1.4 一元二次方程根与系数的关系课时作业2026-2027学年青岛版数学九年级上册

青岛版九年级上册数学 第1章 一元二次方程 1.4 一元二次方程根与系数的关系 课时作业 班级：__________ 姓名：__________ 学号：__________ 得分：__________ 一、学习目标 1．探索并理解一元二次方程的根与系数的关系，能用它求两根之和与两根之积． 2．会利用根与系数的关系求含有两根的代数式的值，已知一根求另一根及字母系数． 3．会利用根与系数的关系构造一元二次方程． 4．能结合根的判别式解决与根与系数的关系有关的综合问题，体会整体思想． 二、知识点梳理 知识点1　根与系数的关系 如果一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两个根是x1，x2，那么x1+x2=-，x1x2=． 【推导】由求根公式，当b²-4ac≥0时，x1=，x2=． 所以x1+x2==-；x1x2===． 【特例】若方程x²+px+q=0的两个根是x1，x2，则x1+x2=-p，x1x2=q． 【前提条件】使用根与系数的关系时，必须满足：①二次项系数a≠0；②Δ=b²-4ac≥0（方程有实数根）． 知识点2　常见的恒等变形 求含两根的对称式的值时，常把它变形为含x1+x2和x1x2的式子，再整体代入： (1) x1²+x2²=(x1+x2)²-2x1x2； (2) +=； (3) (x1-x2)²=(x1+x2)²-4x1x2； (4) (x1+m)(x2+m)=x1x2+m(x1+x2)+m²； (5) +==； (6) x1²x2+x1x2²=x1x2(x1+x2)． 知识点3　构造一元二次方程 以两个数x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x²-(x1+x2)x+x1x2=0． 例如，以2和-3为根的一元二次方程是x²-(2-3)x+2×(-3)=0，即x²+x-6=0． 知识点4　主要应用 (1) 不解方程，求两根之和与两根之积； (2) 已知方程的一个根，求另一个根及方程中字母系数的值； (3) 求含有两根的代数式的值； (4) 已知两根的关系，求字母系数的值（求出后必须用Δ≥0检验）； (5) 已知两数的和与积，构造以这两个数为根的一元二次方程． 典型例题 例1　不解方程，求方程2x²-3x-1=0的两根之和与两根之积． 【解析】a=2，b=-3，c=-1，Δ=9+8=17>0．所以x1+x2=-=，x1x2==-． 例2　设x1，x2是方程x²-4x+1=0的两个根，求下列各式的值：(1) x1²+x2²；(2) +；(3) (x1-x2)²． 【解析】由根与系数的关系得x1+x2=4，x1x2=1． (1) x1²+x2²=(x1+x2)²-2x1x2=16-2=14； (2) +===4； (3) (x1-x2)²=(x1+x2)²-4x1x2=16-4=12． 例3　已知方程x²+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值． 【解析】设另一个根为x2，则2x2=-6，所以x2=-3．又2+(-3)=-k，所以k=1． 例4　求一个一元二次方程，使它的两个根分别是2+和2-． 【解析】两根之和为(2+)+(2-)=4，两根之积为(2+)(2-)=4-3=1．所以所求方程为x²-4x+1=0． 例5　已知关于x的方程x²-2(m-1)x+m²=0有两个实数根x1，x2，且x1²+x2²=8，求m的值． 【解析】由Δ=[-2(m-1)]²-4m²=-8m+4≥0，得m≤． 由根与系数的关系得x1+x2=2(m-1)，x1x2=m²． 所以x1²+x2²=(x1+x2)²-2x1x2=4(m-1)²-2m²=2m²-8m+4=8，即m²-4m-2=0，解得m=2±． 因为m≤，而2+>，所以m=2-． 三、基础巩固 （一）选择题 1．方程x²-3x-2=0的两根之和与两根之积分别是（　　） A．3，-2 B．-3，-2 C．3，2 D．-3，2 2．若x1，x2是方程x²+2x-5=0的两个根，则x1+x2-x1x2的值为（　　） A．-7 B．3 C．7 D．-3 3．已知方程x²-5x+m=0的一个根是2，则它的另一个根是（　　） A．3 B．-3 C．6 D．-7 4．以3和-2为根的一元二次方程是（　　） A．x²+x-6=0 B．x²-x-6=0 C．x²-x+6=0 D．x²+x+6=0 5．设x1，x2是方程x²-4x-3=0的两个根，则+的值为（　　） A． B．- C． D．- 6．下列一元二次方程中，两个实数根之和为2的是（　　） A．x²-2x+3=0 B．x²+2x-3=0 C．2x²-4x-1=0 D．2x²-2x-1=0 7．若x1，x2是方程x²-3x+1=0的两个根，则x1²+x2²的值为（　　） A．7 B．9 C．11 D．5 8．若关于x的方程x²+(m²-4)x+m=0的两个实数根互为相反数，则m的值为（　　） A．2 B．-2 C．±2 D．0 （二）填空题 9．若x1，x2是方程3x²+6x-1=0的两个根，则x1+x2=________，x1x2=________． 10．已知方程x²-6x+k=0的一个根是3+，则另一个根是________，k=________． 11．若x1，x2是方程x²+x-3=0的两个根，则x1²x2+x1x2²=________． 12．已知m，n是方程x²+2x-2026=0的两个根，则m²+3m+n=________． 13．一个一元二次方程的两根之和为5，两根之积为-6，则这个方程可以是________________． 14．已知方程x²-4x+c=0的两个根x1，x2满足x1=3x2，则c=________． 四、能力提升 15．不解方程，求下列方程的两根之和与两根之积： (1) x²-3x-10=0；　　(2) 2x²+5x=3； (3) 4x²-1=0；　　　(4) x²=2x． 16．设x1，x2是方程2x²-4x-1=0的两个根，求下列各式的值： (1) x1²+x2²；　　(2) (x1+1)(x2+1)； (3) +；　　(4) |x1-x2|． 17．已知方程2x²+kx-4=0的一个根是-4，求它的另一个根及k的值． 18．求作一个一元二次方程，使它的两个根分别是方程x²-3x-2=0的两个根的倒数． 19．已知关于x的方程x²-(2k+1)x+k²+1=0有两个不相等的实数根x1，x2． (1) 求k的取值范围； (2) 若x1x2=5，求k的值． 20．已知x1，x2是关于x的方程x²+2x+m=0的两个实数根，且x1²+x2²-x1x2=13，求m的值． 五、拓展探究 21．已知x1，x2是关于x的方程x²-2(m+1)x+m²+5=0的两个实数根． (1) 若(x1-1)(x2-1)=28，求m的值； (2) 已知等腰三角形ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长． 22．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，两直角边的长a，b是关于x的方程x²-7x+c+7=0的两个根，斜边长为c，求△ABC的面积． 23．已知实数a，b满足a²-3a-1=0，b²-3b-1=0，且a≠b，求+的值． 24．已知关于x的方程x²-mx+2=0的两个实数根的差为1，求m的值． 六、易错专练 25．小亮说：“方程x²+x+1=0的两根之和为-1，两根之积为1．”他的说法对吗？为什么？ 26．已知关于x的方程x²+(2k-1)x+k²=0的两个实数根的平方和为9，求k的值． 27．已知x1，x2是方程x²-3x-1=0的两个根，求x1²+3x2的值． 七、综合训练 28．已知关于x的一元二次方程x²-3x+k=0有两个实数根x1，x2． (1) 求k的取值范围； (2) 若x1=2x2，求k的值． 29．已知一个矩形的两条邻边长恰好是方程x²-7x+11=0的两个根，求这个矩形的周长、面积和对角线的长． 30．甲、乙两名同学解同一个方程x²+px+q=0．甲看错了常数项，解得两根为2和5；乙看错了一次项系数，解得两根为-2和-3．求原方程，并求出原方程的根． 八、答案及解析 （一）选择题 1．A　【解析】Δ=9+8>0，x1+x2=3，x1x2=-2． 2．B　【解析】x1+x2=-2，x1x2=-5，所以x1+x2-x1x2=-2-(-5)=3． 3．A　【解析】设另一个根为x2，则2+x2=5，所以x2=3（此时m=6）． 4．B　【解析】两根之和为1，两根之积为-6，所以方程为x²-x-6=0． 5．B　【解析】x1+x2=4，x1x2=-3，所以+===-． 6．C　【解析】A中Δ=4-12<0，方程没有实数根，不能用根与系数的关系；B中两根之和为-2；C中Δ=16+8>0，两根之和为=2；D中两根之和为1． 7．A　【解析】x1²+x2²=(x1+x2)²-2x1x2=9-2=7． 8．B　【解析】两根互为相反数，所以x1+x2=-(m²-4)=0，m=±2．当m=2时，方程为x²+2=0，没有实数根，舍去；当m=-2时，方程为x²-2=0，有两个实数根．所以m=-2． （二）填空题 9．-2；-　【解析】x1+x2=-=-2，x1x2=-． 10．3-；7　【解析】两根之和为6，所以另一根为6-(3+)=3-；k=(3+)(3-)=9-2=7． 11．3　【解析】x1²x2+x1x2²=x1x2(x1+x2)=(-3)×(-1)=3． 12．2024　【解析】m是方程的根，所以m²+2m=2026；又m+n=-2．所以m²+3m+n=(m²+2m)+(m+n)=2026-2=2024． 13．x²-5x-6=0（答案不唯一）　【解析】由x²-(x1+x2)x+x1x2=0得x²-5x-6=0． 14．3　【解析】x1+x2=4，即3x2+x2=4，所以x2=1，x1=3，c=x1x2=3． （三）能力提升 15．【解】(1) Δ=9+40>0，x1+x2=3，x1x2=-10； (2) 化为2x²+5x-3=0，Δ=25+24>0，x1+x2=-，x1x2=-； (3) Δ=16>0，x1+x2=0，x1x2=-； (4) 化为x²-2x=0，Δ=4>0，x1+x2=2，x1x2=0． 16．【解】由根与系数的关系得x1+x2=2，x1x2=-． (1) x1²+x2²=(x1+x2)²-2x1x2=4+1=5； (2) (x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=-+2+1=； (3) +===-10； (4) (x1-x2)²=(x1+x2)²-4x1x2=4+2=6，所以|x1-x2|=． 17．【解】设另一个根为x2．由根与系数的关系得-4x2==-2，所以x2=． 又-4+=-，即-=-，所以k=7． 18．【解】设方程x²-3x-2=0的两根为x1，x2，则x1+x2=3，x1x2=-2． 所求方程的两根为，，则+==-，·==-． 所以所求方程为x²+x-=0，即2x²+3x-1=0． 19．【解】(1) Δ=[-(2k+1)]²-4(k²+1)=4k²+4k+1-4k²-4=4k-3>0，所以k>． (2) x1x2=k²+1=5，所以k=±2．又k>，所以k=2． 20．【解】由根与系数的关系得x1+x2=-2，x1x2=m． x1²+x2²-x1x2=(x1+x2)²-3x1x2=4-3m=13，解得m=-3． 检验：当m=-3时，Δ=4-4×(-3)=16>0，符合题意．所以m=-3． （四）拓展探究 21．【解】由Δ=4(m+1)²-4(m²+5)=8m-16≥0，得m≥2．x1+x2=2(m+1)，x1x2=m²+5． (1) (x1-1)(x2-1)=x1x2-(x1+x2)+1=m²+5-2(m+1)+1=m²-2m+4=28， 即m²-2m-24=0，解得m=6或m=-4．因为m≥2，所以m=6． (2) ①若7是腰长，则7是方程的一个根，代入得49-14(m+1)+m²+5=0，即m²-14m+40=0，解得m=4或m=10． 当m=4时，方程为x²-10x+21=0，两根为3和7，三边长为7，7，3，能构成三角形，周长为17； 当m=10时，方程为x²-22x+105=0，两根为7和15，三边长为7，7，15，因为7+7<15，不能构成三角形，舍去． ②若7是底边长，则x1=x2，Δ=0，m=2，方程为x²-6x+9=0，两根均为3，三边长为3，3，7，因为3+3<7，不能构成三角形，舍去． 综上所述，这个三角形的周长为17． 22．【解】由根与系数的关系得a+b=7，ab=c+7． 由勾股定理得a²+b²=c²，即(a+b)²-2ab=c²，所以49-2(c+7)=c²，整理得c²+2c-35=0，解得c=5或c=-7（舍去）． 所以ab=5+7=12，△ABC的面积为ab=×12=6． （检验：方程为x²-7x+12=0，两根为3和4，3²+4²=5²，符合题意．） 23．【解】因为a，b满足a²-3a-1=0，b²-3b-1=0，且a≠b，所以a，b是方程x²-3x-1=0的两个不相等的实数根． 所以a+b=3，ab=-1．+====-11． 24．【解】设方程的两根为x1，x2，则x1+x2=m，x1x2=2． 因为|x1-x2|=1，所以(x1-x2)²=(x1+x2)²-4x1x2=m²-8=1，解得m=±3． 检验：当m=±3时，Δ=9-8=1>0，符合题意．所以m=3或m=-3． （五）易错专练 25．【解】不对．因为方程x²+x+1=0的Δ=1-4=-3<0，方程没有实数根，所以不能用根与系数的关系． 26．【解】由根与系数的关系得x1+x2=1-2k，x1x2=k²． x1²+x2²=(x1+x2)²-2x1x2=(1-2k)²-2k²=2k²-4k+1=9，即k²-2k-4=0，解得k=1±． 又因为方程有实数根，Δ=(2k-1)²-4k²=1-4k≥0，所以k≤．而1+>，舍去．所以k=1-． 27．【解】因为x1是方程的根，所以x1²-3x1-1=0，即x1²=3x1+1．又x1+x2=3． 所以x1²+3x2=3x1+1+3x2=3(x1+x2)+1=3×3+1=10． （六）综合训练 28．【解】(1) 由Δ=9-4k≥0，得k≤． (2) 由根与系数的关系得x1+x2=3，又x1=2x2，所以3x2=3，x2=1，x1=2． 所以k=x1x2=2．因为2≤，符合题意．所以k=2． 29．【解】设矩形的两条邻边长为a，b，则a，b是方程x²-7x+11=0的两个根（Δ=49-44=5>0）． 所以a+b=7，ab=11．矩形的周长为2(a+b)=14，面积为ab=11． 对角线长为====3． 30．【解】甲看错了常数项，但一次项系数p是正确的，所以两根之和2+5=-p，得p=-7． 乙看错了一次项系数，但常数项q是正确的，所以两根之积(-2)×(-3)=q，得q=6． 所以原方程为x²-7x+6=0，即(x-1)(x-6)=0，解得x1=1，x2=6． 第 页 / 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $