4.1 数列的概念专项训练（六大题型）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

**基本信息** 以数列概念为起点，通过六类题型系统构建从概念辨析到通项求解的逻辑链条，注重抽象能力与推理意识的培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |有穷与无穷数列|4题|概念辨析与分类判断|从数列定义出发，建立有限与无限的认知基础| |判断或写出项|4题|项的计算与性质分析|衔接数列概念与函数属性，强化数学眼光观察| |累加法求通项|4题|差式递推关系应用|基于数列递推本质，培养数学思维推理能力| |累乘法求通项|4题|商式递推关系应用|深化递推转化思想，提升逻辑推导素养| |aₙ和Sₙ关系|4题|前n项和与通项互化|构建数列和式与项式的联系，发展模型意识| |观察法求通项|4题|规律归纳与表达|训练数学语言表达，体现从具体到抽象的认知过程|

4.1 数列的概念 题型一 有穷数列和无穷数列 1．已知函数，设，则下列说法中错误的是（    ） A．是无穷数列 B．是递增数列 C．不是常数列 D．中有最大项 【答案】D 【分析】根据无穷数列的概念可知A正确；由恒成立可知B正确；根据常数列的概念可知C正确；根据数列的单调性可知D错误. 【详解】对于A ，显然是无穷数列，故A正确； 对于B，因为，即，即是递增数列，故B正确； 对于C，因为，，，故不是常数列，故C正确； 对于D，由B知，是递增数列，当趋近于无穷大时，也趋近于无穷大，所以中无最大项，故D错误. 故选：D 2．下列叙述不正确的有（    ） A．数列与是同一数列 B．数列的通项公式是 C．是常数列 D．是递增数列，也是无穷数列 【答案】ABC 【分析】利用数列的定义可判断A选项；利用观察法求出数列通项公式可判断B选项；利用常数列的定义可判断C选项；利用数列的单调性和无穷数列的定义可判断D选项. 【详解】对于A选项，数列是按一定顺序排成的一列数，即数列与是两个数列，故A错误； 对于B选项，数列的通项公式是，故B错误； 对于C选项，数列是摆动数列，故C错误； 对于D选项，数列是递增数列，也是无穷数列，故D正确. 故选：ABC 3．给出下列数列：①2010～2017年某市普通高中生人数(单位：万人)构成数列82，93，105，118，132，147，163，180；②无穷多个构成数列， ， ， ，…；③-2的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，…构成数列-2，4，-8，16，－32，…. 其中，有穷数列是________，无穷数列是_______，递增数列是________，常数列是________． 【答案】 ① ②③ ① ② 【分析】根据数列的分类特征得到答案. 【详解】①为有穷数列，②③为无穷数列，①为递增数列，②为常数列，③为摆动数列， 故答案为：①，②③，①，② 4．已知数列具有性质，都，使得． (1)分别判断以下两个数列是否满足性质，并说明理由： （i）有穷数列； （ii）无穷数列． (2)若有穷数列满足性质，且各项互不相等，求项数的最大值． 【答案】(1) （i）不满足．令不是数列中的项． （ii）满足．对于任意． 由于，故令即可． (2)3 【分析】（1）（i）选取数列中两项（取）计算其乘积，验证该乘积是否属于原数列，以此判断数列是否满足性质. （ii）利用等比数列通项公式计算任意两项（）的乘积，通过指数运算将乘积转化为数列中的某一项（令 ），验证数列满足性质. （2）通过分析数列中绝对值最大、最小的非零项，推导出非零项的绝对值只能为；结合各项互不相等的条件，确定数列的非零项仅为和，再加入后得到数列的最大项数. 【详解】（1）略 （2）对于有穷数列，记其非零项中，绝对值最大的一项为，绝对值最小的一项为． 故令时，存在一项满足． 又是数列非零项中绝对值最大的，所以，即． 再令时，存在一项满足． 又是数列非零项中绝对值最小的，所以，即． 又， 所以数列所有非零项的绝对值均为1. 又数列的各项均不相等，所以其至多有共3项,所以． 因为数列满足性质，所以项数的最大值为3. 题型二 判断或写出数列中的项 5．在数列中，若（为常数），且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以，则． 6．已知数列的通项公式为，则下列说法正确的是（ ） A．使的项共有项 B．数列是递减数列 C．数列有最小项，且有最大项 D．满足的的值共有2个 【答案】AC 【分析】利用9的约数求解判断A；确定数列单调性判断BC；利用相邻3项中负数项的个数判断D. 【详解】对于A，由，则是9的约数，又，因此或或或或， 使的项共有项，A正确； 对于BC，，由，得， 解得，又，则当时，，当或时，， 令，解得，因此，， 即数列有最小项，且有最大项，B错误，C正确； 对于D，要使，又，则中恰有个负数或恰有个负数， 因此或或，即满足的的值共有个，D错误. 7．已知数列的通项公式为，则_________. 【答案】18 【分析】将4代入通项公式，即得. 【详解】因为，所以. 8．已知数列的通项公式为． (1)是该数列中的项吗？若是，求出项数；该数列中有小于0的项吗？共有多少项？ (2)当n为何值时，有最小值？并求出最小值． 【答案】(1)是该数列中的项；对应和；该数列中有小于0的项；共项； (2)或时，有最小值；最小值为． 【分析】（1）假设是数列中的项，解方程求出相应，从而判断结论；解不等式求出的范围，进而判断相应项数； （2）结合通项公式的函数性质，求出最小值对应的项，进而求解． 【详解】（1）若是该数列中的项，则有解， 解得或， 该数列的第5项和第16项都为， 由，解得， 该数列中有小于0项，共有18项． （2），其对称轴为， 又， 当或时，有最小值，其最小值为． 题型三 累加法求数列通项 9．在数列中，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将原等式变形化简，利用累加法求出，进而求得结果. 【详解】因为，则， 当时， ， 显然满足上式，即有，所以． 10．已知数列满足，，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由得，结合即可判断A，变形得判断B，将变为，然后根据及单调性求解范围判断C，根据，利用累加法得，根据，利用累加法得，即可求得，即可判断D. 【详解】因为，所以，又，所以，故A正确； 对取倒数得， 所以，故B错误； 因为，所以，因为，所以，又，所以与同号，所以， 所以，所以，故C正确； 由B可知，因为，所以，所以当时，， 累加得，即，所以， 又因为，所以，所以当时，，累加得，即，所以，即，故D正确. 故选：ACD 11．已知数列满足，，则__________. 【答案】333000 【详解】由已知条件可得，则. 令， 则 即. 所以，，…，. 累加得，所以. 于是，. 则. 12．记为数列的前项和，已知. (1)求的通项公式; (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1). (2). 【分析】（1）根据与的关系式，可构造出与的关系等式，结合裂项相消法可求出的通项公式，注意的取值，要验证前两项满足所求通项； （2）先讨论为偶数的情况，发现相邻项之和是等差数列，合并求和即可，再据此计算为奇数时的前项和. 【详解】（1）由题意，当时，，即，所以. 当时，， 所以， 即，， 累加可得 则， 又满足该式，故. （2）由题意，， 当为偶数时，即有，， 则； 当为奇数时，则为偶数，. 综上，. 题型四 累乘法求数列通项 13．在数列中，若，，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用累乘法求数列通项，注意验证是否满足通项，即可得. 【详解】由题设，，则，，， 当时，，，，，，， 所以，且， 显然均满足上式，所以. 故选：C 14．已知数列满足，，则（   ） A．是递减数列 B． C．当的前n项和取得最小值时， D．对任意，不等式，则 【答案】ACD 【分析】对A，由题得，利用数列单调性定义判断；对B，由题，当时，，利用累乘法求出通项；对C，由题得，可得数列的前6项均小于0，从第7项开始大于0，得解；对D，对分奇数和偶数讨论，将原不等式转化为恒成立，求出最值得解. 【详解】对于A，由题，， 又，由递推式可得，所以是递减数列，故A正确； 对于B，由上面可知，当时，， 将上式累乘得，， 整理得，又，所以，故B错误； 对于C，设，则，， ，，，，， 由指数函数与函数的增长速度可知，当时，， 所以当数列的前n项和取得最小值时，，故C正确； 对于D，当为偶数时，不等式转化为，又， 所以， 当为奇数时，不等式转化为，又， 所以， 综上，，故D正确. 故选：ACD. 15．已知数列中，，则______. 【答案】 【分析】根据已知条件，利用累乘法求通项. 【详解】，， ，即， . 故答案为：. 16．在正项数列中，设的前项和为，已知． (1)求的通项公式； (2)令，求的前项和． 【答案】(1) (2)（或等价化简形式） 【分析】（1）利用前项和与通项的递推关系，通过累乘法求数列的通项公式，验证的情况即可； （2）将裂项为两项差的形式，用裂项相消法求和． 【详解】（1）由题意得，当时，，， 则， 所以， 故，，， 由累乘法得，， 当时，依然成立， 所以 （2）， 则 ． 题型五 利用an和Sn关系求通项或项 17．已知数列的前项和公式为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】． 18．设数列的前项和为，已知，，记数列的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】由，得的偶数项均为-2，由．又因为，所以的奇数项均为2，即可判断选项． 【详解】因为，，所以，即的偶数项均为-2，B正确． 因为，所以． 又因为，所以的奇数项均为2，A正确． ，C，D错误． 故选：AB 19．已知数列的前项和为，则________． 【答案】25 【详解】. 20．已知数列前n项和为，且， (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以当时，， 两式作差得， 又符合上式，故的通项公式为. （2）由（1）知，， 则. 题型六 观察法求数列通项 21．数列的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】注意到四项的分子均为，分母均为，可得通项公式. 22．已知数列前三项分别为，下列各式中，能作为数列的通项公式的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】取分别代入验证即可求解. 【详解】取分别代入验证可知A，C，D正确，B不正确． 故选：ACD 23．数列中，已知，依次计算出后，归纳、猜测得出的表达式为________. 【答案】 【分析】计算出数列的前几项，然后归纳猜想出表达式. 【详解】因为， 所以，猜测. 故答案为：. 24．已知三棱柱､四棱柱､五棱柱的顶点数按从小到大的顺序排列，构成数列. (1)写出，并求的通项公式； (2)若，且数列的前项和为，求. 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）利用棱柱的结构特征求出，进而求出数列通项公式. （2）由（1）的结论求出，再利用裂项相消法求和. 【详解】（1）三棱柱的顶点数为，四棱柱的顶点数为，五棱柱的顶点数为， 因此，棱柱的顶点数为，数列的第项为棱柱的顶点数， 所以的通项公式为. （2）由（1）知，，则， 因此， 所以. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.1 数列的概念 题型一 有穷数列和无穷数列 1．已知函数，设，则下列说法中错误的是（    ） A．是无穷数列 B．是递增数列 C．不是常数列 D．中有最大项 2．下列叙述不正确的有（    ） A．数列与是同一数列 B．数列的通项公式是 C．是常数列 D．是递增数列，也是无穷数列 3．给出下列数列：①2010～2017年某市普通高中生人数(单位：万人)构成数列82，93，105，118，132，147，163，180；②无穷多个构成数列， ， ， ，…；③-2的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，…构成数列-2，4，-8，16，－32，…. 其中，有穷数列是________，无穷数列是_______，递增数列是________，常数列是________． 4．已知数列具有性质，都，使得． (1)分别判断以下两个数列是否满足性质，并说明理由： （i）有穷数列； （ii）无穷数列． (2)若有穷数列满足性质，且各项互不相等，求项数的最大值． 题型二 判断或写出数列中的项 5．在数列中，若（为常数），且，则（   ） A． B． C． D． 6．已知数列的通项公式为，则下列说法正确的是（ ） A．使的项共有项 B．数列是递减数列 C．数列有最小项，且有最大项 D．满足的的值共有2个 7．已知数列的通项公式为，则_________. 8．已知数列的通项公式为． (1)是该数列中的项吗？若是，求出项数；该数列中有小于0的项吗？共有多少项？ (2)当n为何值时，有最小值？并求出最小值． 题型三 累加法求数列通项 9．在数列中，，，则（   ） A． B． C． D． 10．已知数列满足，，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 11．已知数列满足，，则__________. 12．记为数列的前项和，已知. (1)求的通项公式; (2)设，求数列的前项和. 题型四 累乘法求数列通项 13．在数列中，若，，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 14．已知数列满足，，则（   ） A．是递减数列 B． C．当的前n项和取得最小值时， D．对任意，不等式，则 15．已知数列中，，则______. 16．在正项数列中，设的前项和为，已知． (1)求的通项公式； (2)令，求的前项和． 题型五 利用an和Sn关系求通项或项 17．已知数列的前项和公式为，则（    ） A． B． C． D． 18．设数列的前项和为，已知，，记数列的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 19．已知数列的前项和为，则________． 20．已知数列前n项和为，且， (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 题型六 观察法求数列通项 21．数列的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 22．已知数列前三项分别为，下列各式中，能作为数列的通项公式的有（   ） A． B． C． D． 23．数列中，已知，依次计算出后，归纳、猜测得出的表达式为________. 24．已知三棱柱､四棱柱､五棱柱的顶点数按从小到大的顺序排列，构成数列. (1)写出，并求的通项公式； (2)若，且数列的前项和为，求. 1 学科网（北京）股份有限公司 $