第4章 第1讲 任意角和弧度制、三角函数的概念(配套作业)-【名师带你过关】2026-2027学年高考数学一轮复习

**基本信息** 聚焦三角函数基础概念与应用，通过分层题型构建从概念辨析到实际建模的知识逻辑链，培养数学眼光与思维。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|1-2,7题|角的表示/终边位置判断|任意角→弧度制→终边相同角的生成关系| |定义应用|3-4,9-10题|三角函数定义/象限角性质|坐标法推导三角函数值，强化数形结合思维| |综合拓展|5-6,8,12题|充要条件/扇形面积/实际建模|从数学概念到生活情境，体现数学语言表达现实世界|

第四章　三角函数与解三角形 第1讲　任意角和弧度制、三角函数的概念 (限时训练:50分钟) 　　　　　　 　　　　　 　　　　　 1.把-1 125°化成α+2kπ(0≤α<2π,k∈Z)的形式是 (　　) A.-6π B.-6π C.-8π D.-8π 2.若角α的终边在y轴的非正半轴上,则角α+的终边在 (　　) A.第一象限 B.第二象限 C.y轴的非负半轴上 D.x轴的非正半轴上 3.设α是第二象限角,P(x,4)为其终边上的一点,且cos α=x,则tan α等于 (　　) A.- B.- C.- D.- 4.已知角x的终边上一点的坐标为,则角x的最小正值为 (　　) A. B. C. D. 5.(2024·北京模拟)“sin 2θ>0”是“θ为第一或第三象限角”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.中国折叠扇有着深厚的文化底蕴.如图,在半圆O中作出两个扇形OAB和OCD,用扇环形ABDC(图中阴影部分)制作折叠扇的扇面.记扇环形ABDC的面积为S1,扇形OAB的面积为S2,当S1与S2的比值为时,扇面的形状较为美观,则此时扇形OCD的半径与半圆O的半径之比为 (　　) A. B. C.3- D.-2 7.(多选)下面说法正确的有 (　　) A.角与角-的终边相同 B.终边在直线y=-x上的角α的取值集合可表示为{α|α=k·360°-45°,k∈Z} C.若角α的终边在直线y=-3x上,则cos α的取值为 D.67°30'化成弧度是 rad 8.(2025·深圳模拟)(多选)如图,质点A和B在单位圆O上逆时针做匀速圆周运动.若A和B同时出发,A的角速度为1 rad/s,起点位置坐标为,B的角速度为2 rad/s,起点位置坐标为(1,0),则 (　　) A.在1 s末,点B的坐标为(sin 2,cos 2) B.在1 s末,扇形AOB的弧长为-1 C.在 s末,点A,B在单位圆上第二次重合 D.△AOB面积的最大值为 9.已知角α的终边在图中阴影部分内,则角α的取值集合为　　　　.  10.(2024·昆明模拟)已知角θ的顶点为坐标原点O,始边与x轴的非负半轴重合,点A(1,a)(a∈Z)在角θ的终边上,且|OA|≤3,则tan θ的值可以是　　　　.(写出一个即可)  11.已知α=. (1)写出与角α终边相同的角的集合,并求出在(-4π,-π)内与角α终边相同的角; (2)若角β与角α的终边相同,判断角是第几象限角. 12.某地政府部门欲做一个“践行核心价值观”的宣传牌,该宣传牌形状是如图所示的扇形环面(由扇形OAD挖去扇形OBC后构成的).已知OA=2米,OB=x米(0<x<2),线段BA,线段CD与,的长度之和为6米,圆心角为θ弧度. (1)求θ关于x的函数解析式; (2)记该宣传牌的面积为y,试问x取何值时,y的值最大?并求出最大值. 13.(多选)已知角θ的终边经过点(-2,-),且θ与α的终边关于x轴对称,则 (　　) A.sin θ=- B.α为钝角 C.cos α=- D.点(tan θ,tan α)在第四象限 14.如图,在平面直角坐标系Oxy中,一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)处,此时圆上一点P的位置在(0,0)处,圆在x轴上沿x轴正方向滚动.当圆滚动到圆心位于C(2,1)处时,的坐标为　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $ 参考答案 第四章·第1讲　任意角和弧度制、三角函数的概念 （AI生成·待复核） 1.D　【解析】-1125°=-25π/4=-8π+7π/4,故 α=7π/4,k=-4。故选D项。 2.A　【解析】α=2kπ-π/2,则 α+2π/3=2kπ-π/2+2π/3=2kπ+π/6,终边在第一象限。故选A项。 3.D　【解析】r=√(x^2+16),cos α=x/√(x^2+16)=x/5,得 x^2=9。α 为第二象限角,x<0,故 x=-3,tan α=4/(-3)=-4/3。故选D项。 4.B　【解析】sin(5π/6)=1/2,cos(5π/6)=-√3/2,该点在第四象限,cos x=1/2 且 sin x<0,x=-π/3+2kπ,最小正值为 5π/3。故选B项。 5.C　【解析】sin 2θ=2sin θcos θ>0 等价于 sin θ 与 cos θ 同号且都不为 0,即 θ 为第一或第三象限角,两者互为充要条件。故选C项。 6.B　【解析】设半圆 O 半径为 R,扇形 OCD 半径为 r,圆心角为 θ。S_1=(1/2)θ(R^2-r^2),S_2=(1/2)θR^2,S_1/S_2=1-(r/R)^2=(√5-1)/2,得 (r/R)^2=(3-√5)/2=((√5-1)/2)^2,故 r/R=(√5-1)/2。故选B项。 7.AD　【解析】A:-5π/3+2π=π/3,终边相同,正确;B:终边在直线 y=-x 上的角包含两条射线,应为 {α|α=k·180°-45°,k∈Z},错误;C:终边在直线 y=-3x 上,cos α=±√10/10,只给正值不全,错误;D:67°30'=67.5°×π/180=3π/8 rad,正确。故选AD项。 8.BCD　【解析】A:1s 末 B 的位置角为 2 rad,坐标为(cos 2,sin 2),错误;B:1s 末 A 的位置角为 π/3+1,∠AOB=(π/3+1)-2=π/3-1,弧长为 π/3-1,正确;C:重合条件 π/3+t=2t+2kπ,即 t=π/3+2kπ,第二次重合 t=7π/3,正确;D:面积=(1/2)sin|π/3-t|≤1/2,最大值 1/2,正确。故选BCD项。 9.{α|kπ+π/6≤α≤kπ+7π/12,k∈Z}　【解析】由图知阴影部分两条边界与 x 轴正方向的夹角分别为 π/6 与 7π/12(虚线与 x 轴负半轴夹角 75°,方向角为 180°-75°=105°=7π/12),且上下两块阴影对顶,故角 α 的取值集合为 {α|kπ+π/6≤α≤kπ+7π/12,k∈Z}。 10.1(答案不唯一,可为 -2,-1,0,1,2 中任意一个)　【解析】tan θ=a,|OA|=√(1+a^2)≤3 得 a^2≤8,又 a∈Z,故 a∈{-2,-1,0,1,2},tan θ 的值可以是其中任意一个。 11.(1)集合 {β|β=π/3+2kπ,k∈Z},在(-4π,-π)内的角为 -5π/3 与 -11π/3;(2)第一或第三象限角　【解析】(1)终边相同角的集合为 {β|β=π/3+2kπ,k∈Z}。令 -4π<π/3+2kπ<-π,得 -13/6<k<-2/3,故 k=-1 或 k=-2,对应角为 -5π/3 与 -11π/3。(2)β/2=π/6+kπ,k 为偶数时 β/2 的终边在第一象限,k 为奇数时在第三象限,故 β/2 是第一或第三象限角。 12.(1)θ=2(x+1)/(x+2),x∈(0,2);(2)x=1/2 米时 y 最大,最大值为 9/4 平方米　【解析】(1)BA+CD+弧BC+弧AD=2(2-x)+(x+2)θ=6,得 θ=2(x+1)/(x+2),x∈(0,2)。(2)y=(1/2)θ(4-x^2)=(x+1)(4-x^2)/(x+2)=(x+1)(2-x)=-x^2+x+2,在 x=1/2 处取最大值 9/4。 13.ABCD　【解析】r=√7,sin θ=-√3/√7=-√21/7,A 正确;α 的终边与 θ 关于 x 轴对称,过点(-2,√3),为第二象限角且为钝角,B 正确;cos α=-2/√7=-2√7/7,C 正确;tan θ=√3/2>0,tan α=-√3/2<0,点(tan θ,tan α)在第四象限,D 正确。故选ABCD项。 14.(2-sin 2,1-cos 2)　【解析】圆心从(0,1)滚动到(2,1),滚动距离为 2,圆转过的角度为 2 rad(顺时针)。P 的初始相对圆心的向量为(0,-1),顺时针旋转 2 rad 后变为(-sin 2,-cos 2),故 OP 的坐标为(2-sin 2,1-cos 2)。 学科网（北京）股份有限公司 $