湖北省武汉市第一中学2026-2027学年高三上学期数学期中模拟卷

2026-2027学年高三数学上学期期中模拟卷 1、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。 1．已知集合，B＝{y|y＝2x，x≤0}，则A∩B＝（　　） A．{y|y＜1} B．{y|0＜y＜1} C．{y|0＜y≤1} D．{y|y＞1} 2．曲线y＝5x+8lnx在点（1，5）处的切线方程为（　　） A．y＝3x+2 B．y＝5x C．y＝8x﹣3 D．y＝13x﹣8 3．已知复数z满足，则z＝（　　） A．i B．﹣i C．1+i D．1﹣i 4．已知x∈R，向量，且，则在上的投影向量为（　　） A． B．5 C．（1，2） D．（2，﹣1） 5．已知等差数列{an}的首项为1，且a3，a5+1，2a6成等比数列，则数列{（﹣1）nan}的前2025项和为（　　） A．﹣1013 B．﹣505 C．505 D．1013 6．灯笼起源于中国的西汉时期，两千多年来，每逢春节人们便会挂起象征美好团圆意义的红灯笼，营造一种喜庆的氛围．如图1，某球形灯笼的轮廓由三部分组成，上下两部分是两个相同的圆柱的侧面，中间是球面的一部分（除去两个球缺）．如图2，“球缺”是指一个球被平面所截后剩下的部分，截得的圆面叫做球缺的底，垂直于截面的球半径被截得的一段叫做球缺的高．已知球缺的体积公式为，其中R是球的半径，h是球缺的高．已知该灯笼的高为40cm，圆柱的高为4cm，圆柱的底面圆直径为24cm，则该灯笼的体积为（取π＝3）（　　） A．32000cm3 B．33664cm3 C．33792cm3 D．35456cm3 7．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过F作直线交抛物线C于A，B两点，过A，B分别作准线l的垂线，垂足分别为M，N，若△AFM和△BFN的面积分别为8和4，则△MFN的面积为（　　） A．32 B．16 C． D．8 8．已知函数f（x），g（x）的定义域均为R，f（x+1）是奇函数，且f（1﹣x）+g（x+1）＝4，f（x）+g（x﹣2）＝4，则下列结论正确的是（　　） A．f（x）为奇函数 B．g（x）为奇函数 C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．下列说法正确的是（　　） A．某射击运动员在一次训练中10次射击成绩（单位：环）如下：6，5，7，9，6，8，9，9，7，5，这组数据的第70百分位数为8 B．对于随机事件A与B，若，P（B|A）＝0.7，则事件A与B独立 C．若随机变量X～B（6，p），E（X）＝4.8，若P（X＝k）最大，则D（kX+1）＝24 D．设随机变量ξ服从正态分布N（0，1），若P（ξ＞1）＝p，则 10．已知函数f（x）＝x3﹣3ax+b，则（　　） A．f（x）一定有零点 B．曲线y＝f（x）与直线y＝x+b恒有3个交点 C．若f（x）有3个零点，则它们的和为0 D．曲线y＝f（x）上始终存在中心和4个顶点都在其上的菱形 11．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2.过F2的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点．△AF1F2的内心为I1，△BF1F2的内心为I2，则下列说法正确的有（　　） A．双曲线的离心率为2 B．直线AB的斜率的取值范围为 C．|I1I2|的取值范围为 D． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。 12．函数f（x）＝sin（2x+φ）的图象向左平移个单位得到函数g（x）的图象，若函数g（x）是偶函数，则tanφ＝　 　 ． 13．已知直线y＝ax与曲线相切，则实数a的值为　 　 ． 