专题1 函数与导数 第2讲 基本初等函数、函数与方程-【名师带你过关】2027年数学高中总复习专题复习

第2讲　基本初等函数、函数与方程 1.基本初等函数的图象与性质是高考考查的重点,利用函数性质比较大小、解不等式是常见题型. 2.函数零点的个数判断及参数范围是常考题型,常以压轴题的形式出现. 3.函数模型及应用是近几年高考的热点,通常考查指数函数、对数函数模型. 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.(2025·全国Ⅰ卷)若实数x,y,z满足2+log2x=3+log3y=5+log5z,则x,y,z的大小关系不可能是 (　　) A.x>y>z　 B.x>z>y C.y>x>z　 D.y>z>x 2.(2024·北京)(指数运算、基本不等式)已知(x1,y1),(x2,y2)是函数y=2x的图象上两个不同的点,则 (　　) A.log2 < B.log2 > C.log2 <x1+x2 D.log2 >x1+x2 3.(2023·全国乙卷文)(由函数零点个数求参数)函数f(x)=x3+ax+2存在三个零点,则a的取值范围是 (　　) A.(-∞,-2) B.(-∞,-3) C.(-4,-1) D.(-3,0) 4.(多选)(2023·新高考Ⅰ卷)(函数模型的应用)噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱,定义声压级Lp=20×lg,其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值,p是实际声压.下表为不同声源的声压级: 声源 与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车 10 60~90 混合动力汽车 10 50~60 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1,p2,p3,则(　　) A.p1≥p2 B.p2>10p3 C.p3=100p0 D.p1≤100p2 5.(2024·全国甲卷理)(对数运算)已知a>1且-=-,则a=　　　　.  考点一　基本初等函数的图象与性质 　　　　　　　　　　　　　　　　 　　指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)互为反函数,其图象关于y=x对称,它们的图象和性质分0<a<1,a>1两种情况,着重关注两种函数图象的异同. 例1　(1)(2024·南充二模)已知函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的解析式可能是 (　　) A.y= B.y= C.y=x3 D.y= (2)(2024·全国模拟预测)函数f(x)=xln的大致图象为 (　　) (3)已知a>0,且a≠1,则函数y=loga的图象一定经过 (　　) A.第一、二象限 B.第一、三象限 C.第二、四象限 D.第三、四象限 (1)指数函数、对数函数的图象与性质受底数a的影响,解决与指数函数、对数函数有关的问题时,首先要看底数a的取值范围. (2)由指数函数、对数函数与其他函数复合而成的函数,往往通过换元法转化为若干个基本初等函数,然后根据复合函数的性质与相关函数的性质之间的关系进行判断. 　　　　　　　　　　　　　　　　 跟踪演练1 1.已知lg a+lg b=0(a>0且a≠1,b>0且b≠1),则函数f(x)=ax与g(x)=lox的图象可能是 (　　) A　 B C　 D 2.(多选)已知函数f(x)=ln ,下列说法正确的是 (　　) A.f(x)为奇函数 B.f(x)为偶函数 C.f(x)在上单调递减 D.f(x)的值域为(-∞,0)∪(0,+∞) 考点二　指数、对数、幂值的大小比较 例2　(1)记a=30.2,b=0.3-0.2,c=log0.20.3,则 (　　) A.a>b>c B.b>c>a C.c>b>a D.b>a>c (2)若2a+log2a=4b+2log4b,则 (　　) A.a>2b B.a<2b C.a>b2 D.a<b2 　　解决指数、对数、幂型代数式比较大小问题,首先要比较代数式结构形式的异同,若底数相同,则考虑用指数函数单调性解决;若指数相同,则考虑用幂函数的单调性解决;若底数、指数都不相同,则考虑通过分析代数式的大致范围来比较大小.其次要注意特殊值0,1的应用,有时候要借助其“桥梁”作用来比较大小. 跟踪演练2 已知幂函数f(x)=xn的图象过点(2,8),设a=f(20.3),b=f(0.32),c=f(log20.3),则a,b,c的大小关系是 (　　) A.b<c<a B.a<c<b C.a<b<c D.c<b<a 考点三　函数的零点 判断函数零点个数的方法: (1)利用函数零点存在定理判断. (2)代数法:求方程f(x)=0的实数根. (3)几何法:对于不易求根的方程,将它与函数y=f(x)的图象联系起来,利用函数的性质找出零点或利用两个函数图象的交点求解.在利用函数的性质时,可用求导的方法判断函数的单调性. 考向1　函数零点个数的判断 例3　(1)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且f(4+x)=f(x),当x∈[0,2]时,f(x)=2x-2,则f(x)在区间(0,8)上零点的个数为 (　　) A.2 B.3 C.4 D.5 (2)已知函数f(x)=有三个零点x1,x2,x3,且x1<x2<x3,则x1+x2+x3的取值范围是　　　　　　　　.   考向2　求参数的值或范围 例4　已知函数f(x)=(x2-4x+m)恰有三个零点,则m的取值范围是　　　　　　　　　　.   利用函数零点的情况求参数值 (或取值范围)的三种方法 跟踪演练3 1.已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-a有三个零点,则实数a的取值范围是　　　　　　　　　　　　.  2.若f(x)为R上的偶函数,且f(x)=f(4-x),当x∈[0,2]时,f(x)=2x-1,则函数g(x)=3|sin πx|-f(x)在区间[-1,5]内的所有零点的和是 (　　) A.20 B.18 C.16 D.14 考点四　函数模型及其应用 例5　如今我国物流行业蓬勃发展,极大地促进了社会经济发展和资源整合.已知某类果蔬的保鲜时间y(单位:h)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系:y=(a,b为常数),若该果蔬在7 ℃的保鲜时间为288 h,在21 ℃的保鲜时间为32 h,且该果蔬所需物流时间为4天,则物流过程中果蔬的储藏温度(假设物流过程中恒温)最高不能超过(　　) A.14 ℃ B.15 ℃ C.13 ℃ D.16 ℃ 构建函数模型解决实际问题的步骤 一般步骤: ⇒⇒⇒ 解题关键:解答此类问题的关键在于准确建立相关的函数关系,随后结合函数、方程、不等式和导数的相关知识进行综合分析和求解. 跟踪演练4 在一个空房间中大声讲话会产生回音,这个现象叫做“混响”.用声强来度量声音的强弱,假设讲话瞬间发出声音的声强为W0,则经过t秒后这段声音的声强变为W(t)=W0,其中τ是一个常数.把混响时间TR定义为声音的声强衰减到原来的10-6所需的时间,则TR约为(参考数据:ln 2≈0.7,ln 5≈1.6) (　　) A.6.7τ B.8.3τ C.13.8τ D.14.8τ 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2讲　基本初等函数、函数与方程 真题感悟 1.B　解析：设2+log2x=3+log3y=5+log5z=m. 令m=2，则x=1，y=3-1=，z=5-3=，此时x>y>z，故A有可能； 令m=5，则x=8，y=9，z=1，此时y>x>z，故C有可能； 令m=8，则x=26=64，y=35=243，z=53=125，此时y>z>x，故D有可能. 故选B. 2.B　解析：因为（x1，y1），（x2，y2）是函数y=2x的图象上两个不同的点，所以y1=，y2=，且x1≠x2，则≠，所以y1+y2=+>2=2，所以>>0，所以log2>log2=.故选B. 3.B　解析：对f'（x）求导，得f'（x）=3x2+a，要使函数f（x）存在三个零点，则f'（x）=0要有两个不同的实数根，则a<0.令3x2+a=0，解得x=±.令f'（x）>0，则x<-或x>；令f'（x）<0，则-<x<.所以f（x）在和上单调递增，在上单调递减，所以要使f（x）存在三个零点，则即解得>1，即a<-3.故选B. 4.ACD　解析：由Lp=20×lg ，得p=p0×1.再结合题表中的数据可得p0×103≤p1≤p0×1，p0×1≤p2≤p0×103，p3=p0×102=100p0，故A，C正确；因为10p3=10×100p0=p0×103≥p2，故B错误；因为p0×1≤100p2≤p0×105，所以p1≤100p2，故D正确.故选ACD. 5.64　解析：根据题意有-=-，即3loga2-=-，设t=loga2（a>1），则t>0，故3t-=-，得t=（t=-1舍去），所以loga2=，所以=2，所以a=64. 例1　（1）D　解析：函数y==的定义域为（0，+∞），显然不符合题意，故A错误； 函数y==的定义域为（0，+∞），显然不符合题意，故B错误； 函数y=x3的定义域为R，又y=x3为奇函数，又y=x3在（0，+∞）上函数是下凸递增，故不符合题意，故C错误； 函数y==的定义域为R，又y=为奇函数，且y=在（0，+∞）上函数是上凸递增，故D正确.故选D. （2）C　解析：由题可知，f（x）的定义域为（-3，3）， ∵f（-x）=-xln=-xln=xln=f（x）， ∴f（x）是偶函数，排除AB. 又f（1）=ln=-ln 2<0，排除D，故选C. （3）D　解析：当x=0时，y=loga=-1，则当0<a<1时，函数图象过第二、三、四象限； 当a>1时，函数图象过第一、三、四象限， 所以函数y=loga的图象一定经过第三、四象限. 跟踪演练1 1.B　解析： ∵lg a+lg b=0（a>0且a≠1，b>0且b≠1），∴ab=1.∴a=.∴g（x）=lox=logax.∴函数f（x）=ax与函数g（x）=lox互为反函数.∴函数f（x）=ax与g（x）=lox的图象关于直线y=x对称，且具有相同的单调性，只有B选项符合. 2.ACD　解析：f（x）=ln ，令>0，解得x>或x<-，∴f（x）的定义域为∪.又f（-x）=ln =ln =ln =-ln =-f（x），∴f（x）为奇函数.故A正确，B错误；又f（x）=ln =ln ，令t=1+，t>0且t≠1，∴y=ln t.又t=1+在上单调递减，且y=ln t为增函数，∴f（x）在上单调递减，故C正确；∴y=ln t的值域是（-∞，0）∪（0，+∞），故D正确. 例2　（1）D　解析：因为b=0.=，幂函数y=x0.2在（0，+∞）上单调递增，又>3，所以>30.2>30=1，所以b>a>1，又对数函数y=log0.2x在（0，+∞）上单调递减，所以c=log0.20.3<log0.20.2=1，故b>a>1>c.故选D. （2）B　 解析：由指数和对数的运算性质可得2a+log2a=4b+2log4b=+log2b.令f（x）=2x+log2x，则f（x）在（0，+∞）上单调递增.又∵+log2b<+log2b+1=+log2（2b），∴2a+log2a<+log2（2b），即f（a）<f（2b），∴a<2b.故选B. 跟踪演练2　 D　解析：因为幂函数f（x）=xn的图象过点（2，8），所以8=2n，解得n=3，即f（x）=x3，故函数f（x）在R上为增函数.因为20.3>20=1，0<0.32<0.30=1，log20.3<log21=0，所以a=f（20.3）>b=f（0.32）>c=f（log20.3）.故选D. 例3　（1）C　解析：因为f（4+x）=f（x），所以函数的周期为4，当x∈［0，2］时，令f（x）=2x-2=0，得x=1，即f（1）=0，因为函数是偶函数且周期为4，所以有f（1）=f（-1）=f（3）=f（7）=f（-3）=f（5）=0，所以f（x）在区间（0，8）上零点的个数为4. （2）［-4，-2）　解析：函数f（x）=有三个零点x1，x2，x3，且x1<x2<x3，设g（x）=则函数g（x）的图象与直线y=t的三个交点的横坐标分别为x1，x2，x3，且x1<x2<x3，作出函数g（x）的图象，如图所示.由图可知1≤t<4，且x1，x2是关于x的方程-x2-4x-t=0的两个不相等的实数根，所以x1+x2=-=-4，x3满足-t=0，即x3=log2t.因为1≤t<4，所以log21≤log2t<log24，即0≤x3<2.所以-4≤x1+x2+x3<-2，即x1+x2+x3的取值范围是［-4，-2）. 例4　（-1，0）∪（0，3）∪（3，4） 　解析：令f（x）=（x2-4x+m）·=0，得m=-x2+4x或m=-1.令g（x）=-x2+4x，h（x）=-1，作出两函数的大致图象，如图所示， 这两个函数图象的交点为（0，0），（3，3），因为g（x）max =4，h（x）>-1， 所以由图可知m的取值范围是（-1，0）∪（0，3）∪（3，4）. 跟踪演练3 1.（0，1） 　解析：根据题意g（x）=f（x）-a=0，即f（x）=a，已知f（x）=画出图象如图，根据图象易知当0<a<1时，函数y=f（x）与y=a的图象有三个交点，即函数g（x）有三个零点.因此a∈（0，1）. 2.A　解析：若f（x）为R上的偶函数，则f（-x）=f（x），且f（x）=f（4-x）， 则f（-x）=f（4-x），f（x）的周期T=4， 当x∈［0，2］时，f（x）=2x-1， 则当x∈［-2，0）时，f（x）=-1，即可画出函数f（x）的图象； 函数y=3sin πx的周期是2，最大值为3，把函数y=3sin πx在x轴下方的图象翻折到x轴上方，即可得到y=3|sin πx|的图象. 由图可知y=f（x）与y=3|sin πx|的图象在区间［-1，5］内一共有10个交点， 且这10个交点的横坐标关于直线x=2对称， 所以g（x）在区间［-1，5］内的所有零点的和是20. 例5　A　解析：依题意， 则=，即=，显然a<0. 设物流过程中果蔬的储藏温度为t ℃， 于是≥96=3=·=， 解得at+b≥14a+b，因此t≤14. 所以物流过程中果蔬的储藏温度最高不能超过14 ℃. 跟踪演练4　C　解析：由题意，W（TR）=10-6W0，即=10-6，等号两边同时取自然对数得ln =ln 10-6， 即-=-6ln 10， 所以TR=τ×6ln 10=τ×6×（ln 2+ln 5）≈13.8τ. 学科网（北京）股份有限公司 $