专题3 数列 第1讲 等差数列与等比数列-【名师带你过关】2027年数学高中总复习专题复习

专题三　数列 第1讲　等差数列与等比数列 真题感悟 1.C　解析：设等差数列的公差为d，，因为a3，a4，a6成等比数列，且a1=-2， 所以=a3a6，即=，解得d=2或d=0（舍去）， 所以a10=a1+9d=-2+9×2=16.故选C. 2.C　解析：方法一，甲：为等差数列，设其首项为a1，公差为d， 则Sn=na1+d，=a1+d=n+a1-，-=， 因此为等差数列，则甲是乙的充分条件； 反之，乙：为等差数列，即-==为常数，设为t， 即=t，则Sn=nan+1-t·n（n+1），有Sn-1=（n-1）an-t·n（n-1），n≥2， 两式相减，得an=nan+1-（n-1）an-2tn，即an+1-an=2t，对n=1也成立， 因此为等差数列，则甲是乙的必要条件， 所以甲是乙的充要条件，C正确. 方法二，甲：为等差数列，设数列的首项a1，公差为d，即Sn=na1+d， 则=a1+d=n+a1-，因此为等差数列，即甲是乙的充分条件； 反之，乙：为等差数列，即-=d，=S1+（n-1）d， 即Sn=nS1+n（n-1）d，Sn-1=（n-1）S1+（n-1）（n-2）d， 当n≥2时，上两式相减，得Sn-Sn-1=S1+2（n-1）d，当n=1时，上式成立， 于是an=a1+2（n-1）d， 又an+1-an=a1+2nd-［a1+2（n-1）d］=2d为常数， 因此为等差数列，则甲是乙的必要条件， 所以甲是乙的充要条件.故选C. 3.2　解析：设该等比数列为，Sn是其前n项和，则S4=4，S8=68， 设的公比为q，所以S4=a1+a2+a3+a4=4， S8=a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8=a1+a2+a3+a4+a1q4+a2q4+a3q4+a4q4=（a1+a2+a3+a4）（1+q4）=68， 所以4=68，则1+q4=17，所以q=2. 4.AD　解析：对A，由题意得结合q>0，解得或（舍去），故A正确；对B，则a5=a1q4=4×=，故B错误；对C，S5===，故C错误；对D，an=4×=23-n，Sn==8-2-n+3，则an+Sn=23-n+8-23-n=8，故D正确.故选AD. 5.B　解析：∵a1=1，易得a2=∈，依次类推可得an∈. 由题意，an+1=an，即==+， ∴-=>， 即->，->，->，…，->，（n≥2）， 累加可得-1>，即>（n+2），（n≥2）， ∴an<，，即a100<，100a100<<3， 又-=<=（n≥2）， ∴-=，-<，-<，…，-<（n≥3）， 累加可得-1<+（n≥3）. ∴-1<33+<33+<39， 即<40，∴>，即100>.综上，<100a100<3. 故选B. 重难攻坚 例1　（1）A　解析：S9=6a5+27，则 9a5=6a5+27，解得 a5=9. 故S5===25 . 故选A. （2）A　解析： 由题意可知， a1+a2=12 且 a1+a3=2 +6）， 设等比数列的公比为 q，则a1+a1q2=2a1q+a1+a1q，得 q=3， ∴===1+35=244 .故选A. 跟踪演练1 1.D　解析：设等差数列 的公差为 d，S5=25，则 5a3=25，解得a3=5. 故 d=a3-a2=5-3=2，a5=a2+3d=3+3×2=9，S4=S5-a5=25-9=16， 所以 ===4 . 故选D. 2.an=3×2n-1　解析：各项均为正数的等比数列 ，设公比为 q，q>0， 由 2Sn=an+2-6， 可得当n=1 时， 2a1=2S1=a3 -6，即 2a1=a1q2-6. 当n=2 时， 2a1+2a2=2S2=a4-6， 即 2a1+2a1q=a1q3-6. 解得 q=2，a1=3，可得an=3×2n-1，Sn= =3×2n-3. 满足 2Sn=an+2-6.故an=3×2n-1 . 例2　（1）C　 解析：设数列 的公比为 q，由题知a1q·a1q2 ·a1q3=q6=27， 则 a1a3a5…a17===q72== 2712=336， 所以 log3=log3336=36 . 故选C. （2）A　解析： 因为数列 ， 均为等差数列， =， 则a7+a8+a9=3a8=×15a8=S15，b6+b10 =b1+b15. 而T15=，故b6+b10=T15，因此 ==·=×=2. 故选A. 跟踪演练2 1.B　解析： 在等差数列 中， a1=2，a3+a7=2a5=8，即a5=4， 所以 d==，则 S17=17×2+ ×=102. 故选B. 2.ABD　解析： 设a1=a2=t（t≠0），由 an+2=an+1+2an，可得 an+2-2an+1 =-，则 是首项为 -t，公比为 -1 的等比数列，故A正确； 由 an+2=an+1+2an，可得an+2-an=an+1+an. 又 n≥2 时， an+1=an+2an-1，可得an=an+1-2an-1. 即有an+2-an=2，则 是首项为 2t，公比为 2 的等比数列，故B正确； 由 a1=t，a2=t，a3=3t，a4=5t，a5=11t，a6= 21t，可得S2-2S1=0，S3-2S2=t，S4-2S3=0，可得 不是等差数列，故C错误； 由 an+2=an+1+2an，可得an+2-an=an+1+an. 即有a1+a2=a3-a1，a3+a4=a5-a3，…，a2n-1+a2n=a2n+1-a2n-1， 上式相加可得S2n=a1+a2+a3+a4+…+a2n-1+a2n=a2n+1-a1=a2n+1-t. 即有a2n+1-S2n=t，可得是等差数列，故D正确. 故选ABD. 例3　BCD　解析：根据题意，依次分析选项. 举出反例，令 m=1，则 S2-S1=a2，S3-S2=a3 . 当 d≠0 时，a2≠a3，即S2-S1≠S3-S2. 所以S1，S2，S3 不是等差数列，故A错误； 设等差数列的公差为 d，则 =e =e d，是定值， 所以 是公比为 e d的等比数列，故B正确； ==n+a1-，故 是公差为 的等差数列，故C正确； ==+a1-， == =a1+（p+q-1）=+a1-，所以 = ，故D正确. 故选BCD. 跟踪演练3　165　解析：设等差数列 的公差为 d， 由a1=3，a3，a6，a8 成等比数列，可得（3+5d）2=×. 整理得 8d2-21d-9=0，解得 d=3 或 d=-（舍去）. 故等差数列 的前 10 项和为S10=10×3+ ×3=165. 学科网（北京）股份有限公司 $ 数列 第1讲　等差数列与等比数列 1.等差数列与等比数列是高考考查的重点和热点,主要考查:(1)等差数列和等比数列中的基本量,首项a1、公差 d 或公比q.(2)熟悉一些结构特征,如前 n 项和为Sn=an2+bn 的形式的数列为等差数列,通项公式为an=p·qn-1的形式的数列为等比数列.(3)由于等比数列的通项公式和前 n 项和公式中,变量 n 位于指数位置,因此常通过两式相除 (即比值方式)进行相关计算,难度属于中等及以上. 2.此部分内容多以选择题、填空题的形式出现,有时在压轴题的位置,多与函数、导数、不等式、创新性问题相结合命题. 1.(2025·北京)(等差、等比数列性质) 已知是公差不为0的等差数列,a1=-2,若a3,a4,a6成等比数列,则a10= (　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　 A.-20 B. -18 C. 16 D. 18 2.(2023·全国新Ⅰ卷)(等差数列前n项和)记Sn为数列的前n项和,设甲:为等差数列;乙:为等差数列,则 (　　) A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 3.(2025·全国Ⅰ卷)(等比数列性质)若一个正项等比数列的前4项和为4,前8项和为68,则该等比数列的公比为　　　　.  4.(2025·全国Ⅱ卷)(多选)记Sn为等比数列的前n项和,q为的公比,q>0,若S3=7,a3=1,则 (　　) A.q=　　 B.a5= C.S5=8　 D.an+Sn=8 5.(2022·浙江)(数列递推公式)已知数列满足a1=1,an+1=an-,则 (　　) A.2<100a100< B.<100a100<3 C.3<100a100< D.<100a100<4 考点一　等差数列、等比数列的基本运算 (1)等差数列的通项公式: an=a1+d. (2)等比数列的通项公式: an=a1·qn-1. (3)等差数列的求和公式: Sn==na1+ d . (4)等比数列的求和公式: Sn= 例1　(1)已知等差数列 的前 n 项和为 Sn,a1=1,S9=6a5+27 ,则S5= (　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　 A. 25　　 B. 27 C. 30　　　 D. 35 (2)已知等比数列 的前 n 项和为Sn,a1+a2=12,且a1,a2+6,a3 成等差数列,则 为 (　　) A. 244　　 B. 243 C. 242　　　 D. 241 (1)抓住基本量,首项a1,公差 d 或公比 q. (2)熟悉一些结构特征,如前 n 项和为Sn=an2+ bn的形式的数列为等差数列,通项公式为an=p·qn-1的形式的数列为等比数列. (3)由于等比数列的通项公式和前 n 项和公式中,变量 n 位于指数位置,因此常通过两式相除 (即比值方式)进行相关计算. 跟踪演练1 1.已知Sn 是等差数列 的前 n 项和,若a2=3,S5=25,则 = (　　) A. 1　　 B. 2　　　　 C. 3　　　 D. 4 2.已知各项均为正数的等比数列 ,其前 n 项和为Sn ,满足 2Sn=an+2-6 ,则数列 的通项公式是　　　　　　　.  考点二　等差数列、等比数列的性质 1.等差数列的常用性质 已知 为等差数列, d 为公差, Sn 为该数列的前 n 项和. (1)等差数列 中,当 m+n=p+q 时, am+ an=ap+aq. 特别地,若 m+n=2p,则am+an=2ap(m,n,p∈N*). (2)相隔等距离的项组成的数列是等差数列, 即ak,ak+m,ak+2m,… 仍是等差数列,公差为 md. (3) 也成等差数列,其首项与 首项相同,公差为d . (4)Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,… 也成等差数列,公差为n2d. (5)若数列 , 均为等差数列且其前 n 项和分别为Sn,Tn ,则 = . (6)等差数列的函数性质 ①等差数列与一次函数的关系an=a1+d 可化为 an=dn+a1-d 的形式. 当 d≠0 时,an 是关于 n 的一次函数; 当d>0 时,数列为递增数列; 当d<0时,数列为递减数列. ②等差数列前 n 项和公式可变形为Sn=n2 +n . 当 d≠0 时,它是关于 n 的二次函数,表示为Sn=an2+bn.2.等比数列常用的性质 设数列 是等比数列, Sn 是其前 n 项和. (1)若 m+n=p+q ,则aman=apaq ,其中m,n, p,q∈N* . 特别地,若 m+n=2p ,则aman= , 其中 m,n,p∈N* . (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列,即 ak,ak+m,ak+2m,… 仍是等比数列,公比为qm. (3)若数列 , 是两个项数相同的等比数列,则数列,和 (其中 b,p,q 是非零常数)也是等比数列. (4)对于等比数列有Sm,S2m-Sm,S3m-S2m ,…成等比数列 (q=-1 且 m 为偶数情况除外). 例2　(1) 已知数列 为等比数列,a1=1,a2a3a4=27 ,则 log3= (　　) A. 28　 B. 32 C. 36　　　 D. 40 (2)已知数列 , 均为等差数列,其前 n 项和分别为Sn,Tn 满足(2n +3)Sn=Tn ,则 = (　　) A. 2　 B. 3 C. 5　　　　 D. 6 (1)抓关系:注重项与项之间以及项的序号之间的关系,从这些特点出发,选择合适的性质进行求解. (2)用性质:数列是一种特殊的函数,具有单调性、周期性等性质,可利用这些性质进行解题. 跟踪演练2 1. 等差数列 的前 n 项和记为Sn ,若a1=2,a3+a7=8 ,则S17= (　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　 A.51　　 B.102 C.119　　　 D.238 2.(多选)(2024·江西模拟)已知数列 前 n 项和为Sn ,且an+2=an+1+2an ,若a1=a2≠ 0,则 (　　) A. 是等比数列 B. 是等比数列 C. 是等差数列 D. 是等差数列 考点三　等差数列、等比数列的综合问题 1.对于等差数列与等比数列交汇的问题,应从两个数列的特征入手,厘清关系.通常使用 “基本量法”求解, 但灵活运用等差中项、等比中项等性质, 能使运算更简便. 2.数列的通项或前 n 项和可以视为关于 n 的函数,利用函数的性质可求解数列的最值问题. 3.等差数列、等比数列与不等式交汇的问题通常通过构造函数, 并利用函数的性质来解不等式. 提醒:等差数列、等比数列常与数学文化、不等式等知识交汇命题, 解决此类问题时需注重构造思想和转化思想的运用. 例3　(多选)设等差数列 的前 n 项和为Sn,e 是自然对数的底数, 则下列说法正确的是 (　　) A.当 m∈N* 时, Sm,S2m,S3m 是等差数列 B.数列 是等比数列 C.数列 是等差数列 D.当 p,q 均为正整数且 p≠q 时, = 跟踪演练3 在公差为正数的等差数列 中,若a1=3,a3,a6,a8 成等比数列,则数列 的前 10 项和为　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $