专题2 三角函数及解三角形 专题突破练二-【名师带你过关】2027年数学高中总复习专题复习

专题突破练二 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.(2024·北京)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,∠A为钝角,a=7,sin 2B=bcos B. (1)求∠A. (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知,使得△ABC存在,求△ABC的面积. 条件①:b=7; 条件②:cos B=; 条件③:csin A= . 注:如果选择的条件不符合要求,第(2)问得0分;如果选择多个符合要求的条件分别解答,按第一个解答计分. 2.(2022·浙江)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知4a=c,cos C=. (1)求sin A的值. (2)若b=11,求△ABC的面积. 3.(2023·广东模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.点D为BC边的中点,已知c=2,2asin Ccos B=asin A-bsin B+bsin C,cos∠CAD=. (1)求b. (2)求△ABC的面积. 4.(2023·广州二模)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bcos A-acos B=b-c. (1)求A. (2)若点D在BC边上,且CD=2BD,cos B=,求tan∠BAD. 5.(2023·北京)设函数f(x)=sin ωxcos φ+cos ωxsin φ. (1)若f(0)=-,求φ的值. (2)已知f(x)在区间上单调递增,f=1,再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知,使函数f(x)存在,求ω,φ的值. 条件①:f=; 条件②:f=-1; 条件③:f(x)在区间上单调递减. 注:如果选择的条件不符合要求,第(2)问得0分;如果选择多个符合要求的条件分别解答,按第一个解答计分. 6.(2023·梅州二模)如图,在平面四边形ABCD中,∠BAC=∠ADC=90°,AB=,AC=2,设∠CAD=θ. (1)当θ=45°时,求BD的长. (2)求BD的最大值. 7.(2022·新高考全国II卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,分别以a,b,c为边长的三个正三角形的面积依次为S1,S2,S3,已知S1-S2+S3=,sin B=. (1)求△ABC的面积. (2)若sin Asin C=,求b. 8.(2024·天津)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知cos B=,b=5,=. (1)求a. (2)求sin A. (3)求cos的值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题突破练二 1. 解析：（1）由题意，得2sin Bcos B=bcos B，因为A为钝角， 则cos B≠0，则2sin B=b，则===，解得sin A=. 因为A为钝角，则A=. （2）选择①：b=7，则sin B=b=×7=. 因为A=，则B为锐角，则B=. 此时A+B=π，不合题意，舍去. 选择②：cos B=，因为B为三角形的内角，则sin B==. 则代入2sin B=b得2×=b.解得b=3. sin C=sin=sin=sincos B+cossin B =×+×=， 则S△ABC=absin C=×7×3×=. 选择③：csin A=，则有c×=，解得c=5. 则由正弦定理，得=，即=，解得sin C=. 因为C为三角形的内角，则cos C==. 则sin B=sin=sin=sincos C+cossin C=×+×=， 则S△ABC=acsin B=×7×5×=. 2. 解析：（1）由于cos C=， 0<C<π，则sin C=.因为4a=c，由正弦定理得4sin A=sin C， 所以sin A=sin C=. （2）因为4a=c，由余弦定理，得cos C====. 即a2+6a-55=0，解得a=5.而sin C=，b=11， 所以S△ABC=absin C=×5×11×=22. 3. 解析：（1）因为2asin Ccos B=asin A-bsin B+bsin C， 由正弦定理，得2accos B=a2-b2+bc. 由余弦定理，得2ac·=a2-b2+bc. 所以c=b.又因为c=2，所以b=4. （2）因为+=2， 所以=2-，即=4-4·+. 因为cos∠CAD=， 所以20=4-4×4×+16. 化简得2-3-2=0，解得=2或=-（舍去）. 因为sin∠DAC==， 所以S△ADC=sin∠DAC=×2×4×=. 所以S△ABC=2S△ADC=2×=. 4. 解析：（1）因为bcos A-acos B=b-c， 由余弦定理可得b·-a·=b-c， 化简可得b2+c2-a2=bc， 由余弦定理可得cos A==. 因为0<A<π，所以A=. （2）因为cos B=，则B为锐角， 所以sin B===. 因为A+B+C=π，所以C=-B， 所以sin C=sin=sincos B-cossin B=×+×=+. 设∠BAD=θ，则∠CAD=-θ. 在△ABD和△ACD中，由正弦定理得==，==， 因为CD=2BD，上面两个等式相除可得sin=sin θ， 得=sin θ，即cos θ=sin θ， 所以tan∠BAD=tan θ==-. 5. 解析：（1）因为f（x）=sin ωxcos φ+cos ωxsin φ，ω>0，|φ|<， 所以f（0）=sincos φ+cossin φ=sin φ=-. 因为|φ|<，所以φ=-. （2）因为f（x）=sin ωxcos φ+cos ωxsin φ，ω>0，|φ|<， 所以f（x）=sin，ω>0，|φ|<，所以f（x） 的最大值为1，最小值为-1. 若选条件①：因为f（x）=sin的最大值为1，最小值为-1，所以f=无解，故条件①不能使函数f（x）存在； 若选条件②：因为f（x） 在上单调递增，且f=1，f=-1， 所以=-=π.所以T=2π，ω==1. 所以f（x）=sin. 又因为f=-1，所以sin=-1. 所以-+φ=-+2kπ，k∈Z. 所以φ=-+2kπ，k∈Z.因为|φ|<，所以φ=-. 所以ω=1，φ=-. 若选条件③：因为f（x） 在上单调递增，在上单调递减， 所以f（x） 在x=-处取得最小值-1，即f=-1. 以下与条件②相同. 6. 解析：（1）在Rt△ACD中，AD=ACcos=2×=. 在△ABD中，因为∠BAD=+=，由余弦定理得， BD2 =AB2+AD2-2AB·AD·cos=3+2-2×××=5+2， 因此BD=. （2）在Rt△ACD中，AD=ACcos θ=2cos θ. 在△ABD中，因为∠BAD=θ+，由余弦定理得， BD2=AB2+AD2-2AB·AD·cos=3+4cos2θ-2××2cos θ·（-sin θ）=3+4cos2θ+2sin2θ=2sin 2θ+4·+3=2sin2θ+2cos 2θ+5=4sin+5， 所以BD=. 所以当2θ+=，即θ=时，BD最长，BD的最大值为=3. 7. 解析：（1）由题意得S1=·a2·=a2，S2=b2，S3=c2，则S1-S2+S3=a2-b2+c2=. 即a2+c2-b2=2.由余弦定理得cos B=，整理得accos B=1，则cos B>0.又sin B=， 则cos B==，ac==. 则S△ABC=acsin B=. （2）由正弦定理得==，则=·===，则=，b=sin B=. 8. 解析：（1）设a=2t，c=3t，t>0，则根据余弦定理得b2=a2+c2-2accos B， 即25=4t2+9t2-2×2t×3t×，解得t=2（负值舍去）. 则a=4，c=6. （2）方法一：因为B为三角形内角， 所以sin B===， 再根据正弦定理得=，即=， 解得sin A=. 方法二：由余弦定理得cos A===， 因为A∈，所以sin A==. （3）方法一：因为cos B=>0，且B∈，所以B∈. 由（2）方法一知sin B=， 因为a<b，则A<B.所以cos A==. 则sin 2A=2sin Acos A=2××=，cos 2A=2cos2A-1=2×-1=， cos=cos Bcos 2A+sin Bsin 2A=×+×=. 方法二：sin 2A=2sin Acos A=2××=， 则cos 2A=2cos2A-1=2×-1=. 因为B为三角形的内角，所以sin B===. 所以cos=cos Bcos 2A+sin Bsin 2A=×+×=. 学科网（北京）股份有限公司 $