是PB的中点. (1)证明:OE∥平面PAC. (2)若∠ABO=∠CBO=30°,PO=3,PA=5,求二面角C􀆼AE􀆼B的正弦值. (1)二面角的大小可以利用分别在两个半平面内与棱垂直的直线的方向向量的夹角(或其补角)或通过二面角的两个平面的法向量的夹角求得,它等于两个法向量的夹角或其补角. (2)利用向量法求二面角,必须能够判定“所求二面角的平面角是锐角或钝角”,否则解法是不严谨的. (3)注意题目中的设问是求二面角还是求平面与平面的夹角,它们的范围不同. 考点四　已知异面直线所成角、线面角、二面角求值或范围 例4　(2024·新高考Ⅰ卷)如图,在四棱锥P􀆼ABCD中,PA⊥底面ABCD,PA=AC=2,BC=1,AB=. (1)若AD⊥PB,证明:AD∥平面PBC. (2)若AD⊥DC,且二面角A􀆼CP􀆼D的正弦值为,求AD. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3讲　空间向量与空间角 真题感悟 1.C　解析：如图，在长方体ABCD􀆼A1B1C1D1中，连接BC1，根据线面角的定义可知∠AC1B=30°， 因为AB=2，所以BC1=2，从而求得CC1=2，所以该长方体的体积为V=2×2×2=8，故选C. 2.ABD　解析：如图，连接B1C，BC1，因为DA1∥B1C，所以直线BC1与B1C所成的角即为直线BC1与DA1所成的角，因为四边形BB1C1C为正方形，则B1C⊥BC1，故直线BC1与DA1所成的角为90°，A正确；连接A1C，因为A1B1⊥平面BB1C1C，BC1⊂平面BB1C1C，则A1B1⊥BC1，因为B1C⊥BC1，A1B1∩B1C=B1，所以BC1⊥平面A1B1C，又A1C⊂平面A1B1C，所以BC1⊥CA1，故B正确；连接A1C1，设A1C1∩B1D1=O，连接BO，因为BB1⊥平面A1B1C1D1，C1O⊂平面A1B1C1D1，则C1O⊥B1B，因为C1O⊥B1D1，B1D1∩B1B=B1，所以C1O⊥平面BB1D1D，所以∠C1BO为直线BC1与平面BB1D1D所成的角，设正方体棱长为1，则C1O=，BC1=，sin ∠C1BO==，所以，直线BC1与平面BB1D1D所成的角为30°，故C错误；因为C1C⊥平面ABCD，所以∠C1BC为直线BC1与平面ABCD所成的角，易得∠C1BC=45°，故D正确. 3.C　解析：如图，取AB的中点E，连接CE，DE，因为△ABC是等腰直角三角形，且AB为斜边，则有CE⊥AB，又△ABD是等边三角形，则DE⊥AB，从而∠CED为二面角C􀆼AB􀆼D的平面角，即∠CED=150°，显然CE∩DE=E，CE，DE⊂平面CDE，于是AB⊥平面CDE，又AB⊂平面ABC，因此平面CDE⊥平面ABC，显然平面CDE∩平面ABC=CE，直线CD⊂平面CDE，则直线CD在平面ABC内的射影为直线CE， 从而∠DCE为直线CD与平面ABC所成的角，令AB=2，则CE=1，DE=，在△CDE中，由余弦定理，得 CD===，由正弦定理得=，即sin ∠DCE==，显然∠DCE是锐角，cos∠DCE===， 所以直线CD与平面ABC所成的角的正切值为. 重难攻坚 例1　（1）C　解析：如图，在正方体ABCD􀆼A1B1C1D1中，CD∥AB，所以异面直线AE与CD所成角为∠EAB， 设正方体边长为2a，则由E为棱CC1的中点，可得CE=a，所以BE=a，则tan∠EAB===. 故选C. （2）C　解析：如图所示，补成直四棱柱ABCD􀆼A1B1C1D1，则所求角为∠BC1D，∵BC1=，BD==，C1D=AB1=，易得C1D2=BD2+BC12，因此cos∠BC1D===.故选C. 例2　解析：（1）证明：因为AD=CD，E为AC的中点，所以AC⊥DE.在△ADB和△CDB中，因为AD=CD，∠ADB=∠CDB，DB=DB，所以△ADB≌△CDB，所以AB=BC.因为E为AC的中点，所以AC⊥BE.又BE∩DE=E，BE，DE⊂平面BED，所以AC⊥平面BED，又AC⊂平面ACD，所以平面BED⊥平面ACD. （2）由（1）可知AB=BC，又∠ACB=60°，AB=2，所以△ABC为边长为2的正三角形，则AC=2，BE=，AE=1.因为AD=CD，AD⊥CD，所以△ADC为等腰直角三角形，所以DE=1.所以DE2+BE2=BD2，则DE⊥BE.由（1）可知，AC⊥平面BED.如图，连接EF，因为EF⊂平面BED，所以AC⊥EF，当△AFC的面积最小时，点F到直线AC的距离最小，即EF的长度最小.在Rt△BED中，当EF的长度最小时，EF⊥BD，EF==. 方法一：由（1）可知，DE⊥AC，BE⊥AC， 所以EA，EB，ED两两垂直， 以E为坐标原点，EA，EB，ED所在的直线分别为x轴、y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A（1，0，0），B（0，，0），D（0，0，1），C（-1，0，0）， =（-1，，0），=（0，，-1）. 易得DF=，FB=，所以3=. 设F（0，y，z），则=（0，y，z-1），=（0，-y，-z）. 所以3（0，y，z-1）=（0，-y，-z）. 得y=，z=，即F. 所以=. 设平面ABD的一个法向量为n=（x1，y1，z1）， 则 不妨取y1=1，则x1=，z1=， n=（，1，）. 记CF与平面ABD所成的角为α， 则sin α=|cos〈，n〉|==. 方法二：因为E为AC的中点，所以点C到平面ABD的距离等于点E到平面ABD的距离的2倍. 因为DE⊥AC，DE⊥BE，AC∩BE=E，AC，BE⊂平面ABC， 所以DE⊥平面ABC. 因为=， 所以×AE·BE·DE=··，其中d为点C到平面ABD的距离. 在△ABD中，BA=BD=2，AD=， 所以=. 所以d=. 因为AC⊥平面BED，EF⊂平面BED， 所以AC⊥EF. 所以FC==. 记CF与平面ABD所成的角为α， 则sin α==. 方法三：如图，过点E作EM⊥AB交AB于点M，连接DM，过点E作EG⊥DM交DM于点G. 因为DE⊥AC，DE⊥BE，AC∩BE=E，AC，BE⊂平面ABC， 所以DE⊥平面ABC，又AB⊂平面ABC，所以DE⊥AB. 又EM∩DE=E，EM，DE⊂平面DEM，所以AB⊥平面DEM. 又EG⊂平面DEM，所以AB⊥EG. 又AB∩DM=M，AB，DM⊂平面ABD， 所以EG⊥平面ABD，则EG的长度等于点E到平面ABD的距离. 因为E为AC的中点，所以EG的长度等于点C到平面ABD的距离的. 因为EM=AE·sin 60°=， 所以EG===. 所以点C到平面ABD的距离d=. FC==. 记CF与平面ABD所成的角为α， 则sin α==. 例3　解析：（1）证明：如图，连接BO并延长交AC于点D，连接OA，PD. 因为PO是三棱锥P􀆼ABC的高，所以PO⊥平面ABC，AO，BO⊂平面ABC.所以PO⊥AO、PO⊥BO. 又PA=PB，所以△POA≌△POB，即OA=OB，所以∠OAB=∠OBA. 又AB⊥AC，即∠BAC=90°，所以∠OAB+∠OAD=90°，∠OBA+∠ODA=90°. 所以∠ODA=∠OAD. 所以AO=DO，即AO=DO=OB.所以O为BD的中点. 又E为PB的中点，所以OE∥PD. 又OE⊄平面PAC，PD⊂平面PAC， 所以OE∥平面PAC. （2）过点A作z轴∥OP，如图，建立空间直角坐标系， 因为PO=3，AP=5，所以OA==4. 又∠OBA=∠OBC=30°，所以BD=2OA=8，则AD=4，AB=4， 所以AC=12，所以O，B，P，C， 所以E. 则=，=，=. 设平面AEB的法向量为n=，则，令z=2，则y=-3，x=0. 所以n=； 设平面AEC的法向量为m=，则 令a=，则c=-6，b=0，所以m=. 所以cos〈n，m〉===-. 设二面角C􀆼AE􀆼B的大小为θ，则==， 所以sin θ==，即二面角C􀆼AE􀆼B的正弦值为. 例4　解析：（1）证明：因为PA⊥平面ABCD，而AD⊂平面ABCD，所以PA⊥AD. 又AD⊥PB，PB∩PA=P，PB，PA⊂平面PAB，所以AD⊥平面PAB. 而AB⊂平面PAB，所以AD⊥AB. 因为BC2+AB2=AC2，所以BC⊥AB. 根据平面知识可知AD∥BC， 又AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以AD∥平面PBC. （2）方法一：如图所示，过点D作DE⊥AC于点E，再过点E作EF⊥CP于点F，连接DF， 因为PA⊥平面ABCD，所以平面PAC⊥平面ABCD，又平面PAC∩平面ABCD=AC. 所以DE⊥平面PAC，又EF⊥CP，所以CP⊥平面DEF，所以CP⊥DF. 根据二面角的定义可知，∠DFE即为二面角A􀆼CP􀆼D的平面角，即sin ∠DFE=，即tan∠DFE=. 因为AD⊥DC，设AD=x，则CD=. 由等面积法可得，DE=， 又CE==，又△EFC为等腰直角三角形，所以EF=. 故tan∠DFE==，解得x=，即AD=. 方法二：以DA，DC分别为x轴、y轴，过点D作与平面ABCD垂直的直线为z轴建立如图所示空间直角坐标系Dxyz. 令AD=t，则A（t，0，0），P（t，0，2），D（0，0，0），DC=，C（0，，0）， 设平面ACP的法向量为n1=（x1，y1，z1）， 则所以 不妨设x1=，则y1=t，z1=0，n1=（，t，0）. 设平面CPD的法向量为n2=（x2，y2，z2）， 则所以 不妨设z2=t，则x2=-2，y2=0，n2=（-2，0，t）. 因为二面角A􀆼CP􀆼D的正弦值为，则余弦值为. 所以=|cos〈n1，n2〉|==. 所以t=，所以AD=. 学科网（北京）股份有限公司 $