专题2 三角函数及解三角形 第3讲 三角函数与解三角形-【名师带你过关】2027年数学高中总复习专题复习

第3讲　三角函数与解三角形 1.三角恒等变换是高考三角函数模块核心,常与图象性质、解三角形交汇,综合考查公式运用与推理能力.多以选择题、填空题形式考查化简求值,也会在解答题中作为关键步骤.题目注重公式变形与运算准确性,还会结合向量、几何考查知识整合能力,整体难度中等偏下,是基础得分点. 2.解三角形是高考基础内容,常与三角恒等变换、面积公式交汇,考查正弦定理、余弦定理应用能力.多以选择题、填空题形式考查基本量计算,也会在解答题中独立考查或结合实际场景考查.题目注重建模与运算能力,还会涉及测量、航海等实际问题,整体难度中等偏下,是基础得分点. 1.(2025·上海) 函数y=cos x在上的值域为　　　　　　.  2.(2025·全国Ⅱ卷)在△ABC中,BC=2,AC=1+,AB=,则A= (　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　 A.45° B.60° C.120° D.135° 3.(2025·北京) 设函数f(x)=sin(ωx)+cos(ωx)(ω>0),若f(x+π)=f(x)恒成立,且f(x)在上存在零点,则ω的最小值为 (　　) A.8 B. 6 C. 4 D. 3 4. (2025·天津)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,-π<φ<π),在上单调递增,且x=为它的一条对称轴,是它的一个对称中心,当x∈时,f(x)的最小值为(　　) A.- B. - C. 1 D. 0 5. (2025·全国Ⅰ卷)(多选)已知△ABC的面积为,若cos 2A+cos 2B+2sin C=2,cos Acos Bsin C=,则 (　　) A. sin C=sin2A+sin2B B. AB= C. sin A+sin B= D. AC2+BC2=3 6.(2025·全国Ⅱ卷)已知函数f=cos (0≤φ<π),f=. (1)求φ. (2)设函数g(x)=f(x)+f,求g(x)的值域和单调区间. 7. (2025·北京)在△ABC中,cos A=-,asin C=4. (1)求c. (2)在以下三个条件中选择一个作为已知,使得△ABC存在,求BC的高. ①a=6;②bsin C=;③△ABC面积为10. 8. (2025·天津)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asin B=bcos A,c-2b=1,a=. (1)求A的值. (2)求c的值. (3)求sin(A+2B)的值. 考点一　三角函数图象与性质的综合问题 例1(2024·临汾三模) 已知函数 f=Asin 的图象可由函数 y=3sin x 的图象平移得到,且关于直线 x= 对称. (1)求 f 的值. (2)求函数 g=f+f, x∈ 的单调递增区间. 解决三角形的最值或范围问题有两种方法 (1)利用正弦定理、余弦定理的边角关系转化为三角函数, 经过变换得到 y=Asin,再根据角的范围求解. (2)寻找边角关系,用基本不等式求解. 考点二　利用正弦定理、余弦定理解三角形 例2(2024·秦皇岛三模)在 △ABC 中,内角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c,C= 且 a+b=7, △ABC 的外接圆半径为 . (1)求 △ABC 的面积. (2)求 △ABC 边 AB 上的高 h. 利用正弦定理、余弦定理求解三角形基本量的方法: 第一步选定理 1.若式子中含有两个余弦函数的二次式, 则考虑用余弦定理. 2.若式子中含有两个正弦或余弦的一次式, 则考虑用正弦定理. 3.若特征都不明显,则考虑两个定理都可能用到. 第二步求解 利用正弦定理、余弦定理求角、求边、求值. 提醒:平面几何图形中研究长度、角度、面积等问题时, 通常转化为三角形问题, 利用正弦定理或余弦定理进行解决. 考点三:解三角形的综合问题 例3在① ++1=, ② cos C+ ccos A=0, ③ asin=csin A 这三个条件中任选一个,补充在下面的横线上,并解答. 在 △ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且　　　　.  (1)求角 C 的大小. (2)若 c=4 ,求 AB 的中线 CD 长度的最小值. 1.与解三角形有关的“结构不良”问题的特点及解题策略 (1)特点:所给的条件是平行的,无论选择哪个条件, 只要推理严谨、过程规范, 都可以解答题目并获得满分. (2)解题策略:一般来说,选择的条件不会导致解答过程过于繁杂, 最好结合已知条件及其推导出的结论进行恰当选择. 2.三角形中求最值与范围问题的两种解法 (1)利用基本不等式求得最大值或最小值. (2)将所求式子转化为仅含三角形某一角的三角函数形式, 结合该角的范围确定式子的范围. 提醒:在解三角形问题中, 求某个量 (或式子) 的取值范围时, 应先建立所求量 (式子) 与已知角或边的关系,将角或边视为自变量,所求量 (式子)作为函数值,将问题转化为求函数值域的问题.注意结合条件中的范围限制和三角形的自身范围限制, 尽量完善角或边的范围 (即函数定义域), 避免结果范围过大. 考点四:三角函数与解三角形的实际问题 例4(2024· 合肥模拟预测)某商场零食区改造,如图,原零食区是区域 ODBC ,改造时可利用部分为扇形区域 OAD ,已知∠OCB= ∠COA=,OC=10 m, BC=10 m,区域 OBC 为三角形,区域 OAB 是以 OA 为半径的扇形,且 ∠AOD=. (1)若需在区域 OABC 外轮廓地面贴广告带, 求广告带的总长度. (2)在区域 OAD 中,设置矩形区域 HGIF 作为促销展示区,求促销展示区的面积 S 的最大值. 　　三角函数背景下的数学建模问题通常以测量、航海、线路规划等实际生活为背景,考查用数学模型解决实际问题的能力.求解此类问题的关键在于对数据的采集和利用, 并将数据标注在对应的平面图形中,这是归类问题并建立数学模型的有效方法. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3讲　三角函数与解三角形 真题感悟 1.　解析：函数y=cos x在上单调递增，在单调递减，且f=0，f（0）=1，f=， 故函数y=cos x在上的值域为. 2.A　解析：由题意得cos A===， 又0°<A<180°.所以A=45°，故选A. 3.C　解析：函数f（x）=sin（ωx）+cos（ωx）=sin（ω>0）， 设函数f（x）的最小正周期为T， 由f（x+π ）=f（x）可得kT=π， 所以T==，即ω=2k. 又函数f（x）在上存在零点，且当x∈时，ωx+∈， 所以+≥π ，即ω≥3. 综上，ω的最小值为4.故选C. 4.A　解析：设f的最小正周期为T，根据题意有， 由正弦函数的对称性可知-=，即=，∴ω=4n+2. 又f在上单调递增，则≥-. ∴≥⇒0<ω≤2. ∴ω=2.则 ∵φ∈，∴k=0，m=1时，φ=. ∴f=sin. 当x∈时，2x+∈，由正弦函数的单调性可知f=sin =-.故选A. 5.ABC　解析：cos 2A+cos 2B+2sin C=2，由二倍角公式，得1-2sin2A+1-2sin2B+2sin C=2， 整理可得，sin C=sin 2A+sin 2B，A选项正确； 由诱导公式，得sin（A+B）=sin=sin C， 展开可得sin Acos B+sin Bcos A=sin 2A+sin 2B，即sin A（sin A-cos B）+sin B（sin B-cos A）=0. 下证C=. 方法一：分类讨论 若A+B=，则sin A=cos B，sin B=cos A可知等式成立； 若A+B<，即A<-B，由诱导公式和正弦函数的单调性可知，sin A<cos B，同理sin B<cos A. 又sin A>0，sin B>0，于是sin A（sin A-cos B）+sin B（sin B-cos A）<0，与条件不符，则A+B<不成立； 若A+B>，类似可推导出sin A（sin A-cos B）+sin B（sin B-cos A）>0，则A+B>不成立. 综上所述，A+B=，即C=. 方法二：边角转化 sin C=sin 2A+sin 2B时，由C∈（0，π ），则sin C∈（0，1］，于是1×sin C=sin 2A+sin 2B≥sin 2C， 由正弦定理，a2+b2≥c2，由余弦定理可知，cos C≥0，则C∈. 若C∈，则A+B>，注意到cos Acos Bsin C=，则cos Acos B>0， 于是cos A>0，cos B>0（两者同负会有两个钝角，不成立），于是A，B∈， 结合A+B>⇔A>-B，而A，-B都是锐角，则sin A>sin=cos B>0， 于是sin C=sin 2A+sin 2B>cos2B+sin 2B=1，这和sin C≤1相矛盾，故C∈不成立，则C=. 方法三：结合射影定理（方法一改进） 由sin C=sin 2A+sin 2B，结合正弦定理可得，c=asin A+bsin B，由射影定理可得c=acos B+bcos A，于是asin A+bsin B=acos B+bcos A. 则a（sin A-cos B）+b（sin B-cos A）=0，可同方法一讨论的角度，推出A+B=， 方法四：和差化积（方法一改进） 续法三： a（sin A-cos B）+b（sin B-cos A）=0，可知sin A-cos B，sin B-cos A同时为0或异号，即（sin A-cos B）·（sin B-cos A）≤0，展开可得，sin Asin B-sin Acos A-cos Bsin B+cos Acos B≤0. 即cos（A-B）-≤0，结合和差化积，cos（A-B）≤0，由上述分析，A，B∈，则A-B∈，则cos（A-B）≥0，则1-sin（A+B）≤0，即sin C≥1，于是sin C=1，可知C=. 由cos Acos Bsin C==cos Acos B，由A+B=，则cos B=sin A.即sin Acos A=. 则sin 2A=，同理sin 2B=，由上述推导，A，B∈，则2A，2B∈（0，π ）. 不妨设A<B，则2A=，2B=，即A=，B=. 由两角和差的正弦公式可知sin +sin =+=，C选项正确. 由两角和的正切公式可得，tan =2+. 如图，设BC=t，AC=（2+）t，则AB=（+）t. 由S△ABC=（2+）t2=，则t2==，则t=. 于是AB=（+）t=，B选项正确. 由勾股定理可知，AC2+BC2=2，D选项错误. 故选ABC. 6.解析：（1）由题意f=cos φ=，，所以φ=. （2）由（1）可知f=cos，所以g=f+f=cos+cos 2x=cos 2x-sin 2x+cos 2x=cos 2x-sin 2x=cos.所以函数g的值域为. 令2kπ ≤2x+≤π +2kπ，k∈Z，解得-+kπ ≤x≤+kπ，k∈Z， 令π +2kπ ≤2x+≤2π +2kπ，k∈Z， 解得+kπ ≤x≤+kπ，k∈Z， 所以函数g的单调递减区间为，k∈Z，函数g的单调递增区间为，k∈Z. 7.解析：（1）因为cos A=-，A∈，所以sin A==. 由正弦定理有asin C=csin A=c=4，解得c=6. （2）如图所示，若△ABC存在，则设其BC边上的高为AD. 若选①，a=6，因为c=6，所以C=A，因为cos A=-<0，这表明此时三角形ABC有两个钝角， 而这是不可能的，所以此时三角形ABC不存在，故BC边上的高也不存在； 若选②，bsin C=，由正弦定理有bsin C=csin B=6sin B=，解得sin B=. 此时cos B==，AD=csin B=6×=， 而cos∠DAB=sin B，sin ∠DAB=cos B，cos A=-，sin A=， 所以cos∠CAD=cos，sin ∠CAD= 可以唯一确定. 所以此时CA，CD也可以唯一确定. 这表明此时三角形ABC存在，且BC边上的高AD=； 若选③，△ABC的面积是10，则S△ABC=bcsin A=b×6×=10. 解得b=5，由余弦定理可得a===9可以唯一确定， 进一步由余弦定理可得cos B，cos C也可以唯一确定，即B，C可以唯一确定， 这表明此时三角形ABC存在，且BC边上的高满足：S△ABC=a·AD=AD=10，即AD=. 8.（1）　解析：已知asin B=bcos A，由正弦定理=，得asin B=bsin A=bcos A，显然cos A≠0，得tan A=，由0<A<π ，故A=. （2）3　解析：由（1）知cos A=，且c=2b+1，a=，由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A， 则7=b2+（2b+1）2-2×b（2b+1）=3b2+3b+1，解得b=1（b=-2舍去），故c=3. （3）　解析：由正弦定理=，且b=1，a=，sin A=. 解得sin B==，且a>b，则B为锐角， 故cos B=，故sin 2B=2sin Bcos B=，且cos 2B=1-2sin 2B=1-2×=. 故sin（A+2B）=sin Acos 2B+cos Asin 2B=×+×=. 重难攻坚 例1　解析：（1）依题知函数 f与函数 y=3sin x有相同的振幅和周期，所以 A=3，ω=1，因为函数 f的图象关于直线 x= 轴对称， 所以 +φ=+kπ，k∈Z，即 φ=+kπ， k∈Z， 又因为 0<φ<，所以 φ=，所以 f=3sin，f=3sin =3sin =. （2）g=3sin+3sin 2x=3=3sin ， 方法一： 因为 x∈，所以 t=2x+ ∈. 因为 y=sin t 在 ， 单调递增， 故 y=g 的单调递增区间为 和 . 方法二： 由 -+2kπ ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，得 -+kπ ≤x≤+kπ，k∈Z ， 又因为 x∈，所以 g 的单调递增区间为 和 . 例2　解析：（ 1 ）在△ABC 中， =2×，c=2××=4， 根据余弦定理得 42=a2+b2-2abcos C，即 16 =-2ab-ab=-3ab， 所以 3ab=49-16=33，所以 ab=11，所以 S△ABC=absin C=. （2）S△ABC=absin C=ch，所以 11sin C=4h=11×sin 60°，所以 h== . 例3　解析：（1）选择条件①， 由 ++1= 及正弦定理，可得++1=，则a2+b2-c2=-ab. 由余弦定理，得 cos C===- ，因为 0<C<π ，所以C= . 选择条件②， 由（a+2b）cos C+ccos A=0 及正弦定理，可得 cos C+sin Ccos A=0. 即 sin Acos C+cos Asin C=-2sin Bcos C. 即 sin=-2sin Bcos C. 在 △ABC 中， A+B+C=π ， 所以 sin=sin=sin B. 即 sin B=-2cos Csin B，因为 0<B<π ，所以 sin B≠0， 所以 cos C=-. 因为 0<C<π ，所以C=. 选择条件③， 由asin =csin A 及正弦定理，可得sin Asin =sin Csin A，因为 sin A≠0，所以sin =sin C. 在 △ABC 中， A+B+C=π ，可得 sin = cos. 故cos=2sin cos . 因为 0<C<π ，所以 cos≠0，则 sin =， 故C= . （2）因为∠ADC+∠BDC=π ，所以 +=0，整理可得 2CD2=a2+b2-8， 在 △ABC 中，由余弦定理可得 42=a2+b2-2abcos=a2+b2+ab， 因为 ab≤，当且仅当 a=b 时取等号， 所以 16=a2+b2+ab≤a2+b2+=， 即 a2+b2≥. 所以 2CD2=a2+b2-8≥-8=，即CD≥ . 即CD 长度的最小值为 . 例4　解析：（1）因为OC=10，BC=10，∠OCB =， 所以 ∠BOC=，OB==20 . 则OA=20，∠BOA=-=，的长为 l =×20=， 所以广告带的总长度为OA+OC+BC+l=m. （2）如图，连接OF.设∠FOA=θ. 因为OF=20，所以 FI=GH=20sin θ，OI=20cos θ . 因为∠AOD=，所以OG==20sin θ. 所以 GI=20cos θ-20sin θ. 所以 S=·20sin θ=400sin θcos θ-400sin 2θ= 200=200. 因为 2θ+∈，当 2θ+=，即 θ= 时取得最大值. 所以 S≤200=400-200. 所以促销展示区的面积 S 的最大值为（400- 200） m2. 学科网（北京）股份有限公司 $