14．某人有两把雨伞用于上下班，如果一天上班时他在家而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把去办公室，如果一天下班时他在办公室而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把回家．如果天不下雨，那么他不带雨伞．假设每天上班和下班时下雨的概率均为，不下雨的概率均为，且与过去情况相互独立．现在两把雨伞均在家里，那么连续上班两天，他至少有一天淋雨的概率为 　 　 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（2a﹣c）cosB﹣bcosC＝0． （1）求B； （2）已知，求的最大值． 16．（本小题满分15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥AB，PB＝PD，底面ABCD是边长为的菱形，． （1）证明：平面PAC⊥平面ABCD； （2）若平面PAB与平面ABCD所成角的正切值为2，点Q满足，求直线CP与平面ABQ所成角的余弦值． 17．（本小题满分15分）已知函数f（x）＝ae2x+x+1（a＜0）． （1）当a＝﹣1时，求函数y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程； （2）求函数f（x）的单调区间； （3）若不等式f（x）+（a+2）ex≤0恒成立，求整数a的最大值． 18．（本小题满分17分）已知A，B分别是椭圆的左，右顶点，动点T满足TA⊥TB，过T作TH⊥AB于H，线段TH交椭圆Γ于点M；过A作AN⊥AT，交椭圆Γ于点N． （1）设直线AN，BM的斜率分别为k1，k2，求的值； （2）求证：直线MN过定点； （3）设线段MN的垂直平分线交椭圆Γ于P、Q两点，若MP⊥MQ，求MN的斜率． 19．（本小题满分17分）已知数列a1，a2，⋯，an为严格单调递增的正整数数列，{a1，a2，⋯，an}的子集有2n个，分别计算每个子集的元素和得到（规定空集元素和为0），已知． （1）求的最小值； （2）求方差的最小值； （3）求证：⋯． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高三数学上学期期中模拟卷 1、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。 1．已知集合，B＝{y|y＝2x，x≤0}，则A∩B＝（　　） A．{y|y＜1} B．{y|0＜y＜1} C．{y|0＜y≤1} D．{y|y＞1} 【分析】根据题意，将集合A，B化简，再由交集的运算，即可得到结果． 【解答】解：因为指数函数y＝2x是R上的增函数， 所以由x≤0，得0＜2x≤1，则B＝{y|0＜y≤1}， 因为对数函数是（0，+∞）上的减函数， 所以由，得，则A＝{y|y＜1}； 故A∩B＝{y|0＜y＜1}． 故选：B． 【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题． 2．曲线y＝5x+8lnx在点（1，5）处的切线方程为（　　） A．y＝3x+2 B．y＝5x C．y＝8x﹣3 D．y＝13x﹣8 【分析】求出x＝1时的导数值，即可求得切线方程． 【解答】解：y′＝5， 所以x＝1时，y′＝5+8＝13， 所以切线方程斜率为13， 设切线方程为y＝13x+b，则5＝13+b， 所以b＝﹣8， 所以切线方程为y＝13x﹣8． 故选：D． 【点评】本题主要考查了切线的斜率，属于基础题． 3．已知复数z满足，则z＝（　　） A．i B．﹣i C．1+i D．1﹣i 【分析】设z＝a+bi，a，b∈R，根据共轭复数结合复数运算求解即可． 【解答】解：设z＝a+bi，a，b∈R，则， 可得， 2i（1﹣z）＝2i﹣2iz＝2i﹣2i（a+bi）＝2b+（2﹣2a）i， 可得，解得，所以z＝1+i． 故选：C． 【点评】本题考查复数的运算，属于基础题． 4．已知x∈R，向量，且，则在上的投影向量为（　　） A． B．5 C．（1，2） D．（2，﹣1） 【分析】根据已知条件，先求出x，再结合投影向量的公式，即可求解． 【解答】解：，且， 则2x﹣2＝0，解得x＝1， 故， 在上的投影向量为：（1，2）． 故选：C． 【点评】本题主要考查投影向量的公式，属于基础题． 5．已知等差数列{an}的首项为1，且a3，a5+1，2a6成等比数列，则数列{（﹣1）nan}的前2025项和为（　　） A．﹣1013 B．﹣505 C．505 D．1013 【分析】利用给定条件结合分类讨论确定公差，再将目标数列求出，利用并项求和法求和即可． 【解答】解：设等差数列{an}的公差为d， 由a3，a5+1，2a6成等比数列，得， 即（1+4d+1）2＝（1+2d）×2（1+5d）， 解得d＝1或， 当时，得， 与a3，a5+1，2a6成等比数列矛盾； 当d＝1时，得an＝1+（n﹣1）×1＝n，令， 可得前2025项和为﹣1+2﹣3+4+…+2024﹣2025 ＝（﹣1+2）+（﹣3+4）﹣2025＝1012×1﹣2025＝﹣1013． 故选：A． 【点评】本题考查等差数列与等比数列的综合题，考查运算求解能力，是中档题． 6．灯笼起源于中国的西汉时期，两千多年来，每逢春节人们便会挂起象征美好团圆意义的红灯笼，营造一种喜庆的氛围．如图1，某球形灯笼的轮廓由三部分组成，上下两部分是两个相同的圆柱的侧面，中间是球面的一部分（除去两个球缺）．如图2，“球缺”是指一个球被平面所截后剩下的部分，截得的圆面叫做球缺的底，垂直于截面的球半径被截得的一段叫做球缺的高．已知球缺的体积公式为，其中R是球的半径，h是球缺的高．已知该灯笼的高为40cm，圆柱的高为4cm，圆柱的底面圆直径为24cm，则该灯笼的体积为（取π＝3）（　　） A．32000cm3 B．33664cm3 C．33792cm3 D．35456cm3 【分析】根据空间几何体的体积公式即可求解． 【解答】解：由题意得， 解得R＝20cm，h＝20﹣16＝4cm， 所以两个球缺的体积之和为， 因为取π＝3， 所以2V＝1792cm3， 所以中间部分的体积为30208cm3， 因为上下两个圆柱的体积之和为2π×122×4＝2×3×144×4＝3456， 所以围成该灯笼的体积为30208+3456＝33664cm3． 故选：B． 【点评】本题考查几何体的体积计算问题，属于中档题． 7．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过F作直线交抛物线C于A，B两点，过A，B分别作准线l的垂线，垂足分别为M，N，若△AFM和△BFN的面积分别为8和4，则△MFN的面积为（　　） A．32 B．16 C． D．8 【分析】直线代入抛物线方程，利用韦达定理，计算S△AMF，S△BNF，相乘化简可得，由三角形面积公式即可求解． 【解答】解：设直线， 代入抛物线方程，消元可得y2﹣2pmy﹣p2＝0， 设A（x1，y1），B（x2，y2），则， ， ， ∴ ， ∴， ∴． 故选：C． 【点评】本题考查了抛物线的性质，属于中档题． 8．已知函数f（x），g（x）的定义域均为R，f（x+1）是奇函数，且f（1﹣x）+g（x+1）＝4，f（x）+g（x﹣2）＝4，则下列结论正确的是（　　） A．f（x）为奇函数 B．g（x）为奇函数 C． D． 【分析】根据f（x+1）是奇函数及f（1﹣x）+g（x+1）＝4，得g（x）＝4+f（x），根据f（x）+g（x﹣2）＝4，从而可得f（x）为偶函数，且g（x）＝4+f（x）也为偶函数，从而判断A，B项；由g（x）＝4+f（x），得f（x）﹣g（x）＝﹣4，再求和即可判断C项；根据已知关系可得函数f（x）的周期为4，且f（x+2）+f（x）＝0，从而，结合g（x）+f（x）＝4+2f（x）代入求和即可判断D项． 【解答】解：因为f（x+1）是奇函数， 所以f（x+1）+f（1﹣x）＝0，f（1）＝0，所以f（x+2）+f（﹣x）＝0． 因为f（1﹣x）+g（x+1）＝4， 所以g（x+2）＝4﹣f（﹣x）＝4+f（x+2），所以g（x）＝4+f（x）． 因为f（x）+g（x﹣2）＝4，所以g（x）＝4﹣f（x+2）， 所以f（x+2）＝﹣f（x），又f（x+2）+f（﹣x）＝0， 所以f（x）＝f（﹣x），所以f（x）为偶函数， 又f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），所以函数f（x）的周期为4． 则g（x）＝4+f（x）也为偶函数，故A，B项错误． 由g（x）＝4+f（x），得f（x）﹣g（x）＝﹣4， 所以，故C项错误． 因为f（x+2）+f（x）＝0， 所以f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝0． 因为g（x）＝4+f（x），所以g（x）+f（x）＝4+2f（x）， 所以， 因为，所以，故D正确． 故选：D． 【点评】本题考查抽象函数的性质，属中档题． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 （多选）9．下列说法正确的是（　　） A．某射击运动员在一次训练中10次射击成绩（单位：环）如下：6，5，7，9，6，8，9，9，7，5，这组数据的第70百分位数为8 B．对于随机事件A与B，若，P（B|A）＝0.7，则事件A与B独立 C．若随机变量X～B（6，p），E（X）＝4.8，若P（X＝k）最大，则D（kX+1）＝24 D．设随机变量ξ服从正态分布N（0，1），若P（ξ＞1）＝p，则 【分析】对于A，利用百分位数的定义判断即可；对于B，利用对立事件和条件概率的公式，结合独立事件的定义判断即可；对于C，根据随机变量的均值与方差公式，结合二项分布的概率公式求解即可；对于D，利用正态曲线的特点判断即可． 【解答】解：对于A，把数据从小到大排列为：5，5，6，6，7，7，8，9，9，9，因为10×70%＝7， 则这组数据的第70百分位数为，故A错误； 对于B，，又，所以P（AB）＝P（A）P（B），即事件A与B相互独立，故B正确； 对于C，因为随机变量X～B（6，p），所以E（X）＝np＝6p＝4.8，故p＝0.8，又，当P（X＝k）最大时，k＝5； 又D（X）＝np（1﹣p）＝6×0.8×（1﹣0.8）＝0.96， 此时D（kX+1）＝D（5X+1）＝52×D（X）＝25×0.96＝24，故C正确； 对于D，因为随机变量ξ服从正态分布N（0，1），所以正态曲线关于直线ξ＝0对称，又因为P（ξ＞1）＝p，所以P（ξ＜﹣1）＝p，所以，故D正确． 故选：BCD． 【点评】本题主要考查概率的知识，属于基础题． （多选）10．已知函数f（x）＝x3﹣3ax+b，则（　　） A．f（x）一定有零点 B．曲线y＝f（x）与直线y＝x+b恒有3个交点 C．若f（x）有3个零点，则它们的和为0 D．曲线y＝f（x）上始终存在中心和4个顶点都在其上的菱形 【分析】对于A，运用零点存在定理即可证明； 对于B，联立得到方程，将条件转化为方程有三个解，讨论方程的解的个数即可； 对于C，设出零点，将函数写成因式乘积的形式，展开与原函数对应系数相等即可； 对于D，求出函数的对称中心，利用菱形的对角线性质转化为直线和函数的交点个数问题． 【解答】解：对于A，若当x→+∞，f（x）→+∞，当x→﹣∞，f（x）→﹣∞， 根据零点存在定理，至少存在一个x0∈R，使得f（x0）＝0，故A正确； 对于B，若曲线y＝f（x）与直线y＝x+b恒有3个交点， 则f（x）＝x+b有三个根，整理得x3﹣（3a+1）x＝0， 解得x＝0或x2＝3a+1， 当3a+1≤0，即，此时只有一根，为x＝0； 当3a+1＞0，即，此时有三个根，为x＝0，x＝±，故B错误； 对于C，若f（x）有3个零点，设三个零点分别为x1，x2，x3， 则f（x）＝（x﹣x1）（x﹣x2）（x﹣x3） ， 又因为f（x）＝x3﹣3ax+b，系数对应相等， 则有x1+x2+x3＝0，故C正确； 对于D，因为f（x）+f（﹣x）＝x3﹣3ax+b+（﹣x）3+3ax+b＝2b， 所以f（x）关于点M（0，b）对称， 若对于任意的a总存在直线y＝kx+b与函数f（x）交于三个点A，M，C， 同时与函数f（x）交于三个点B，M，D， 此时根据对称性得AC⊥BD且相互平分， 所以四边形ABCD为菱形． 联立，整理得x3﹣（3a+k）x＝x[x2﹣（3a+k）]＝0， 因为M（0，b）， 所以x2﹣（3a+k）＝0，即x2＝（3a+k）要有两个解， 所以3a+k＞0， 同理，得到， 若a＝0，则有k＞0且，两个不等式矛盾，所以D错误． 故选：AC． 【点评】本题考查了函数与方程思想、转化思想，考查了函数的零点及对称性，属于中档题． （多选）11．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2.过F2的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点．△AF1F2的内心为I1，△BF1F2的内心为I2，则下列说法正确的有（　　） A．双曲线的离心率为2 B．直线AB的斜率的取值范围为 C．|I1I2|的取值范围为 D． 【分析】由条件得到双曲线中的a，b，c，计算离心率可得选项A正确； 根据直线AB过右焦点且与双曲线右支交于两点可找到直线与渐近线的关系，得到选项B正确； 利用切线长定理和双曲线定义可得内切圆与x轴切点，利用内切圆圆心为角平分线交点得到角之间的关系，表示|I1I2|，可得选项C错误； 利用内切圆性质转化角，表示正切值，可得选项D正确． 【解答】解：由题意得，，则c＝2，F1（﹣2，0），F2（2，0）． A选项，离心率，A正确； B选项，双曲线渐近线方程为，倾斜角分别为， 由过F2的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点可知直线AB的倾斜角， 故直线AB斜率的取值范围为，B正确； C选项，设圆I1与△AF1F2的三边分别切于点C，D，E，E（t，0）． 根据切线长定理得，|AC|＝|AD|，|F2C|＝|F2E|，|F1D|＝|F1E|． 由双曲线定义得，（|AD|+|F1D|）﹣（|AC|+|F2C|）＝|F1D|﹣|F2C|＝2， 因此|F1E|﹣|F2E|＝（c+t）﹣（c﹣t）＝2，解得t＝1，即E（1，0）， 因此圆I1切x轴于双曲线的右顶点处，同理圆I2也切x轴于双曲线的右顶点处． 由t＝1得，|EF2|＝1，|EF1|＝3． 设， 由I1F2，I2F2分别为∠AF2F1，∠BF2F1的平分线得， 因此， 由得，，故，C错误； D选项，由内切圆性质得，I1E⊥F1F2，I1F1，I1F2分别为∠AF1F2，∠AF2F1的平分线， 因此， 因此， 因此，D正确． 故选：ABD． 【点评】本题考查直线与双曲线的综合，属于中档题． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。 12．函数f（x）＝sin（2x+φ）的图象向左平移个单位得到函数g（x）的图象，若函数g（x）是偶函数，则tanφ＝　　 ． 【分析】根据函数图象的平移可得，进而根据偶函数即可求解，进而可求解． 【解答】解：， 由于g（x）是偶函数，所以，故， 所以． 故答案为：． 【点评】本题考查的知识点：函数的图象的平移变换，函数的性质，主要考查学生的运算能力，属于中档题． 13．已知直线y＝ax与曲线相切，则实数a的值为　　 ． 【分析】设切点坐标，求导数表示斜率，结合切线过原点可计算切点横坐标，进而算出a的值． 【解答】解：设切点为， 由题意可得，故切线斜率， 由直线y＝ax可知切线过（0，0），故， 所以，解得x0＝2， 所以． 故答案为：． 【点评】本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查运算求解能力，属于中档题． 14．某人有两把雨伞用于上下班，如果一天上班时他在家而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把去办公室，如果一天下班时他在办公室而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把回家．如果天不下雨，那么他不带雨伞．假设每天上班和下班时下雨的概率均为，不下雨的概率均为，且与过去情况相互独立．现在两把雨伞均在家里，那么连续上班两天，他至少有一天淋雨的概率为 　　 ． 【分析】计算对立事件的概率，从下雨次数入手分类讨论计算两天都不淋雨的概率，即可得到至少有一天淋雨的概率． 【解答】解：每天上班和下班时下雨的概率均为，不下雨的概率均为， 且与过去情况相互独立．现在两把雨伞均在家里， “至少有一天淋雨”的对立事件为“两天都不淋雨”． 连续上班两天，上班、下班的次数共4次． （1）4次均不下雨，概率为：． （2）有1次下雨但不被淋雨，则第一天或第二天上班时下雨，概率为：． （3）有2次下雨但不被淋雨，共3种情况： ①同一天上下班均下雨，②两天上班时下雨，下班时不下雨， ③第一天上班时下雨，下班时不下雨，第二天上班时不下雨，下班时下雨， 概率为：． （4）有3次下雨但不被淋雨，则第一天或第二天下班时不下雨， 概率为：． （5）4次均下雨：． 两天都不淋雨的概率为：， 至少有一天淋雨的概率为：． 故答案为：． 【点评】本题考查对立事件的概率、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（2a﹣c）cosB﹣bcosC＝0． （1）求B； （2）已知，求的最大值． 【分析】（1）由题意及正弦定理可得cosB的值，再由角B的范围，可得角B的大小； （2）由正弦定理的a，c的表达式，再由三角形内角和定理及辅助角公式，可得a+2c的表达式，进而可求出它的最大值． 【解答】解：（1）因为（2a﹣c）cosB﹣bcosC＝0，由正弦定理可得（2sinA﹣sinC）cosB﹣sinBcosC＝0， 即2sinAcosB＝sinCcosB+sinBcosC＝sin（B+C）， 在三角形中，sin（B+C）＝sinA＞0， 所以cosB， 又因为B∈（0，π）， 所以B； （2）B，b， 由正弦定理可得2， 所以a＝2sinA，c＝2sinC， 所以a+2c＝sinA+4sinC＝sin（C）+4sinC cosCsinC+4sinCcosCsinC sin（C+φ），tanφ，所以φ∈（0，） 所以sinφ， 因为C∈（0，）， 所以当C+φ，即Cφ， 即cosC＝cos（φ）＝sinφ时，sin（C+φ）取到最大值1， 所以a+2c的最大值为． 【点评】本题考查正弦定理及辅助角公式的应用，属于中档题． 16．（本小题满分15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥AB，PB＝PD，底面ABCD是边长为的菱形，． （1）证明：平面PAC⊥平面ABCD； （2）若平面PAB与平面ABCD所成角的正切值为2，点Q满足，求直线CP与平面ABQ所成角的余弦值． 【分析】（1）连接BD交AC于点O，连接PO，易得BD⊥AC，PO⊥BD进而可得线面垂直，然后根据面面垂直判定定理即得； （2）建系，求得平面法向量及直线方向向量，代入夹角公式即可． 【解答】解：（1）证明：连接BD交AC于点O，连接PO， 因为ABCD是菱形，所以BD⊥AC， 又因为O为BD的中点，PD＝PB，所以PO⊥BD， 又AC，PO⊂面APC，且AC∩PO＝O，所以BD⊥平面APC， 又BD⊂平面ABCD，所以平面PAC⊥平面ABCD； （2）过P作PH⊥AC交AC于点H，面APC⊥面ABCD，PH⊥AC， 面APC∩面ABCD＝AC，PH⊂面APC，所以PH⊥面ABCD， 因为AB⊥PD，AB⊥PH，PH，PD⊂面PHD，PH∩PD＝P，所以AB⊥面PHD， 又DH⊂面PHD，所以AB⊥DH， 所以H为DH，AO的交点，△ABD为等边三角形， 所以H为△ABD的重心， 设DH与AB交点为M，连接PM，则∠PMH为二面角P﹣AB﹣D的平面角， 因为，在△PMH中，解得PH＝1， 因为，所以OQ∥PH，所以OQ⊥平面ABCD， 以O为原点，OB，OC，OQ所在直线为x，y，z轴建立如图坐标系， 则， ， 设平面ABQ的法向量为， 则，则，即， 令y＝1，可得：， 即，又， 设平面ABQ和直线CP所成的角为θ， 则， 所以． 【点评】本题考查面面垂直的判定，以及向量法的应用，属于中档题． 17．（本小题满分15分）已知函数f（x）＝ae2x+x+1（a＜0）． （1）当a＝﹣1时，求函数y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程； （2）求函数f（x）的单调区间； （3）若不等式f（x）+（a+2）ex≤0恒成立，求整数a的最大值． 【分析】（1）求导确定切线斜率即可求解； （2）求导，由f′（x）＞0，f′（x）＜0可求得单调区间； （3）构造函数h（x）＝x+ae2x+（a+2）ex+1，x∈R，求导，确定函数单调性，求得最值即可求解． 【解答】解：（1）f（x）＝ae2x+x+1定义域为R，f′（x）＝2ae2x+1， 当a＝﹣1时，f′（0）＝﹣1，f（0）＝0， 则曲线f（x）在点（0，f（0））处的切线为y＝﹣x． （2）因为f′（x）＝1+2ae2x， a＜0时，由f′（x）＞0，得，令f′（x）＜0，得， 所以f（x）在上单调递增，在上单调递减． 综上，f（x）的单调递减区间为，单调递增区间为； （3）依题知，f（x）+（a+2）ex≤0恒成立，即ae2x+x+1+（a+2）ex≤0恒成立， 设h（x）＝x+ae2x+（a+2）ex+1， 则h′（x）＝1+2ae2x+（a+2）ex＝（aex+1）（2ex+1）， 当a＜0时，由h′（x）＞0，得，h（x）单调递增，由h′（x）＜0，得，h（x）单调递减， 则恒成立， 整理得． 设，则恒成立，所以m（x）在（﹣∞，0）上单调递增， 又a∈Z，且 故整数a的最大值为﹣2． 【点评】本题主要考查了导数与单调性关系的应用，还考查了由不等式恒成立求解参数范围，属于中档题． 18．（本小题满分17分）已知A，B分别是椭圆的左，右顶点，动点T满足TA⊥TB，过T作TH⊥AB于H，线段TH交椭圆Γ于点M；过A作AN⊥AT，交椭圆Γ于点N． （1）设直线AN，BM的斜率分别为k1，k2，求的值； （2）求证：直线MN过定点； （3）设线段MN的垂直平分线交椭圆Γ于P、Q两点，若MP⊥MQ，求MN的斜率． 【分析】（1）设点M（2cosθ，sinθ），则T（2cosθ，2sinθ），根据已知条件得出kANkAT＝﹣1，可得出，结合斜率公式可求出的值； （2）设点M（x1，y1）、N（x2，y2），设直线MN的方程为x＝my+n，设直线BM的方程为y＝k（x﹣2），则直线AN的方程为y＝2k（x+2），分析可得8y1y2＝﹣（x1﹣2）（x2﹣2），将直线MN的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，代入8y1y2＝﹣（x1﹣2）（x2﹣2）化简可求出n的值，即可得出直线MN所过定点的坐标； （3）设线段MN的中点为R（c，d），设直线MN的方程为y＝t1（x﹣c）+d，设直线PQ的方程为y＝t2（x﹣c）+d，将直线MN的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，求出|RP|•|RQ|，进而可得出|MR|•|NR|＝|PR|•|QR|，可得出四点M、P、N、Q共圆，由此得出，结合t1t2＝﹣1可得出t1的值，即为所求． 【解答】解：（1）因为TA⊥TB，则， 故点T的轨迹方程为x2+y2＝4（y≠0）， 设点M（2cosθ，sinθ），则T（2cosθ，2sinθ）， 易知点A（﹣2，0）、B（2，0）， 因为TA⊥TB，AN⊥AT，所以kANkAT＝﹣1， 所以 ； （2）证明：设点M（x1，y1）、N（x2，y2）， 设直线MN的方程为x＝my+n， 设直线BM的方程为y＝k（x﹣2），则y1＝k（x1﹣2）， 则直线AN的方程为y＝2k（x+2），则y2＝2k（x2+2）， 易知k≠0，则2y1（x2+2）＝y2（x1﹣2）， 由得， 可得8y1y2＝﹣（x1﹣2）（x2﹣2）， 即， 联立得（m2+4）y2+2mny+n2﹣4＝0， 所以，， 代入①式得（m2+8）（n2﹣4）﹣2m（n﹣2）mn+（n﹣2）2（m2+4）＝0， 即（n﹣2）（12n+8）＝0，解得n＝2（舍去）或， 即直线MN的方程为， 故直线MN过定点； （3）易知直线MN、PQ的斜率都存在，设线段MN的中点为R（c，d）， 设直线MN的方程为y＝t1（x﹣c）+d， 设直线PQ的方程为y＝t2（x﹣c）+d， 联立， 化简得， 所以，， 则 ， 同理可得， 因为PQ为线段MN的中垂线，且PM⊥MQ，记PQ∩MN＝R， 在Rt△PQM中，|MR|2＝|PR|•|QR|，所以|MR|•|NR|＝|PR|•|QR|， 所以四点M、P、N、Q共圆，且c2+4d2﹣4≠0， 则，化简得，又t1t2＝﹣1， 所以t1＝±1． 【点评】本题考查了椭圆的方程和性质，直线与椭圆的位置关系，椭圆中的定点问题，属于难题． 19．（本小题满分17分）已知数列a1，a2，⋯，an为严格单调递增的正整数数列，{a1，a2，⋯，an}的子集有2n个，分别计算每个子集的元素和得到（规定空集元素和为0），已知． （1）求的最小值； （2）求方差的最小值； （3）求证：⋯． 【分析】（1）由题意可得，则有，当且仅当时，取最小； （2）由方差定义可得，设，则，再借助方差公式合理放缩并计算即可得； （3）结合二项式定理可得对中，出现含有ai的子集的个数都为2n﹣1，对，出现项的次数为2n﹣1，出现aiaj项的次数也为2n﹣1，则可表示出，再结合（2）中所得进行计算并化简即可得证． 【解答】（1）解：由集合中元素最多的子集为该集合本身，元素最少的子集为空集， 则， 又数列a1，a2，⋯，an为严格单调递增的正整数数列， 故， 当集合时， 有， 故的最小值为2n﹣1； （2）解：设的平均数为，方差为D， 则， 设，则， 且有， 则 ， 由（n+1）3﹣n3＝3n2+3n+1，则n3﹣（n﹣1）3＝3（n﹣1）2+3（n﹣1）+1， （n﹣1）3﹣（n﹣2）3＝3（n﹣2）2+3（n﹣2）+1，⋯，23﹣13＝3+3+1， 累加得，化简得， 则 ， 故当时，的方差有最小值； （3）证明：对于n个元素的集合{a1，a2，⋯，an}共有2n个子集， 且集合元素之和分别为， 则含有元素a1的子集个数为， 同理，对任意的i（i＝1，2，⋯，2n），含有ai的子集的个数都为2n﹣1， 故， 同理，对于， 出现项的次数为， 则对任意的i（i＝1，2，⋯，2n），含有的个数都为2n﹣1， 出现a1a2项的次数为， 则对任意的i，j（i，j＝1，2，⋯，2n，i≠j），含有aiaj的个数都为2n﹣1， 则 ， ， 故 ， 则，即得证． 【点评】本题考查数列的应用与“K数列”的新定义，属于难题． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/8/19 10:10:50；用户：15972902576；邮箱：15972902576；学号：21498003 学科网（北京）股份有限公司 $