1.2 一元二次方程的解法 课时作业 2026-2027学年青岛版数学 九年级上册

青岛版九年级上册数学 第1章 一元二次方程 1.2 一元二次方程的解法 课时作业 班级：__________ 姓名：__________ 学号：__________ 得分：__________ 一、学习目标 1．会用直接开平方法解形如x²=p（p≥0）或(mx+n)²=p（p≥0）的一元二次方程． 2．理解配方法的依据，会用配方法解一元二次方程，并能利用配方求代数式的最值． 3．会推导一元二次方程的求根公式，能熟练运用公式法解一元二次方程． 4．会用因式分解法解一元二次方程，能根据方程特点灵活选择适当的解法． 二、知识点梳理 知识点1　直接开平方法 一般地，对于方程x²=p：(1) 当p>0时，方程有两个不相等的实数根x1=，x2=-；(2) 当p=0时，方程有两个相等的实数根x1=x2=0；(3) 当p<0时，方程没有实数根． 形如(mx+n)²=p（p≥0，m≠0）的方程，也可以直接开平方，得mx+n=±，从而转化为两个一元一次方程求解． 【注意】直接开平方时不要漏掉负的平方根．例如x²=9的解是x1=3，x2=-3，而不只是x=3． 知识点2　配方法 通过配成完全平方式，把一元二次方程转化为(x+m)²=n（n≥0）的形式，再用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法． 配方的依据是完全平方公式：a²±2ab+b²=(a±b)²．如下图，边长为x的正方形与两个长为x、宽为3的矩形拼在一起，再补上一个边长为3的小正方形，恰好拼成边长为(x+3)的大正方形，即x²+6x+3²=(x+3)²． 用配方法解一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一般步骤： ①化：把二次项系数化为1（方程两边同除以a）； ②移：把常数项移到方程的右边； ③配：方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④变：把方程左边写成完全平方的形式(x+m)²=n； ⑤开：若n≥0，直接开平方求解；若n<0，则原方程没有实数根． 【拓展】配方还可以用来求二次三项式的最值．例如x²-4x+7=(x-2)²+3，因为(x-2)²≥0，所以当x=2时，x²-4x+7取得最小值3． 知识点3　公式法 一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0），当b²-4ac≥0时，它的根是x=．这个公式叫做一元二次方程的求根公式．利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法． 求根公式是用配方法推导出来的：方程两边同除以a，得x²+x=-；配方，得x²+x+()²=()²-，即(x+)²=．因为4a²>0，所以当b²-4ac≥0时，x+=±，即得求根公式． 用公式法解方程的一般步骤：①把方程化为一般形式，确定a，b，c的值（注意符号）；②计算b²-4ac的值；③若b²-4ac≥0，把a，b，c及b²-4ac的值代入求根公式求解；若b²-4ac<0，则方程没有实数根． 知识点4　因式分解法 当一元二次方程的一边为0，另一边可以分解成两个一次因式的乘积时，利用“若ab=0，则a=0或b=0”，把一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解，这种方法叫做因式分解法． 常用的因式分解方法：①提公因式法：如x²-3x=x(x-3)；②平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b)；③完全平方公式：a²±2ab+b²=(a±b)²；④形如x²+(p+q)x+pq的多项式可分解为(x+p)(x+q)，如x²-5x+6=(x-2)(x-3)． 【易错提醒】方程两边含有相同的因式时，不能两边同时除以这个因式，否则会丢根．如解x(x-2)=x-2时，若两边同除以(x-2)，会丢掉x=2这个根． 知识点5　解法的选择 方程的特点 优先选择的方法 形如x²=p或(mx+n)²=p 直接开平方法 一边为0，另一边易于因式分解 因式分解法 二次项系数为1，一次项系数为偶数 配方法 一般形式，系数较复杂 公式法（适用于所有一元二次方程） 易错辨析 【辨析1】解方程x²=5x时，两边同除以x得x=5．错在哪里？ 答：x可能为0，两边同除以x会丢掉x=0这个根．正确解法：x²-5x=0，x(x-5)=0，所以x1=0，x2=5． 【辨析2】用配方法解2x²-4x-1=0时，写成x²-2x=1再配方，错在哪里？ 答：两边同除以2时，常数项也要除以2，移项后应为x²-2x=，配方得(x-1)²=． 【辨析3】用公式法解x²-3x=2时，取a=1，b=-3，c=2，错在哪里？ 答：没有先把方程化成一般形式．应化为x²-3x-2=0，所以c=-2，b²-4ac=9+8=17． 【辨析4】因式分解法中，由(x-1)(x-2)=6得x-1=2，x-2=3，错在哪里？ 答：只有当方程右边为0时才能用“ab=0则a=0或b=0”．应先化为x²-3x-4=0，(x-4)(x+1)=0，得x1=4，x2=-1． 典型例题 例1　解下列方程：(1) 2x²-18=0；　(2) (x-1)²=5． 【解析】(1) 移项得2x²=18，所以x²=9，直接开平方得x1=3，x2=-3． (2) 直接开平方得x-1=±，所以x1=1+，x2=1-． 例2　用配方法解方程：(1) x²-4x-1=0；　(2) 2x²+3x-2=0． 【解析】(1) 移项得x²-4x=1，配方得x²-4x+4=1+4，即(x-2)²=5，所以x-2=±，x1=2+，x2=2-． (2) 两边同除以2，得x²+x-1=0，移项得x²+x=1．配方得x²+x+()²=1+()²，即(x+)²=．所以x+=±，x1=，x2=-2． 例3　用公式法解方程：(1) 3x²-5x+1=0；　(2) x²-2x+2=0． 【解析】(1) a=3，b=-5，c=1，b²-4ac=(-5)²-4×3×1=13>0，所以x==，即x1=，x2=． (2) a=1，b=-2，c=2，b²-4ac=(-2)²-4×1×2=8-8=0，所以x==，即x1=x2=． 例4　用因式分解法解方程：(1) x²-3x=0；　(2) (x-2)²=2x-4；　(3) x²-5x+6=0． 【解析】(1) x(x-3)=0，所以x=0或x-3=0，x1=0，x2=3． (2) 移项得(x-2)²-2(x-2)=0，提公因式得(x-2)(x-2-2)=0，即(x-2)(x-4)=0，所以x1=2，x2=4． (3) (x-2)(x-3)=0，所以x1=2，x2=3． 例5　选择适当的方法解下列方程：(1) 9(x+1)²=4；　(2) x²+4x-5=0；　(3) 2x²+5x-1=0． 【解析】(1) 方程形如(mx+n)²=p，用直接开平方法：(x+1)²=，x+1=±，所以x1=-，x2=-． (2) 左边易于分解，用因式分解法：(x+5)(x-1)=0，所以x1=-5，x2=1． (3) 系数不便于分解和配方，用公式法：a=2，b=5，c=-1，b²-4ac=25+8=33>0，所以x=，x1=，x2=． 三、基础巩固 （一）选择题 1．方程x²=4的解是（　　） A．x=2 B．x=-2 C．x1=2，x2=-2 D．x=4 2．用配方法解方程x²-6x-1=0时，配方后得到的方程是（　　） A．(x-3)²=10 B．(x-3)²=8 C．(x+3)²=10 D．(x-6)²=37 3．方程x(x-2)=x-2的解是（　　） A．x=1 B．x=2 C．x1=1，x2=2 D．x1=0，x2=2 4．用公式法解方程2x²-3x-1=0时，下列说法正确的是（　　） A．a=2，b=3，c=1，b²-4ac=1 B．a=2，b=-3，c=-1，b²-4ac=17 C．a=2，b=-3，c=-1，b²-4ac=1 D．a=2，b=-3，c=1，b²-4ac=17 5．若一元二次方程x²-8x+15=0的两个根恰好是等腰三角形的两条边长，则这个等腰三角形的周长为（　　） A．11 B．13 C．11或13 D．16 6．代数式x²-4x+5的最小值是（　　） A．5 B．4 C．1 D．0 7．方程3x(x-1)=2(x-1)的解是（　　） A．x= B．x=1 C．x1=1，x2= D．x1=-1，x2= 8．若实数x，y满足(x²+y²)(x²+y²-1)=12，则x²+y²的值为（　　） A．4 B．-3 C．4或-3 D．3 （二）填空题 9．方程(x-3)²=16的解是________________． 10．填空：x²+8x+________=(x+________)²；x²-5x+________=(x-________)²． 11．方程x²-2x-3=0的解是________________． 12．方程x²-2x+3=0的解是________________． 13．对于实数a，b，定义运算“★”：a★b=a²-ab．若(x+1)★3=0，则x的值为________． 14．用公式法解方程x²+3x-1=0，得x=________________． 四、能力提升 15．用直接开平方法解下列方程： (1) 4x²-25=0；　　(2) (2x-1)²=9；　　(3) 3(x+2)²=27． 16．用配方法解下列方程： (1) x²+4x-2=0；　　(2) 3x²-6x+1=0． 17．用公式法解下列方程： (1) 2x²-5x+1=0；　　(2) x²+2x=1； (3) 4x²-4x+1=0；　　(4) x²+x+1=0． 18．用因式分解法解下列方程： (1) x²+5x=0；　　(2) (x+3)²=2(x+3)； (3) 4x²-(x-1)²=0；　　(4) x²-7x+12=0． 19．选择适当的方法解下列方程： (1) (x-2)²-9=0；　　(2) x²-6x+4=0； (3) 2x(x-3)=x-3；　　(4) 3x²+1=4x． 20．用配方法说明：无论x取何实数，代数式2x²-4x+5的值总大于0，并求出它的最小值． 五、拓展探究 21．阅读材料：解方程x⁴-5x²+4=0时，可设x²=y，则x⁴=y²，原方程化为y²-5y+4=0，这种方法叫做换元法．请用这种方法解此方程． 22．已知a²+b²-4a+6b+13=0，求a+b的值． 23．小明解方程x(x+2)=3(x+2)的过程如下： 解：方程两边同时除以(x+2)，得x=3． 小明的解法正确吗？如果不正确，请指出错误原因，并写出正确的解答过程． 24．已知一个三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x²-6x+8=0的根，求这个三角形的周长． 25．综合训练：用适当的方法解下列方程． (1) (x+1)(x-3)=5；　　(2) x²+2x-4=0； (3) (2x+1)²=(x-2)²；　　(4) 2x²-7x+3=0． 26．已知关于x的方程x²+mx-6=0的一个根是2，求m的值及方程的另一个根． 27．已知三角形的两边长分别是4和7，第三边长是方程x²-16x+55=0的根，求这个三角形的周长． 28．用配方法解方程：x²-4x-1=0． 29．用公式法解方程：3x²-5x+1=0． 六、答案及解析 （一）选择题 1．C　【解析】x²=4，直接开平方得x=±2，即x1=2，x2=-2．不要漏掉负根． 2．A　【解析】移项得x²-6x=1，两边加上(-3)²=9，得x²-6x+9=10，即(x-3)²=10． 3．C　【解析】移项得x(x-2)-(x-2)=0，即(x-2)(x-1)=0，所以x1=1，x2=2．若两边同除以(x-2)，会丢掉x=2这个根． 4．B　【解析】a=2，b=-3，c=-1，b²-4ac=(-3)²-4×2×(-1)=9+8=17． 5．C　【解析】解方程得x1=3，x2=5．若腰长为3，三边为3，3，5，因为3+3>5，能构成三角形，周长为11；若腰长为5，三边为5，5，3，能构成三角形，周长为13．所以周长为11或13． 6．C　【解析】x²-4x+5=(x²-4x+4)+1=(x-2)²+1≥1，当x=2时取最小值1． 7．C　【解析】移项得3x(x-1)-2(x-1)=0，即(x-1)(3x-2)=0，所以x1=1，x2=． 8．A　【解析】设x²+y²=t（t≥0），则t(t-1)=12，即t²-t-12=0，(t-4)(t+3)=0，所以t=4或t=-3．因为t≥0，所以x²+y²=4． （二）填空题 9．x1=7，x2=-1　【解析】x-3=±4，所以x=7或x=-1． 10．16，4；，　【解析】配方时加上一次项系数一半的平方：()²=16，()²=． 11．x1=3，x2=-1　【解析】(x-3)(x+1)=0． 12．x1=x2=　【解析】左边是完全平方式，方程即(x-)²=0，所以x1=x2=． 13．-1或2　【解析】(x+1)★3=(x+1)²-3(x+1)=(x+1)(x+1-3)=(x+1)(x-2)=0，所以x=-1或x=2． 14．　【解析】a=1，b=3，c=-1，b²-4ac=9+4=13，所以x=． （三）能力提升 15．【解】(1) 4x²=25，x²=，所以x1=，x2=-． (2) 2x-1=±3，所以2x-1=3或2x-1=-3，x1=2，x2=-1． (3) (x+2)²=9，x+2=±3，所以x1=1，x2=-5． 16．【解】(1) 移项得x²+4x=2，配方得x²+4x+4=2+4，即(x+2)²=6，所以x+2=±，x1=-2+，x2=-2-． (2) 两边同除以3，得x²-2x+=0，移项得x²-2x=-．配方得x²-2x+1=-+1，即(x-1)²=．所以x-1=±=±，x1=1+，x2=1-． 17．【解】(1) a=2，b=-5，c=1，b²-4ac=25-8=17>0，所以x=，x1=，x2=． (2) 化为一般形式x²+2x-1=0，a=1，b=2，c=-1，b²-4ac=4+4=8>0，所以x===-1±，x1=-1+，x2=-1-． (3) a=4，b=-4，c=1，b²-4ac=16-16=0，所以x==，即x1=x2=． (4) a=1，b=1，c=1，b²-4ac=1-4=-3<0，所以原方程没有实数根． 18．【解】(1) x(x+5)=0，所以x1=0，x2=-5． (2) 移项得(x+3)²-2(x+3)=0，(x+3)(x+3-2)=0，即(x+3)(x+1)=0，所以x1=-3，x2=-1． (3) 利用平方差公式得[2x+(x-1)][2x-(x-1)]=0，即(3x-1)(x+1)=0，所以x1=，x2=-1． (4) (x-3)(x-4)=0，所以x1=3，x2=4． 19．【解】(1) （直接开平方法）(x-2)²=9，x-2=±3，所以x1=5，x2=-1． (2) （配方法）x²-6x=-4，x²-6x+9=5，(x-3)²=5，所以x1=3+，x2=3-． (3) （因式分解法）2x(x-3)-(x-3)=0，(x-3)(2x-1)=0，所以x1=3，x2=． (4) （因式分解法）移项得3x²-4x+1=0，(3x-1)(x-1)=0，所以x1=，x2=1． 20．【解】2x²-4x+5=2(x²-2x)+5=2(x²-2x+1)-2+5=2(x-1)²+3． 因为无论x取何实数，都有(x-1)²≥0，所以2(x-1)²≥0，2(x-1)²+3≥3>0． 所以无论x取何实数，代数式2x²-4x+5的值总大于0．当x=1时，代数式取得最小值3． （四）拓展探究 21．【解】设x²=y，原方程化为y²-5y+4=0，(y-1)(y-4)=0，所以y1=1，y2=4． 当y=1时，x²=1，x=±1；当y=4时，x²=4，x=±2． 所以原方程的解为x1=1，x2=-1，x3=2，x4=-2． 22．【解】a²-4a+4+b²+6b+9=0，即(a-2)²+(b+3)²=0． 因为(a-2)²≥0，(b+3)²≥0，所以a-2=0，b+3=0，即a=2，b=-3．所以a+b=2+(-3)=-1． 23．【解】不正确．错误原因：方程两边同时除以的(x+2)可能等于0，这样做会丢掉x=-2这个根． 正确解法：移项得x(x+2)-3(x+2)=0，(x+2)(x-3)=0，所以x1=-2，x2=3． 24．【解】解方程x²-6x+8=0，得(x-2)(x-4)=0，x1=2，x2=4． 根据三角形三边关系，第三边c应满足6-3<c<6+3，即3<c<9．x=2不符合，舍去；x=4符合． 所以三角形的三边长为3，6，4，周长为3+6+4=13． 25．【解】(1) 展开得x²-2x-3=5，即x²-2x-8=0，(x-4)(x+2)=0，所以x1=4，x2=-2． (2) 配方得x²+2x+1=5，(x+1)²=5，所以x1=-1+，x2=-1-． (3) 直接开平方得2x+1=±(x-2)．当2x+1=x-2时，x=-3；当2x+1=-(x-2)时，3x=1，x=．所以x1=-3，x2=．（也可移项后用平方差公式分解） (4) (2x-1)(x-3)=0，所以x1=，x2=3．（也可用公式法：b²-4ac=49-24=25，x=） 26．【解】把x=2代入方程，得4+2m-6=0，解得m=1． 此时方程为x²+x-6=0，即(x-2)(x+3)=0，所以x1=2，x2=-3．故m=1，方程的另一个根为-3． 27．【解】解方程x²-16x+55=0，得(x-5)(x-11)=0，x1=5，x2=11． 由三角形三边关系，第三边c满足7-4<c<7+4，即3<c<11．x=11不符合，舍去；x=5符合． 所以三角形的周长为4+7+5=16． 28．【解】移项，得x²-4x=1．配方，得x²-4x+4=1+4，即(x-2)²=5． 所以x-2=±，x1=2+，x2=2-． 29．【解】a=3，b=-5，c=1，b²-4ac=(-5)²-4×3×1=13>0． 所以x==，即x1=，x2=． 第 页 / 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $