专题2 三角函数及解三角形 第2讲 三角恒等变换与解三角形-【名师带你过关】2027年数学高中总复习专题复习

第2讲　三角恒等变换与解三角形 真题感悟 1.B　解析：因为=， 所以=，⇒tan α=1-. 所以tan==2-1，故选B. 2.A　解析：因为cos=m，所以cos αcos β-sin αsin β=m， 而tan αtan β=2，所以sin αsin β=2cos αcos β，故cos αcos β-2cos αcos β=m，即cos αcos β=-m，从而sin αsin β=-2m，故cos=-3m.故选A. 3.D　 解析：因为cos α=1-2sin 2=，而α为锐角， 解得sin ===.故选D. 4.2　解析：f=sin x-cos x=2sin，当x∈时，x-∈，当x-=即x=时，f=2. 5.-　解析：f（x）=sin x-2cos x==sin（x-φ），其中sin φ=，cos φ=，当x-φ=2kπ + （k∈Z）时，函数f（x）取得最大值，即θ=2kπ ++φ时，函数f（x）取得最大值，所以cos θ=-sin φ=-. 6.C　解析：因为B=，b2=ac，则由正弦定理得sin Asin C=sin 2B=.由余弦定理可得b2=a2+c2-ac=ac，即a2+c2=ac，根据正弦定理得sin 2A+sin 2C=sin Asin C=， 所以（sin A+sin C）2=sin 2A+sin 2C+2sin Asin C=. 因为A，C为三角形内角，则sin A+sin C>0，则sin A+sin C=.故选C. 7.C　解析：由题意结合正弦定理可得sin Acos B-sin Bcos A=sin C，即sin Acos B-sin Bcos A=sin=sin Acos B+sin Bcos A，整理可得sin Bcos A=0.由于B∈，故sin B>0，据此可得cos A=0，A=， 则B=π -A-C=π --=.故选C. 8.　解析：因为S=，所以S==. 9.-1　解析：方法一（余弦定理） 如图1，设CD=2BD=2m>0，则在△ABD中，AB2=BD2+AD2-2BD·ADcos∠ADB=m2+4+2m， 在△ACD中，AC2=CD2+AD2-2CD·ADcos∠ADC=4m2+4-4m. 所以===4-≥4-=4-2， 当且仅当m+1=，即m=-1时，等号成立，所以当取得最小值时，m=-1.即BD=-1. 图1　图2 方法二（建系法） 令 BD=t，以D为原点，OC为x轴，建立如图2所示的平面直角坐标系.则C（2t，0），A（1，），B（-t，0）. ∴===4-≥4-2. 当且仅当t+1=，即BD=-1时等号成立. 方法三（余弦定理） 设BD=x，CD=2x.由余弦定理得 ∴2c2+b2=12+6x2. 令=t，则2c2+t2c2=12+6x2，∴t2+2===6≥6-2. ∴t2≥4-2，当且仅当x+1=，即x=-1时等号成立.即BD=-1. 方法四（判别式法） 设BD=x，则CD=2x. 在△ABD中，AB2=BD2+AD2-2BD·ADcos∠ADB=x2+4+2x， 在△ACD中，AC2=CD2+AD2-2CD·ADcos∠ADC=4x2+4-4x， 所以=，记t=，则x2-x+=0. 由方程有解，得Δ=-4≥0，即t2-8t+4≤0，解得4-2≤t≤4+2. 所以tmin =4-2，此时x==-1. 所以当取得最小值时，x=-1，即BD=-1. 10.7.8°　解析：设∠BCA=θ，∠ACD=90°-θ， 在△DCA中，由正弦定理得=， 即=’ 即=①， 在△BCA中，由正弦定理得=， 即=， 即=②， 因为CD=CB，得= ，利用计算器即可得θ≈7.8°. 重难攻坚 例1　（1）A　解析：由 sin=，得 cos=cos=-sin=- . 故选A. （2）A　解析：α∈，且 5cos 2α=sin， 可得 5=×， 可得 cos α+sin α=，1+2sin αcos α= . =-， 解得 tan α=-. 故选A. （3）D　解析：由4tan α=，得4sin 2α=15cos α， 即4cos2α+15cos α-4=0，解得cos α= 或 cos α=-4 （舍去）， 所以 cos 2α=2cos2α-1=- . 故选D. （4）A　解析：= ==1+=. 故选A. 跟踪演练　- 解析：方法一（最优解） 两式两边平方相加得2+2sin（α+β）=1，sin（α+β）=-. 方法二（利用方程思想直接解出） sin α=1-cos β，cos α=-sin β，两式两边平方相加得cos β=，则sin α=. 又或所以sin（α+β）=-. 方法三（ 诱导公式+二倍角公式） 由cos α+sin β=0，可得sin β=-cos α=sin，则β=2kπ ++α或β=2kπ +π -（k∈Z）. 若β=2kπ ++α（k∈Z），代入得sin α+cos β=2sin α=1，即sin α=，sin（α+β）=sin=-cos 2α=2sin 2α-1=-. 若β=2kπ --α（k∈Z），代入得sin α+cos β=0，与题设矛盾. 综上所述，sin（α+β）=-. 方法四（平方关系+诱导公式） 由cos2β+sin 2β=（1-sin α）2+（-cos α）2=2-2sin α=1， 得sin α=. 又tan α===-tan=tan，α=kπ -（k∈Z），即2α=2kπ -β，则α+β=2kπ -α（k∈Z）.从而sin（α+β）=sin（2kπ -α）=-sin α=-. 方法五（和差化积公式的应用） 由已知得（sin α+cos β）（cos α+sin β）=（sin 2α+sin 2β）+cos（α-β）=sin（α+β）cos（α-β）+cos（α-β）=0， 则cos（α-β）=0或sin（α+β）=-1. 若cos（α-β）=0，则α-β=kπ +（k∈Z）， 即α=β+kπ +（k∈Z）. 当k为偶数时，sin α=cos β，由sin α+cos β=1，得sin α=cos β=，又cos α+sin β=0，cos αsin β=-sin 2β=-，所以sin（α+β）=sin αcos β+cos αsin β=-=-. 当k为奇数时，sin α=-cos β，得sin α+cos β=0，这与已知矛盾. 若sin（α+β）=-1，则α+β=2kπ -（k∈Z）.则sin α=sin =-cos β，得sin α+cos β=0，这与已知矛盾. 综上所述，sin（α+β）=-. 例2　（1）D　解析：因为 3a=2b，B=2A，由正弦定理可得 3sin A=2sin B=2sin 2A=4sin Acos A， 因为 A∈，所以 sin A>0，所以 3=4cos A，即 cos A=， 所以 cos B=cos 2A=2cos2A-1=2×- 1=. 故选D. （2）C　解析：a=2，c=2，B=，则b2=a2+c2-2ac·cos B=（2）2+22-2×2×2×=4，解得 b=2 . 故选C. （3）D　解析：由S=，可得 absin C =. 将 cos C= 代入，可得 = ，即 3sin C=4cos C+4. 由二倍角公式，可得 3×2sin cos=4×2cos2，又C∈，可得 cos≠0，故 tan= . 故选D. （4）A　解析：因为 =，由正弦定理可得=⇒2b2=a2-c2. 由余弦定理可得cos B== =≥=，当且仅当 a=c时取等号，所以B≤. 故选A. 例3　（1）C　解析：因为 b=2，=， 由正弦定理可得 cos Bsin A+cos Bsin C=sin Bcos A+sin Bcos C，整理可得 sin =sin ， 在三角形中，可得 A-B=B-C，即 2B=A+C，又因为 A+B+C=180°，所以 B=60°. 设 △ABC 的外接圆圆心为O，则动点 B 的轨迹为优弧AC （不包括点 A 、点 ， 设 ∠MOB=θ，则 BM 是关于 θ 的函数， 且是增函数， 当 θ=π ，即 B，O，M 三点共线时， BM 最大， 此时 BM=OM+OB=， 当 B→A 时， BM→AM，即 BM→，所以 的取值范围为 . 比较各个选项，只有C正确. 故选C. （2）B　解析：+=，即 + =， ∴tan A+tan B=3tan C. ∴tan A+tan B=-3· . ∴1=，即 tan Atan B=4，tan B=， tan C== . ∴tan A+tan C=tan A+≥2= . 故选B. （3）A　解析：因为 ++=1，可得 tan A+tan B+1=tan Atan B，即 ++1=. 整理可得 sin Acos B+cos Asin B+cos Acos B=sin Asin B， 即 sin =-cos. 在三角形ABC中，sin =sin C，cos=-cos C， 即 sin C=cos C，可得C=. 由余弦定理可得 c2=b2+a2-2abcos≥ 2ab-ab，当且仅当 a=b 时取等号，又c=2， 所以 ab≤=2.所以 S△ABC= absin C≤×2×=1+. 即该三角形的面积的最大值为 1+ . 故选A. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2讲　三角恒等变换与解三角形 1.三角恒等变换与解三角形是高考数学三角函数模块的核心内容,二者常相互融合命题,同时也可与函数、几何等知识交叉,是考查学生逻辑推理、运算求解及数学应用能力的重要载体. 2.其考查形式为选择题、填空题或解答题,以基础题和中档题为主,区分度弱,核心考查内容:公式应用与定理迁移.三角恒等变换与解三角形是高考数学的 “基础得分区”. 1.(2024·全国甲卷理)已知=,则tan= (　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　 A.2+1 B.2-1 C. D.1- 2.(2024·全国新Ⅰ卷)已知cos(α+β)=m,tan αtan β=2,则cos(α-β)= (　　) A.-3m B.- C. D.3m 3.(2023·全国新Ⅱ卷)已知α为锐角,cos α=,则sin= (　　) A. B. C. D. 4.(2024·全国甲卷文)函数f=sin x-cos x在上的最大值是　　　.  5.(2013·全国卷)设当x=θ时,函数f(x)=sin x-2cos x取得最大值,则cos θ=　　　.  6.(2024·全国甲卷)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若B=,b2=ac,则sin A+sin C= (　　) A. B. C. D. 7.(2023·全国乙卷文)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若acos B-bcos A=c,且C=,则∠B= (　　) A. B. C. D. 8.(2022·浙江)我国南宋著名数学家秦九韶,发现了从三角形三边求面积的公式,他把这种方法称为“三斜求积”,它填补了我国传统数学的一个空白.如果把这个方法写成公式,就是S=,其中a,b,c是三角形的三边,S是三角形的面积.设某三角形的三边a=,b=,c=2,则该三角形的面积S=　　　　　.  9.(2022·全国甲卷理)已知△ABC中,点D在边BC上,∠ADB=120°,AD=2,CD=2BD.当取得最小值时,BD=　　　　.  10.(2024·上海)如图,已知点B在点C正北方向,点D在点C的正东方向,BC=CD,存在点A满足∠BAC=16.5°,∠DAC=37°,则∠BCA=　　　.(精确到0.1度)  考点一　三角恒等变换 1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)cos=cos αcos β∓sin αsin β; (2)sin=sin αcos β±cos αsin β; (3)tan=. 2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α=2sin αcos α; (2)cos 2α=cos 2α-sin2α=2cos2α-1=1- 2sin2α; (3)tan 2α=. 3.辅助角公式 asin x+bcos x=sin(x+ φ).例1　(1)(2024·新县校级模拟) 已知 sin= ,则 cos= (　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　 A.-　　 B. C.　　 D. ± (2)(2024·大连一模)若α∈,且 5cos 2α=sin,则 tan α 等于 (　　) A.-　　 B. - C.-　　 D. -3 (3)(2024·铁东区校级模拟) 若 4tan α= , 则 cos 2α= (　　) A.　　 B. - C.　　 D. - (4)(2024· 金安区校级模拟) 的值为 (　　) A.　　 B. C.　　 D. 跟踪演练 (2018·全国)已知sin α+cos β=1,cos α+sin β=0,则sin　　　　　.  (1)三角恒等变换的常用技巧是“化异为同”, 即 “化异名为同名”“化异次为同次”“化异角为同角”,其中涉及 sin2,cos 2 时,常逆用二倍角的余弦公式降幂. (2)常见的“变角”技巧: α=-β=β-(β- α),α=,+α=-,α=-等,使用“变角”技巧时, 应根据已知条件中的角, 选择恰当变角技巧. 提醒:对于三角函数的给值求角问题,应选择在该角所在范围内单调的函数, 以保证三角函数值唯一确定角: ①若角的范围是 ,选正弦或余弦皆可; ②若角的范围是 ,选余弦较好; ③若角的范围是 ,选正弦较好. 考点二:正弦定理、余弦定理的应用 1.正弦定理: 在 △ABC 中, ===2R(R 为 △ABC 的外接圆半径). 变形: a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C, sin A=,sin B=,sin C=,a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C 等. 2.余弦定理: 在 △ABC 中, a2=b2+c2-2bccos A. b2=c2+a2-2cacos B;c2=a2+b2-2abcos C. 变形: cos A= ;cos B=;cos C=. 3.三角形的面积公式 (1) S=a·ha 表示边 a上的高); (2)S=absin C=acsin B=bcsin A; (3)S=r(r 为三角形内切圆半径). 4.射影定理: 在 △ABC 中, a=bcos C+ccos B,b=acos C+ccos A,c=acos B+bcos A. 例2　(1)(2024 · 保定三模)已知 △ABC 的三个角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c ,若 3a=2b,B= 2A ,则 cos B= (　　) A.-　　 B. C.-　　 D. (2)(2024·河南模拟)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,若 a=2,c=2,B=, 则 b= (　　) A.2　　 B.3 C.2　　 D.2 (3)(2024· 淅川县校级三模)已知 △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,若面积 S= ,则 tan = (　　) A.　　 B. C.　　 D. (4)(2024· 蜀山区校级模拟)已知角A,B,C 的对边分别为 a,b,c,满足 = , 则角 B 的最大值为 (　　) A.　　 B. C.　　 D. 利用正弦定理、余弦定理解三角形的解题方法 (1)涉及边与角的余弦积时,通常使用正弦定理将边转化为角;涉及边的平方时,一般使用余弦定理. (2)涉及边 a,b,c 的齐次式时,通常利用正弦定理将其转化为角的正弦值, 然后结合三角公式进行变形. (3)涉及正弦定理、余弦定理与三角形的面积综合问题求三角形面积时,常用S=absin C 的形式的面积公式. (4)解决实际问题时,应先将实际问题转化为解三角形的问题, 然后利用正弦定理或余弦定理求解. 考点三:恒等变换与解三角形的综合问题 例3　(1)(2024 · 庐阳区校级模拟)记 △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 b=2, =,2= ,则 的值可能是 (　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　 A.　　 B. C. 1　　 D. 2 (2)(2024· 牧野区校级模拟)在 △ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c. 若 + = ,则 tan A+tan C 的最小值是 (　　) A.　　 B. C.2　　 D. 4 (3)(2024·合肥模拟)记 △ABC 的内角A,B,C的对边分别为 a,b,c,已知 c=2,+ +=1 ,则 △ABC 面积的最大值为 (　　) A.1+　　 B.1+ C.2　　 D.2 1.解三角形与向量的综合题时, 通常通过向量运算将向量问题转化为三角函数或解三角形的问题, 然后结合三角变换或正弦定理、余弦定理综合求解. 2.处理解三角形与数列问题时, 应充分利用三角形的边角关系以及正弦定理和余弦定理. 学科网（北京）股份有限公司 $