第二十五章 《一元二次方程》培优提升专题2026-2027学年人教版九年级上册数学

人教版九年级上册数学第二十五章 《一元二次方程》 培优提升专题 专题一 一元二次方程的定义和根 核心考点一 一元二次方程的定义——二次、整式方程 1.下列是一元二次方程的是( ) A. B. C. D. 2.下列方程不是一元二次方程的是( ) A. B. C. D. 核心考点二 一元二次方程根的定义——逢根必代 3.若关于 的一元二次方程 有一个根为, 则____. 4.若 是关于 的一元二次方程 的根，则 ____. 核心考点三 由一元二次方程的根与变形代换①——降次代换 5.已知为方程 的一个根，则代数式 ____. 6.已知 是方程 的两个根，则代数式 ____. 核心考点四 由一元二次方程的根与变形代换②——整体代换 7.已知 是方程 的两个根，且 ，则____. 8.已知 是方程 的根，则代数式 ____. 核心考点五 由一元二次方程的根与变形代换③——分式化整 9.若 是方程 的一个根，则 ， . 10. 若是方程 的一个实数根，则 ____. 11.设 是方程 的一个实根，则 ____. 核心考点六 一元二次方程的根与变形代换④——换元法 12.关于的一元二次方程 的两根分别为 ， .则方程 的两根分别为____. 13.若 的两个实数根为和，那么关于的一元二次方程 的解为____. 14.已知关于 的方程 的解是 ， ，则关于 的方程 的解____. 15.关于 的一元二次方程 的两根为 和 ，则关于 的方程 的两根为____. 核心考点七 一元二次方程中的含参定根①——特征根 16.关于 的一元二次方程 ，当 时，该方程一定有一根为____. 17.已知 ，则关于的一元二次方程 必有一根为____. 核心考点八 一元二次方程中的含参定根②——与参数无关 18.关于 的一元二次方程 必有一根为____. 19.无论 为何值，关于 的一元二次方程 总有一个不变的根，则这个不变的根为____. 20.若关于 的一元二次方程 有一根为 ，则关于 的一元二次方程 必有一根为____. 核心考点九 一元二次方程中的特殊根①——公共根 21.关于 的两个不同的方程 ， 有且只有一个公共根，则____. 22.已知关于 的两个一元二次方程 和 有且仅有一个相同的根，求的值. 核心考点十 一元二次方程中的特殊根②——倍根 23.已知关于 的两个方程 ， ，若前一个方程中有一个根是后一个方程中某个根的3 倍，则____. 24.已知关于的两个方程 ， .若前一个方程中有一个根是后一个方程某个根的5 倍，则____. 专题二 解一元二次方程 核心考点一 用指定的方法解一元二次方程 1.用指定的方法解下列方程: (1) ；(直接开平方法) (2) ；(配方法) (3) ；(公式法) (4) .(因式分解法) 核心考点二 解含参数的一元二次方程 2.解下列关于 的一元二次方程: (1) ； (2) . 3.已知关于的一元二次方程 的一个根为 .若 ，求 的取值范围. 4.已知关于 的一元二次方程 . (1)求证:无论 为何值，此方程总有一个根是定值； (2)若直角三角形的一边为，另两边恰好是这个方程的两根，求的值. 专题三 可化为一元二次方程的方程 核心考点一 换元法①——换整式 1.解下列方程: (1) ； (2) . 2.若实数 满足 ，则 ____. 核心考点二 换元法②——换分式 3.已知实数 满足 ，则 ____. 核心考点三 换元法③——换根式或绝对值 4.提出问题:解方程: 提示：可以用“换元法”解方程. 解：设 ，则原方程可化为 ，解得 ，（舍去），，，. 解决问题：解方程： (1) ； (2) . 核心考点四 消元法 5.已知实数 满足 ，且 ，则____. 核心考点五分类讨论法——解含绝对值的一元二次方程的方程 6.已知方程 ，求满足该方程的所有根之和. 专题四 配方法求代数式最值 核心考点一 单配方 1.将一元二次方程 化成 （ 为常数）的形式，则____. 2.已知代数式 ，先用配方法说明，不论 取何值，这个代数式的值总是正数；再求出当取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？ 核心考点二 双配方 3.(2025 七一中学月考) 已知 ，则 ____. 4.若 ， ，则 的大小关系为( ) A. B. C. D. 核心考点三 消元与配方 5.已知 ，则 的最大值为____. 6.已知实数 满足 ，若 ，则的最大值为____. 7.已知 为实数，且满足 ，记 的最大值为 ，最小值为 .则 ____. 核心考点四 隐含的配方 8.两个数的和为，则这两个数的积的最大值为____. 9.已知实数 满足 ，则 ____. 核心考点五 多变量多次配方求最值 10.已知 为实数，求代数式 的最小值. 11.当 ____， 时，代数式 的最小值为. 12.已知 都为实数，则式子 的最大值是____. 13.若 （ 为实数），则 的最小值为____. 专题五 配方法求几何最值 核心考点一 利用配方法求面积最值 1. 四边形的两条对角线互相垂直， ，当的长分别是多少时，四边形的面积最大？ 2. 四边形的两条对角线所成的锐角为， ，则四边形的面积的最大值为____. 3.在 中 ， ，点 为 边上一点( 不与点 重合)，连接， 将线段绕点逆时针旋转 ，点的对应点为，连接.若 ，则四边形 的面积的最大值为____. 核心考点二 利用配方法求线段最值 4.在正方形 中， .点 分别在边上，若 ，将线段绕点 顺时针旋转至线段 ，连接，则线段的最小值为____. 专题六 根的判别式 核心考点一利用根的判别式判断一元二次方程根的情况1——正数或 正数 1.不解方程，判断方程 的根的情况是( ) A. 无实数根 B.有两个不相等的实数根 C.有两个实数根 D.随值的变化而变化，不能判定 核心考点二利用根的判别式判断一元二次方程根的情况2—— 或 2.已知关于 的方程 ，该方程根的情况为( ) A.方程没有实数根 B.方程有两个实数根 C.方程有两个相等的实数根 D. 不能确定 核心考点三 利用根的判别式确定一元二次方程中参数的取值范围 3.关于 的一元二次方程 有实数根，则的取值范围是____. 4.如果关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，那么的取值范围是____. 5.关于的方程 有实数根，则的取值范围是____. 核心考点四 将二次等式理解为二次方程，利用判别式求字母的取值范围 6.若实数 满足 ，则实数的取值范围是____. 核心考点五 设参将二次式转化为二次方程，利用判别式求式子的最值 7.已知实数 满足 ，求 的最小值. 8.已知 为实数，且满足 ，记 的最大值为 ，最小值为 ，则 ____. 核心考点六 分类讨论 9.已知关于的方程 (1)求证:无论 取何值，方程一定有两个实数根； (2)求证:无论取何值，方程总有一定根； (3)若等腰 的边长 ，另两边长 恰好是这个方程的根，求 的周长. 10.已知实数满足 ， ，求的最大值. 11.已知关于 的方程 有且仅有两个不相等的实根，则实数的取值范围为____. 核心考点七利用判别式求几何图形的存在性 12.矩形中， ， (1)若 ， ， 为上一动点(异于两点)，当在什么位置时， 为直角三角形； (2)为上一点(异于两点)，当 满足什么条件时，使 为直角三角形的 点有且只有一个？ 专题七 根与系数的关系(1)—— 化简求值 核心考点一 利用根与系数的关系直接求值 1.已知 是方程 的两个实数根，若 ，则____. 2. 中， ，的长是方程 的两根，则____. 3.已知 是关于的方程 的两个根，则 ____. 核心考点二 结合完全平方公式和公式 ，利用根与系数的关系求值 4.若 是方程 的两个根，试求下列各式的值: (1) ； (2) ； (3) ； (4) . 核心考点三 根的定义结合根与系数关系①——整体代换与降次代换 5.设 是方程 的两个实数根，则 ____. 6. 是方程 的两根，则 ____. 7.已知 是方程 的两根，则 ____. 8.已知 是方程 的两根，则 ____. 核心考点四 根的定义结合根与系数关系②——对称式 9.已知是一元二次方程 的两根，则 ____. 核心考点五 根的定义结合根与系数关系③——参数讨论 10.已知关于 的一元二次方程 有两根 ，若 ，则____. 核心考点六 根的定义结合根与系数关系④——含参最值 11.关于的一元二次方程 的两个实数根分别是 ，则 的最大值是____. 12.关于 的一元二次方程 的两个实数根分别是 ，则 的最大值为____. 专题八 根与系数的关系(2)—— 讨论求参 核心考点一 先利用判别式求参数范围，再根据参数范围取舍参数的值 1. 关于 的方程 (1)若方程有两个不相等的实数根，求 的取值范围； (2)若 是方程的两根，且 ，求的值. 2.关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根. (1)求 的取值范围； (2)若 是方程的两根，且 ，求 的值. 核心考点二 先利用根与系数的关系求参数，再利用判别式取舍参数的值(易错点) 3.关于 的方程 的两个实数根分别为 ，且 ，.则 的取值范围是____. 4.关于 的一元二次方程 的两个实数根为 ，且有 ，则实数 的取值范围为____. 5.关于 的一元二次方程 有两个正实数根，则的取值范围为____. 6.已知方程 有一个正根，一个负根，那么的取值范围是____. 7.已知方程 的两个实数根的平方和为 ，求的值. 专题九 根与系数的关系(3)——去绝对值 核心考点一 先利用判别式求参数范围，再利用该范围去掉绝对值 1.已知:关于 的一元二次方程 有两个实数根. (1) 求 的取值范围； (2) 若 ，求的值. 核心考点二 利用根与系数的关系中的隐藏条件去掉绝对值，先移项再平方处理 2.关于 的方程 有两个实数根 . (1) 求实数 的取值范围； (2) 若 满足 ，求的值. 3.已知关于 的一元二次方程 (1)求证:方程总有两个不相等的实数根； (2) 设方程的两实根分别为 ，且 ，求 的值及方程的根. 专题十 根与系数的关系(4)——构造方程 材料1：一元二次方程 的两根 有如下的关系(韦达定理)： 材料2：有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决.下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造 例如，如果实数 满足 ， ，且，则可将 看作是方程 的两个不相等的实数根. 方法2：利用韦达定理逆向构造 例如，如果实数 满足 ， ，则可以将 看作是方程 的两实数根. 核心考点一 满足一元二次方程定义的等式，构造方程利用根与系数的关系求值 1.(1)若实数 满足： ， ，则 ，. (2)已知实数 满足 ， 且 ，求 的值； (3)已知实数 分别满足 ，，且，求 的值. 2.若 为互不相等的实数，且 ， ，则 ____. 核心考点二 已知根与系数的关系结构构造方程，利用判别式求参数最值 3.(1) 已知 满足 ， ，则正数 的最小值为____. (2)已知实数 满足 ， ，且 ，求 的最大值. 专题十一 一元二次方程的实际应用(1)—— 面积问题 核心考点一 边框设计问题 1.在一幅长，宽的宣传海报四周镶上相同宽度的金色纸片制成一幅矩形挂图.要使整个挂图的面积为 ，设纸边的宽为 ，则可列出方程为( ) A. B. C. D. 核心考点二 甬路问题与平移 2.为改善小区环境，争创文明家园.某社区决定在一块长()，宽 ()的矩形场地 上修建三条同样宽的小路，其中两条与 平行，另一条与 平行，其余部分种草，且草坪部分的总面积为.求小路的宽为多少米？ 3.某校计划利用一片空地建一个学生自行车车棚，自行车车棚为矩形，其中一面靠墙，这堵墙的长度为，另三面用现有的木板材料围成，总长为，且计划建造车棚的面积为 . (1)为了方便学生出行，学校决定在与墙平行的一面开一个宽的门，那么这个车棚与墙垂直及与墙平行的面各有多长？ (2)施工单位又决定在车棚内修建三条等宽的小路(小路垂直或平行于墙)，使得停放自行车的面积为 ，那么小路的宽是多少？ 核心考点三 靠墙围栏问题——注意自变量的取值范围 4.一面墙长，借助这面墙用长度为的篱笆围成面积为 的矩形花园(墙的长度要大于花园的长的长)，求矩形花园的宽 的长. 5.用长的竹栅栏围一个矩形菜园，菜园的一边靠长为 的墙，另三边用竹栅栏围成，且在与墙平行的一边开两扇门，宽度都是，设与墙垂直的一边长为 . (1)当 时，矩形菜园面积是 ，求； (2)当足够大时，问矩形菜园的面积能否达到 (3) 若矩形菜园的面积是 ，的值只能取一个，试写出的取值范围. 核心考点四 折叠纸盒问题 6.综合实践——用矩形硬纸片制作无盖纸盒.有一张长，宽的长方形硬纸片，裁去角上同样大小的四个小正方形之后，折成无盖纸盒.(硬纸片厚度忽略不计) (1) 若纸盒的底面积为 ，请计算剪去的正方形的边长； (2)小明先在原矩形硬纸片的两个角各剪去一个同样大小的正方形(阴影部分)，经过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖纸盒.若折成的有盖长方体纸盒的表面积为 ，请计算剪去的正方形的边长. 专题十二 一元二次方程的实际应用(2 )——循环､传染､分叉问题 核心考点一 循环比赛问题 1.参加足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共要比赛 场，共有多少个队参加比赛？ 2.今年“国庆中秋”双节叠加，普天同庆.某家庭微信群规定，群内的每个人都要发红包，并保证群内其他人恰好都能抢到(自己不能抢自己发的)红包.此次活动结束，群内所有人共收到 个红包，则该群一共有____人. 核心考点二 传染问题 3.秋冬季节来临，许多季节性传染病，尤其是呼吸道传染病开始流行，大家要加强防范.疾控部门为了检测流感的传染速度，设计了一个问题：有 人患了流感，经过两轮传染后共有 人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染 个人，那么 满足的方程为( ) A. B. C. D. 4.有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有 人患了流感. （1）每轮传染中平均一个人传染几个人？ （2）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有____个人患流感. 5.有 人患有流感，经过两轮传染后，有 人患流感，若开始有 人患流感，则经过一轮传染后，共有____个人患有流感. 核心考点三 树枝分叉问题 6.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是，每个支干长出多少小分支？ 7.有一个人收到短信后，再用手机转发短信息，每人只转发一次，经过两轮转发后，共有 人收到短信，问每轮转发中平均一个人转发给多少人？ 专题十三 一元二次方程的实际应用(3 )——增长率､下降率问题 核心考点一 增长率问题 1.某公司 月份的利润为 万元，要使 月份的利润为 万元，则平均每月增长的百分率是( ) A. B. C. D. 2.计划从某年起三年共投入 万元，已知第一年已投入 万元，设投入经费的年平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是( ) A. B. C. D. 核心考点二 下降率问题 3.某银行经过最近的两次降息，使一年期存款的年利率由 降低至，设平均每次降息的百分率为，则满足方程( ) A. B. C. D. 4.假设每天"遗忘"的百分比为 ，根据"两天不练丢一半"，可列方程( ) A. B. C. D. 5.某科研所三位技术人员甲､乙､丙攻关成功，共获得奖金 万元，甲､乙､丙按照一定的“衰分比”分配奖金，若甲分得奖金 万元，则“衰分比”是____. 6.某远光商场一种商品的进价为每件 元，售价为每件 元，每天可以销售 件，为尽快减少库存，商场决定降价促销. (1 )若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件 元，求两次下降的百分率； ( 2 )经调查，若该商品每降价 元，每天可多销售 件，那么每天要想获得 元的利润，每件应降价多少元？ 专题十四 一元二次方程的实际应用(4 )——利润与商品销售问题 1.某商品的进价为每件 元，现在的售价为每件 元，每月可卖出 件.市场调查反映：每件商品的售价每涨 元，每月少卖 件.设每件商品的售价为元，每月的销售利润为 元. 根据题意，下面所列方程中正确的是( ) A. B. C. D. 2.某商店从厂家以每件 元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价.若每件商品售价为元，则可卖出件.但物价局限定每件商品加价不能超过进价的.商店计划要赚 元，需要卖出多少件商品？每件商品应售多少元？ 3.某玩具店采购人员第一次用 元去采购“企鹅牌”玩具，很快售完.第二次去采购时发现批发价上涨了 元，用去了 元，所购玩具数量比第一次多了 件，问第二次采购玩具多少件？ 4.(2026 江夏期中)某商品现在的售价为每件 元，每星期可卖出 件.市场调查反映：每降价 元，每星期可多卖出 件.已知商品的进价为每件 元，求降价多少元，可使每星期获得的总利润为 元？ 专题十五 一元二次方程的几何应用(1)——动点形成的线段和面积 1.在 中， ， ， .点 从点开始沿边向点 以的速度移动，同时点从点开始沿边向点 以的速度移动.当一个点到达终点时另一点也随之停止运动，设运动时间为 . (1)求几秒后， 的面积等于 (2) 求几秒后，的长度等于 (3)运动过程中， 的面积能否等于 说明理由. 2.为矩形的四个顶点， ， ，动点分别从点同时出发，点 的速度向点 移动，一直到达为止，点以的速度向移动. (1)两点从出发开始到几秒时，四边形 的面积为 ； (2)两点从出发开始到几秒时，点 和点的距离是. 专题十六 一元二次方程的几何应用(2)—— 黄金分割点 黄金分割点与黄金分割数：人们把 这个数叫作黄金分割数，如果把一条线段分为两部分，使其中较长一段与整个线段的比是黄金分割数，那么较短一段与较长一段的比也是黄金分割数. 1.定义：某点把某条线段分成两部分，若较长线段的平方等于较短线段与整条线段的乘积，则这个点就叫作这条线段的黄金分割点.点是线段上一点， 且 ，则点 是线段 的黄金分割点. (1)图1中，若线段 ，求线段的长； (2)图2中，线段 ， 是线段的黄金分割点.求证：点是线段的黄金分割点. 2.在设计人体雕像时，使雕像上部(腰部以上)与下部(腰部以下) 的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感.按此比例设计一座高度为的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是( ) A. B. C. D. 3. “黄金分割”，顶角为的等腰三角形，底与腰的比值为黄金分割数，常称这类三角形为"黄金三角形". 均为"黄金三角形"，若 ，则 ____. 专题十七 含参一元二次方程多结论问题 核心考点一 一元二次方程根的定义，特征根，根系关系和根的判别式 1.对于一元二次方程 ，下列说法： ①若 ，则方程 必有一根为； ②若 ，则方程 有两个不相等的实数根； ③若方程 有一根为 ，则方程必有两相等的实数根； ④若 ，则方程 定有两个不等的实数根. 其中正确的有( ) A.①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③④ 核心考点二 根的定义，根的判别式与求根公式 2.已知一元二次方程 . ①若方程两根为 和，则 ； ②若，则一元二次方程 有两个不相等的实数根； ③若 ，则一元二次方程 有两个不相等的实数根； ④若 是方程 的一个根，则一定有 成立. 其中正确的有( ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 综合与实践(1)——探究特殊根与韦达定理 1.如果关于 的一元二次方程 有两个实数根，且其中一个根为另一个根的 倍，那么称这样的方程为“倍根方程”.例如，一元二次方程： 的两个根是 和 ，则方程 是“倍根方程”. (1) 根据上述定义，一元二次方程 ____(填"是"或"不是")"倍根方程"； (2)若一元二次方程： 是“ 倍根方程”，则____； (3) 若 是“倍根方程”，求代数式 的值. 2.韦达定理材料：一元二次方程 的两根 ，，. 如果实数满足，，且，可把看作两根. (1) ①已知一元二次方程 的两根分别为，则 ， ； ②已知实数满足： ，，则 ____. (2) 已知实数满足： ，， 且 ，求 的取值范围. 综合与实践(2 )——数形结合与图形的剪拼 核心考点一 图形的分割与拼接 1. 若将正方形剪成四块，恰能拼成矩形，设 ，则的值为____. 核心考点二 几何法求一元二次方程的正根 2.我国古代数学家赵爽记载一元二次方程几何解法，以 为例：首先将方程变形为 ，然后构造如图1所示图形，利用面积关系得新方程 ，从而求出原方程的一个正根. 拓展应用：一般地，对于形如 的一元二次方程可以构造图形来解.已知图2是由四个面积为 的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为，那么此方程的正根为____. 核心考点三 画图法求方程的正根 3.欧几里得《原本》记载形如 的方程的图解法是：画 ， ， ， ，再在斜边 上截取 ，则该方程的一个正实数根等于( ). A. 的长 B. 的长 C. 的长 D. 的长 参考答案 专题一 一元二次方程的定义和根 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. ； 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19 . 20. 21. 22. 23. 或 24. 专题二 解一元二次方程 1.(1) (2) (3) (4) 2.(1) (2) 3. 或 4.(1)定值根 (2)或 专题三 可化为一元二次方程的方程 1.(1) (2) 2. 3. 4.(1) (2) 5. 6. 专题四 配方法求代数式最值 1. 2.；最小值 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.，；最小值 12. 13. 专题五 配方法求几何最值 1.，；最大面积 2. 3. 4. 专题六 根的判别式 1. 2. 3. 4.且 5. 6.或 7. 8. 9.(1)见解析；(2)见解析；(3)或 10. 11.或 12.(1)或；(2) 专题七 根与系数的关系(1)——化简求值 1. 2. 3. 4.(1)；(2)；(3)；(4) 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 专题八 根与系数的关系(2)——讨论求参 1.(1)；(2) 2.(1)；(2) 3.且 4. 5. 6. 7. 专题九 根与系数的关系(3)——去绝对值 1.(1)；(2) 2.(1)无实数解；(2)无实数解 3.(1)见解析；(2)，根，；，根， 专题十 根与系数的关系(4)——构造方程 1.(1)； (2) (3) 2. 3.(1)；(2) 专题十一 一元二次方程的实际应用(1)——面积问题 1. 2. 3.(1)垂直墙，平行墙；(2) 4. 5.(1)；(2)不能；(3) 专题十二 一元二次方程的实际应用(2)——循环、传染、分叉问题 1. 2. 3. 4.(1)；(2) 5. 6. 7. 专题十三 一元二次方程的实际应用(3)——增长率、下降率问题 1. 2. 3. 4. 5. 6.(1)；(2)元 专题十四 一元二次方程的实际应用(4)——利润与商品销售问题 1. 2.售价元，销量件 3.件 4.元 专题十五 一元二次方程的几何应用(1)——动点形成的线段和面积 1.(1)；(2)；(3)能， 2.(1)；(2) 专题十六 一元二次方程的几何应用(2)——黄金分割点 1.(1)；(2)见证明 2. 3. 专题十七 含参一元二次方程多结论问题 1. 2. 综合与实践(1)——探究特殊根与韦达定理 1.(1)；(2)；(3) 2.(1)①，；② (2) 综合与实践(2)——数形结合与图形的剪拼 1. 2. 3. 学科网（北京）股份有限公司 $