专题4 立体几何 第2讲 空间点、直线、平面之间的位置关系-【名师带你过关】2027年数学高中总复习专题复习

第2讲　空间点、直线、平面之间的位置关系 　　理解、掌握空间中点、线、面的位置关系及相关的图形和符号语言,熟练掌握平行关系的判定定理和性质定理及其应用,熟练掌握垂直关系的判定定理和性质定理及其应用,该内容是高考卷的常考内容. 1.(2016·全国)α,β是两个平面,m,n是两条直线,有下列四个命题: ①如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β. ②如果m⊥α,n∥α,那么m⊥n. ③如果α∥β,m⊂α,那么m∥β. ④如果m∥n,α∥β,那么m与α所成的角和n与β所成的角相等. 其中正确的命题有　　　　　　.(填写所有正确命题的编号)  2.(2019·全国)设α,β为两个平面,则α∥β的充要条件是 (　　) A.α内有无数条直线与β平行 B.α内有两条相交直线与β平行 C.α,β平行于同一条直线 D.α,β垂直于同一平面 3.(2019·北京)已知l,m是平面α外的两条不同直线.给出下列三个论断: ①l⊥m;②m∥α;③l⊥α. 以其中的两个论断作为条件,余下的一个论断作为结论,写出一个正确的命题:　　　　　.  4.(2021·浙江)如图,已知正方体ABCD􀆼A1B1C1D1,M,N分别是A1D,D1B的中点,则 (　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　 A.直线A1D与直线D1B垂直,直线MN∥平面ABCD B.直线A1D与直线D1B平行,直线MN⊥平面BDD1B1 C.直线A1D与直线D1B相交,直线MN∥平面ABCD D.直线A1D与直线D1B异面,直线MN⊥平面BDD1B1 5.(2024·天津)若m,n为两条不同的直线,α为一个平面,则下列结论中正确的是 (　　) A.若m∥α,n∥α,则m⊥n B.若m∥α,n∥α,则m∥n C.若m∥α,n⊥α,则m⊥n D.若m∥α,n⊥α,则m与n相交 考点一　空间点、线、面位置关系的判断 例1　(1)(2025·全国新Ⅰ卷)如图,在正三棱柱ABC􀆼A1B1C1中,D为BC中点,则 (　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　 A. AD⊥A1C B. BC⊥平面AA1D C. AD∥A1B1 D. CC1∥平面AA1D (2)(2019·全国)如图,点N为正方形ABCD的中心,△ECD为正三角形,平面ECD⊥平面ABCD,M是线段ED的中点,则 (　　) A.BM=EN,且直线BM,EN是相交直线 B.BM≠EN,且直线BM,EN是相交直线 C.BM=EN,且直线BM,EN是异面直线 D.BM≠EN,且直线BM,EN是异面直线 (3)(2025年·上海)如图,P是圆锥的顶点,O是底面圆心,AB是底面直径,且AB=2. ①若直线PA与圆锥底面的所成角为,求圆锥的侧面积; ②已知Q是母线PA的中点,点C,D在底面圆周上,且弧AC的长为,CD∥AB.设点M在线段OC上,证明:直线QM∥平面PBD. 判断空间线面位置关系的常用方法 (1)根据空间线面平行、垂直的判定定理和性质定理逐项判断,解决问题. (2)必要时可以借助空间几何模型,如从长方体、四面体等模型中观察线、面的位置关系,并结合有关定理进行判断. 考点二　动点的轨迹问题 例2　(1)(多选)如图,设正方体ABCD􀆼A1B1C1D1的棱长为1,E,F分别为AB,BD1的中点,点M在正方体的表面上运动,且满足FM⊥DE,则下列说法中正确的是 (　　) A.点M可以是棱AD的中点 B.点M的轨迹是菱形 C.点M的轨迹的长度为2+ D.点M的轨迹所围成图形的面积为 (2)(多选)(2023 · 深圳模拟)如图,已知正方体 ABCD􀆼A1B1C1D1 ,点 P 在直线 AD1 上, Q 为线段 BD 的中点,则下列命题中的真命题有 (　　) A.存在点 P ,使得 PQ⊥A1C1 B.存在点 P ,使得 PQ∥A1B C.直线 PQ 始终与直线 CC1 异面 D.直线 PQ 始终与直线 BC1 异面 解决动点轨迹问题的方法 (1)几何法:根据平面的性质进行判定. (2)定义法:转化为平面轨迹问题,用圆锥曲线的定义判定或用代数法进行计算. (3)特殊值法:根据空间图形线段长度关系取特殊值或位置进行排除. 考点三　折叠问题 例3　(1)(多选)(2024·保定二模) 如图 1, 在等腰梯形 ABCD 中, AB∥CD,EF⊥AB,FC=EF=2DF=2,AE=3,EB=4,将四边形 AEFD 沿 EF 进行折叠,使 AD 到达A'D'位置,且平面 A'D'FE⊥平面 BCFE,连接A'B,D'C ,如图 2 , 则 (　　) 图1　　　　　　　　图2 A.BE⊥A'D' B.平面A'EB∥ 平面D'FC C.多面体A'EBCD'F 为三棱台 D.直线A'D'与平面 BCFE 所成的角为 (2)(多选)在一次数学兴趣小组的实践活动中,李怡同学将一张边长为10 cm的菱形纸片ABCD沿对角线BD折叠,形成一个二面角模型A'􀆼BD􀆼C,BD=12 cm,如图所示.下列叙述中正确的有 (　　) A.四面体A'􀆼BCD体积的最大值为384 cm3 B.在折叠的过程中,存在某个时刻使DA'⊥BC C.当A'C=8 cm时,动点M在平面A'BD内且CM≤7 cm,则动点M所形成区域的面积为π cm2 D. 在C的条件下,若直线CM与直线BD所成的角为α,则cos α的最大值为 折叠问题的处理策略 (1)通常情况下,位于折痕同侧的点、线、面的空间位置关系和数量关系保持不变,而位于折痕两侧的点、线、面的空间位置关系和数量关系可能会发生变化. (2)特别是与折痕平行或垂直的线段,在翻折前后, 其平行关系或垂直关系不会改变. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2讲　空间点、直线、平面之间的位置关系 真题感悟 1.②③④　解析：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，不能得出α⊥β，故错误； ②若n∥α，则存在直线l⊂α，使n∥l，由m⊥α，可得m⊥l，那么m⊥n.故正确； ③如果α∥β，m⊂α，那么m与β无公共点，则m∥β.故正确； ④如果m∥n，α∥β，那么m，n与α所成的角和m，n与β所成的角均相等.故正确. 2.B　解析：由面面平行的判定定理知，α内两条相交直线都与β平行是α∥β的充分条件，由面面平行性质定理知，若α∥β，则α内任意一条直线都与β平行，所以α内两条相交直线都与β平行是α∥β的必要条件，故选B. 3.若l⊥α，m∥α，则l⊥m或若l⊥α，l⊥m，则m∥α. 解析：将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题： （1）若l⊥α，m∥α，则l⊥m. 正确； （2）若l⊥α，l⊥m，则m∥α.正确； （3）若l⊥m，m∥α，则l⊥α.不正确，有可能l与α斜交、l∥α. 4.A　解析：如图，连接AD1，在正方体ABCD􀆼A1B1C1D1中，M是A1D的中点，所以M为AD1的中点，又N是D1B的中点，所以MN∥AB，MN⊄平面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以MN∥平面ABCD.因为AB不垂直BD，所以MN不垂直BD，则MN不垂直平面BDD1B1，所以选项B，D不正确；在正方体ABCD􀆼A1B1C1D1中，AD1⊥A1D，AB⊥平面AA1D1D，所以AB⊥A1D，AD1∩AB=A.所以A1D⊥平面ABD1，D1B⊂平面ABD1，所以A1D⊥D1B，且直线A1D，D1B是异面直线，所以选项C错误，选项A正确. 5.C　解析：对于A，若m∥α，n∥α，则m，n平行或异面或相交，故A错误. 对于B，若m∥α，n∥α，则m，n平行或异面或相交，故B错误. 对于C，m∥α，n⊥α，过m作平面β，使得β∩α=s， 因为m⊂β，故m∥s，而s⊂α，故n⊥s，故m⊥n，故C正确. 对于D，若m∥α，n⊥α，则m与n相交或异面，故D错误. 重难攻坚 例1　（1）BD　解析：如图，对于A，在正三棱柱ABC􀆼A1B1C1中，AA1⊥平面ABC， 又AD⊂平面ABC，则AA1⊥AD，则·=0. 因为△ABC是正三角形，D为BC中点， 则AD⊥BC，则·=0. 又=++， 所以·=·=·++·=≠0. 则AD⊥A1C不成立，故A错误； 对于B，在正三棱柱ABC􀆼A1B1C1中，AA1⊥平面ABC， 又BC⊂平面ABC，则AA1⊥BC. 因为△ABC是正三角形，D为BC中点，则AD⊥BC. 又AA1∩AD=A，AA1，AD⊂平面AA1D， 所以BC⊥平面AA1D，故B正确； 对于D，在正三棱柱ABC􀆼A1B1C1中，CC1∥AA1， 又AA1⊂平面AA1D，CC1⊂平面AA1D，所以CC1∥平面AA1D，故D正确； 对于C，在正三棱柱ABC􀆼A1B1C1中，A1B1∥AB， 假设AD∥A1B1，则AD∥AB，这与AD∩AB=A矛盾， 所以AD∥A1B1不成立，故C错误. 故选BD. （2）B　解析：如图所示， 作EO⊥CD于点O，连接ON，过M作MF⊥OD于点F，连BF. ∵平面CDE⊥平面ABCD.EO⊥CD，EO⊂平面CDE， ∴EO⊥平面ABCD，MF⊥平面ABCD. ∴△MFB与△EON均为直角三角形. 设正方形边长为2，易知EO=，ON=1，EN=2，MF=，BF=， ∴BM=.∴BM≠EN.故选B. （3）解析：①由题知，∠PAB=，即轴截面△ABP是等边三角形，故PA=AB=2， 底面周长为2π×1=2π ，则侧面积为×2×2π =2π . ②证明：如图，由题知AQ=QP，AO=OB，则根据中位线性质，QO∥PB， 又QO⊄平面PBD，PB⊂平面PBD，则QO∥平面PBD. 由于=，底面圆半径是1，则∠AOC=. 又CD∥AB，则∠OCD=. 又OC=OD，则△OCD为等边三角形，则CD=1. 于是CD∥BO且CD=OB，则四边形OBDC是平行四边形，故OC∥BD. 又OC⊄平面PBD，BD⊂平面PBD，故OC∥平面PBD. 又OC∩OQ=O，OC，OQ⊂平面QOC， 根据面面平行的判定，于是平面QOC∥平面PBD， 又M∈OC，则QM⊂平面QOC，则QM∥平面PBD. 例2　（1）CD　解析：如图1，连接AC，BD，设AC∩BD=O，则O为AC，BD的中点.因为F为BD1的中点，所以FO∥DD1，由正方体的性质可知DD1⊥平面ABCD，所以FO⊥平面ABCD.因为DE⊂平面ABCD，所以FO⊥DE.过点O作PQ⊥DE，分别交BC，AD于点P，Q，过点P，Q分别作PH∥BB1，QG∥AA1，分别交B1C1，A1D1于点H，G，连接GH，所以P，Q，G，H四点共面，且GQ∥PH，GQ=PH，故四边形PQGH为平行四边形.因为AA1⊥平面ABCD，所以PH⊥平面ABCD，PQ⊂平面ABCD，所以PH⊥PQ，故四边形PQGH为矩形.因为PQ∩FO=O，PQ，FO⊂平面PQGH，所以DE⊥平面PQGH.因为点M在正方体的表面上运动，且满足FM⊥DE，所以当FM⊂平面PQGH时，始终有FM⊥DE，所以点M的轨迹是矩形PQGH.如图2，因为∠DQO+∠QDE=∠QDE+∠AED=，所以∠DQO=∠AED，所以∠AQO=∠BED.因为∠OAQ=∠EBD=，所以△AOQ∽△BDE，所以=，即=，即AQ=，所以CP=AQ=，PQ=，故点M不可能是棱AD的中点，点M的轨迹是矩形PQGH，轨迹长度为矩形PQGH的周长2×=+2，轨迹所围成图形的面积为×1=. （2）ABD　解析： 如图，在正方体ABCD􀆼A1B1C1D1 中，易得A1C1⊥ 平面 BDD1B1， 因为点P在直线 AD1 上， Q为线段BD的中点，当点P和点 D1 重合时， PQ平面 BDD1B1，所以PQ⊥A1C1，故A正确；连接 A1D，A1B，当点P为线段 A1D 的中点时， PQ 为△A1BD的中位线，即 PQ∥A1B，故B正确；CC1 平面 AA1C1C，当点P和点A重合时， PQ平面 AA1C1C，所以直线PQ和CC1在同一平面内，故C错误；BC1平面ABC1D1，PQ∩ 平面ABC1D1=P，PBC1，所以直线PQ始终与直线 BC1 不相交，且不平行，所以直线PQ与直线 BC1 是异面直线，故D正确. 例3　（1）ABD　解析：因为平面 A'D'FE⊥平面BCFE，平面 A'D'FE∩ 平面BCFE=EF，BE平面BCFE，BE⊥EF，所以 BE⊥ 平面A'D'FE，又 A'D' 平面 A'D'FE，则 BE⊥A'D'，故A正确； 因为 A'E∥D'F，A'E 平面 D'FC，D'F 平面 D'FC，所以 A'E∥平面 D'FC，又 BE∥FC，BE平面 D'FC，FC 平面 D'FC，所以 BE∥平面 D'FC，又 A'E∩BE=E，A'E，BE⊂平面 A'EB，所以平面 A'EB∥ 平面 D'FC，B正确； 因为 =，=，则 ≠，所以多面体 A'EBCD'F 不是三棱台，C错误；延长 A'D'，EF 相交于点 G，因为平面 A'D'FE⊥ 平面BCFE，平面 A'D'FE∩ 平面BCFE=EF，A'E⊂平面 A'D'FE，A'E⊥EF，所以 A'E⊥ 平面BCFE，则 ∠A'GE 为直线 A'D' 与平面BCFE 所成的角. 因为 A'E∥D'F，所以 =，解得 GF=1，GE =3，则 tan∠A'GE==1，则 ∠A'GE=，D正确. 故选ABD. （2）BCD　解析：如图，连接AC交BD于O，则AC⊥BD，连接A'O，则OB=OD=6 cm，∵AB=10 cm，根据勾股定理可得OC=OA=OA'=8 cm，∴S△BCD=×12×8=48cm2，对于A，当A'O⊥平面BCD时，四面体A'􀆼BCD的体积最大，此时VA'-BCD=×48×8=128（cm3），故A错；对于B，因为A'O⊥BD，AC⊥BD，且A'O∩AC=O，所以BD⊥平面A'AC，则平面A'AC⊥平面ABCD，又因为平面A'AC∩平面ABCD=AC，过A'作A'N⊥AC于点N，则A'N⊂平面A'AC，所以A'N⊥平面ABCD，则A'D在平面BCD的投影就是DN，当DN⊥BC时，A'D⊥BC，故B正确；对于C，当A'C=8 cm时，△A'OC为正三角形，又因为BD⊥平面A'AC，即BD⊥平面A'OC，所以平面A'OC⊥平面A'BD且平面A'OC∩平面A'BD=A'O，过C作CH⊥A'O于点H，又因为CH⊂平面A'OC，所以CH⊥平面A'BD，且CH=4cm，在Rt△CHM中，根据勾股定理，得CM2=CH2+HM2≤49⇒HM≤1，即点M在以H为圆心，半径为1 cm的圆面上，其面积为π cm2，故C正确；对于D，由前面分析知，CM与平面A'BD所成角最小时，其余弦值，所以CM与BD所成角α最小时，即CM在平面A'BD的射影与BD平行时，cos α=为最大值，故D正确. 学科网（北京）股份有限公司 $