第25-26章考点汇总+跟踪练习（选择题篇）-2026-2027学年数学九年级上册人教版

**基本信息** 聚焦一元二次方程与二次函数综合，以考点为纲串联概念、解法与实际应用，题型覆盖基础到综合，逻辑链条清晰。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |一元二次方程求值|4题|考查一般形式、根的定义及系数识别|从概念到基础应用，为后续解法铺垫| |一元二次方程解法|4题|含配方、根的判别式及根与系数关系|衔接求值问题，深化方程求解技能| |实际问题与一元二次方程|4题|涉及传染、几何面积等建模问题|体现方程的应用价值，培养模型意识| |二次函数图象和性质|4题|考查顶点、开口方向及平移规律|从代数到函数，构建数形结合基础| |二次函数与一元二次方程|4题|结合函数图象分析方程根的情况|打通方程与函数联系，发展推理意识| |实际问题与二次函数|4题|含最值、拱桥等实际场景|综合函数性质解决问题，提升应用能力|

第25-26章考点汇总+跟踪练习（选择题篇）-2026-2027学年数学九年级上册人教版（2024） 考点汇总 考点一：一元二次方程求值问题 考点二：一元二次方程的解法（含根与系数的关系） 考点三：实际问题与一元二次方程 考点四：二次函数的图象和性质 考点五：二次函数与一元二次方程 考点六：实际问题与二次函数 跟踪练习 考点一：一元二次方程求值问题 1．（2025秋•恩施市期末）把一元二次方程（x+1）（x﹣1）＝3x化成一般形式，正确的是（　　） A．x2﹣3x﹣1＝0 B．x2﹣3x+1＝0 C．x2+3x﹣1＝0 D．x2+3x+1＝0 2．（2025秋•武侯区校级期末）若x＝3是方程x2+mx﹣3＝0的一个根，则m的值为（　　） A．﹣3 B．3 C．2 D．﹣2 3．（2026春•丰满区校级期末）一元二次方程x2﹣6x﹣2＝0的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（　　） A．1，6，2 B．1，﹣6，﹣2 C．0，﹣6，﹣2 D．1，﹣6，2 4．（2025秋•青龙县期末）若x＝1是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的一个根，则2025+2a+2b的值为（　　） A．2026 B．2027 C．2028 D．2029 考点二：一元二次方程的解法（含根与系数的关系） 5．（2025秋•丰南区期末）一元二次方程x2﹣6x﹣1＝的等号右边只有常数项，且该常数项被墨水覆盖，但知道整理成一般形式后该方程的常数项为0，将其配方后变形为（x+a）2＝b，则下列判断正确的是（　　） A．a＝﹣3 B．a＝3 C．b＝10 D．b＝﹣1 6．（2026•郑州校级模拟）关于x的一元二次方程x2+kx﹣2＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 7．（2026•潮阳区校级一模）方程x2+4x﹣5＝0与x2﹣6x+1＝0所有实数根的乘积等于（　　） A．﹣5 B．2 C．﹣24 D．5 8．（2025秋•长宁县期末）定义新运算：对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号max{a，b}表示a，b中的较大值，如：max{1，3}＝3，因此max{﹣1，﹣3}＝﹣1；按照这个规定，若max{x，﹣x}，则x的值是（　　） A．﹣1 B．﹣1或2 C．2 D．1或2 考点三：实际问题与一元二次方程 9．（2026•海州区校级模拟）九（1）班全体学生在观看完2025年9月3日的盛大阅兵式后万分激动，王老师趁热打铁，让九（1）班全体学生互赠勉励卡激励同学们努力学习、报效祖国．已知共赠勉励卡1560张，问：九（1）班共有多少名学生？设九（1）班共有x名学生，根据题意可列方程为（　　） A．x2＝1560 B．x（x﹣1）＝1560 C．x（x+1）＝1560 D． 10．（2025秋•长宁县期末）如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40米，宽为19米，停车场内车道的宽度都相等．停车位的占地面积为350平方米．设停车场内车道的宽度为x米，根据题意，下列方程正确的是（　　） A．（40﹣x）（19﹣x）＝350 B．（40+x）（19+x）＝350 C．（40﹣2x）（19﹣2x）＝350 D．（40+2x）（19+2x）＝350 11．（2025秋•长宁县期末）有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有144人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则下列结论不正确的是（　　） A．第一轮后有（x+1）个人患了流感 B．第二轮后又增加x（x+1）个人患流感 C．依题意可列方程x+1+x（1+x）＝144 D．按照这样的传染速度，经过三轮传染后共1000人患流感 12．（2026•武汉）对于一元二次方程，我国古代数学家研究过其几何解法．以方程x2+8x＝48为例，赵爽的《勾股圆方图注》中记载的方法是：如图1，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为2x的矩形，最后补图得到大正方形，其面积为48+4×22＝64，则该方程的正数解为8﹣2×2＝4．小美尝试用此方法解关于x的方程x2+12x+c＝0，构造如图2所示的图形．若图2中大正方形的面积为100，则方程x2+12x+c＝0的正数解是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 考点四：二次函数的图象和性质 13．（2026•拱墅区校级开学）二次函数y＝（x+1）2﹣2图象的顶点坐标是（　　） A．（1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（1，﹣2） 14．（2026•香坊区校级开学）抛物线，y＝﹣3x2，y＝x2的图象开口向下的是（　　） A． B．y＝﹣3x2 C．y＝x2 D．无法确定 15．（2025秋•枞阳县期末）已知抛物线，下列说法正确的是（　　） A．开口向上 B．对称轴是直线x＝﹣3 C．顶点坐标为 D．当x＜﹣3时，y随x的增大而减小 16．（2025秋•新会区期末）把抛物线y＝3x2向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到的抛物线的解析式为（　　） A．y＝3（x+2）2﹣5 B．y＝3（x+5）2+2 C．y＝3（x﹣2）2+5 D．y＝3（x+2）2+5 考点五：二次函数与一元二次方程 17．（2025秋•丰南区期末）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，与x轴交于（﹣2，0）和（1，0）两点，则函数值y＜0时，x的取值范围是（　　） A．x＜﹣2 B．x＞1 C．﹣2＜x＜1 D．x＜﹣2或x＞1 18．（2026•秦都区校级模拟）已知抛物线y＝ax2+2x+c（a≠0）与x轴交于A（1﹣m，0）、B（m+1，0）两点，在﹣2≤x≤3的抛物线上有一点P，其纵坐标为n，若3≤c≤4，则n的取值范围是（　　） A．﹣4≤n≤4 B．n≤﹣4或n≥4 C．﹣5≤n≤5 D．n≤﹣5或n≥5 19．（2026•项城市校级模拟）下列表格中是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的自变量x与函数y的一些对应值，可以判断一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个近似根是（　　） x 6.7 6.8 6.9 7.0 y＝ax2+bx+c ﹣0.3 ﹣0.1 0.2 0.6 A．6.7 B．6.8 C．6.9 D．7.0 20．（2026•建华区三模）如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，该函数图象的对称轴是直线x＝1，图象与y轴交点的纵坐标是2．则下列结论：①bc＜0；②2a+b＝0；③方程ax2+bx+c＝0一定有一个根在2和3之间；④若m为任意实数，则a（m﹣1）（m+1）≤b（1﹣m）；⑤．其中正确结论的个数为（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 考点六：实际问题与二次函数 21．（2025秋•广元期末）汽车刹车后行驶的距离s（单位：m）关于行驶的时间t（单位：s）的函数解析式是s＝15t﹣6t2．则汽车刹车后到停下来所花的时间是（　　） A．s B．1s C．s D．2s 22．（2025秋•墨玉县期末）婺城某门店销售特产印花糕，经调查发现每盒印花糕售价为15元时，日销售量为200盒，当每盒售价每下降1元时，日销售量会增加5盒．已知每盒印花糕的成本为5元，设每盒降价x元，商家每天的利润为y元，则y与x之间的函数表达式为（　　） A．y＝（10﹣x）（200+5x） B．y＝（15﹣x）（200+5x） C．y＝（10﹣x）（200﹣5x） D．y＝（15﹣x）（200﹣5x） 23．（2026•龙岗区校级模拟）某湖面上有一座抛物线型拱桥，按如图所示的方式建立平面直角坐标系，得到抛物线的函数解析式为，正常水位时，水面宽AB为16m，此时拱顶O到水面AB的距离为（　　） A．4m B．3m C．2m D．1m 24．（2026•陕西）某种鱼在捕食时，能从口中射出一股水流，如果不考虑空气阻力，那么射出的水流可以看成抛物线的一部分．按如图所示的平面直角坐标系，某条该种鱼在一次捕食中射出的水流的高度y（cm）与水平距离x（cm）的关系可以表示为y＝﹣0.1x2+6x，则这条鱼此次射出的水流的最大高度是（　　） A．9cm B．30cm C．90cm D．360cm 参考答案与试题解析 一．选择题（共24小题） 1．（2025秋•恩施市期末）把一元二次方程（x+1）（x﹣1）＝3x化成一般形式，正确的是（　　） A．x2﹣3x﹣1＝0 B．x2﹣3x+1＝0 C．x2+3x﹣1＝0 D．x2+3x+1＝0 【解答】解：（x+1）（x﹣1）＝3x， x2﹣1﹣3x＝0， 即x2﹣3x﹣1＝0， 故选：A． 2．（2025秋•武侯区校级期末）若x＝3是方程x2+mx﹣3＝0的一个根，则m的值为（　　） A．﹣3 B．3 C．2 D．﹣2 【解答】解：若x＝3是方程x2+mx﹣3＝0的一个根， 则32+3m﹣3＝0， 解得：m＝﹣2， 故选：D． 3．（2026春•丰满区校级期末）一元二次方程x2﹣6x﹣2＝0的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（　　） A．1，6，2 B．1，﹣6，﹣2 C．0，﹣6，﹣2 D．1，﹣6，2 【解答】解：一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c＝0（a≠0），其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． ∵x2﹣6x﹣2＝0已经是一般形式， ∴对应可得二次项系数a＝1，一次项系数b＝﹣6，常数项c＝﹣2． 故选：B． 4．（2025秋•青龙县期末）若x＝1是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的一个根，则2025+2a+2b的值为（　　） A．2026 B．2027 C．2028 D．2029 【解答】解：由条件可得：a×12+b×1﹣1＝0， ∴a+b＝1， ∴2025+2a+2b＝2025+2（a+b）＝2025+2＝2027， 故答案为：B． 5．（2025秋•丰南区期末）一元二次方程x2﹣6x﹣1＝的等号右边只有常数项，且该常数项被墨水覆盖，但知道整理成一般形式后该方程的常数项为0，将其配方后变形为（x+a）2＝b，则下列判断正确的是（　　） A．a＝﹣3 B．a＝3 C．b＝10 D．b＝﹣1 【解答】解：由题意可知原方程为x2﹣6x＝0， 配方得x2﹣6x+9＝9，即（x﹣3）2＝9， ∴a＝﹣3，b＝9， 观察四个选项，选项A符合题意， 故选：A． 6．（2026•郑州校级模拟）关于x的一元二次方程x2+kx﹣2＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【解答】解：∵x2+kx﹣2＝0， ∴Δ＝b2﹣4ac＝k2﹣4×1×（﹣2）＝k2+8＞0， 所以原方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 7．（2026•潮阳区校级一模）方程x2+4x﹣5＝0与x2﹣6x+1＝0所有实数根的乘积等于（　　） A．﹣5 B．2 C．﹣24 D．5 【解答】解：由条件可知，x1x2＝1， 则﹣5×1＝﹣5， ∴方程x2+4x﹣5＝0与x2﹣6x+1＝0所有实数根的乘积等于﹣5， 故选：A． 8．（2025秋•长宁县期末）定义新运算：对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号max{a，b}表示a，b中的较大值，如：max{1，3}＝3，因此max{﹣1，﹣3}＝﹣1；按照这个规定，若max{x，﹣x}，则x的值是（　　） A．﹣1 B．﹣1或2 C．2 D．1或2 【解答】解：若x＞﹣x，即x＞0，则x，解得x＝2（负值舍去）； 若x＜﹣x，即x＜0，则﹣x，解得x＝﹣1（正值舍去）； 故选：B． 9．（2026•海州区校级模拟）九（1）班全体学生在观看完2025年9月3日的盛大阅兵式后万分激动，王老师趁热打铁，让九（1）班全体学生互赠勉励卡激励同学们努力学习、报效祖国．已知共赠勉励卡1560张，问：九（1）班共有多少名学生？设九（1）班共有x名学生，根据题意可列方程为（　　） A．x2＝1560 B．x（x﹣1）＝1560 C．x（x+1）＝1560 D． 【解答】解：∵九（1）班共有x名学生， ∴每名学生赠祝福卡（x﹣1）张． 根据题意得：x（x﹣1）＝1560． 故选：B． 10．（2025秋•长宁县期末）如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40米，宽为19米，停车场内车道的宽度都相等．停车位的占地面积为350平方米．设停车场内车道的宽度为x米，根据题意，下列方程正确的是（　　） A．（40﹣x）（19﹣x）＝350 B．（40+x）（19+x）＝350 C．（40﹣2x）（19﹣2x）＝350 D．（40+2x）（19+2x）＝350 【解答】解：由题意可列方程为（40﹣x）（19﹣x）＝350． 故选：A． 11．（2025秋•长宁县期末）有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有144人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则下列结论不正确的是（　　） A．第一轮后有（x+1）个人患了流感 B．第二轮后又增加x（x+1）个人患流感 C．依题意可列方程x+1+x（1+x）＝144 D．按照这样的传染速度，经过三轮传染后共1000人患流感 【解答】解：依次表示第一轮传染，第二轮传染后的量，再结合最后共有144人感染可知： 设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮传染增加了x个人患了流感，第一轮后共有（x+1）个人患了流感； 第二轮传染后增加了x（1+x）个人患了流感，第二轮传染后共有[x+1+x（1+x）]个人患了流感，可得方程x+1+x（1+x）＝144； 解得：x＝11，或x＝﹣13（舍去） 第三轮传染后增加了144×11＝1584人，此时共有144+1584＝1728人患流感， 故选项A、B、C、均正确，不符合题意， D选项错误，符合题意； 故选：D． 12．（2026•武汉）对于一元二次方程，我国古代数学家研究过其几何解法．以方程x2+8x＝48为例，赵爽的《勾股圆方图注》中记载的方法是：如图1，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为2x的矩形，最后补图得到大正方形，其面积为48+4×22＝64，则该方程的正数解为8﹣2×2＝4．小美尝试用此方法解关于x的方程x2+12x+c＝0，构造如图2所示的图形．若图2中大正方形的面积为100，则方程x2+12x+c＝0的正数解是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【解答】解：如图2，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为3x的矩形， ∴四个小正方形的边长为3， 由条件可知大正方形的边长为， ∴方程的正数解是10﹣2×3＝4． 故选：A． 13．（2026•拱墅区校级开学）二次函数y＝（x+1）2﹣2图象的顶点坐标是（　　） A．（1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（1，﹣2） 【解答】解：二次函数y＝（x+1）2﹣2图象的顶点坐标是（﹣1，﹣2）， 故选：B． 14．（2026•香坊区校级开学）抛物线，y＝﹣3x2，y＝x2的图象开口向下的是（　　） A． B．y＝﹣3x2 C．y＝x2 D．无法确定 【解答】解：∵﹣3＜0， ∴y＝﹣3x2的图象开口向下， 故选：B． 15．（2025秋•枞阳县期末）已知抛物线，下列说法正确的是（　　） A．开口向上 B．对称轴是直线x＝﹣3 C．顶点坐标为 D．当x＜﹣3时，y随x的增大而减小 【解答】解：A，a＝﹣1＜0，开口向下，原说法错误，不符合题意； B，对称轴是直线x＝3，原说法错误，不符合题意； C，顶点坐标为，原说法正确，符合题意； D，当x＜﹣3时，y随x的增大而增大，原说法错误，不符合题意； 故选：C． 16．（2025秋•新会区期末）把抛物线y＝3x2向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到的抛物线的解析式为（　　） A．y＝3（x+2）2﹣5 B．y＝3（x+5）2+2 C．y＝3（x﹣2）2+5 D．y＝3（x+2）2+5 【解答】解：把抛物线y＝3x2向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到的抛物线的解析式为y＝3（x+2）2+5， 故选：D． 17．（2025秋•丰南区期末）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，与x轴交于（﹣2，0）和（1，0）两点，则函数值y＜0时，x的取值范围是（　　） A．x＜﹣2 B．x＞1 C．﹣2＜x＜1 D．x＜﹣2或x＞1 【解答】解：根据题意，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于（﹣2，0）和（1，0）两点，则函数值y＜0时，x的取值范围是x＜﹣2或x＞1， 故选：D． 18．（2026•秦都区校级模拟）已知抛物线y＝ax2+2x+c（a≠0）与x轴交于A（1﹣m，0）、B（m+1，0）两点，在﹣2≤x≤3的抛物线上有一点P，其纵坐标为n，若3≤c≤4，则n的取值范围是（　　） A．﹣4≤n≤4 B．n≤﹣4或n≥4 C．﹣5≤n≤5 D．n≤﹣5或n≥5 【解答】解：∵抛物线y＝ax2+2x+c（a≠0）与x轴交于A（1﹣m，0）、B（m+1，0）两点， ∴抛物线的对称轴为直线x1， ∴1， ∴a＝﹣1， ∴y＝﹣x2+2x+c＝﹣（x﹣1）2+c+1， ∴顶点为（1，c+1）， ∵在﹣2≤x≤3的抛物线上有一点P，其纵坐标为n， ∴x＝﹣2时，n＝﹣8+c， 当x＝3时，n＝﹣3+c， ∵3≤c≤4， ∴4≤c+1≤5，﹣5≤﹣8+c≤﹣4， ∴n的取值范围是﹣5≤n≤5． 故选：C． 19．（2026•项城市校级模拟）下列表格中是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的自变量x与函数y的一些对应值，可以判断一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个近似根是（　　） x 6.7 6.8 6.9 7.0 y＝ax2+bx+c ﹣0.3 ﹣0.1 0.2 0.6 A．6.7 B．6.8 C．6.9 D．7.0 【解答】解：观察表格： 当x＝6.8时，y＝﹣0.1，最接近0； 当x＝6.9 时，y＝0.2，距离0比﹣0.1更远； 又∵y在x＝6.8到x＝6.9之间由负变正，说明y＝0的根在6.8和6.9之间， ∴x＝6.8对应的函数值更接近0， ∴一元二次方程的一个近似根是6.8． 故选：B． 20．（2026•建华区三模）如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，该函数图象的对称轴是直线x＝1，图象与y轴交点的纵坐标是2．则下列结论：①bc＜0；②2a+b＝0；③方程ax2+bx+c＝0一定有一个根在2和3之间；④若m为任意实数，则a（m﹣1）（m+1）≤b（1﹣m）；⑤．其中正确结论的个数为（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【解答】解：∵抛物线开口向下， ∴a＜0， 又∵b＝﹣2a， ∴b＞0， ∵抛物线与y轴的交点在正半轴， ∴c＞0， ∴bc＞0，故①错误，不符合题意； ∵对称轴为直线x＝1， ∴， ∴b＝﹣2a， ∴2a+b＝0，故②正确，符合题意； ∵y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点在﹣1和0之间， ∴与x轴的另一个交点在2和3之间， ∴方程ax2+bx+c＝0一定有一个根在2和3之间，故③正确，符合题意； ∵抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线x＝1， ∴当x＝1时，y＝ax2+bx+c（a≠0）的最大值为a+b+c， ∴对于任意实数m，都有am2+bm+c≤a+b+c， ∴对于任意实数m，am2﹣a≤b﹣bm，即a（m+1）（m﹣1）≤b（1﹣m），故④正确，符合题意； ∵抛物线与x轴的另一个交点在﹣1，0之间， ∴a﹣b+c＜0， ∵图象与y轴交点的纵坐标是2， ∴c＝2， ∴a﹣b+2＜0， 又b＝﹣2a， ∴a﹣（﹣2a）+2＜0， ∴，故⑤正确，符合题意． 故选：B． 21．（2025秋•广元期末）汽车刹车后行驶的距离s（单位：m）关于行驶的时间t（单位：s）的函数解析式是s＝15t﹣6t2．则汽车刹车后到停下来所花的时间是（　　） A．s B．1s C．s D．2s 【解答】解：∵， ∴当时，s取得最大值， 即汽车刹车后到停下来所花的时间是秒， 故选：C． 22．（2025秋•墨玉县期末）婺城某门店销售特产印花糕，经调查发现每盒印花糕售价为15元时，日销售量为200盒，当每盒售价每下降1元时，日销售量会增加5盒．已知每盒印花糕的成本为5元，设每盒降价x元，商家每天的利润为y元，则y与x之间的函数表达式为（　　） A．y＝（10﹣x）（200+5x） B．y＝（15﹣x）（200+5x） C．y＝（10﹣x）（200﹣5x） D．y＝（15﹣x）（200﹣5x） 【解答】解：根据题意可得：y＝（10﹣x）（200+5x）． 故选：A． 23．（2026•龙岗区校级模拟）某湖面上有一座抛物线型拱桥，按如图所示的方式建立平面直角坐标系，得到抛物线的函数解析式为，正常水位时，水面宽AB为16m，此时拱顶O到水面AB的距离为（　　） A．4m B．3m C．2m D．1m 【解答】解：由题意得： 把x＝8代入为中得：y82＝﹣4， ∴B（8，﹣4）， ∴此时拱顶O到水面AB的距离为4m， 故选：A． 24．（2026•陕西）某种鱼在捕食时，能从口中射出一股水流，如果不考虑空气阻力，那么射出的水流可以看成抛物线的一部分．按如图所示的平面直角坐标系，某条该种鱼在一次捕食中射出的水流的高度y（cm）与水平距离x（cm）的关系可以表示为y＝﹣0.1x2+6x，则这条鱼此次射出的水流的最大高度是（　　） A．9cm B．30cm C．90cm D．360cm 【解答】解：∵y＝﹣0.1x2+6x＝﹣0.1（x﹣30）2+90， ∴当x＝30时，y取得最大值90， 即这条鱼此次射出的水流的最大高度是90cm， 故选：C． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $