精品解析：江苏省南通市崇川区南通市第一初级中学2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

2025-2026学年度第一学期第二次集中作业 九年级数学卷 一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 下面的三视图对应的物体是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，点A、B、C是上三点， ，则等于 （ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，，则的值是（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，△ABC与△A1B1C1位似，位似中心是原点O，若△ABC与△A1B1C1的相似比为1：2，且点A的坐标是（1，3），则它的对应点A1的坐标是（ ） A. （-3，-1） B. （-2，-6） C. （2，6）或（-2，-6） D. （-1，-3） 5. 若点，，在反比例函数的图象上，则的大小关系是 （ ） A. B. C. D. 6. 如图，四边形是的内接矩形，是的高，则矩形的周长是（） A. 86 B. 72 C. 68 D. 56 7. 下表给出了二次函数中x，y的一些对应值，则可以估计一元二次方程的一个近似解的范围为（ ） x … … y … … A. B. C. D. 8. 如图，已知第一象限内的点A在反比例函数的图象上，第二象限内的点B 在反比例函数的图象上，且，则k的值为 （ ） A. B. C. D. 9. 若抛物线经过第一、第二、第三象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，的半径是1，为的弦，将弦绕点逆时针旋转，得到，连，则的最大值为（） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，11~12每小题3分，13~16每小题4分，共24分） 11. 在平面直角坐标系中，将抛物线向上平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式是___． 12. 已知扇形的半径是3、圆心角，则这个扇形的面积是___________． 13. 如图，已知：，，，，则________ 14. 如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A、B、C都在格点（网格线的交点）上， 圆M经过点A、B、C、D，则的值为______________． 15. 埃拉托色尼是一位古希腊的杰出数学家，他首创了“地理学”这个词，被尊称为“地理学之父”．他的名著《对地球大小的修正》中提出了一种测量地球周长的设想，如图，塞伊尼点和亚历山大点是几乎在同一条经线上的两座城市，两地相距约，在塞伊尼城有一口垂直于地面的水井，夏至日中午12点太阳光可直射井底，同一时刻在亚历山大城竖起一根垂直于地面的木棍，利用影子测出太阳光线与木棍所在直线的夹角约为，据此可以估算地球的周长约为______ 16. 在平面直角坐标系中，点，是抛物线上不重合的两点．当，时，____；若对于，都有，则a的取值范围为_________ 三、解答题（本大题共8小题，共96分） 17. （1）计算： （2）某一时刻，测得一根高为的竹竿的影长为，同时测得一栋楼的影长为，求这栋楼的高度． 18. 如图，圆形拱门的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果D是中弦的中点，连接并延长交于点C，并且，，求的半径． 19. 如图所示的几何体是由若干个相同的小正方体组成的． （1）填空：这个几何体由______个小正方体组成； （2）画出从正面、左面、上面观察所看到的几何体的形状图； （3）在不改变此几何体从正面、左面观察所看到的形状图的情况下，最多还可以添加______个小正方体． 20. 如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象都经过点． （1）求反比例函数解析式； （2）若这两个函数图象的另一个交点为C，点B在x轴上，且，求点B的坐标； （3）若点在该反比例函数图象上，且它到x轴距离小于3，请根据图象直接写出m的取值范围． 21. 如图，是的直径，点C在上．过点C作的切线l，过点B作于点D． （1）求证：平分； （2）连接，若，，求的长． 22. 某商品进货价为每件40元，将该商品每件的售价定为50元时，每星期可销售250件．现在计划提高该商品的售价增加利润，市场调查反映：若该商品每件的售价在50元基础上每上涨1元，其每星期的销售量减少10件．设该商品每件的售价上涨x元（x为整数且）时，每星期的销售量为y件． （1）求y与x之间的函数解析式； （2）当该商品每件的售价定为多少元时，销售该商品每星期获得的利润最大？最大利润是多少？ 23. 如图，A，B，C，D在同一平面内，甲、乙两艘巡逻艇在某海域B处时，收到指令要分别途经海上观测点A和D，并最终到达C处执行任务、B在观测点A的西北方向且在观测点D的西南方向海里处，观测点D在观测点A的正北方向，目的地C在观测点A的北偏东方向且在观测点D的北偏东方向（参考数据： ） （1）求的距离（结果保留根号）． （2）观测结束后，甲巡逻艇从观测点A出发沿往C处执行任务，同时乙巡逻艇从观测点D出发沿往C处执行任务，行驶过程中甲巡逻艇的速度为乙巡逻艇的速度的2倍，当乙巡逻艇到C处的距离是甲巡逻艇到C处的距离的3倍时，乙巡逻艇距离D处多少海里（结果保留整数）？ 24. 已知抛物线． （1）求抛物线的对称轴（用含的代数式表示）； （2）若点，在该抛物线上，试比较的大小； （3）已知点，，若该抛物线与线段只有一个公共点，求的取值范围． 25. 如图，在中，，，E为的中点，连接，，垂足为F． （1）求证：； （2）延长交于点G，求的值； （3）在（2）的条件下试求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期第二次集中作业 九年级数学卷 一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 下面的三视图对应的物体是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查由三视图还原实物基本能力，因为主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．据此逐项分析即可． 【详解】解：从俯视图可以看出直观图的下面部分为三个长方体，且三个长方体的宽度相同．只有A满足这两点， 故选：A． 2. 如图，点A、B、C是上三点， ，则等于 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 根据圆周角定理即可得出答案． 【详解】解：点A、B、C是上三点， ， ． 故选：B． 3. 如图，在中，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，求角的余弦值．根据勾股定理可求出的长，再根据余弦的定义“直角三角形中邻边与斜边的比”即可求出答案． 【详解】解：根据勾股定理可求出， ∴． 故选：D． 4. 在平面直角坐标系中，△ABC与△A1B1C1位似，位似中心是原点O，若△ABC与△A1B1C1的相似比为1：2，且点A的坐标是（1，3），则它的对应点A1的坐标是（ ） A. （-3，-1） B. （-2，-6） C. （2，6）或（-2，-6） D. （-1，-3） 【答案】C 【解析】 【分析】根据如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或，即可求出答案. 【详解】由位似变换中对应点坐标的变化规律得：点的对应点的坐标是或，即点的坐标是或 故选：C. 【点睛】本题考查了位似变换中对应点坐标的变化规律，理解位似的概念，并熟记变化规律是解题关键. 5. 若点，，在反比例函数的图象上，则的大小关系是 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征， 根据反比例函数图象上点的坐标特征，把三个点的坐标分别代入解析式计算出的值，然后比较大小即可． 【详解】解：∵点，，在反比例函数的图象上， ∴， ． 故选： D． 6. 如图，四边形是的内接矩形，是的高，则矩形的周长是（） A. 86 B. 72 C. 68 D. 56 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质．掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 根据平行可推导出，根据相似三角形的性质可得，代入数据可得结论． 【详解】解：∵， ， ，即， 解得：， ． ∴矩形的周长为， 故选：B． 7. 下表给出了二次函数中x，y的一些对应值，则可以估计一元二次方程的一个近似解的范围为（ ） x … … y … … A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，根据“时，时”，结合二次函数与一元二次方程的关系可得答案． 【详解】解：由表可得时，时， 二次函数图象与x轴的一个交点的横坐标在和之间， 的一个近似解的范围为， 故选：C． 8. 如图，已知第一象限内的点A在反比例函数的图象上，第二象限内的点B 在反比例函数的图象上，且，则k的值为 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点，相似三角形的性质，关键是掌握反比例函数图象上的点，横纵坐标之积等于．作轴，作轴，先证明，利用相似比得到，继而求出值即可． 【详解】解：如图，作轴，垂足为，作轴，垂足为， ， ， 又， ， ， ， ， 反比例函数图象在第二象限， 故选A． 9. 若抛物线经过第一、第二、第三象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像，由函数解析式可得抛物线的顶点坐标为，与轴的交点坐标为，进而根据图像经过第一、第二、第三象限，得到且，解不等式即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线， ∴抛物线的顶点坐标为， 把代入，得， ∴抛物线与轴的交点坐标为， ∵抛物线经过第一、第二、第三象限， ∴且， 解得， 故选：． 10. 如图，的半径是1，为的弦，将弦绕点逆时针旋转，得到，连，则的最大值为（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，解三角形，三角形三边关系的应用，正确的作出辅助线是解题的关键． 把绕点A逆时针旋转度，于是得到，根据等腰三角形的性质得到，在中，任意两边之和大于第三边，于是得到结论． 【详解】解：如图，作半径绕点逆时针旋转而得到的边，连接，， ∵将弦绕点逆时针旋转得到， ∴是把绕点逆时针旋转度得到的，则， ∴，，， ∴为等腰三角形，， ∴， ∴由两边之和大于第三边，并且取最大值， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，11~12每小题3分，13~16每小题4分，共24分） 11. 在平面直角坐标系中，将抛物线向上平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式是___． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的平移，根据二次函数图像的平移规律解答即可． 【详解】解：将抛物线向上平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为． 故答案为：． 12. 已知扇形的半径是3、圆心角，则这个扇形的面积是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是扇形的面积公式，根据扇形面积公式进行计算即可求解． 【详解】解：∵扇形的半径是3、圆心角， ∴扇形的面积． 故答案为：． 13. 如图，已知：，，，，则________ 【答案】9. 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出BC的值，即可得出答案. 【详解】∵ ∴, ∵ ，，， ∴, ∴. 故答案为：9. 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，能根据定理得出正确的比例式是解此题的关键. 14. 如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A、B、C都在格点（网格线的交点）上， 圆M经过点A、B、C、D，则的值为______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，正切值的定义，解题的关键是熟练掌握相关定义，定理．由圆周角定理，得到，，根据正切值的定义，即可求解， 【详解】解：连接，，，如图所示： ∵点，，都在格点（网格线的交点）上，经过点，，，， ∴，，， ∵， ∴， 故答案为：． 15. 埃拉托色尼是一位古希腊的杰出数学家，他首创了“地理学”这个词，被尊称为“地理学之父”．他的名著《对地球大小的修正》中提出了一种测量地球周长的设想，如图，塞伊尼点和亚历山大点是几乎在同一条经线上的两座城市，两地相距约，在塞伊尼城有一口垂直于地面的水井，夏至日中午12点太阳光可直射井底，同一时刻在亚历山大城竖起一根垂直于地面的木棍，利用影子测出太阳光线与木棍所在直线的夹角约为，据此可以估算地球的周长约为______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查弧长的计算．根据所给条件得到的值是解决本题的关键．易得的长度为，所对的圆心角为，根据弧长公式可得的值，进而可求得地球的周长． 【详解】解：如图， 由题意得：，，的长度为， ， 设地球的半径为， ， 解得：， 地球的周长为， 故答案为：40000． 16. 在平面直角坐标系中，点，是抛物线上不重合的两点．当，时，____；若对于，都有，则a的取值范围为_________ 【答案】 ①. 0 ②. 或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，掌握知识点是解题的关键． 由求出，，再根据得到，代入计算即可；的对称轴为，根据二次函数的增减性判断即可，注意根据开口方向分类讨论，即可解答． 【详解】解：当时，，， 将代入得，，即 ∵， ∴， 将代入得，， 解得：或， ∵点A、B不重合， ∴； ∵的对称轴为， ∴关于对称轴对称的点坐标为， 当时，抛物线开口向上，在对称轴右边时，即当时，随增大而增大， ∴， ∵， ∴，都在对称轴右侧， ∵对于，都有， ∴， 解得， 此时； 当时，抛物线开口向下，在对称轴左边时，即当时，随增大而增大， ∴， ∵， ∴ ∴，都在对称轴的左侧， ∵对于，都有， ∴， 解得， 此时； 综上所述，的取值范围为或． 故答案为：0；或． 三、解答题（本大题共8小题，共96分） 17. （1）计算： （2）某一时刻，测得一根高为的竹竿的影长为，同时测得一栋楼的影长为，求这栋楼的高度． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查平行投影，特殊角的三角函数值的混合运算，熟练掌握平行投影是解题的关键． （1）根据特殊角的三角函数值的混合运算求解即可； （2）设这栋楼的高度为，根据平行投影可知，然后问题可求解． 【详解】解：（1） ； （2）解：设这栋楼的高度为，由题意得： ， ∴， ∴这栋楼的高度为． 18. 如图，圆形拱门的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果D是中弦的中点，连接并延长交于点C，并且，，求的半径． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理的推论与勾股定理；连接，并设圆的半径为r；由垂径定理推论得，；在中，利用勾股定理建立方程即可求得半径． 【详解】解：如图，连接，设圆的半径为r； ∵D是中弦的中点， ∴，； ∵， ∴在中，由勾股定理得：， 解得：； 答：的半径为． 19. 如图所示的几何体是由若干个相同的小正方体组成的． （1）填空：这个几何体由______个小正方体组成； （2）画出从正面、左面、上面观察所看到的几何体的形状图； （3）在不改变此几何体从正面、左面观察所看到的形状图的情况下，最多还可以添加______个小正方体． 【答案】（1）6 （2） 画出从正面、左面、上面观察所看到的几何体的形状图如图所示： （3）4 【解析】 【分析】（1）根据图形进行分析即可得到答案； （2）主视图有3列，每列小正方形数目分别是2，1，1；左视图有3列，每列小正方形数目分别是1，2，1；俯视图有3列，每列小正方形数目分别是3，1，1；据此可画出图形； （3）保持主视图和俯视图不变，在第一层第二列第一行和第三行各加一个，第一层第三列第一行和第三行各加一个，相加求出即可． 【小问1详解】 解：由图可得：这个几何体由6个小正方体组成， 故答案为：6； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：根据题意得： 保持主视图和俯视图不变，在第一层第二列第一行和第三行各加一个，第一层第三列第一行和第三行各加一个， （个）， 最多还可以添加4个小正方体， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了画三视图，三视图相关的计算，考查了学生空间想象能力． 20. 如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象都经过点． （1）求反比例函数解析式； （2）若这两个函数图象的另一个交点为C，点B在x轴上，且，求点B的坐标； （3）若点在该反比例函数图象上，且它到x轴距离小于3，请根据图象直接写出m的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，涉及一次函数图象上点的坐标特征，求反比例函数解析式，反比例函数图象的对称性质，结合图象求不等式的解集．掌握反比例函数图象的性质是关键． （1）由点A坐标在正比例函数图象上可求得点A的坐标，再代入反比例函数解析式即可求解； （2）因正比例函数图象和反比例函数图象都关于坐标原点成中心对称，则可求得点C的坐标为．设点B的坐标为，由面积关系建立关于t的方程，求解即可； （3）由点P到x轴距离小于3，即，所以点P在直线和之间的反比例函数的图象上，借助图形即可求得m的范围． 【小问1详解】 解：将点A坐标代入正比例函数解析式得，， 解得， 所以点A的坐标为 将A点坐标代入反比例函数解析式得， ， 所以反比例函数的解析式为． 【小问2详解】 解：如图所示， 因为正比例函数图象和反比例函数图象都关于坐标原点成中心对称， 所以点C的坐标为 令点B的坐标为， 由得，， 解得， 所以点B的坐标为或． 【小问3详解】 解：如图所示， 因为，，且点P到x轴距离小于3， 即， 所以点P在直线和之间的反比例函数的图象上， 故m的取值范围是：或． 21. 如图，是的直径，点C在上．过点C作的切线l，过点B作于点D． （1）求证：平分； （2）连接，若，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接， ∵， ∴， ∵是的切线，是的半径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分； （2） 【解析】 【分析】本题考查的是切线的性质、锐角三角函数的定义，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． （1）连接，由题意可证，进而证明平分； （2）连接，过点O作于点G，得矩形，可得，由锐角三角函数的概念求出的长，然后由勾股定理可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，过点O作于点G， ，， 得矩形， ∴， 在中，， ， ， ， 在中，根据勾股定理得： ． 22. 某商品进货价为每件40元，将该商品每件的售价定为50元时，每星期可销售250件．现在计划提高该商品的售价增加利润，市场调查反映：若该商品每件的售价在50元基础上每上涨1元，其每星期的销售量减少10件．设该商品每件的售价上涨x元（x为整数且）时，每星期的销售量为y件． （1）求y与x之间的函数解析式； （2）当该商品每件的售价定为多少元时，销售该商品每星期获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）当该商品每件的售价为57或58元时，每星期获得的利润最大，最大利润为3060元 【解析】 【分析】（1）直接根据利润（售价进价）数量列解析式即可； （2）将利润最大值转化成二次函数的函数最大值直接求解即可． 【小问1详解】 依题意可得：； 【小问2详解】 设当该商品每件的售价上涨x元时，销售该商品每星期获得的利润为W元． （且x为整数）， 又∵，且； ∴当或8时，；或58． 答：当该商品每件的售价为57或58元时，每星期获得的利润最大，最大利润为3060元． 【点睛】此题考查二次函数的销售利润问题，解题关键是明确利润公式，求利润最大值相当于数形结合，直接转化成求函数最大值． 23. 如图，A，B，C，D在同一平面内，甲、乙两艘巡逻艇在某海域B处时，收到指令要分别途经海上观测点A和D，并最终到达C处执行任务、B在观测点A的西北方向且在观测点D的西南方向海里处，观测点D在观测点A的正北方向，目的地C在观测点A的北偏东方向且在观测点D的北偏东方向（参考数据： ） （1）求的距离（结果保留根号）． （2）观测结束后，甲巡逻艇从观测点A出发沿往C处执行任务，同时乙巡逻艇从观测点D出发沿往C处执行任务，行驶过程中甲巡逻艇的速度为乙巡逻艇的速度的2倍，当乙巡逻艇到C处的距离是甲巡逻艇到C处的距离的3倍时，乙巡逻艇距离D处多少海里（结果保留整数）？ 【答案】（1）的距离为海里 （2）168海里 【解析】 【分析】本题主要考查了利用锐角三角函数解直角三角形，含角的直角三角形的性质，列一元一次方程解决几何问题，解题的关键是掌握锐角三角函数． （1）过点C作，交的延长线于点E，设海里，利用锐角三角函数求出相关线段的长度，然后利用，求出未知数的值求解即可； （2）设乙行驶的路程为s海里，则甲行驶的路程为海里，根据距离的关系列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示，过点C作，交的延长线于点E， 设海里， ∴， ∴， 由题意得：海里， 海里， ∵， ∴， 解得， ∴海里， ∴的距离为海里； 【小问2详解】 解：设乙行驶的路程为s海里，则甲行驶的路程为海里，根据题意得， ， 解得， ∴乙巡逻艇距离D处海里． 24. 已知抛物线． （1）求抛物线的对称轴（用含的代数式表示）； （2）若点，在该抛物线上，试比较的大小； （3）已知点，，若该抛物线与线段只有一个公共点，求的取值范围． 【答案】（1）对称轴为 （2） （3）或或 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的交点式可确定抛物线与轴的两个交点的横坐标，根据对称轴的计算方法即可求解； （2）由（1）可知抛物线的对称轴，且抛物线开口向上，根据抛物线的增减性即可求解； （3）抛物线的开口向上，与轴的两个交点为，，点在线段上．然后分两种情况讨论：①抛物线与x轴有两个不相同的交点，则点不在线段上；②抛物线与x轴只有一个交点，由此即可求解． 【小问1详解】 ∵抛物线， ∴抛物线开口向上，与轴的两个交点的横坐标为，， ∴抛物线的对称轴为，即对称轴为． 【小问2详解】 ∵抛物线的开口向上，对称轴为， ∴当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大； ∵， ∴． 【小问3详解】 已知点，， ∴线段在轴上，且长为， 抛物线的开口向上，与轴的两个交点为，， ①抛物线与x轴有两个不相同的交点， ∵点在线段上， ∴抛物线与线段只有一个公共点， ∴点不在线段上， ∴或， ∴或． ②抛物线与x轴只有一个交点， 则， 得． 综上，a的取值范围为：或或． 【点睛】本题主要考查二次函数图像的性质，对称轴的计算方法，二次函数与线段交点，解一元一次不等式等知识的综合，掌握以上知识是解题的关键． 25. 如图，在中，，，E为的中点，连接，，垂足为F． （1）求证：； （2）延长交于点G，求的值； （3）在（2）的条件下试求． 【答案】（1） 证明：∵，，，E为的中点， ∴，， ∴ ∴， ∴， ， ∴， ； （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． （1）先证明，推导出，得到，则，即可解答； （2）过点E作，交于点H，推导出，得到，则，即可解答． （3）过点C作于点C，延长交于点M，设，得到，，，由勾股定理，得到求出，推导出为等腰直角三角形，且，则，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点E作，交于点H，如图 ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴ ∴． 【小问3详解】 过点C作于点C，延长交于点M，如图 设， ∵， ∴， ∴ ∵点E为的中点， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形，且， ∴， 即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $