专题4 立体几何 第1讲 空间几何体-【名师带你过关】2027年数学高中总复习专题复习

立体几何 第1讲　空间几何体 　　了解柱体、锥体、台体及简单组合体的结构特征及其相关性质,会运用柱体、锥体、台体等组合体的表面积和体积的计算公式求解相关问题,该内容是新高考卷的常考内容,一般给定柱体、锥体、台体及简单组合体,求对应的表面积与体积.理解、掌握球体的表面积公式和体积公式,熟练掌握不同模型的球体的外接球和内切球的相关计算,需强化复习. 1.(2021·全国甲卷文)已知一个圆锥的底面半径为6,其体积为30π,则该圆锥的侧面积为　　　　.  2.(2024·全国新Ⅰ卷)已知圆柱和圆锥的底面半径相等,侧面积相等,且它们的高均为,则圆锥的体积为 (　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　 A.2π B.3π C.6π D.9π 3.(2020·海南)已知正方体ABCD􀆼A1B1C1D1的棱长为2,M,N分别为BB1,AB的中点,则三棱锥A􀆼NMD1的体积为　　　　　　.  4.(2024·天津)一个五面体ABC􀆼DEF如图所示.已知AD∥BE∥CF,且两两之间的距离为1,AD=1,BE=2,CF=3.则该五面体的体积为(　　) A. B.+ C. D.- 5.(2017·全国)长方体的长、宽、高分别为3,2,1,其顶点都在球O的球面上,则球O的表面积为　　　　.  考点一　求几何体的侧面积、表面积 例1　(2025·广州毕业班综合测试)已知球O的表面积为4π,一圆台的上、下底面圆周都在球O的球面上,且下底面过球心O,母线与下底面所成角为,则该圆台的侧面积为 (　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　 A.π B. π C. π D. 3π 求几何体的表面积的方法 (1)求表面积问题的思路是通过将立体几何问题转化为平面图形问题来处理, 即对空间图形进行平面化, 这也是解决立体几何问题的核心方法. (2)求不规则几何体的表面积时,通常将所给的几何体分解为柱体、锥体和台体, 先分别计算这些柱体、锥体和台体的表面积, 然后通过求和或作差的方法得出该几何体的表面积. 考点二　求几何体的体积 例2　(1)(2025·全国Ⅱ卷)一个底面半径为4 cm,高为9 cm的封闭圆柱形容器(容器壁厚度忽略不计)内有两个半径相等的铁球,则铁球半径的最大值为　　　　　　cm.  (2)(2025·江门模拟)已知边长为1的正方形ABCD以边CD所在直线为轴旋转一周形成的面围成一个圆柱,点M和点N分别是圆柱上底面和下底面的动点,点P是线段MN的中点,则三棱锥A􀆼PBC体积的最大值为 (　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　 A. B. C. D. (3)(2025·北京)某科技兴趣小组通过3D打印机的一个零件可以抽象为如图所示的多面体,其中ABCDEF是一个平面多边形,平面ARF⊥平面ABC,平面TCD⊥平面ABC,AB⊥BC,AB∥RS∥EF∥CD,AF∥ST∥BC∥ED,若AB=BC=8,AF=CD=4,AR=RF=TC=TD=,则该多面体的体积为　　　　.  求空间几何体体积的常用方法 (1)公式法:直接利用常见柱体、锥体、台体等规则几何体的体积公式进行计算. (2)等积法:根据体积公式,通过改变空间几何体的底面和高, 使体积计算更加简便, 或通过计算体积比来求解. (3)割补法:将无法直接计算体积的空间几何体进行合理分割或补形,转化为可以计算体积的几何体. 考点三　空间几何体的外接球 例3　(2019·全国Ⅰ卷)已知三棱锥P􀆼ABC的四个顶点在球O的球面上,PA=PB=PC,△ABC是边长为2的正三角形,E,F分别是PA,AB的中点,∠CEF=90°,则球O的体积为 (　　) A.8π B.4π C.2π D.π (1)求几何体外接球半径的方法 ①补体法:把几何体补成长方体、正方体、正四面体,再利用它们的外接球半径公式求解; ②性质法:球心与截面圆心的连线与截面垂直,球心与弦中点的连线与弦垂直. (2)确定球心的常用结论 ①长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点; ②正三棱柱的外接球的球心是上、下底面中心连线的中点; ③直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心连线的中点; ④正棱锥的外接球的球心在其高上,具体位置可通过建立直角三角形运用勾股定理计算得到. 考点四　空间几何体的内切球 例4　(2025·湛江模拟)一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3、圆心角为的扇形,在该圆锥内有一个体积为V的球,则该球的体积V的最大值是 (　　) A.2π B. π C. π D. π 内切球问题的处理思路 　　通法是作截面,将空间几何问题转化为平面几何问题求解,解题思路如下: (1)定球心:内切球中球心到切点的距离相等且为半径. (2)作截面:选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素间的关系),达到空间问题平面化的目的. 考点五　空间几何体的棱切球 例5　正三棱锥P􀆼ABC的底面边长为2,侧棱长为2,若球H与正三棱锥所有的棱都相切,则这个球的表面积为 (　　) A.π B.(44-16)π C.π D.32π 解决棱切球问题的常用方法 (1)外形:转化为内切球求解; (2)找切点⇒定球心⇒构造直角三角形求解. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题四　立体几何 第1讲　空间几何体 真题感悟 1.39π 　解析：∵V=π 62·h=30π，∴h=.∴l===.∴S侧=πrl=π×6×=39π . 2.B　解析：设圆柱的底面半径为r，则圆锥的母线长为，因为它们的侧面积相等，所以2πr×=πr×，即2=，故r=3，故圆锥的体积为π ×9×=3π . 3.　解析：因为正方体ABCD􀆼A1B1C1D1的棱长为2，M，N分别为BB1，AB的中点，所以==××1×1×2=. 4.C　解析：用一个完全相同的五面体HIJ􀆼LMN（顶点与五面体ABC􀆼DEF一一对应）与该五面体相嵌，使得D，N；E，M；F，L重合，因为AD∥BE∥CF，且两两之间距离为1，AD=1，BE=2，CF=3，所以形成的新组合体为一个三棱柱，该三棱柱的直截面（与侧棱垂直的截面）为边长为1的等边三角形，侧棱长为1+3=2+2=3+1=4，VABC􀆼DEF=VABC􀆼HIJ=××1×1××4=. 5.14π　解析：长方体的体对角线长为球的直径，则2R==，R=，则球O的表面积为4π =14π . 重难攻坚 例1　B　解析：作出示意图如图所示. 设球的半径为OA=OB，由题意可得∠OAB=，所以△OAB是等边三角形，所以∠AOB=，所以∠O1OB=，因为球O的表面积为4π ，所以4π ×OA2=4π ，解得OA=1.所以OB=AB=1. 所以O1B=OB=.所以圆台的侧面积为×1=. 例2　（1）2.5　解析：如图，圆柱的底面半径为4 cm，设铁球的半径为r，且r<4，由圆柱与球的性质知AB2=（2r）2=（8-2r）2+（9-2r）2，即4r2-68r+145==0.∵r<4，∴r=2.5. （2）B　解析：如图，由题意知，AB=CD=BC=1，三角形ABC的面积为S=×1×1=.设点P到平面ABC的高为h， 又VA􀆼PBC=VP􀆼ABC=h·S=h，要使三棱锥A􀆼PBC体积的最大，则需h最大，根据图形可得， 当MN∥CD，且CM⊥CB时，h最大，最大为1，=h=. （3）60　解析：先证明一个结论：如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，平面α∩β=l，则l⊥γ. 证明：如图，设α∩γ=a，β∩γ=b， 在平面γ内取一点O，O∉a，O∉b，在平面γ内过O作直线m，使得m⊥a，作直线n，使得n⊥b，因为平面α⊥平面γ，m⊂γ，故m⊥α，而l⊂α，故m⊥l. 同理n⊥l，而m∩n=O，m，n⊂γ，故l⊥γ . 如图，连接BE，因为AB⊥BC且AF∥BC，故AF⊥AB，同理BC⊥CD，EF⊥ED，而AB=BC=8，AF=CD=4，故直角梯形ABEF与直角梯形CBED全等，故∠BEF=∠BED=45°. 在直角梯形ABEF中，过B作BN⊥EF，垂足为N，则四边形ABNF为矩形，且△BNE为以∠BNE为直角的等腰直角三角形，故EF=FN+NE=AB+BN=AB+AF=12，平面RAF⊥平面ABEF，平面RAF∩平面ABEF=AF，AF⊥AB，AB⊂平面ABEF，故AB⊥平面RAF，取AF的中点M，BE的中点U，CD的中点V，连接RM，MU，SU，UV，则MU∥RS，同理可证RM⊥平面ABEF，而RM⊂平面RMUS，故平面RMUS⊥平面ABEF，同理平面VUS⊥平面ABEF，而平面RMUS∩平面VUS=SU，故SU⊥平面ABEF，故RM∥SU，故四边形RMUS为平行四边形，故MU=RS=×=10.在平面ABHR中，过B作BH∥AR，交RH于H，连接HT.则四边形ABHR为平行四边形，且RH∥AB，RH=AB，故RH∥FN，RH=FN，故四边形RFNH为平行四边形， 而BH⊥AB，BN⊥AB，BN∩BH=B，BN，BH⊂平面BHN，故AB⊥平面BHN，故平面ARF∥平面BHN. 而AR=BH，RF=HN，AF=BN，故△ARF≌△BHN，故几何体ARF􀆼BHN为直棱柱. 而S△ARF=×4×=3，故VARF􀆼BHN=8×3=24，因为AB∥EF，故EF⊥平面ARF，而EF⊂平面RSEF，故平面ARF⊥平面RSEF，在平面ARF中，过A作AG⊥RF，垂足为G，同理可证AG⊥平面RSEF，而AG·RF=3，故AG=，故VB􀆼HTES=××××=6，由对称性可得几何体的体积为2×=60. 例3　D　解析：如图，∵PA=PB=PC，△ABC为边长为2的等边三角形，∴P􀆼ABC为正三棱锥.∴PB⊥AC，又E，F分别为PA，AB的中点.∴EF∥PB.∴EF⊥AC，又EF⊥CE，CE∩AC=C.∴EF⊥平面PAC.PB⊥平面PAC，∴∠APB=90°，∴PA=PB=PC=，∴P􀆼ABC为正方体一部分，2R==，即 R=. ∴V=πR3=π×=π，故选D. 例4　D　解析：由题意得，扇形的弧长l=3×=2π，所以该圆锥的底面圆的半径r==1，所以该圆锥的高h==2.设该圆锥内的球的最大半径为R，圆锥的轴截面如图所示： 则依题意得S△ABC=×2×2=××R，所以R=. 所以该球的体积V的最大值是πR3=π=π. 例5　B　解析：如图，设底面△ABC的外接圆的圆心为O，连接PO，AO，延长AO交BC于点N，球H与棱PA和BC切于点M，N，设球H的半径为r，则AO=×2=2，ON=×2-2=1，而PO⊥底面ABC，PO⊥AO，可得PO==2.在Rt△OHN中，OH=，1<r<2，在Rt△PMH中，PM=MH=r，PH=r，所以PO=PH+OH，即有2=r+，解得r=2-.则这个球的表面积为4πr2=4π ×（2-）2=（44-16）π，故选B. 学科网（北京）股份有限公司 $