专题1 函数与导数 第1讲 函数的图象与性质-【名师带你过关】2027年数学高中总复习专题复习

函数与导数 第1讲　函数的图象与性质 1.函数的图象与性质是高考考查的重点和热点,主要考查函数的定义域与值域、分段函数、函数图象的识别与应用以及函数性质(单调性、奇偶性、周期性、对称性)的综合应用,难度属于中等及以上. 2.此部分内容多以选择题、填空题的形式出现,有时在压轴题的位置,多与导数、不等式、创新性问题相结合命题. 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.(2024·天津)(函数的奇偶性)下列函数是偶函数的是 (　　) A.f(x)= B.f(x)= C.f(x)= D.f(x)= 2.(2025·天津)(函数图象的识别)已知函数y=f(x)的图象如下,则f(x)的解析式可能为 (　　) A.f(x)= B.f(x)= C.f(x)= D.f(x)= 3.(2024·新高考Ⅰ卷)(分段函数单调性的应用)已知函数f(x)=在R上单调递增,则a的取值范围是 (　　) A.(-∞,0] B.[-1,0] C.[-1,1] D.[0,+∞) 4.(2023·新高考Ⅱ卷)(利用函数性质求参数)若f(x)=(x+a)ln为偶函数,则a=(　　) A.-1　 B.0 C. D.1 5.(2022·全国乙卷理)(函数周期性、对称性的应用)已知函数f(x),g(x)的定义域均为R,且f(x)+g(2-x)=5,g(x)-f(x-4)=7.若y=g(x)的图象关于直线x=2对称,g(2)=4,则 f(k)= (　　) A.-21　 B.-22 C.-23 D.-24 考点一　函数的概念与表示 1.复合函数的定义域 (1)若f(x)的定义域为[m,n],则在f(g(x))中,由m≤g(x)≤n解得x的范围即为f(g(x))的定义域. (2)若f(g(x))的定义域为[m,n],则由m≤x≤n得到g(x)的范围,即为f(x)的定义域. 2.分段函数 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,值域等于各段函数值域的并集. 例1　(1)(多选)给出以下四个判断,其中正确的是 (　　) A.已知函数f(x)的定义域为(1,+∞),则函数F(x)=f(x-1)+的定义域为(2,3] B.函数f(x)=x2的定义域A⊆R,值域B={4},则满足条件的f(x)有2个 C.若函数f(lg x)=x,则f= D.函数y=的值域为 (2)已知函数sgn(x)=则“sgn(ex-1)+sgn(-x+1)=0”是“x>1”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 (1)形如f(g(x))的函数求值时,应遵循先内后外的原则. (2)对于分段函数的求值(解不等式)问题,必须依据条件准确地找出利用哪一段求解. 　　　　　　　　　　　　　　　　 跟踪演练1 1.(多选)设函数f(x)的定义域为D,如果对任意的x∈D,存在y∈D,使得f(x)=-f(y)成立,那么称函数f(x)为“M函数”.下列为“M函数”的是 (　　) A.f(x)=sin xcos x B.f(x)=ln x+ex C.f(x)=2x D.f(x)=x2-2x 2.(2024·长春三模)已知函数f(x)=则f(-3)= (　　) A.1 B.2 C.4 D.8 考点二　函数的图象 1.作函数图象有两种基本方法:一是描点法;二是图象变换法,其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换. 2.利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性,作图时要准确画出图象的特点. 考向1　函数图象的识别 例2　(2024·全国甲卷理)函数f(x)=-x2+(ex-)sin x在区间[-2.8,2.8]上的大致图象为 (　　) A B C D 考向2　函数图象的变换及应用 例3　(1)已知图1对应的函数为y=f(x),则图2对应的函数是 (　　) 图1　　　图2 A.y=f(-|x|) B.y=f(-x) C.y=f(|x|) D.y=-f(-x) (2)(多选)已知函数f(x)=若x1<x2<x3<x4,且f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4),则下列结论正确的是 (　　) A.x1+x2=-4 B.x3x4=1 C.1<x4<4 D.0<x1x2x3x4≤2 (1)知式选图:①从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断图象的上下位置;②从函数的单调性,判断图象的变化趋势;③从函数的奇偶性,判断图象的对称性;④从函数的周期性,判断图象的循环往复. (2)知图选式:①从图象的左右、上下分布,观察函数的定义域、值域;②从图象的变化趋势,观察函数的单调性;③从图象的对称性,观察函数的奇偶性;④从图象的循环往复,观察函数的周期性. (3)对于已知解析式易画出其在给定区间上图象的函数,其性质常借助图象研究:①从图象的最高点、最低点,分析函数的最值、极值;②从图象的对称性,分析函数的奇偶性;③从图象的走向趋势,分析函数的单调性、周期性. 跟踪演练2 1.已知函数y=f(x)的大致图象如图所示,则y=f(x)的解析式可能为 (　　) A.f(x)= B.f(x)= C.f(x)= D.f(x)= 2.(2024·南充模拟)已知函数f(x)=,则函数y=f(x-1)+1的图象(　　) A.关于点(1,1)对称 B.关于点(-1,1)对称 C.关于点(-1,0)对称 D.关于点(1,0)对称 考点三　函数的性质 1.函数的奇偶性 (1)定义:若函数的定义域关于原点对称,则有 f(x)是偶函数⇔f(-x)=f(x)=f(|x|); f(x)是奇函数⇔f(-x)=-f(x). (2)判断方法:定义法、图象法、奇偶函数性质法(如奇函数×奇函数是偶函数). 2.函数单调性判断方法:定义法、图象法、导数法. 3.函数的周期性 若函数f(x)满足f(x+a)=f(x-a)或f(x+2a)=f(x),则函数y=f(x)的周期为2|a|. 4.函数图象的对称中心和对称轴 (1)若函数f(x)满足关系式f(a+x)+f(a-x)=2b,则函数y=f(x)的图象关于点(a,b)对称. (2)若函数f(x)满足关系式f(a+x)=f(b-x),则函数y=f(x)的图象关于直线x=对称. 考向1　单调性与奇偶性 例4　若f(x)=ln(x2+1)-,设a=f(-3),b=f(ln 2),c=f(20.3),则a,b,c的大小关系为 (　　) A.c>a>b B.b>c>a C.a>b>c D.a>c>b 考向2　奇偶性与周期性、对称性 例5　(多选)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)+f(x)=f(2 024),且f(2x+1)是奇函数,则 (　　) A.f(x)的图象关于点(1,0)对称 B.4为f(x)的一个周期 C.f(2)=1 D.f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 023)+f(2 024)=0 【二级结论】(1)若f(x+a)=-f(x), 则f(x)的周期为2|a|. (2)若f(x)的图象关于直线x=a和x=b对称,则f(x)的周期为2|a-b|. (3)若f(x)的图象关于点(a,0)和直线x=b对称,则f(x)的周期为4|a-b|. 跟踪演练3 1.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,对任意x1,x2∈[0,+∞),且x1≠x2,有>0,若f(1)=0,则不等式(x-1)f(x)>0的解集是 (　　) A.(-1,1)∪(1,+∞) B.(-1,1) C.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(0,1) 2.(多选)若函数f(x)是定义域为R的奇函数,且f(x+2)=-f(x),f(1)=1,则下列说法正确的是 (　　) A.f(3)=-1 B.f(x)的图象关于点(2,0)对称 C.f(x)的图象关于直线x=1对称 D.f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 023)+f(2 024)=1 (1)函数的单调性 ①比较函数值的大小,应将自变量转化到同一个单调区间内,然后利用函数的单调性解决; ②在求解与抽象函数有关的不等式时,往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉,使其转化为具体的不等式求解.此时,应特别注意函数的定义域; ③利用单调性求解最值问题,应先确定函数的单调性,然后再由单调性求解; ④利用单调性求参数时,通常要把参数视为已知数,根据函数的图象或单调性定义,确定函数的单调区间,将其转化到同一单调区间进行比较,从而求出参数. (2)函数的奇偶性、周期性及对称性 ①奇偶性:具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上,其图象、函数值、解析式和单调性联系密切,研究问题时可以转化到部分(一般取一半)区间上,注意偶函数常用结论f(x)=f(|x|); ②周期性:利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质,把不在已知区间上的问题转化到已知区间上求解; ③对称性:常围绕图象的对称中心或对称轴设置试题,利用图象对称中心或对称轴的性质简化所求问题. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题一　函数与导数 第1讲　函数的图象与性质 真题感悟 1.B　解析：对于A，f（-x）==≠f（x），故f（x）不是偶函数；对于B，f（-x）===f（x），故f（x）是偶函数；对于C，f（x）的定义域为｛x|x≠-1｝，不关于原点对称，故f（x）不是偶函数；对于D，f（-x）===-=-f（x），故f（x）是奇函数.故选B. 2.D　解析：由题图可知函数为偶函数，而函数 f（x）=和函数 f（x）=为奇函数，故排除选项A，B；又当x∈（0，1）时，1-x2>0，x2-1<0，此时f（x）=>0，f（x）=<0，由题图可知当x∈（0，1）时，f（x）<0，故C不符合，D符合.故选D. 3.B　解析：因为f（x）在R上单调递增，且x≥0时，f（x）=ex+ln（x+1）单调递增，则需满足解得-1≤a≤0，即a的取值范围是［-1，0］.故选B. 4.B　解析：方法一：因为f（x）=（x+a）ln为偶函数，f（-1）=（a-1）ln 3，f（1）=（a+1）ln =-（a+1）ln 3，所以（a-1）ln 3=-（a+1）ln 3，解得a=0.故选B. 方法二：要使函数f（x）有意义，必须满足>0，解得x<-或x>.因为函数f（x）是偶函数，所以对任意x∈∪，都有f（-x）=f（x），即（-x+a）·ln=（x+a）ln，因为ln=ln=-ln，所以（x-a）ln=（x+a）ln对任意x∈∪恒成立，所以a=0.故选B. 5.D　解析：由y=g（x）的图象关于直线x=2对称，可得g（2+x）=g（2-x）.在f（x）+g（2-x）=5中，用-x替换x，可得f（-x）+g（2+x）=5，可得f（-x）=f（x）①，y=f（x）为偶函数.在g（x）-f（x-4）=7中，用2-x替换x，得g（2-x）=f（-x-2）+7，代入f（x）+g（2-x）=5中，得f（x）+f（-x-2）=-2②，所以y=f（x）的图象关于点（-1，-1）中心对称，所以f（1）=f（-1）=-1.由①②可得f（x）+f（x+2）=-2，所以f（x+2）+f（x+4）=-2，所以f（x+4）=f（x），所以函数f（x）是以4为周期的周期函数.由f（x）+g（2-x）=5可得f（0）+g（2）=5，又g（2）=4，所以可得f（0）=1，又f（x）+f（x+2）=-2，所以f（0）+f（2）=-2，得f（2）=-3，又f（3）=f（-1）=-1，f（4）=f（0）=1，所以f（k）=6f（1）+6f（2）+5f（3）+5f（4）=6×（-1）+6×（-3）+5×（-1）+5×1=-24.故选D. 重难攻坚 例1　（1）ACD　解析：对于A，由题可知⇒2<x≤3，故函数F（x）的定义域为（2，3］，故A正确；对于B，令f（x）=x2=4，可得x=±2，故定义域A可以为｛-2｝，｛2｝，｛-2，2｝，共3个，即满足条件的f（x）有3个，故B错误；对于C，令lg x=，得x=，所以f=，故C正确；对于D，y==-，因为≠0，所以y≠，所以值域为.故D正确.故选ACD. （2）B　解析：当x=-时，ex-1<0，-x+1>0，此时sgn（ex-1）+sgn（-x+1）=-1+1=0，则x>1不成立，即充分性不成立；当x>1时，ex-1>0，-x+1<0，此时sgn（ex-1）+sgn（-x+1）=1-1=0，即必要性成立，所以 “sgn（ex-1）+sgn（-x+1）=0” 是 “x>1” 的必要不充分条件.故选B. 跟踪演练1 1.AB　解析：由题意，得“M函数”的值域关于原点对称.A中，f（x）=sin xcos x=sin 2x∈，其值域关于原点对称，故A是“M函数”；B中，函数f（x）=ln x+ex的值域为R，关于原点对称，故B是“M函数”；C中，因为f（x）=2x>0，其值域不关于原点对称，故C不是“M函数”；D中，f（x）=x2-2x=（x-1）2-1≥-1，其值域不关于原点对称，故D不是“M函数”.故选AB. 2.B　解析：计算f（-3），由于-3≤0，根据分段函数定义，f（-3）=f（-3+2）=f（-1）；计算f（-1），由于 -1≤0，继续使用递归规则，f（-1）=f（-1+2）=f（1）；计算 f（1），此时 1>0，代入第一段函数 f（x）=2x，得 f（1）=21=2.所以f（-3）=2.故选B. 例2　B　解析：f（-x）=-x2+（-ex）sin（-x）=-x2+（ex-）·sin x=f（x），又函数f（x）的定义域为［-2.8，2.8］，故该函数为偶函数，可排除A，C，又f（1）=-1+sin 1>-1+sin=-1->->0，故可排除D，故选B. 例3　（1）A　解析：根据函数图象知，当x≤0时，所求函数图象与已知函数相同，当x>0时，所求函数图象与x<0时的图象关于y轴对称，即所求函数为偶函数且x≤0时与y=f（x）相同，故B，D不符合要求；当x≤0时，y=f（-|x|）=f（x），y=f（|x|）=f（-x），故A正确，C错误. （2）AB　解析：函数f（x）=的图象如图所示， 设f（x1）=f（x2）=f（x3）=f（x4）=t，则0<t<4，直线y=t与函数y=f（x）的图象的4个交点的横坐标分别为x1，x2，x3，x4. 对于A，函数y=-x2-4x的图象关于直线x=-2对称，则x1+x2=-4，故A正确； 对于B，由图象可知|log2x3|=|log2x4|，且0<x3<1<x4， 所以-log2x3=log2x4，即log2（x3x4）=0，所以x3x4=1，故B正确； 对于C，由图象可知log2x4∈（0，4），则1<x4<16，故C错误； 对于D，由图象可知-4<x1<-2， 当x≤0时，f（x）=-x2-4x=-（x+2）2+4， 所以x1x2x3x4=x1（-4-x1）=--4x1=-（x1+2）2+4=f（x1）∈（0，4），故D错误. 跟踪演练2 1.D　解析：对于选项A，因为f（1）=>0，与图象不符，故A错误；对于选项B，因为f（1）=>0，与图象不符，故B错误；对于选项C，因为f（1）=>0，与图象不符，故C错误.故选D. 2.A　解析：因为f（x）=，所以f（-x）==-f（x），又f（x）的定义域为R，所以f（x）是奇函数，它的图象关于原点对称，函数y=f（x-1）+1的图象可由f（x）的图象先向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度得到，所以函数y=f（x-1）+1的图象关于点（1，1）对称.故选A. 例4　D　解析：由题意知x∈（-∞，0）∪（0，+∞）， 因为f（-x）=ln［（-x）2+1］-=f（x）， 所以f（x）为偶函数，图象关于y轴对称. 当x>0时，f（x）=ln（x2+1）-， 故f（x）在（0，+∞）上单调递增. 因为a=f（-3）=f（3），b=f（ln 2），c=f（20.3）， 且1=20<20.3<21=2，0<ln 2<ln e=1， 所以0<ln 2<20.3<3，所以f（ln 2）<f（20.3）<f（-3）， 所以b<c<a，即a>c>b.故选D. 例5　ABD　解析：对于A，由题意，知f（-2x+1）=-f（2x+1），令t=2x，得f（1-t）=-f（1+t），则f（1-t）+f（1+t）=0，所以f（x）的图象的对称中心为（1，0），故A正确； 对于B，f（x+2）+f（x）=f（2 024），f（x+4）+f（x+2）=f（2 024）， 两式相减得f（x+4）=f（x），4为f（x）的一个周期，故B正确； 对于C，又2 024=4×506，故f（x+2）+f（x）=f（2 024）=f（4×506+0）=f（0），令x=0，得f（2）+f（0）=f（0），得f（2）=0，故C错误； 对于D，因为f（x）的周期为4，所以f（4）=f（0），在f（x+2）+f（x）=0中，令x=1，得f（3）+f（1）=0.令x=0，得f（2）+f（0）=f（2）+f（4）=0.所以f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=0.故f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2 023）+f（2 024）=506×［f（1）+f（2）+f（3）+f（4）］=0，故D正确. 跟踪演练3 1.A　解析：已知f（x）是定义在R上的偶函数， 则f（x）=f（-x）. 又对任意x1，x2∈［0，+∞），且x1≠x2， 都有>0， 所以函数f（x）在［0，+∞）上单调递增. 则函数f（x）在（-∞，0］上单调递减， 又f（1）=0，所以f（-1）=f（1）=0. （x-1）f（x）>0等价于或 ①x-1>0 即 x>1； f（x）>0 结合单调性，得 x>1或x<-1. 结合可得的解集为 x>1. ②x-1<0 即 x<1； f（x）<0 结合单调性，得 -1<x<1. 结合可得的解集为 -1<x<1. 综上，不等式 （x-1）f（x）>0 的解集为 （-1，1）∪（1，+¥）. 2.ABC　解析：因为f（x+2）=-f（x），f（1）=1， 对于选项A，令x=1，可得f（3）=-f（1）=-1，故A正确； 对于选项C，因为函数f（x）是定义域为R的奇函数，则f（x）=-f（-x），则f（x+2）=-f（x）=f（-x），所以f（x）的图象关于直线x=1对称，故C正确； 对于选项B，因为f（x+2）=f（-x），可得f（-x+2）=f（x），则f（x+2）=f（-x）=-f（x）=-f（-x+2），即f（x+2）+f（-x+2）=0，所以f（x）的图象关于点（2，0）对称，故B正确； 对于选项D，因为f（x+2）+f（-x+2）=0， 令x=0，可得2f（2）=0，f（2）=f（0）=0， 令x=1，可得f（3）+f（1）=0， 又因为f（x+2）=-f（x），则f（x+4）=-f（x+2）=f（x）， 可知4为f（x）的一个周期，可得f（2）+f（4）=0， 即f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=0， 因为2 024=4×506， 所以f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2 023）+f（2 024）=0，故D错误. 学科网（北京）股份有限公司 $