1.1 一元二次方程 课时作业 2026-2027学年青岛版数学 九年级上册

青岛版九年级上册数学 第1章 一元二次方程 1.1 一元二次方程 课时作业 班级：__________ 姓名：__________ 学号：__________ 得分：__________ 一、学习目标 1．理解一元二次方程的概念，能准确判断一个方程是否为一元二次方程． 2．掌握一元二次方程的一般形式ax²+bx+c=0（a≠0），能正确指出二次项系数、一次项系数和常数项． 3．理解一元二次方程的根的含义，会检验一个数是否为方程的根，会用列表的方法估计方程的根． 4．能根据实际问题中的等量关系列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的数学模型． 二、知识点梳理 知识点1　一元二次方程的概念 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程． 判断一个方程是否为一元二次方程，要同时满足三个条件： ①是整式方程，即分母中不含未知数（如x²+=2就不是整式方程）； ②只含有一个未知数（如x²-2xy=1含有两个未知数，不是一元方程）； ③整理化简后，未知数的最高次数是2． 【易错提醒】判断时应先整理化简，再作判断．例如方程x(x+1)=x²-3，去括号、移项后得x+3=0，未知数的最高次数是1，因此它不是一元二次方程． 知识点2　一元二次方程的一般形式 任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都可以化成ax²+bx+c=0（a，b，c为常数，a≠0）的形式，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中ax²叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项． 【要点说明】 (1) “a≠0”是一元二次方程定义中不可缺少的条件，若a=0，方程就不再是一元二次方程；而b，c可以为0．例如x²=0，2x²-3x=0，x²-4=0都是一元二次方程． (2) 指出各项系数时，要连同前面的符号一起说．如方程3x²-5x-2=0中，一次项系数是-5，常数项是-2． (3) 指出系数前必须先把方程化为一般形式．习惯上把二次项系数化为正数． (4) 含字母系数的方程，如(m-1)x²+2x-3=0是关于x的一元二次方程，必须有m-1≠0，即m≠1． 知识点3　一元二次方程的根（解） 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根． (1) 检验：把一个数代入方程，若左右两边相等，则这个数是方程的根；否则不是． (2) 应用：若已知某个数是方程的根，就可以把它代入方程，得到含有字母系数的等式，从而求出字母的值或代数式的值．这种思想叫做“代入法”，常与“整体代入”结合使用． 知识点4　用列表法估计一元二次方程的根 对于方程ax²+bx+c=0，列表计算代数式ax²+bx+c在x取不同值时的值．当代数式的值由负变正（或由正变负）时，方程的一个根就在相应的两个x的值之间．再在这个范围内取更小间隔的值继续列表，就能逐步缩小根的范围，得到符合精确度要求的近似值． 【方法提示】确定近似值时，比较两端代数式值的绝对值，绝对值较小的那一端所对应的x值更接近方程的根． 知识点5　根据实际问题列一元二次方程 列方程的一般步骤：审题→设未知数→找等量关系→列方程→整理成一般形式． 常见的等量关系： (1) 面积问题：矩形面积=长×宽，三角形面积=×底×高； (2) 增长（降低）率问题：若原来的量为a，平均每次增长（降低）率为x，则经过两次增长（降低）后的量为a(1+x)²（或a(1-x)²）； (3) 数字问题：两个连续整数可设为x，x+1；两个连续偶数可设为x，x+2； (4) 握手（比赛）问题：n个人每两人握手一次，共握手次． 易错辨析 【辨析1】关于x的方程mx²+3x-2=0一定是一元二次方程吗？ 答：不一定．只有当m≠0时它才是一元二次方程；当m=0时，方程变为3x-2=0，是一元一次方程．题目中若没有特别说明“一元二次方程”，就要对二次项系数分类讨论． 【辨析2】方程x²=3x的常数项是多少？ 答：先化为一般形式x²-3x=0，常数项是0，而不是“没有常数项”．同样，方程2x²-8=0的一次项系数是0． 【辨析3】已知方程的根求字母的值后，为什么还要检验？ 答：因为题目常常要求方程为一元二次方程，求出的字母值必须保证二次项系数不为0，否则要舍去． 典型例题 例1　下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A．2x+1=0 B．x²+=2 C．x²-2xy=1 D．3x²=5x 【解析】A中未知数的最高次数是1，是一元一次方程；B中分母含有未知数，不是整式方程；C中含有两个未知数；D整理后为3x²-5x=0，符合一元二次方程的定义．答案：D 例2　将方程(2x-1)(x+3)=x²+1化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． 【解析】去括号，得2x²+6x-x-3=x²+1．移项、合并同类项，得x²+5x-4=0．所以二次项系数为1，一次项系数为5，常数项为-4． 例3　已知x=-1是关于x的方程x²+mx-3=0的一个根，求m的值及代数式m²-2m的值． 【解析】把x=-1代入方程，得(-1)²+m×(-1)-3=0，即1-m-3=0，解得m=-2．所以m²-2m=(-2)²-2×(-2)=4+4=8． 例4　用列表法估计方程x²+2x-10=0的正根（精确到0.1）． 【解析】先列表计算x²+2x-10的值： x 1 2 3 4 x²+2x-10 -7 -2 5 14 由表可知，当x=2时代数式的值为负，当x=3时代数式的值为正，所以正根在2和3之间．再进一步列表： x 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 x²+2x-10 -1.39 -0.76 -0.11 0.56 1.25 由表可知正根在2.3和2.4之间，且|-0.11|<|0.56|，所以x=2.3时更接近0，方程的正根约为2.3． 例5　如图，在一块长32 m、宽20 m的矩形空地上，修建两条互相垂直且宽度相同的小路，其余部分种草．若草坪的面积为540 m²，求小路的宽．设小路宽为x m，请列出方程并化成一般形式． 【解析】把两条小路分别平移到矩形的边上，草坪可以拼成一个长为(32-x) m、宽为(20-x) m的矩形．根据题意，得(32-x)(20-x)=540．整理，得x²-52x+100=0． 三、基础巩固 （一）选择题 1．下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A．3x-1=0 B．x²-2x=x²+1 C．(x-1)(x+2)=1 D．+x=2 2．方程2x²-3x=5的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．2，3，5 B．2，-3，5 C．2，-3，-5 D．2，3，-5 3．若方程(m-2)x²+3x-1=0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（　　） A．m≠2 B．m=2 C．m≥2 D．m≠0 4．若x=1是方程x²+ax-3=0的一个根，则a的值为（　　） A．1 B．2 C．-2 D．3 5．将方程x(x-4)=2x-3化为一般形式，正确的是（　　） A．x²-6x+3=0 B．x²-2x+3=0 C．x²-6x-3=0 D．x²+6x+3=0 6．若关于x的方程(a-1)x|a|+1-3x+2=0是一元二次方程，则a的值为（　　） A．1 B．-1 C．±1 D．0 7．根据下表，可以判断方程x²+3x-5=0的一个正根x的取值范围是（　　） x 1 1.1 1.2 1.3 x²+3x-5 -1 -0.49 0.04 0.59 A．1<x<1.1 B．1.1<x<1.2 C．1.2<x<1.3 D．1.3<x<1.4 8．某工厂一月份生产零件50万个，三月份生产零件72万个．设该厂二、三月份平均每月的增长率为x，则所列方程正确的是（　　） A．50(1+x)=72 B．50(1+2x)=72 C．50(1+x)²=72 D．72(1-x)²=50 （二）填空题 9．方程3x²=2x+1化成一般形式为________________，其中一次项系数是________． 10．若关于x的方程(k+3)x²-kx+1=0是一元二次方程，则k满足的条件是________． 11．已知m是方程x²-x-2=0的一个根，则代数式m²-m+2026的值为________． 12．已知a是方程x²-3x-1=0的一个根，则2a²-6a+5的值为________． 13．若一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）满足a+b+c=0，则方程必有一个根为________；若满足a-b+c=0，则方程必有一个根为________． 14．如图，在一块长30 cm、宽20 cm的矩形铁皮的四个角上，各剪去一个边长为x cm的正方形，然后把四边折起，做成一个无盖的长方体盒子．若盒子的底面积为336 cm²，则可列方程为________________． 四、能力提升 15．把下列方程化成一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项． (1) 5x²=3x；　　　　　　　　(2) (x+2)²=3x+4； (3) (3x-1)(x+2)=2x²-5；　　(4) x²=x+3． 16．已知关于x的方程(m²-1)x²+(m+1)x-2=0． (1) 当m为何值时，它是一元二次方程？ (2) 当m为何值时，它是一元一次方程？ 17．已知关于x的一元二次方程(m-1)x²+x+m²-1=0有一个根是0，求m的值． 18．根据题意列出方程，并化成一般形式（不必求解）． (1) 一个矩形的长比宽多3 cm，面积是40 cm²，求矩形的宽； (2) 两个连续正偶数的积是168，求这两个数； (3) 参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手45次，求参加聚会的人数． 19．用列表法估计方程2x²-x-4=0的正根（精确到0.1）． 五、拓展探究 20．已知a是方程x²-2026x+1=0的一个根，求代数式a²-2025a+的值． 21．已知关于x的方程(m+2)xm²-2+(m-3)x-1=0是一元二次方程． (1) 求m的值，并把方程化为一般形式； (2) 用列表法确定该方程的正根在哪两个相邻的十分位数之间． 22．某商店将进价为8元的商品按每件10元售出，每天可销售200件．经调查发现，这种商品的售价每上涨0.5元，其每天的销售量就减少10件．设这种商品每件售价为x元（x≥10），商店每天销售这种商品的利润为640元． (1) 用含x的代数式表示每天的销售量； (2) 列出关于x的方程，并化为一般形式； (3) 检验x=12和x=16是否都是所列方程的根，并说明为了让顾客得到实惠，售价应定为多少元． 23．已知一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）．若4a-2b+c=0，则方程必有一个根是________；若9a+3b+c=0，则方程必有一个根是________． 24．一个两位数，个位数字比十位数字大3，且个位数字的平方恰好等于这个两位数．设十位数字为x． (1) 列出关于x的方程，并化为一般形式； (2) 分别检验x=2，x=3是否为所列方程的根，并写出满足条件的两位数． 25．如图，某校要在长40 m、宽26 m的矩形场地上修建三条宽度相同的道路（两条纵向、一条横向），其余部分种植花草．要使花草的种植面积为864 m²，道路的宽应为多少？设道路宽为x m，列出方程并化为一般形式，再检验x=2是否为方程的根． 六、答案及解析 （一）选择题 1．C　【解析】A是一元一次方程；B整理后为-2x-1=0，是一元一次方程；C整理后为x²+x-3=0，是一元二次方程；D分母中含有未知数，不是整式方程． 2．C　【解析】先化为一般形式2x²-3x-5=0，所以二次项系数为2，一次项系数为-3，常数项为-5．注意系数要连同符号． 3．A　【解析】一元二次方程的二次项系数不为0，所以m-2≠0，即m≠2． 4．B　【解析】把x=1代入方程，得1+a-3=0，解得a=2． 5．A　【解析】去括号，得x²-4x=2x-3，移项、合并同类项，得x²-6x+3=0． 6．B　【解析】由题意得|a|+1=2且a-1≠0．由|a|=1得a=±1，又a≠1，所以a=-1． 7．B　【解析】当x=1.1时，x²+3x-5=-0.49<0；当x=1.2时，x²+3x-5=0.04>0．代数式的值由负变正，所以方程的一个正根在1.1与1.2之间． 8．C　【解析】二月份产量为50(1+x)万个，三月份产量为50(1+x)(1+x)=50(1+x)²万个，所以50(1+x)²=72． （二）填空题 9．3x²-2x-1=0；-2　【解析】移项得3x²-2x-1=0，一次项是-2x，所以一次项系数是-2． 10．k≠-3　【解析】二次项系数k+3≠0，所以k≠-3． 11．2028　【解析】因为m是方程的根，所以m²-m-2=0，即m²-m=2．所以m²-m+2026=2+2026=2028．（整体代入） 12．7　【解析】由题意得a²-3a-1=0，即a²-3a=1．所以2a²-6a+5=2(a²-3a)+5=2×1+5=7． 13．1；-1　【解析】把x=1代入方程得a+b+c=0，所以当a+b+c=0时，x=1是方程的根；把x=-1代入方程得a-b+c=0，所以当a-b+c=0时，x=-1是方程的根． 14．(30-2x)(20-2x)=336　【解析】剪去正方形后，盒子底面是长为(30-2x) cm、宽为(20-2x) cm的矩形，根据底面积为336 cm²列方程．整理后为x²-25x+66=0． （三）能力提升 15．【解】(1) 移项得5x²-3x=0，二次项系数为5，一次项系数为-3，常数项为0． (2) 展开得x²+4x+4=3x+4，移项、合并同类项得x²+x=0，二次项系数为1，一次项系数为1，常数项为0． (3) 展开得3x²+6x-x-2=2x²-5，移项、合并同类项得x²+5x+3=0，二次项系数为1，一次项系数为5，常数项为3． (4) 移项得x²-x-3=0，二次项系数为，一次项系数为-1，常数项为-3．（也可两边同乘2化为x²-2x-6=0，此时二次项系数为1，一次项系数为-2，常数项为-6） 16．【解】(1) 当m²-1≠0，即m≠1且m≠-1时，它是一元二次方程． (2) 当m²-1=0且m+1≠0时，它是一元一次方程．由m²-1=0得m=±1，又m+1≠0，即m≠-1，所以m=1．此时方程为2x-2=0，确实是一元一次方程． 17．【解】把x=0代入方程，得m²-1=0，解得m=1或m=-1．又因为方程是一元二次方程，所以m-1≠0，即m≠1．所以m=-1． 【点评】求出字母的值后，一定要检验二次项系数是否为0，这是本题的易错点． 18．【解】(1) 设矩形的宽为x cm，则长为(x+3) cm．根据题意，得x(x+3)=40，一般形式为x²+3x-40=0． (2) 设较小的偶数为x，则较大的偶数为x+2．根据题意，得x(x+2)=168，一般形式为x²+2x-168=0． (3) 设参加聚会的有x人，每人都与另外(x-1)人握手，每两人之间只握一次，所以共握手次．根据题意，得=45，一般形式为x²-x-90=0． 19．【解】列表计算2x²-x-4的值： x 1 2 2x²-x-4 -3 2 所以正根在1与2之间．再列表： x 1.5 1.6 1.7 1.8 2x²-x-4 -1 -0.48 0.08 0.68 代数式的值在x=1.6与x=1.7之间由负变正，所以正根在1.6与1.7之间．又因为|0.08|<|-0.48|，所以方程的正根约为1.7． （四）拓展探究 20．【解】因为a是方程x²-2026x+1=0的根，所以a²-2026a+1=0． 于是a²=2026a-1，a²+1=2026a． 所以a²-2025a=(2026a-1)-2025a=a-1，==． 所以原式=a-1+=-1=-1=2026-1=2025． 【点评】本题运用了“整体代入”和“降次”的思想，是处理与方程的根有关的代数式求值问题的常用方法． 21．【解】(1) 由题意得m²-2=2且m+2≠0．由m²=4得m=±2，又m≠-2，所以m=2． 此时方程为4x²+(2-3)x-1=0，即4x²-x-1=0． (2) 列表计算4x²-x-1的值： x 0 0.5 0.6 0.7 1 4x²-x-1 -1 -0.5 -0.16 0.26 2 当x=0.6时代数式的值为负，x=0.7时代数式的值为正，所以方程的正根在0.6和0.7之间． 22．【解】(1) 售价为x元时，比10元上涨了(x-10)元，上涨了=2(x-10)个0.5元，所以每天销售量减少10×2(x-10)=20(x-10)件．每天的销售量为200-20(x-10)=(400-20x)件． (2) 每件利润为(x-8)元．根据题意，得(x-8)(400-20x)=640． 两边同除以20，得(x-8)(20-x)=32，展开得-x²+28x-160=32，整理得x²-28x+192=0． (3) 当x=12时，左边=12²-28×12+192=144-336+192=0=右边，所以x=12是方程的根；当x=16时，左边=16²-28×16+192=256-448+192=0=右边，所以x=16也是方程的根． 两个售价都能使每天利润为640元，为了让顾客得到实惠，售价应定为12元． 23．-2；3　【解析】把x=-2代入方程得4a-2b+c=0，所以当4a-2b+c=0时，x=-2是方程的根；把x=3代入方程得9a+3b+c=0，所以x=3是方程的根． 24．【解】(1) 十位数字为x，则个位数字为x+3，这个两位数为10x+(x+3)=11x+3．根据题意，得(x+3)²=11x+3．展开得x²+6x+9=11x+3，整理得x²-5x+6=0． (2) 当x=2时，左边=2²-5×2+6=0=右边，所以x=2是方程的根；当x=3时，左边=3²-5×3+6=0=右边，所以x=3也是方程的根． 当x=2时，两位数为25，且5²=25；当x=3时，两位数为36，且6²=36．所以满足条件的两位数是25或36． 25．【解】把三条道路平移到场地的边缘，花草部分拼成一个长为(40-2x) m、宽为(26-x) m的矩形．根据题意，得(40-2x)(26-x)=864． 展开得1040-40x-52x+2x²=864，整理得2x²-92x+176=0，即x²-46x+88=0． 当x=2时，左边=2²-46×2+88=4-92+88=0=右边，所以x=2是方程的根．即道路宽可以为2 m． 第 页 / 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $