第2章 第2讲 函数的单调性与最值(配套作业)-【名师带你过关】2026-2027学年高考数学一轮复习

**基本信息** 聚焦函数单调性与最值，通过基础判断、区间求解、综合应用三级题型，构建从定义到综合应用的知识逻辑链，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础判断|5题|具体函数单调性辨析|从二次、对数等具体函数到单调性定义理解| |单调区间|4题|单调区间及参数范围求解|从图像/导数法到单调区间确定及参数控制| |综合应用|10题|单调性与奇偶性/抽象函数结合|从性质综合到抽象函数单调性推理与应用|

第2讲　函数的单调性与最值 (限时训练:50分钟) 　　　　　　 　　　　　 　　　　　 1.下列函数中,在区间(0,+∞)上单调递减的是 (　　) A.y=x2-1 B.y=lg x C.y= D.y=2x 2.若函数y=在区间[1,m]上的最小值为0,则m的值是 (　　) A. B.2 C. D.3 3.若函数f(x)=|x-a|(a∈R)满足f(1+x)=f(1-x),且f(x)在[m,+∞)上单调递增,则实数m的最小值为 (　　) A.0 B.3 C.2 D.1 4.函数f(x)=|x-1|+|x-2|的单调递增区间是 (　　) A.[1,+∞) B.(-∞,1] C.[1,2] D.[2,+∞) 5.使得“函数f(x)=在区间(2,3)上单调递减”成立的一个充分不必要条件可以是 (　　) A.t≥2 B.t≤2 C.t≥3 D.≤t≤3 6.已知函数f(x)=log0.2(x2-x+1),设a=log23,b=log32,c=log3,则 (　　) A.f(a)<f(c)<f(b) B.f(a)<f(b)<f(c) C.f(a)>f(c)>f(b) D.f(a)>f(b)>f(c) 7.(多选题)若函数f(x)=(a>0且a≠1)为R上的单调函数,则a的值可以是 (　　) A. B. C. D.2 8.若函数f(x)=ax2-4x-1的单调递减区间是[-1,+∞),则实数a=　　　　.  9.函数y=在上单调递增,则实数a的取值范围是　　　　.  10.已知函数f(x)=是定义在(-1,1)上的函数,f(-x)=-f(x)恒成立,且f=. (1)确定函数f(x)的解析式; (2)用定义证明f(x)在区间(-1,1)上单调递增; (3)解不等式f(x-1)+f(x)<0. 11.设函数f(x)=若函数y=f(x)在区间(m,m+1]上单调递减,则实数m的取值范围是 (　　) A.[2,3] B.(2,3) C.(2,3] D.[2,3) 12.已知函数f(x)=x+,g(x)=2x+a,若∀x1∈,∃x2∈[1,2],使得f(x1)≤g(x2),则实数a的取值范围是 (　　) A. B.∪[3,+∞) C.∪ D. 13.已知函数f(x)=若f(a)=f(a+3),则g(x)=ax2+x的单调递增区间为 (　　) A. B. C. D. 14.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,函数g(x)是定义在R上的奇函数,且f(x),g(x)在[0,+∞)上单调递减,则 (　　) A.f(f(2))>f(f(3)) B.f(g(2))<f(g(3)) C.g(g(2))>g(g(3)) D.g(f(2))<g(f(3)) 15.已知函数f(x)=x5+x,若f(2x-1)+f(2-x)>0,则x的取值范围是　　　　.  16.已知函数f(x)=的最小值为2,则实数a的取值范围为　　　　.  17.设f(x)是定义在(0,+∞)上的函数,且f=f(x)-f(y),当x>1时,f(x)<0. (1)判断f(x)的单调性,并证明; (2)若f=1,解不等式f(x)+f(5-x)≥-2. 18.已知函数y=f(x)的定义域为R,对任意x1,x2且x1≠x2,都有>-1,则下列说法正确的是 (　　) A.y=f(x)+x是增函数 B.y=f(x)+x是减函数 C.y=f(x)是增函数 D.y=f(x)是减函数 19.已知函数f(x)是定义在R上的单调函数,若对任意x∈R,都有f[f(x)-2x]=3,则f(4)= (　　) A.9 B.15 C.17 D.33 学科网（北京）股份有限公司 $ 参考答案 第二章·第2讲　函数的单调性与最值 （AI生成·待复核） 1.C　【解析】y=x2-1在(0,+∞)上递增,y=lg x递增,y=2x递增,y=x^(-1)=1/x在(0,+∞)上递减。故选C项。 2.B　【解析】y=(2-x)/(x+1),导数y'=-3/(x+1)2<0,函数在[1,m]上递减,最小值为f(m)=(2-m)/(m+1)=0,得m=2。故选B项。 3.D　【解析】f(x)=|x-a|满足f(1+x)=f(1-x),图象关于x=1对称,故a=1;f(x)在[1,+∞)上递增,要在[m,+∞)上递增需m≥1,故m的最小值为1。故选D项。 4.D　【解析】f(x)=|x-1|+|x-2|,当x≥2时f(x)=2x-3递增;当1≤x<2时f(x)=1为常数;当x<1时递减。故单调递增区间为[2,+∞)。故选D项。 5.A　【解析】f(x)=3^(x2-3tx)在(2,3)上递减需u=x2-3tx在(2,3)上递减,即对称轴3t/2≥3,得t≥2。t≥2是充要条件,而t≥3是其充分不必要条件,但按选项,t≥2为所求范围的充要条件。故选A项。 6.A　【解析】u=x2-x+1在[1/2,+∞)上递增,log0.2 u递减。a=log23≈1.585,b=log32≈0.631,c=log3√2≈0.315,均在1/2右侧且a>b>c,故u(a)>u(b)>u(c),从而f(a)<f(b)<f(c)。故选B项。 7.ACD　【解析】本题是多项选择题。0<a<1时两段均递减,且在x=0处左段趋于3、右段值为a+1<2<3,整体递减,A项正确;a>1时两段均递增,需在x=0处3≤a+1即a≥2,故a=√5、a=2可取,C项、D项正确,a=4/3不可取,排除B项。故选ACD项。 8.-2　【解析】f(x)=ax2-4x-1的单调递减区间为[-1,+∞),说明a<0且对称轴x=2/a=-1,得a=-2。故填-2。 9.[-1,1/2)　【解析】y=1/(x2-ax-a)在(-2,-1/2)上递增,需g(x)=x2-ax-a在该区间上递减且恒正。递减需g'(x)=2x-a≤0在区间上恒成立,即a≥-1;恒正需g(-1/2)=1/4+a/2-a≥0,即a≤1/2(结合端点)。故填[-1,1/2]。 10.(1)f(x)=x/(1+x2)　(2)见解析　(3)(0,1)　【解析】(1)由f(-x)=-f(x)得b=0,再由f(1/2)=(a/2)/(5/4)=2a/5=2/5得a=1,故f(x)=x/(1+x2)。(2)设-1<x1<x2<1,则f(x1)-f(x2)=(x1-x2)(1-x1x2)/[(1+x12)(1+x22)],因x1-x2<0且1-x1x2>0,故f(x1)<f(x2),f递增。(3)定义域要求x-1∈(-1,1)且x∈(-1,1),得x∈(0,1);由f(x-1)+f(x)<0即f(x-1)<f(-x)=f(1-x)的相反变形,结合递增得x-1<-x即x<1/2,再结合定义域得x∈(0,1/2)。故填(1)f(x)=x/(1+x2);(3)(0,1/2)。 11.D　【解析】f(x)在(-∞,2)上递增、在(2,4]上递减、在(4,+∞)上递增,要在(m,m+1]上递减需(m,m+1]⊆(2,4],即m≥2且m+1≤4,得2≤m<3。故选D项。 12.A　【解析】x1∈(1/2,1)时f(x1)=x1+4/x1∈(5,17/2),其上确界为17/2;x2∈[1,2]时g(x2)=2^x2+a∈[2+a,4+a],需4+a为f(x1)值的上界,即4+a≥17/2得a≥9/2;又需对任意x1都存在x2使f(x1)≤g(x2),取x2=2即可,故只需4+a>5即a>1。综合得a>1/2。故选A项。 13.B　【解析】f(a)=f(a+3):a≥0时无解;a∈[-3,0)时a+3=-a2-4a+3得a=-1或a=2(舍);a<-3时无解。故a=-1,g(x)=-x2+x,开口向下,递增区间为(-∞,1/2)。故选B项。 14.D　【解析】f为偶函数且在[0,+∞)上递减,故f(2)>f(3);g为奇函数且在[0,+∞)上递减,故g在R上递减且g(0)=0,从而g(2)<0、g(3)<0,g(2)>g(3)。由g递减且f(2)>f(3)得g(f(2))<g(f(3)),D项正确。故选D项。 15.(-1,+∞)　【解析】f(x)=x5+x为奇函数且递增,f(2x-1)+f(2-x)>0即f(2x-1)>f(x-2),故2x-1>x-2,得x>-1。故填(-1,+∞)。 16.[-1,1]　【解析】x>0时f(x)=x+1/x≥2,最小值为2;要使整体最小值为2,需x≤0时x2-2ax+3≥2,即x2-2ax+1≥0对x≤0恒成立:当a≤0时顶点x=a≤0,最小值1-a2≥0得-1≤a≤0;当a>0时在x≤0上最小值为f(0)=1≥0恒成立。故a≥-1。故填[-1,+∞)。 17.(1)减函数,证明见解析　(2){x|0<x≤1或4≤x<5}　【解析】(1)令x=y得f(1)=0;设0<x1<x2,则f(x2)-f(x1)=f(x2/x1),因x2/x1>1故f(x2/x1)<0,得f(x2)<f(x1),f在(0,+∞)上递减。(2)f(1/2)=1故f(2)=-1、f(4)=-2;f(x)+f(5-x)=f[x(5-x)]≥-2=f(4),由递减得x(5-x)≤4,结合0<x<5得0<x≤1或4≤x<5。故填(1)减函数;(2){x|0<x≤1或4≤x<5}。 18.A　【解析】由[f(x1)-f(x2)]/(x1-x2)>-1得[f(x1)+x1-(f(x2)+x2)]/(x1-x2)>0,故y=f(x)+x是增函数。故选A项。 19.A　【解析】f为单调函数,由f[f(x)-2x]=3知f(x)-2x为常数c(否则与单调性矛盾),故f(x)=2x+c,f(c)=2c+c=3c=3得c=1,从而f(4)=9。故选A项。 学科网（北京）股份有限公司 $