第二十五章 一元二次方程培优提升专题训练 2026--2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 以“概念-解法-应用-拓展-综合”为逻辑主线，通过分层专题训练构建一元二次方程知识体系，突出模型观念与推理意识的培养。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念|8题|根的定义应用、整体代入法、分类讨论|从方程概念到根的性质，构建代数推理基础| |降次解法|8题|因式分解法、根与系数关系、几何代数综合|解法技巧与几何应用结合，强化运算能力| |实际问题|6题|增长率模型、面积问题、经济利润分析|实际情境抽象为方程模型，发展应用意识| |教材难题生长|2例+2题|母题变式拓展、跨学科融合（物理运动）|从教材基础到思维延伸，培养创新意识| |全国视野|6题|新定义（同根方程）、综合应用（菱形、等腰三角形）|全国考向整合，提升综合解题能力|

第二十五章 一元二次方程 培优提升专题1：一元二次方程的概念 1.(2026威海模拟改编)若m是方程 的一个根，则 的值为( ) A.2026 B.2 025 C.2 024 D.2 023 2.(2026江苏模拟)若n是方程 的根，则 的值是( ) A.8 B.9 C.19 D.20 3.(2026 山东月考)已知关于 x 的一元二次方程 有一个根是0，则k的值是 . 4.(2026 淮南模拟)已知关于x的一元二次方程(a+ 其中a,b,c分别为△ABC三边的长.如果x =-1 是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由. 5.已知关于x的方程( 是一元二次方程，求m的值. 6. 若m是方程 的一个根，试求代数式 的值. 7.阅读与思考. 阅读下列材料，然后完成相应任务. 方程 两边同时除以x(x≠0), 得 即 因为 所以 任务： (1)已知方程 则 (2)若m 是方程 的根，求 的值. 7. (代数推理)已知关于x的方程 的一个根与关于 x的方程 的一个根互为相反数，求m的值. 培优提升专题2：降次——解一元二次方程 1.有关于x的多项式： ①若M=4，则代数式 的值为 ②若y=M-N，当y随着x的增加而增加时，n的取值范围为n<-1; ③当n=3时,若M·N=0,则 或x=-2. 以上结论正确的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 2.(2026 兰州一模)对于任意实数a，b，定义新运算“ 例如： 若m,n是方程(x+3)*2=0的两个实数根，则 的值为( ) A. B. - 3 3.(2026 佛山模拟)若a,b是一元二次方程 =0的两个实数根，则 的值为 . 4.若一元二次方程 的两根分别为m+1与2m-4. (1)求m的值;(2)求 的值. 5. 已知三角形两边长分别是8和6，第三边长是一元二次方程 的一个根.请计算出三角形的面积. 6.已知 (1)化简A; (2)若a,b是方程 的两根，求A 的值. 7.(1)若 则x的取值范围是 ； (2)在(1)的条件下，求一元二次方程 =7的解. 8.(思维能力)已知△ABC 的一条边 BC 的长为5，另两边AB，AC 的长是关于x的一元二次方程+1)x+3(m-2)=0的两个实数根. (1)求证：无论 m为何值，方程总有两个实数根； (2)当m为何值时，△ABC 是以 BC 为斜边的直角三角形? (3)直接写出，当m为何值时，△ABC 是等腰三角形，并写出此时对应△ABC 的周长. 培优提升专题3：实际问题与一元二次方程 1.某公司今年7月的营业额为2500 万元，按计划第三季度的总营业额要达到9 100 万元，则该公司8月、9月两个月营业额的月均增长率为 . 2.(跨学科融合)一个容器盛满纯药液63 L，第一次倒出一部分纯药液后，用水加满；第二次又倒出同样多的液体，若此时容器内剩下的纯药液是28 L，则每次倒出的液体体积是 . 3.(2026 阜阳一模)如图，某市近郊有一块长为60 m、宽为50m的长方形荒地，政府准备在此建一个运动场，其中阴影部分为通道，通道的宽度均相等，中间的三个长方形区域将铺设塑胶地面作为运动场地. (1)设通道的宽为 xm,则a= ;(用含x的代数式表示) (2)若塑胶运动场地总占地面积为2430 m²，则通道的宽为多少米? 4.如图，利用一面足够长的墙，用铁栅栏围成一个矩形自行车场地ABCD，在AB 和BC 边各有一个2米宽的小门(不用铁栅栏)，设矩形ABCD 的宽 AD 为x米,矩形的长为AB(且AB >AD). (1)若所用铁栅栏的长为40米，用含x的代数式表示矩形的长AB； (2)在(1)的条件下，若使矩形场地面积为192平方米，则AD，AB的长应分别为多少米? 5.如图,在矩形ABCD中,AB =20,AD 扫码批改+错题本=16，点 P 从点 A 出发沿AB 以每秒4个单位长度的速度向点 B 运动，同时点 Q 从点 B 出发沿 BC 以每秒2个单位长度的速度向点 C 运动，点P 到达终点后，P，Q两点同时停止运动. (1)当t=3秒时,线段DP = ; (2)当t= 秒时,△BPQ 的面积是24. 6.近年来，电商平台直播带货成了一个火热的新兴职业，某主播带货图书《苏东坡传》，他风趣幽默，点燃了不同年龄观看者的读书热情.已知这本书的成本价为10元，规定销售单价不低于成本价，且不高于成本价的3倍，通过前几天的销售发现，该书每天的销售量y(本)与销售单价x(元/本)之间近似满足一次函数关系，部分对应数据如下表： x(元/本) 15 25 ...... y(本) 700 500 ...... (1)根据表格提供的数据，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)若销售该书每天的利润为6000元，求该书的销售单价； (3)销售该书每天的利润能否达到9 000 元?请说明理由. 培优提升专题4：教材难题生长题 2025年广东中考省卷中，解答题第18，21，23题是由教材的课后难题演变过来的，因此，我们在平时的练习中除了要加强对教材母题的训练，还要关注母题的变式，特别是难题的变式拓展.本书特在培优作业本每章设置专题，精选人教版教材中的难题，并进行解析拓展，帮助学生更好地掌握和提升思维. 【例1】(人教9上P28拓广探索)(运算能力、模型观念、应用意识)一个小球以5m /s速度开始向前滚动，并且均匀减速，4s后小球停止滚动. (1)小球的滚动速度平均每秒减少多少? (2)小球滚动5m 约用了多少秒(结果保留小数点后一位)?[提示：匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度v(初速度与末速度的算术平均数)与路程s，时间t的关系为. ◇解题思路：(1)从滚动到停下平均每秒速度减少值为：速度变化÷小球运动速度变化的时间； (2) 利用等量关系：速度×时间=路程，设时间为 xs，根据题意列出方程求解即可. 难题生长 1.综合与实践. 实验操作：物理实验课上小明做一个实验，在一条笔直的滑道上有一个黑球以一定的速度在A 处开始向前滚动，并且均匀减速，测量黑球减速后的滚动速度v₂(单位：cm/s)随滚动时间t(单位：s)变化的数据，整理得下表. 滚动时间t(s) 0 1 2 3 4 滚动速度v₁(cm/s) 10 9.5 9 8.5 8 解决问题：(1)小明探究发现，黑球的滚动速度v₁与滚动时间t之间成一次函数关系，直接写出v₁关于t的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围)： ； (2)黑球在滑道上滚动64 cm用了多少秒? 拓展提升：(3)求黑球在滑道上滚动的最远距离(试用配方法解决). 提示：距离s=平均速度 时间, 其中v₀是开始时的速度，v₁是t秒时的速度] 教材难题 【例2】(人教9上 P24 拓广探索)(几何直观、模型观念、应用意识)如图，要设计一幅宽20cm，长30cm的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3：2.如果要使彩条所占面积是图案面积的四分之一，应如何设计彩条的宽度(结果保留小数点后一位)? 解题思路：设横彩条的宽度为3xcm，则竖彩条的宽度为2xcm，根据彩条所占面积是图案面积的四分之一，可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，将其符合题意的值代入3x，2x中，即可求出结论. 难题生长 2.社区利用一块矩形空地ABCD 建了一个小型停车场，其布局如图所示.已知AD=52m，AB=28 m，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为 x m 的道路.已知铺花砖的面积为640 m². (1)求道路的宽是多少米； (2)该停车场共有车位50个，据调查可得，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位.当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为10125元? 培优提升专题5：全国视野培优特训 1.(2026昆明模拟)已知▱ABCD的两边AB,AD 的长是关于x的方程 的两个实数根. (1)当m为何值时，四边形ABCD 是菱形?求出这时菱形的边长； (2)若AB的长为2,则▱ABCD的周长是多少? 2.(2026河北模拟)定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同根方程”.例如， 和(x-2)(x+3)=0有且只有一个相同的实数根x =-3，所以这两个方程为“同根方程”. (1)请判断一元二次方程( 与 =0是否属于“同根方程”，说明理由； (2)关于x的一元二次方程 与 =0为“同根方程”，求m的值. 3.(2026四川模拟)已知关于x的一元二次方程 (1)求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)如果方程的两个实数根为x₁，x₂，且 求m的值. 4.(2026 周口模拟)如图所示的是2026年7月的日历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，请解答下列问题： (1)若虚线方框中最大数与最小数的乘积为180，求最小数； (2)虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为80吗?若能，请求出最小数；若不能，请说明理由. S M T W T F S 1 2 3 4 5 677879 10 11 12 1314 1516 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 5.(2026 深圳月考)已知x₁，x₂是关于x的一元二次方程( 的两实数根. (1)求m的取值范围； (2)已知等腰△ABC 的底边BC=4,若x₁,x₂恰好是△ABC 另外两边的边长，求这个三角形的周长； (3)阅读材料:如果△ABC 三边的长分别为a,b,c,那么可以根据海伦 -秦九韶公式得到 其中 在(2)的条件下，如图，∠BAC 和∠ABC 的平分线交于点I，连接IC.根据以上信息，求△BIC 的面积. 6.(2026广西期末)综合与实践： 九年级课外小组计划用两块长为100 cm，宽为40 cm 的长方形硬纸板做收纳盒. 【任务要求】 任务一：设计无盖长方体收纳盒.把一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒，如图1. 任务二：设计有盖长方体收纳盒.把另一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，然后折成一个有盖的长方体收纳盒，EF 和HG两边恰好重合且无重叠部分，如图2. 【问题解决】 (1)若任务一中设计的收纳盒的底面积为1 600 cm²，剪去的小正方形的边长为多少 cm? (2)若任务二中设计的收纳盒的底面积为608 cm². ①该收纳盒的高是多少 cm? ②请判断能否把一个尺寸如图3所示的玩具机械狗立着完全放入该收纳盒，并说明理由. 第二十五章 一元二次方程 培优提升专题1：一元二次方程的概念 1. D 2. C 3.-2 4.解：△ABC为等腰三角形，理由如下： 把x=-1代入方程得a+c-2b+a-c=0,整理得a=b,∴△ABC为等腰三角形. 5.解:由题意,得|m-11=2且m-3≠0, 解得m=-1,即m的值是-1. 6.解：根据题意，得 或m(m+1)=1. 2026=1+2026=2027,即 7.解:(1)3 (2)由条件可知 两边同时除以3m(m≠0),，得 8 解：设这两个方程的一个根分别为a和-a. 把x=a代入方程 得 再把x=-a代入方程 得 ①-②消去a得 解得m=3或m=0. 培优提升专题2：降次——解一元二次方程 1. B 2. A 3.5 4.解: 即方程的两根互为相反数， ∴m+1+2m-4=0,解得m=1. (2)当m=1时,m+1=2,2m-4=-2, 且一元二次方程 的两根分别为m+1与2m-4, 5.解：方程 可化为 解得 如图1，根据勾股定理的逆定理，当第三边长为10时，△ABC为直角三角形， 如图2，当第三边长为6时，△ABC为等腰三角形， 综上，三角形的面积为24或 6.解: (2)根据根与系数的关系得a+b=1， 7.(1)x≤2 (2)解:由(1)得x≤2,即一元二次方程 可化为 即 解得 ∵x≤2,∴x=-1. 8.(1)证明: ∴无论m为何值，方程总有两个实数根. (2)解:由题意得AC+AB=m+1,AC·AB=3(m-2),∵△ABC是以 BC为斜边的直角三角形， 解得m=6或m=-2(不合题意,舍去), ∴m=6. (3)解：当m为5或7时，△ABC为等腰三角形，对应周长为11或13. 培优提升专题3：实际问题与一元二次方程 1.20% 2.21 L 3.解: (2)根据题意得 整理得 解得 (不符合题意，舍去).因此通道的宽为2m. 4.解:(1)∵AD+BC-2+AB-2=40,AD=BC=x米,∴AB=(-2x+44)米. (2)由题意得-2x+44>x,解得 由题意得(-2x+44)x=192,解得 (舍去),∴AD=6米, ∴AB=-2×6+44=32(米). 答:AD的长为6米,AB的长为32米. 5.(1)20 (2)2或3 6.解:(1)设y= kx+b, 将(15,700),(25,500)代入上式,得 解得 ∴y= - 20x+1000(10≤x≤30). (2)依题意得(x-10)(-20x+1000)=6000, 解得 ∵10≤x≤30,∴x=20. 答：该书的销售单价为20元/本. (3)销售该书每天的利润不能达到9000元.理由如下： 依题意得(x-10)(-20x+1000)=9000, 整理得 ∴该方程没有实数根， ∴销售该书每天的利润不能达到9 000 元. 培优提升专题4：教材难题生长题 【例1】解:(1)5÷4=1.25(m/s). 答：小球的滚动速度平均每秒减少1.25 m/s. (2)设小球滚动5m 约用了 xs, 由题意得 解得 ∵x<4, 答：小球滚动5m约用了1.2s. 1.解: 由题意得 解得 (不合题意，舍去). 答：黑球在滑道上滚动64 cm用了8 s. (3)由(2)得 观察可得当t=20时，s有最大值为100. 答：黑球在滑道上滚动的最远距离为100 cm. 【例2】解：设横彩条的宽度是3x cm，竖彩条的宽度是2xcm，由题意得 解得 (不合题意，舍去)， 则3×0.61≈1.8(cm),2×0.61≈1.2(cm). 答：应设计横彩条的宽度约为1.8cm，竖彩条的宽度约为1.2cm. 2.解：(1)根据道路的宽为 xm得 (52-2x)(28-2x) =640,整理得 解得 (不合题意，舍去)； 答：道路的宽为6m. (2)设月租金上涨a元，停车场的月租金收入为10125元，根据题意得 整理得 解得a=25. 答：每个车位的月租金上涨25元时，停车场的月租金收入为10125元. 培优提升专题5：全国视野培优特训 1.解:(1)∵四边形ABCD 是菱形,∴AB=AD, ∴△=0,即 整理得 解得m=1, 当m=1时，原方程为 解得 故当m=1时，四边形ABCD 是菱形，这时菱形的边长是\frac{1}{2} (2)把x=2代入原方程得 把 代入原方程得 解得 2.解：(1)这两个方程是“同根方程”，理由如下： 解方程 得x=5或x=-3, 解方程 得x=5或:x=-1, ∵一元二次方程 与 有且只有一个相同的实数根x=5， ∴这两个一元二次方程为“同根方程”. (2)解方程 得x=2或x=1, 一元二次方程 与 为“同根方程”， ①当相同的实数根为x=2时，将x=2代入 得4-m=0，解得m=4，此时一元二次方程. 的另一个根为x= -2,符合题意; ②当相同的实数根为x=1时，将：x=1代入 得1-m=0，解得 m=1，此时一元二次方程. 的另一个根为x= -1,符合题意. 综上，m的值为4或1. 3.(1)证明: ∴a=1,b=-(m+2),c=m-1, ∴△>0. ..无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根. (2)解:∵方程 的两个实数根为x₁,x₂, 即 ，整理得 (m+2)(m-1)=0,解得m₁=-2,m₂=1. ∴m的值为-2或1. 4.解:(1)设最小数为x,则最大数为x+8, 由题意得(x+8)x=180,解得x=-18或10, 当x=-18时，不符合题意，舍去， 从日历表中可以看出10是第二行第6个数，符合要求，所以最小数为10. (2)虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为80，理由如下： 设最小数为y，则另外三个数分别是y+1,y+7,y+8,由题意得y(y+8)+y+(y+1)+(y+7)+(y+8)=80,整理得 解得y=-16或4, 当y=-16时，不符合题意，舍去， ∵y=4在最后一列，..不符合要求，假设不成立，故虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为80. 5.解:(1)由题意得10)≥0,且m+2≠0, 化简得64m≤-64,解得m≤-1且m≠-2. 故m的取值范围为m≤-1且m≠-2. (2)由题意可知x₁，x₂恰好是等腰△ABC的腰长， ∵x₁，x₂是关于x的一元二次方程( +10=0的两实数根, 解得m=-1, ∴方程为 解得x₁=x₂=3, ∵BC=4,∴△ABC的周长为3+3+4=10. (3)由(2)可知△ABC的三边长为3,3,4, 如图,过点I分别作IF⊥AB,ID⊥BC,IE⊥AC,垂足分别为点 F,D,E, ∵点I是∠BAC和∠ABC的平分线的交点,∴IF=ID=IE, (AB 解得 6.解：(1)设剪去的小正方形的边长为 xcm， 由题意得(100-2x)(40-2x)=1600, 解得 (不符合题意，舍去). 答：剪去的小正方形的边长为10 cm. (2)①根据题意，长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，设收纳盒的高为a cm，则收纳盒底面的长为 (50-a) cm,宽为(40-2a) cm, ∴(50-a)(40-2a)=608, 解得 (不符合题意，舍去)， ∴收纳盒的高为12cm. ②∵12<15，∴不能把玩具机械狗立着完全放入该收纳盒. 1 学科网（北京）股份有限公司 $