江苏省南通市崇川区2026-2027学年上学期九年级数学第一次阶段练习卷

江苏省南通市崇川区2026-2027学年上学期九年级数学第一次阶段练习卷 本卷满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）（2026·上海虹口·一模）已知（为常数）是二次函数，那么的值是（   ） A．3 B． C． D．3或 2．（本题3分）（24-25九年级上·安徽淮北·期末）将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线的表达式是（   ） A． B． C． D． 3．（本题3分）（23-24九年级上·福建厦门·期末）已知为实数，抛物线与轴的交点情况是（   ） A．没有交点 B．只有一个交点 C．有两个不同的交点 D．无法判断有没有交点 4．（本题3分）（25-26九年级上·河南漯河·期末）已知三点在抛物线上，则的大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（本题3分）（24-25九年级下·上海·阶段检测）下列命题中正确的是（　　） A．相等的圆心角所对的弦相等 B．相等弦所对的圆心角相等 C．同圆中，相等弦所对的弧相等 D．等弧所对的弦相等 6．（本题3分）（23-24九年级上·湖北恩施·期中）直线与抛物线在同一坐标系里的大致图象正确的是（    ） A．    B．   C．  D．   7．（本题3分）（23-24九年级上·湖北黄冈·期中）如图，已知是的直径，，，是弧的中点，则（    ）    A．4 B．3 C．2.5 D．2 8．（本题3分）（23-24九年级上·江苏淮安·期末）二次函数与一次函数的图象如图所示，当时，自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 9．（本题3分）（24-25九年级上·安徽六安·期末）抛物线的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列判断中：①；②；③；④若点，均在抛物线上，则；⑤；其中正确的个数有（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 10．（本题3分）（2026·安徽·模拟预测）如图，抛物线的对称轴为直线，顶点为，且该抛物线与轴的交点为．若是该抛物线对称轴上的一个动点，则的最小值为（    ） A．1 B．3 C． D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（共20分） 11．（本题3分）（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段检测）二次函数的顶点在轴上，则___________． 12．（本题3分）（25-26九年级下·辽宁沈阳·开学考试）若二次函数图象与轴有一个交点为，则与轴另一个交点坐标为_____． 13．（本题3分）（24-25九年级上·江苏南通·阶段检测）飞机着陆后滑行的距离y(单位：m)关于滑行的时间x(单位：s)的函数解析式是，则飞机着陆后滑行____s后才能停下来． 14．（本题3分）（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，以的边为直径的分别交于点、，连结、，若，则 ______ 15．（本题4分）（25-26九年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，抛物线经过C，D两点，点A在x轴上，连接．E，F分别是上的一点，且，若，，则点E的坐标是________． 16．（本题4分）（24-25九年级上·湖北武汉·阶段检测）已知和是抛物线上的两点．若对于，，都有，则a的取值范围为_________． 三、解答题（共100分） 17．（本题8分）（25-26九年级上·广东广州·期末）已知二次函数y=ax2+bx+c图象与y轴交于点，顶点为． (1)求该二次函数解析式． (2)当时，求y的取值范围． 18．（本题8分）（22-23九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，点、、、都在上，若，求证：． 19．（本题10分）（24-25九年级上·安徽六安·期中）已知抛物线． (1)证明：无论k取何值，抛物线与x轴总有两个不同的交点； (2)若该抛物线与x轴的两个不同的交点分别为、且，求k的值． 20．（本题10分）（25-26九年级上·山西晋中·期末）脱贫攻坚取得重大胜利，是中国在2020年取得的最重要成就之一．家庭养猪是农村精准扶贫的重要措施之一．某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定修建一个矩形猪舍．如图所示，猪舍一面靠墙，墙长，另外三面用长的建筑材料围成，其中一边开有一扇宽的门（不包括建筑材料）． （1）所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为？ （2）所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积最大，最大面积是多少？ 21．（本题12分）（22-23九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，弦相交于点E，连接，已知．    (1)求证：； (2)如果的半径为5，，求的长． 22．（本题12分）（23-24九年级上·浙江杭州·期中）毛泽东故居景区有一商店销售一种纪念品，这种商品的成本价为10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于20元/件，市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示． (1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 23．（本题12分）（23-24九年级上·吉林长春·阶段检测）河上有一座抛物线形的石拱桥，水面宽时，水面离桥拱顶部，因暴雨水位上升， (1)求抛物线的解析式． (2)一艘装满货物的小船，露出水面部分的高为，宽为，暴雨后，这艘小船能从这座石拱桥下通过吗？请说明理由． 24．（本题14分）（2025·海南·模拟预测）已知二次函数的图象与x轴交于和两点． (1)若． ①求b，c的值； ②当时，二次函数最大值和最小值的差为12，求m的值； (2)当时，若存在实数s，总有，求满足条件的s的取值范围． 25．（本题14分）（2025·山西阳泉·一模）综合与探究 如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，，过点作轴与抛物线交于另一点． (1)求抛物线的表达式； (2)连接，点为上一个动点，由点以每秒1个单位长度的速度沿运动（不与点重合），运动时间为，过点作轴交抛物线于点，求与的函数关系式； (3)点是轴上的一个点，点是平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点，使得以为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省南通市崇川区2025-2026学年上学期九年级数学第一次阶段练习卷 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A C B D B D D B B 1．B 【分析】本题考查了二次函数的定义．根据二次函数的定义，x的指数必须为2，且系数不为零，进行分析，即可作答． 【详解】解：∵（为常数）是二次函数， ∴， ∴， 解得， 故选：B． 2．A 【分析】本题主要考查二次函数的平移规律，掌握二次函数的平移规律“左加右减，上加下减”，是解题的关键． 先将二次函数解析式化为顶点式，再利用二次函数的平移规律，即可得到答案． 【详解】∵， ∴抛物线先向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到抛物线的解析式为：，即：． 故选A． 3．C 【分析】本题主要考查了抛物线与轴的交点，利用一元二次方程根的判别式判断即可． 【详解】解：对于抛物线， 当时，即， ∵ ∴抛物线与轴的交点情况是有两个不同的交点， 故选：C． 4．B 【分析】先确定抛物线的对称轴，然后根据抛物线的对称性求出点关于对称轴对称的点的坐标，再利用二次函数的增减性判断即可. 【详解】解：∵抛物线的对称轴是直线x=2，∴点关于对称轴对称的点的坐标是， ∵当x<2时，y随x的增大而增大，且0<1<1.5，∴. 故选：B. 【点睛】本题考查了二次函数的性质，属于基本题型，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键. 5．D 【分析】本题考查了命题的真假，圆的基本性质，掌握圆心角、弧、弦之间的关系是解题关键．根据圆心角和弦的关系需要在同圆或等圆的条件下成立，可判断A、B选项；根据同圆中，一条弦所对的弧有两条，可判断C选项；根据在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧，可判断D选项． 【详解】解：A、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，原命题是假命题，不符合题意； B、在同圆或等圆中，相等弦所对的圆心角相等，原命题是假命题，不符合题意； C、同圆中，相等弦所对的优弧和劣弧分别相等，原命题是假命题，不符合题意； D、等弧所对的弦相等，原命题是真命题，符合题意； 故选：D． 6．B 【分析】根据题意和各个选项中的函数图象，可以得到一次函数中a和b的正负情况和二次函数图象中a、b的正负情况，然后即可判断哪个选项中的图象符合题意． 【详解】解：选项A中，由一次函数的图象可知，，由二次函数的性质可知图象对称轴位于y轴左侧，与y轴交点在负半轴，故选项A不符合题意； 选项B中，由一次函数的图象可知，，，，由二次函数的性质可知图象对称轴位于y轴左侧，与y轴交点在负半轴，故选项B符合题意； 选项C中，由一次函数的图象可知，，由二次函数的性质可知图象对称轴位于y轴左侧，与y轴交点在负半轴，故选项C不符合题意； 选项D中，由一次函数的图象可知，，由二次函数的性质可知图象对称轴位于y轴左侧，与y轴交点在负半轴，故选项D不符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 7．D 【分析】连接，根据是弧的中点和圆周角定理，证明，即可证明，根据相似三角形的性质求得，再利用直径所对的圆周角是，可得，利用勾股定理求得，即可得，利用即可解答． 【详解】解：如图，连接， 是弧的中点， ， ， ， ， ， ， ， 是的直径， ， ， ， ， 故选：D．    【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质，直径所对圆周角为，根据是弧的中点和为圆心，想到证明相似三角形证明，从而作出正确的辅助线，是解题的关键． 8．D 【分析】本题主要考查了二次函数与不等式的关系；根据函数图像写出抛物线在直线上方部分的的取值范围即可； 【详解】解：根据函数图象可得，当时，自变量的取值范围是或 故选：D． 9．B 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数与一元二次方程的关系．根据抛物线开口方向、对称轴位置、与y轴交点位置，可判断①；根据抛物线与x轴交点个数，可判断②；求出抛物线与x轴另一个交点坐标，代入函数关系式，可判断③；比较点，到对称轴的距离，可判断④；根据对称轴位置得出，可判断⑤． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵对称轴为直线，在y轴左侧， ∴， ∵抛物线与y轴交于y轴负半轴， ∴， ∴，故①错误； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，故②正确； ∵抛物线与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线， ∴与x轴的另一个交点坐标为， ∴，故③正确； ∵，，，点，均在开口向上的抛物线上， ∴，故④错误， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∵抛物线与x轴的一个交点坐标为， ∴， ∴，故⑤正确， 综上所述：正确的结论有②③⑤，共3个， 故选B． 10．B 【分析】本题考查了二次函数的性质，勾股定理的应用，等边三角形的判定与性质以及最短路径的解决方法，先求出抛物线的表达式，通过计算证明是等边三角形，过点作于点，当三点共线时，的值最小，为的长，计算求出即可． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， ， 解得， 该抛物线的表达式为． 如图，设该抛物线的对称轴与轴交于点，连接． 将配方，得， ， ， ， 是等边三角形， ． 过点作于点， 当三点共线时，的值最小，为的长． 此时的值最小，即的长． ， 的最小值为3． 11． 【分析】本题考查了二次函数的性质，由题意可得二次函数的对称轴为直线，从而得出，计算即可得解，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数的顶点在轴上， ∴二次函数的对称轴为直线， ∴， 解得：， 故答案为：． 12． 【分析】本题考查二次函数的对称性，可先根据二次函数的对称轴公式求出对称轴，再结合二次函数图象与x轴交点的对称特征计算另一个交点坐标． 【详解】对于二次函数，其中，， 根据二次函数对称轴公式， 可得对称轴为直线． 因为二次函数图象与轴的两个交点关于对称轴对称， 设另一个交点坐标为，则， 解得， 所以与轴另一个交点坐标为． 故答案为： 13．20 【分析】本题考查了二次函数的应用，把二次函数解析式转化为顶点式，求出二次函数的最大值即可求解，掌握配方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴当时，y有最大值为， ∴飞机着陆后滑行才能停下来， 故答案为：20． 14． 【分析】连接由圆周角定理和三角形内角和定理求得，再由“同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半”进行答题． 本题考查了圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键． 【详解】解：如图，连接． 为的直径， ， ， ， ， 故答案为：． 15． 【分析】连接，求出两点的坐标，证明为等腰三角形，得到，一线三等角，证明，得到，进而求出的长，即可得出结果． 【详解】解：连接， ∵， ∴当时，，当时，解得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，点关于轴对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数与坐标轴的交点问题，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，正确地求出点的坐标，熟练掌握一线三等角的全等模型，是解题的关键． 16．或． 【分析】本题主要考查二次函数综合，熟练掌握二次函数的图象和性质、解不等式等知识点是解题关键．利用作差法建立关于和的不等式，因为不确定，所以要分类讨论，再根据范围取舍即可． 【详解】由题得，， ， ， ， ①当时，， 或， 解得或， ， 或， 或， ， ； ②当时，， 或， 解得， ， ，解得， 综上，或． 故答案为：或． 17．(1) (2) 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质． （1）利用待定系数法即可求得； （2）先由知，函数有最小值为，据此分别求出，时的值即可得答案． 【详解】（1）解：∵顶点为， ∴二次函数解析式为， 代入点得，， 解得， 该二次函数解析式为； （2）解：抛物线的开口向上，对称轴为直线，函数有最小值为， 当时，， 当时，， 当时，y的取值范围是． 18． 证明：∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题主要考查了弦与弧之间的关系．根据已知条件求得，根据弧与弦的关系即可得证． 【详解】略 19．(1) 证明：∵， ∴无论k取何值，抛物线与x轴总有两个不同的交点； (2)或． 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根与系数的关系： （1）证明一元二次方程中即可； （2）利用一元二次方程根与系数的关系求出和，根据列等式即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵抛物线与x轴的两个交点分别为、， ∴，， ∴， 整理得， 解得或． 20．（1）所围矩形猪舍的长为，宽为时，猪舍的面积为；（2）所围矩形猪舍的长为，宽为时，面积最大，最大面积是． 【分析】（1）设，则，根据题意列式即可； （2）设，所围矩形猪圈的面积为，列出二次函数计算即可； 【详解】解：（1）设，则． 根据题意可得：， 解得：，． 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：所围矩形猪舍的长为，宽为时，猪舍的面积为． （2）设，所围矩形猪圈的面积为． ， ． 当，时，． 答：所围矩形猪舍的长为，宽为时，面积最大，最大面积是． 【点睛】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的应用，准确计算是解题的关键． 21．(1) 证明：∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； (2)7 【分析】（1）根据，可得，再证明，即可； （2）过O作与F，于G，连接，则，根据垂径定理可得，证明，可得，从而得到四边形是正方形，可得，设，则，根据勾股定理求出x的值，即可． 【详解】（1）略 （2）解：过O作与F，于G，连接，则，    ∴四边形是矩形， 根据垂径定理得：， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， 设，则， ∴， 即， 解得：或（舍去）， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，弧、弦，圆心角的关系，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握垂径定理，弧、弦，圆心角的关系，勾股定理，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 22．(1) (2)每件销售价为20元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及根据相等关系列出二次函数解析式及二次函数的性质． （1）利用待定系数法求解可得关于y与x的函数解析式； （2）根据“总利润每件的利润销售量”可得函数解析式，将其配方成顶点式，利用二次函数的性质进一步求解可得． 【详解】（1）解：设y与x的函数解析式为， 将、代入，得： 解得：， 所以y与x的函数解析式为； （2）解：根据题意知，， ， 当时，W随x的增大而增大， ， 当时，W取得最大值，最大值为200， 答：每件销售价为20元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元． 23．(1)； (2)雨后这艘船能从这座拱桥下通过，理由： 当时，， ， 暴雨后这艘船能从这座拱桥下通过． 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的应用． （1）根据点的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）代入求出值，用其减去1求出可通过船的最高高度，将其与比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， ，， ， 解得，， 抛物线的解析式为； （2）略 24．(1)①b的值为2，c的值为3；②m的值为或3 (2)满足条件的s的取值范围为 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、二次函数的最值、待定系数法求二次函数解析式等知识，分情况讨论是解题的关键． （1）①利用待定系数法求解即可；②根据二次函数的图象和性质分类讨论进行解答即可； （2）求出二次函数的对称轴为直线，进一步得到，根据二次函数的性质进行解答即可． 【详解】（1）①当时，点和， 将A，B两点坐标代入二次函数中，得， 解得 ∴b的值为2，c的值为3； ②由①知， ∴二次函数的表达式为， ∴该二次函数的对称轴为直线， 当时，， 当时，， 分类讨论： ∵， ∴抛物线开口向下， 当时，即时，都在对称轴左侧， 此时，y有最小值，，y有最大值， ∴，解得，符合题意； 当时，都在对称轴右侧， 此时，y有最大值，，y有最小值， ∴， 解得，符合题意； 当时，即时，时，y取得最大值4， 若最大值与最小值差为12，则最小值为， 将代入， 即，解得， 将代入， 即， 解得， 均不在的范围内，故不符合题意， 综上所述，当函数最大值和最小值的差为12时，m的值为或3； （2）根据题意，二次函数的对称轴为直线， ∵二次函数的图象与x轴交于和两点， ∴点A，B关于抛物线的对称轴对称， ∴点A，B到对称轴的距离相等，设点A在点B左侧， ∴， 又∵， ∴， ∴， 将代入中， 得， ∴， ∴， ∵， ∴的最大值为， ∵， ∴． 25．(1) (2)与的函数关系式为（）； (3)存在点，使得以为顶点的四边形是矩形，点的坐标为或. 【分析】（1）把点A，B坐标代入中，求出b，c的值即可； （2）运用待定系数法求出直线AB的解析式，过点作轴于点，可证明，得到， ，再表示出点Q的纵坐标即可得到pQ; （3）首先求出点D的坐标，再分3种情况讨论求解即可． 【详解】（1）将，代入抛物线， 得 解得 ∴抛物线的表达式为； （2）设直线的解析式为， 将两点坐标代入解析式得 解得 ∴直线的解析式为 ∵， ∴由勾股定理可得 如图①，过点作轴于点， ∴     ∴，则 ∴ 根据题意可知， ∴，    ∴点的横坐标为. ∴ ∴与的函数关系式为（）； （3）存在，点的坐标为或. 理由如下： 如图2，过点作轴的垂线交的延长线于点，则， 当时，， 解得或3. ∴点的坐标为. ∴. ①如图2，当为矩形的边时，过点作轴，交轴于点. ∵， ∴.      ∴ ∴，即         ∴ 同理，可求得.      ∴ ∴， 又∵， ∴.      ∴. ∴.      ∴         ∴； ②如图2，当为矩形的对角线时，过点作轴交的延长线于点 同理可得     ∴ ∴       ∴. ∵， ∴易得 ∴， ∴，点的纵坐 ∴， ③以为对角线这种情况不存在. 综上所述，存在点，使得以为顶点的四边形是矩形，点的坐标为或. 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $