精品解析：湖北省圆创教育联盟2026届高三11月阶段性训练（期中）数学试题

2026届高三年级阶段训练 数学 本试卷共4页，19题.满分150分.考试用时120分钟. ★祝考试顺利★ 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知可得，结合复数的除法运算化简可得结论. 【详解】因为， 所以， 故选：D. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先解一元二次不等式求出集合，再利用交集的定义求解即可. 【详解】由，解得，则， 因为，所以，故A正确. 故选：A 3. 已知函数有极值，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由题设得有变号零点，再等价转化为有两个不同的实数根即可求解. 【详解】由题可得有变号零点， 有两个不同的实数根， 所以或. 所以满足题意的a的取值范围是. 故选：C 4. 函数的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. -2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】利用两角和的余弦值公式、二倍角公式以及辅助角公式化简函数 ，结合正弦函数的最值即可求解. 【详解】因为， 当，即时，， 所以的最大值为2. 故选：B 5. 已知函数，则（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 的图象关于点对称 C. 的图象关于点对称 D. 的图象关于直线对称 【答案】C 【解析】 【分析】根据对称性定义计算判断各个选项． 【详解】对于A选项，若的图象关于直线对称，则，而，，二者不相等，故A错误； 对于B选项，若的图象关于点对称，则， 而，故B错误” 而， 所以的图象关于点对称，C选项正确，D选项错误． 故选：C． 6. 设抛物线的焦点为，不经过的直线与交于、两点，与轴交于点.点的坐标为，且与、的面积之比是，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出图形，结合图形得出，求出的值，即可求出的值. 【详解】由题意可知，抛物线的焦点为，准线为直线，如下图所示： ，又因为，故， 故选：B. 7. 设集合，那么集合中满足条件“”的元素个数为（ ） A. 15 B. 35 C. 40 D. 45 【答案】D 【解析】 【分析】设中，有个，个，则可得，再分、及进行讨论即可得. 【详解】设中，有个，个，则有个， 则需，解得， 则当时，，共有种情况； 则当时，，共有种情况； 则当时，，共有种情况； 故共有种情况， 即集合中满足条件“”的元素个数为. 故选：D. 8. 一个封闭的直棱柱形容器（容器壁厚度忽略不计），其侧面展开图为一长cm，宽1cm的矩形，容器中放一小球，则该小球半径的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由高度限制得出小球半径不超过，再探究底面内切圆的半径与的关系. 【详解】由题棱体高为1，则小球半径不超过， 当底面为正六边形时，其边长为，内切圆半径为， 所以该小球半径的最大值为， 故选：B. 二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在中，，则的值可以是（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】借助正弦定理可表示，再计算出的范围表示出的范围即可得解. 【详解】由正弦定理可得， 由，则，故， 则，由，且， 故选项中可为、、，故B、C、D正确，A错误. 故选：BCD. 10. 设是两个非零向量、的夹角，若对任意实数，的最小值为，则下列结论中正确的是（ ） A. 若确定，则唯一确定 B. 若确定，则唯一确定 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】设，结合二次函数的基本性质化简得出，逐项判断即可. 【详解】设，则恒成立， 当时，取得最小值， 此时， 化简得， 所以当确定，唯一确定，A对； 当确定时，的值不一定只有一个，B错； 当时，，解得，C对； 当时，因为，所以，故或，D错. 故选：AC. 11. 在长方体中，分别为AB、D的中点，经过C，E，F三点的平面将已知长方体分成两部分，则（ ） A. 截面的形状为四边形 B. 截面面积为 C. 点A到截面的距离为 D. 截面分长方体所得两部分中，较小部分与较大部分的体积之比为7:29 【答案】ABD 【解析】 【分析】结合长方体的底面长方形的性质，作出截面，判断A；根据三角形面积公式及相似三角形面积关系，求得截面的面积，判断B；根据等体积法求得点A到截面的距离，判断C；根据三棱锥的体积公式及相似求得截面分得的较小部分（棱台）的体积，利用长方体的体积求得较大部分的体积，从而得到体积之比，以判断D. 【详解】对于A，如图所示，分别延长，交于点G，因为，所以，. 连接，并延长，分别交于点,连接，则四边形是经过C，E，F三点的长方体的截面，形状为四边形，故A正确； 对于B，因为，所以. 由A，得,且. 取的中点，连接，则为梯形的中位线，所以. 所以. 所以. ，. 所以， 所以. 所以. 所以截面的面积等于，所以选项B正确； 对于C，由B得，. 因为，所以点A到截面的距离，所以C错误； 对于D，由C知. 因为长方体的体积为，所以较大部分的体积等于. 故截面分长方体所得两部分中，较小部分与较大部分的体积之比为7:29，所以D正确. 故选：ABD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等差数列的各项均为正数，若，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】设公差，借助等差数列基本量计算即可得. 【详解】设等差数列的公差为， 则有，即， 化简得，解得或， 又等差数列的各项均为正数，故，故， 则. 故答案为：. 13. 已知双曲线Γ：，P为Γ的左顶点，过Γ的左焦点F作斜率为1的直线交Γ于A、B两点，若的面积为，则Γ的离心率为_______. 【答案】 【解析】 【分析】联立与双曲线方程，由弦长公式算出，由距离公式得出到的距离,则可表示出，结合双曲线中入消去，得到关于的二次式，同除以即可得关于的一元二次方程，求解即可. 【详解】，则直线方程为，联立双曲线方程，消去，得. 设，则． 所以． 到的距离, 所以， 代入化简得， 所以， 所以（负值舍去）． 故答案为：. 14. 已知函数，点、在函数的图象上，且分别位于第一、三象限.设线段的长度取最小值时点的横坐标为，则 _______. 【答案】 【解析】 【分析】分析出函数为奇函数且在第一象限为下凸函数，作出图象，记点关于原点的对称点为，线段的中点为，连接交函数在第一象限内的图象于点，结合两点间的距离公式得出，设，，利用函数的最值与导数的关系可求出的值. 【详解】函数的定义域为，令， ，故函数为奇函数， 当时，，则， 所以函数在第一象限为下凸函数，函数的图象如下图所示： 记点关于原点的对称点为， 线段的中点为， 因为、、都在第一象限， 连接交函数在第一象限内的图象于点， 所以， 设，所以， 设， 则， 令，则有， 因为，解得，即， 由题意可知，当时，，即函数在上单调递减， 当时，，即函数在上单调递增， 故函数在处取得极小值，亦即最小值，故. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知某品牌新能源汽车的电池使用寿命（单位：年）服从正态分布，其质保政策规定：电池寿命低于年可免费更换. （1）求任意一辆该品牌汽车享受免费更换电池的概率（精确到）； （2）某出租车公司购买了辆该品牌汽车，记为免费享受更换的车辆数，利用（1）的结果，求的分布列和数学期望. 附：若随机变量服从正态分布，则. 【答案】（1） （2） 分布列为. 【解析】 【分析】（1）由已知得出，结合正态分布可得出任意一辆该品牌汽车享受免费更换电池的概率； （2）分析可知，由二项分布的期望公式可得出的值，利用二项分布的分布列可得出随机变量的分布列. 【小问1详解】 因为，，则， 所以任意一辆该品牌汽车享受免费更换电池的概率为 . 【小问2详解】 因为每辆车是否更换相互独立，且概率为，由题意可知， 由二项分布的期望公式可得， 分布列为. 16. 如图，在四面体中，，，，、分别为、的中点. （1）证明：； （2）若二面角为，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）取的中点，连接、， 因为、分别为、的中点，所以， 因为，即，所以，同理可证， 因为，、平面，故平面， 因为平面，故. （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接、，证明出平面，即可证得结论成立； （2）构造直棱柱，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴，平面内过点且垂直于的直线为轴建立空间直角坐标系，由二面角的定义可得，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 构造直棱柱如图所示，则，因为，则， 因为，，、平面，所以平面， 以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴， 平面内过点且垂直于的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 因为平面平面，，， 所以二面角的平面角为，则， 因为，，则， 又因为，所以， 所以、、、， 因为、分别为、的中点，所以、， 所以， 设平面的一个法向量为，，， 则，取，可得， 所以， 因此直线与平面所成角的正弦值为. 17. 已知函数，其中为常数. （1）当时，求在区间上的最值； （2）若在区间上有且仅有一个极值点，求的取值范围. 【答案】（1）最大值为，最小值为 （2） 【解析】 【分析】（1）当时，利用导数分析函数在区间上的单调性，即可求出函数在区间上的最小值和最大值； （2）由题意得在上有且只有一个变号零点，由可得，设，其中，分析函数在上的单调性，并求其值域，即可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 当时，，则， 当时，， 当时，，则，可得， 当时，，则，可得， 所以，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 因为，，故. 因此在区间上的最大值为，最小值为. 【小问2详解】 由题意得在上有且只有一个变号零点， 由可得， 设，其中， 因为 ， 因为，则， 因为内层函数在上单调递减，外层函数在上单调递增， 所以函数在上单调递减， 当时，，故，即实数的取值范围是. 18. 已知、分别是椭圆的左、右顶点，动点满足，过作于，线段交椭圆于点；过作，交椭圆于点. （1）设直线、的斜率分别为、，求的值； （2）求证：直线过定点； （3）设线段的垂直平分线交椭圆于、两点，若，求直线的斜率. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）设点，则，根据已知条件得出，可得出，结合斜率公式可求出的值； （2）设点、，设直线的方程为，设直线的方程为，则直线的方程为，分析可得，将直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，代入化简可求出的值，即可得出直线所过定点的坐标； （3）设线段的中点为，设直线的方程为，设直线的方程为，将直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，求出，进而可得出，可得出四点、、、共圆，由此得出，结合可得出的值，即为所求. 【小问1详解】 因为，则，故点的轨迹方程为， 设点，则，易知点、， 因为，，所以， 所以 . 【小问2详解】 设点、，设直线的方程为， 设直线的方程为，则， 则直线的方程为，则， 易知，则， 由得， 可得， 即①， 联立得， 由韦达定理可得，， 代入①式得，即， 解得（舍去）或，即直线的方程为， 故直线过定点. 【小问3详解】 易知直线、的斜率都存在，设线段的中点为， 设直线的方程为，设直线的方程为， 联立得， 由韦达定理可得，， 则 ， 同理可得， 因为为线段的中垂线，且，记， 在中，，所以， 所以四点、、、共圆，且， 则，化简得， 又因为，故. 19. 已知数列，为严格单调递增的正整数数列，的子集有个，分别计算每个子集的元素和得到（规定空集元素和为0)，已知. （1）求的最小值； （2）求的方差的最小值； （3）求证：. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题意可得，，则有，当且仅当时，取最小； （2）由方差定义可得，设，则，，再借助方差公式合理放缩并计算即可得； （3）结合二项式定理可得对中，出现含有的子集的个数都为，对，出现项的次数为，出现项的次数也为，则可表示出、，再结合（2）中所得进行计算并化简即可得证. 【小问1详解】 由集合中元素最多的子集为该集合本身，元素最少的子集为空集， 则，， 又数列为严格单调递增的正整数数列， 故、、、， 当集合时， 有， 故的最小值为； 【小问2详解】 设的平均数为，方差为， 则，， 设，，则， 且有，， 则 ， 由，则， ，，， 累加得，化简得， 则 ， 故当时，的方差有最小值； 【小问3详解】 对于个元素的集合共有个子集， 且集合元素之和分别为， 则含有元素的子集个数为， 同理，对任意的，含有的子集的个数都为， 故， 同理，对于， 出现项的次数为， 则对任意的，含有的个数都为， 出现项的次数为， 则对任意的，含有的个数都为， 则 ， 又 ， 故 ， 则，即得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三年级阶段训练 数学 本试卷共4页，19题.满分150分.考试用时120分钟. ★祝考试顺利★ 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数有极值，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 函数的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. -2 D. 3 5. 已知函数，则（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 的图象关于点对称 C. 的图象关于点对称 D. 的图象关于直线对称 6. 设抛物线的焦点为，不经过的直线与交于、两点，与轴交于点.点的坐标为，且与、的面积之比是，则（ ） A. B. C. D. 7. 设集合，那么集合中满足条件“”的元素个数为（ ） A. 15 B. 35 C. 40 D. 45 8. 一个封闭的直棱柱形容器（容器壁厚度忽略不计），其侧面展开图为一长cm，宽1cm的矩形，容器中放一小球，则该小球半径的最大值为（ ） A. B. C. D. 二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在中，，则的值可以是（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 10. 设是两个非零向量、的夹角，若对任意实数，的最小值为，则下列结论中正确的是（ ） A. 若确定，则唯一确定 B. 若确定，则唯一确定 C. 若，则 D. 若，则 11. 在长方体中，分别为AB、D的中点，经过C，E，F三点的平面将已知长方体分成两部分，则（ ） A. 截面的形状为四边形 B. 截面面积为 C. 点A到截面的距离为 D. 截面分长方体所得两部分中，较小部分与较大部分的体积之比为7:29 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等差数列的各项均为正数，若，则_______. 13. 已知双曲线Γ：，P为Γ的左顶点，过Γ的左焦点F作斜率为1的直线交Γ于A、B两点，若的面积为，则Γ的离心率为_______. 14. 已知函数，点、在函数的图象上，且分别位于第一、三象限.设线段的长度取最小值时点的横坐标为，则 _______. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知某品牌新能源汽车的电池使用寿命（单位：年）服从正态分布，其质保政策规定：电池寿命低于年可免费更换. （1）求任意一辆该品牌汽车享受免费更换电池的概率（精确到）； （2）某出租车公司购买了辆该品牌汽车，记为免费享受更换的车辆数，利用（1）的结果，求的分布列和数学期望. 附：若随机变量服从正态分布，则. 16. 如图，在四面体中，，，，、分别为、的中点. （1）证明：； （2）若二面角为，求直线与平面所成角的正弦值. 17. 已知函数，其中为常数. （1）当时，求在区间上的最值； （2）若在区间上有且仅有一个极值点，求的取值范围. 18. 已知、分别是椭圆的左、右顶点，动点满足，过作于，线段交椭圆于点；过作，交椭圆于点. （1）设直线、的斜率分别为、，求的值； （2）求证：直线过定点； （3）设线段的垂直平分线交椭圆于、两点，若，求直线的斜率. 19. 已知数列，为严格单调递增的正整数数列，的子集有个，分别计算每个子集的元素和得到（规定空集元素和为0)，已知. （1）求的最小值； （2）求的方差的最小值； （3）求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $