3.2.2 双曲线的简单几何性质（讲义）高二数学人教A版选择性必修第一册

第三章 圆锥曲线的方程 3.2.2 双曲线的简单几何性质 课标要点 1.掌握双曲线范围、顶点、渐近线、离心率等几何性质，理解等轴双曲线相关特点。 2.分清焦点在x、y轴上双曲线性质差异，牢记a,b,c的关系式。 3.理解直线与双曲线三种位置关系，会联立方程结合判别式完成位置的判断。 4.掌握双曲线弦长公式，结合韦达定理计算弦长，区分相切与渐近线平行的情形。 学习重难点 重点： 1.双曲线的几何性质，熟练掌握渐近线、离心率，熟记等轴双曲线的相关结论。 2.直线和双曲线位置关系，联立方程，区分二次项系数为 0 与不为 0 两种情况。 3.双曲线弦长计算，熟练运用弦长公式与韦达定理处理相交弦的相关计算。 难点： 1.双曲线渐近线、离心率的理解，能够灵活利用性质求解参数以及离心率范围。 2.辨析 “一个公共点”，分清直线平行渐近线和直线相切这两种不同的情况。 3.直线与双曲线综合运算，联立计算量大，容易忽略二次项系数造成解题错误。 知识点一 双曲线的几何性质 焦点在轴上 焦点在轴上 标准方程 焦点坐标 焦距 范围 或 或 对称性 关于轴、轴对称，关于原点中心对称 顶点 轴长 实轴长，虚轴长 离心率 渐近线 等轴双曲线 实轴与虚轴长度相等的双曲线叫做等轴双曲线。 ①方程形式：；②渐近线：，两条渐近线互相垂直；③离心率：。 易错提醒 混淆双曲线渐近线方程，记错位置：渐近线方程要分清焦点位置，焦点在轴为，焦点在轴为。不要死记一套公式。可以把标准方程右侧的1 改为0，直接求解得到渐近线，降低记错概率，做题不要直接把写反。 即学即练 1．实轴长为6，虚轴长为8，焦点在x轴上的双曲线方程为__________. 2．双曲线的渐近线方程是（ ） A． B． C． D． 知识点二 直线与双曲线的位置关系 设直线与双曲线联立，消元后得到方程。 （1）当二次项系数等于 0 时，直线与双曲线的渐近线平行，此时直线和双曲线仅有一个公共点，但不是相切。 （2）当二次项系数不等于 0，方程为一元二次方程，利用判别式判断： ①：直线与双曲线相交，有两个公共点； ②：直线与双曲线相切，仅有一个公共点； ③：直线与双曲线相离，无公共点。 易错提醒 直线与双曲线一个公共点≠相切：联立后二次项系数为 0 时，直线平行于渐近线，此时只有一个交点，但属于相交，不是相切。只有二次项不为 0 且才是相切。做题不能看到只有一个公共点就直接判定相切，必须先检查方程是否为真正的一元二次方程。 弦长问题 设直线与双曲线交于，两点，则有 依靠韦达定理得到根的和与积，代入公式完成弦长计算。 即学即练 3．过点与双曲线有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值集合是______． 4．过双曲线的右焦点倾斜角为的直线与双曲线有两个交点,. (1)求线段的中点坐标； (2)求. 题型 01 由双曲线标准方程分析几何性质 【例1】已知双曲线的实轴长为4，焦距为8，则该双曲线的渐近线方程为（     ） A． B． C． D． 【例2】已知双曲线的一个焦点为，则双曲线的渐近线方程为______. 变｜式｜巩｜固 【变式1-1】已知是双曲线的右焦点，则到的两条渐近线的距离之和为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（多选）双曲线：的上、下焦点分别为，，下列结论正确的是（    ） A．的虚轴长为 B．的离心率为 C．若为上一点，则 D．C的渐近线方程为 【变式1-3】（多选）若是两个不相等的正实数，则双曲线与双曲线的（    ） A．实轴长相等 B．焦距相等 C．离心率相同 D．渐近线相同 题型 02 依托双曲线几何性质求解标准方程 【例3】实轴长为6，虚轴长为8，焦点在x轴上的双曲线方程为（  ） A． B． C． D． 【例4】已知双曲线：的一条渐近线为，则的焦距为_______． 变｜式｜巩｜固 【变式2-1】已知双曲线（，）的两条渐近线夹角为，离心率，则该双曲线的标准方程可能是（    ）. A． B． C． D． 【变式2-2】与双曲线共焦点，且经过点的双曲线的方程为________． 【变式2-3】已知双曲线C：（，）过点，且焦距为10，则C的渐近线方程为__________. 题型 03 双曲线离心率的求解问题 【例5】已知、是双曲线的左右焦点，点是其渐近线在第一象限内的一点，直线与轴相交于点，是正三角形，则该双曲线的离心率是（    ） A． B． C． D．2 【例6】已知双曲线：（，）的左焦点为，为坐标原点，过作垂直于轴的直线与双曲线交于点，，若为等腰直角三角形，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 【变式3-1】已知双曲线：的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为______． 【变式3-2】设直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，若点满足，则该双曲线的离心率是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】若双曲线的两条渐近线与圆共有3个公共点，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 题型 04 双曲线离心率的取值与范围问题 【例7】已知点为双曲线的右支上一点，，分别为双曲线的左右焦点，点为的内切圆圆心，若恒有成立，则双曲线的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例8】若直线与双曲线的交点为，，且大于的虚轴长，则的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 【变式4-1】已知双曲线的右焦点为，过作垂直于轴的直线与双曲线交于两点，与双曲线的渐近线交于两点，若，则离心率的取值范围为___________． 【变式4-2】已知双曲线（，）的焦距为，左、右顶点分别为，，过作轴的垂线与的渐近线交于，两点，若，则的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】已知双曲线的左､右焦点分别是，过点的直线与双曲线的右支交于两点，若，则双曲线离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型 05 双曲线渐近线相关综合问题 【例9】已知双曲线的离心率小于2，其左、右焦点分别为，，点是双曲线右支上一点，若，且焦点三角形的最大内角与最小内角之和为，则双曲线的渐近线方程为（     ） A． B． C． D． 【例10】过双曲线：（）的右焦点作渐近线的垂线，垂足为，若点关于点的对称点恰好落在双曲线上，则双曲线的渐近线的方程为（    ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 【变式5-1】已知过原点的直线与双曲线的左、右两支分别交于点，，点是双曲线的左焦点，若，则双曲线的渐近线方程是（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】设双曲线（，）的左焦点到两条渐近线的距离之和为，为该双曲线的半焦距，若，则该双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与的右支交于A，B两点，若，且，则的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 题型 06 直线与双曲线的位置关系判定 【例11】若直线与双曲线有且只有一个公共点，那么双曲线的离心率为（   ） A． B．或 C．或 D． 【例12】如果直线与双曲线有两个不同的交点，那么斜率k的取值范围是______. 变｜式｜巩｜固 【变式6-1】设双曲线C：，若直线与双曲线C无公共点，则b的一个取值为______． 【变式6-2】与双曲线有两个交点的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】已知双曲线，过点作直线与双曲线有且只有一个交点，这样的直线可以作_________条（填“条数”）． 题型 07 直线与双曲线的弦长计算问题 【例13】两条渐近线为，且截直线所得弦长为的双曲线方程为（） A． B． C． D． 【例14】过双曲线的左顶点作倾斜角为的直线与交于另一点，则___________． 变｜式｜巩｜固 【变式7-1】已知双曲线，过右焦点的直线与双曲线交于两点，且，这样的直线有（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【变式7-2】两条渐近线为，的双曲线，则被直线截得弦长为，双曲线方程为__________． 【变式7-3】已知双曲线的右焦点为，点在上，且轴． (1)求双曲线的方程； (2)过点且倾斜角为的直线交于两点，求线段的长． 题型 08 双曲线中点弦与点差法应用 【例15】在双曲线中，过左焦点的直线与双曲线同一支交于不同的两点，，线段的中点为．若直线的斜率为，则直线的一般式方程为___________． 【例16】已知斜率为2的直线交双曲线于两点，线段的中点为，直线的斜率等于__________. 变｜式｜巩｜固 【变式8-1】（多选）对任意有序正实数对，若存在过点的直线与双曲线交于两点，且为线段的中点，则称该数对为有效数对，否则称为无效数对，则下列数对中是有效数对的有（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】过点的直线与双曲线相交于，两点，且为的中点，则直线的方程为______． 【变式8-3】已知，直线，相交于点，且它们的斜率之积是4． (1)求点的轨迹的方程． (2)过点能否作一条直线与轨迹交于，两点，且是线段的中点？若能，求出直线的方程；若不能，说明理由． 题型 09 双曲线中的定点问题 【例17】已知双曲线的左顶点为，离心率为，是上的两点． (1)求的标准方程； (2)若（不在直线上)，证明：直线过定点． 【例18】在平面直角坐标系中，已知，动点满足直线和直线的斜率之积是． (1)求动点的轨迹方程，并指出该轨迹是什么曲线； (2)当时，为的轨迹上的两个动点，记直线的斜率分别为，若，试判断直线是否过定点，若过定点，求出该定点；若不过定点，请说明理由． 变｜式｜巩｜固 【变式9-1】在平面直角坐标系xOy中，，曲线上有两点A，B，当时，. (1)求曲线E方程； (2)若点A在曲线E的右支上，点B在曲线E的左支上，点A，B，F三点不共线，且，试判断直线AB是否恒过一个定点，若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由. 【变式9-2】已知双曲线的离心率为，点在上． (1)求的方程； (2)设斜率为且不经过点的直线交于两点，记直线的斜率分别为，，若，证明：直线过定点． 【变式9-3】已知双曲线与椭圆的焦点相同，且离心率之比为. (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线的左､右两支分别交于两点，记点关于轴的对称点为，证明：直线过定点，并求出该定点的坐标. 题型 10 双曲线中的定值问题 【例19】已知双曲线C：的焦距为8，点在双曲线C的一条渐近线上.过双曲线C的左焦点F作直线l交双曲线C的左支于A，B两点. (1)求双曲线C的方程； (2)已知点，直线交直线于点Q，设直线，的斜率分别为，，求证：为定值. 【例20】已知双曲线的左、右焦点分别为，直线过点且与双曲线交于第一象限的点. (1)若直线与双曲线的左半支交于点，，且，求实数的值； (2)若点的横坐标为，且满足，证明：直线的斜率为定值. 变｜式｜巩｜固 【变式10-1】已知分别为双曲线的左，右顶点，为双曲线上异于的任意一点，直线，斜率之积为，的焦距为． (1)求的方程； (2)过点作直线与双曲线交于，两点（不与重合），记的斜率分别为，证明：为定值． 【变式10-2】已知双曲线的右焦点为，且经过点. (1)求双曲线的方程； (2)过的两条直线分别交的右支于A，B两点和C，D两点，且，证明：直线与直线的斜率之和是定值. 【变式10-3】已知双曲线：（，）的右焦点到一条渐近线的距离为1，且点在双曲线上． (1)求双曲线的方程； (2)斜率为的直线与双曲线的右支交于、两点（异于点）．求证：直线、的斜率之和为定值． 基础通关 一、单选题 1．双曲线的一条渐近线方程为，，分别为其左、右焦点，M是C上的一点，且，则（） A．1 B．3 C．7 D．9 2．已知双曲线的一条渐近线的斜率为，则双曲线的离心率为（ ） A．2 B． C． D．3 3．设双曲线的离心率分别为．若，则（    ） A．1 B． C． D．2 4．已知双曲线的左右焦点分别为是上一点，且，若的内切圆半径与的比值为，则的离心率为（    ） A． B．2 C． D．3 5．设点为坐标原点，过双曲线的右焦点作其一条渐近线的垂线，垂足为点，则（   ） A． B． C．2 D． 6．椭圆：与双曲线：有公共的焦点，，为与的交点，则的面积为（    ） A． B． C．2 D．1 二、多选题 7．已知双曲线的两个焦点分别为，，则（   ） A． B．，在轴上 C．的离心率为 D．直线与没有公共点 8．在平面直角坐标系中，双曲线的左、右焦点分别为，直线与E在第一象限内相交于点P，过点P作x轴的平行线与E相交于另一点Q，若，，则（    ） A． B．E的渐近线方程为 C． D．的外接圆半径为 三、填空题 9．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过右焦点的直线交双曲线右支于，两点，若为正三角形，则双曲线的离心率__________. 10．双曲线的一条渐近线上的点关于另一条渐近线的对称点恰为右焦点，则__________， 四、解答题 11．已知双曲线的渐近线方程为，点在双曲线上． (1)求双曲线的焦距； (2)过双曲线的右焦点且倾斜角为的直线与交于两点，求． 12．已知双曲线的右顶点为，实轴长为4，过双曲线的左焦点作直线，当直线与轴垂直时，直线与双曲线的两个交点分别为，此时为等腰直角三角形． (1)求双曲线的标准方程； (2)当直线与双曲线的渐近线平行时，求直线与双曲线的交点坐标． 素养提升 1．已知双曲线：（，）的左右焦点分别为，，过的直线与的左支交于，两点，，则的离心率为（     ） A． B． C． D． 2．地铁已成为市民必不可少的交通工具，某地铁线路A，B，C三站点自左向右位于同一条直线上，某市民要步行去地铁站乘地铁前往C站，已知该市民在圆锥曲线E左侧时去A站到达C站更快，反之则去B站更快，若地铁平均速度是该市民的3倍，且A，B两站等候时间期望相同，则E的离心率为（    ） A． B． C． D．3 3．已知为双曲线：（，）右支上一点，，分别为左、右焦点，直线交轴于点，为坐标原点．若满足，，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．已知双曲线左、右焦点分别为，．过的直线的斜率为，直线交双曲线右支于点．点在双曲线左支上，且．若双曲线离心率，则比值为（　　） A． B． C．1 D． 5．已知双曲线：的离心率为2，过的右顶点作轴的垂线，与的两条渐近线分别交于点，，且． (1)求的方程； (2)过点作两条互相垂直的直线，，分别交于点，（，均异于），证明：直线过定点． 6．已知椭圆C经过点，且与双曲线共焦点. (1)求椭圆C的方程； (2)过椭圆C右焦点作直线l交椭圆C于，两点，交轴于点，且记，，求证：为定值. 7．双曲线经过点． (1)求双曲线的渐近线方程； (2)双曲线的右焦点为，经过的直线与的右支交于两点A，B（不同于点），设直线AQ，AB，BQ的斜率分别为，若，求的值． 迁移创新 1．已知椭圆和双曲线有相同的焦点，，是它们的一个公共点，且，若椭圆的离心率为，则双曲线的离心率为（     ） A． B． C． D． 2．已知双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为2，过点的直线交的右支于，两点，且当与轴垂直时，． (1)求的方程． (2)证明：点在以为直径的圆外． (3)在轴上是否存在点，使为等边三角形？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 3．已知双曲线，、分别是其左、右焦点，直线l与双曲线C的右支交于A、B两点． (1)求双曲线C的渐近线方程； (2)若M是双曲线上在第一象限的点，，求的面积； (3)已知直线l过点，P是双曲线C上一点且位于第一象限，且满足的点Q在线段上，若，求点P的坐标． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 圆锥曲线的方程 3.2.2 双曲线的简单几何性质 课标要点 1.掌握双曲线范围、顶点、渐近线、离心率等几何性质，理解等轴双曲线相关特点。 2.分清焦点在x、y轴上双曲线性质差异，牢记a,b,c的关系式。 3.理解直线与双曲线三种位置关系，会联立方程结合判别式完成位置的判断。 4.掌握双曲线弦长公式，结合韦达定理计算弦长，区分相切与渐近线平行的情形。 学习重难点 重点： 1.双曲线的几何性质，熟练掌握渐近线、离心率，熟记等轴双曲线的相关结论。 2.直线和双曲线位置关系，联立方程，区分二次项系数为 0 与不为 0 两种情况。 3.双曲线弦长计算，熟练运用弦长公式与韦达定理处理相交弦的相关计算。 难点： 1.双曲线渐近线、离心率的理解，能够灵活利用性质求解参数以及离心率范围。 2.辨析 “一个公共点”，分清直线平行渐近线和直线相切这两种不同的情况。 3.直线与双曲线综合运算，联立计算量大，容易忽略二次项系数造成解题错误。 知识点一 双曲线的几何性质 焦点在轴上 焦点在轴上 标准方程 焦点坐标 焦距 范围 或 或 对称性 关于轴、轴对称，关于原点中心对称 顶点 轴长 实轴长，虚轴长 离心率 渐近线 等轴双曲线 实轴与虚轴长度相等的双曲线叫做等轴双曲线。 ①方程形式：；②渐近线：，两条渐近线互相垂直；③离心率：。 易错提醒 混淆双曲线渐近线方程，记错位置：渐近线方程要分清焦点位置，焦点在轴为，焦点在轴为。不要死记一套公式。可以把标准方程右侧的1 改为0，直接求解得到渐近线，降低记错概率，做题不要直接把写反。 即学即练 1．实轴长为6，虚轴长为8，焦点在x轴上的双曲线方程为__________. 【答案】 【详解】依题设，设双曲线方程为，且，即， 所以双曲线方程为. 故答案为： 2．双曲线的渐近线方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】双曲线，化为标准式：， 焦点在轴上，，即， 焦点在轴上的双曲线渐近线方程为， 代入得：. 知识点二 直线与双曲线的位置关系 设直线与双曲线联立，消元后得到方程。 （1）当二次项系数等于 0 时，直线与双曲线的渐近线平行，此时直线和双曲线仅有一个公共点，但不是相切。 （2）当二次项系数不等于 0，方程为一元二次方程，利用判别式判断： ①：直线与双曲线相交，有两个公共点； ②：直线与双曲线相切，仅有一个公共点； ③：直线与双曲线相离，无公共点。 易错提醒 直线与双曲线一个公共点≠相切：联立后二次项系数为 0 时，直线平行于渐近线，此时只有一个交点，但属于相交，不是相切。只有二次项不为 0 且才是相切。做题不能看到只有一个公共点就直接判定相切，必须先检查方程是否为真正的一元二次方程。 弦长问题 设直线与双曲线交于，两点，则有 依靠韦达定理得到根的和与积，代入公式完成弦长计算。 即学即练 3．过点与双曲线有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值集合是______． 【答案】 【详解】设直线的方程为：，联立双曲线得： 当时，方程有唯一解，此时. 当时，令，则 解得． 故答案为：. 4．过双曲线的右焦点倾斜角为的直线与双曲线有两个交点,. (1)求线段的中点坐标； (2)求. 【答案】(1) (2)3 【分析】 【详解】（1）由双曲线方程知：，则直线方程为， 得：，则， 直线方程与双曲线有两个不同的交点. 设，，中点为， 得：，，； ； （2）由（1）得 . 题型 01 由双曲线标准方程分析几何性质 【例1】已知双曲线的实轴长为4，焦距为8，则该双曲线的渐近线方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得双曲线的实轴长为4，焦距为8， 可得，，，则渐近线方程为，故B正确. 【例2】已知双曲线的一个焦点为，则双曲线的渐近线方程为______. 【答案】 【详解】焦点在轴上的双曲线的标准方程为，焦点坐标为，其中， 双曲线的一个焦点为可知， 则， 所以双曲线的渐近线方程为，即. 变｜式｜巩｜固 【变式1-1】已知是双曲线的右焦点，则到的两条渐近线的距离之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】双曲线：的右焦点为， 渐近线为， 则点到直线的距离为． 点到直线的距离为． 所以到的两条渐近线的距离之和为. 【变式1-2】（多选）双曲线：的上、下焦点分别为，，下列结论正确的是（    ） A．的虚轴长为 B．的离心率为 C．若为上一点，则 D．C的渐近线方程为 【答案】ABD 【详解】由题可得双曲线方程可化为，则， 双曲线虚轴长为，故A选项正确； 双曲线的离心率，故B选项正确； 根据双曲线的定义，若在上支则，若在下支则， C选项没有给出具体位置，所以C选项错误； 因为焦点在y轴上，故C的渐近线方程为，故D选项正确. 【变式1-3】（多选）若是两个不相等的正实数，则双曲线与双曲线的（    ） A．实轴长相等 B．焦距相等 C．离心率相同 D．渐近线相同 【答案】BD 【详解】，， 不妨设， 的实轴长分别为，不相等，故A错误； 的焦距分别为，相等，故B正确； 的离心率分别为，不相同，故C错误； 的渐近线分别为，相同，故D正确． 题型 02 依托双曲线几何性质求解标准方程 【例3】实轴长为6，虚轴长为8，焦点在x轴上的双曲线方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题设，双曲线方程可设为，且，即， 所以双曲线方程为. 故选：A 【例4】已知双曲线：的一条渐近线为，则的焦距为_______． 【答案】 【详解】因为双曲线：的一条渐近线为，，故， 由得，， 因此，故双曲线的焦距为. 变｜式｜巩｜固 【变式2-1】已知双曲线（，）的两条渐近线夹角为，离心率，则该双曲线的标准方程可能是（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【详解】双曲线的渐近线方程为， 两条渐近线夹角为，则渐近线与轴的夹角为或， 因此或. 由离心率定义，结合，得. 已知，故，即. 若，则，，不符合的要求，故舍去，仅保留，即. 验证选项： 选项：，，不符合，排除； 选项：，，不符合，排除； 选项：，，不符合，排除； 选项：，，此时，满足所有条件. 【变式2-2】与双曲线共焦点，且经过点的双曲线的方程为________． 【答案】 【详解】因为所求双曲线与双曲线共焦点， 所以，设所求双曲线的方程为． 因为方程经过点， 所以，解得或（舍去）， 所以所求双曲线的方程为． 【变式2-3】已知双曲线C：（，）过点，且焦距为10，则C的渐近线方程为__________. 【答案】 【详解】由题，，，即， ， 所以双曲线的渐近线为. 故答案为：. 题型 03 双曲线离心率的求解问题 【例5】已知、是双曲线的左右焦点，点是其渐近线在第一象限内的一点，直线与轴相交于点，是正三角形，则该双曲线的离心率是（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【详解】设双曲线的左右焦点为，满足，第一象限渐近线方程为， 因为在轴上，则， 又是正三角形，，而三点共线， 故，是的中点， 在中，，由余弦定理， 故， 设，则，解得，即， 故， 则，故，． 【例6】已知双曲线：（，）的左焦点为，为坐标原点，过作垂直于轴的直线与双曲线交于点，，若为等腰直角三角形，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意，又为等腰直角三角形，所以，则，即， 整理得，即， 解得或（舍），所以． 变｜式｜巩｜固 【变式3-1】已知双曲线：的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为______． 【答案】 【详解】双曲线的一条渐近线方程为，得，即， 则双曲线的离心率. 【变式3-2】设直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，若点满足，则该双曲线的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，则， 可得，所以点在线段的垂直平分线上， 设是的中点，则直线的斜率为，即直线的方程为， 联立方程，解得； 联立方程，解得； 不妨设，，则， 代入直线的方程可得， 且，整理可得，进而可得， 即，可得， 所以该双曲线的离心率. 【变式3-3】若双曲线的两条渐近线与圆共有3个公共点，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】双曲线的两条渐近线方程为. 圆的圆心坐标为，半径. 由题意双曲线的两条渐近线与圆共有3个公共点，所以圆与其中一条渐近线相切. 圆心坐标位于第一象限，圆与相交，与相切. 圆心到渐近线的距离等于半径，即，整理得， ，， ， . 题型 04 双曲线离心率的取值与范围问题 【例7】已知点为双曲线的右支上一点，，分别为双曲线的左右焦点，点为的内切圆圆心，若恒有成立，则双曲线的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设的内切圆半径为，根据三角形面积公式可得 ，，. 代入题设不等式，约去公共项后可得 . 根据双曲线的定义，右支上的点恒满足， 而双曲线焦距，代入上式得， 即离心率. 双曲线的离心率本身满足，因此最终离心率的取值范围是. 【例8】若直线与双曲线的交点为，，且大于的虚轴长，则的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】将直线代入得， 所以， 因为大于的虚轴长，所以，即， 同时除以得， 解得，所以离心率， 所以的离心率的取值范围是. 变｜式｜巩｜固 【变式4-1】已知双曲线的右焦点为，过作垂直于轴的直线与双曲线交于两点，与双曲线的渐近线交于两点，若，则离心率的取值范围为___________． 【答案】 【详解】如图，作出符合题意的图形， 在双曲线中，取，可得， 分别在双曲线的渐近线与中，取，求得， 由，得，即， ，解得，即，故. 故答案为： 【变式4-2】已知双曲线（，）的焦距为，左、右顶点分别为，，过作轴的垂线与的渐近线交于，两点，若，则的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】双曲线的渐近线方程为，， 直线与渐近线方程联立得，则，， 由，得，即，则， 整理得，即，而，解得， 所以的离心率的取值范围为. 故选：A 【变式4-3】已知双曲线的左､右焦点分别是，过点的直线与双曲线的右支交于两点，若，则双曲线离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由双曲线的定义，可得，， 两式相加得， 因为，所以， 又因为，所以， 当轴时，此时最小，此时，所以， 因为，可得，整理得， 两边除以，可得，又因为，解得， 所以双曲线的离心率取值范围是. 故选：D    题型 05 双曲线渐近线相关综合问题 【例9】已知双曲线的离心率小于2，其左、右焦点分别为，，点是双曲线右支上一点，若，且焦点三角形的最大内角与最小内角之和为，则双曲线的渐近线方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为点是双曲线右支上一点，， 则，即， 可知三边长为，，， 又因为双曲线离心率，得，即， 可知焦点三角形的最大内角与最小内角之和为， 则， 由余弦定理可得， 即，整理可得， 即，可得，即， 双曲线的渐近线方程为. 【例10】过双曲线：（）的右焦点作渐近线的垂线，垂足为，若点关于点的对称点恰好落在双曲线上，则双曲线的渐近线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 如图所示，已知双曲线，其右焦点为，其中， 不妨设过右焦点作渐近线的垂线，垂足为，则直线的方程为， 联立方程组，解得，所以点的坐标为，其中为线段的中点， 设点的坐标为，由中点坐标公式得，解得，所以点的坐标为， 又因为点在双曲线上，则，结合，化简得，即， 因此双曲线的渐近线为，故B正确. 变｜式｜巩｜固 【变式5-1】已知过原点的直线与双曲线的左、右两支分别交于点，，点是双曲线的左焦点，若，则双曲线的渐近线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得在双曲线左支上，则， 因为，则，且， 则， ， 因为， 则， 即， 整理得，即， 在双曲线中有，即， 联立，整理得，即， 所以双曲线的渐近线方程为. 【变式5-2】设双曲线（，）的左焦点到两条渐近线的距离之和为，为该双曲线的半焦距，若，则该双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，渐近线方程为，即，， 则，得 所以，则渐近线方程为. 【变式5-3】已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与的右支交于A，B两点，若，且，则的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设、，由双曲线定义可得，， 又，则，故，则，又， 则， 化简得，则，故， 则的渐近线方程为. 故选：B. 题型 06 直线与双曲线的位置关系判定 【例11】若直线与双曲线有且只有一个公共点，那么双曲线的离心率为（   ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【详解】由可得，故， 当，则，方程只有一个实数解，满足题设要求， 此时双曲线方程为，，； 当时，，此时， 此时双曲线方程为，，. 【例12】如果直线与双曲线有两个不同的交点，那么斜率k的取值范围是______. 【答案】 【详解】联立直线与双曲线方程，整理可得， 直线与双曲线有两个不同的交点，所以， 解得且，所以斜率k的取值范围是 变｜式｜巩｜固 【变式6-1】设双曲线C：，若直线与双曲线C无公共点，则b的一个取值为______． 【答案】1（只要满足即可，答案不唯一） 【详解】双曲线C：的一条渐近线的斜率为， 若直线与双曲线C无公共点，只需. 故b的一个取值可以为，（只要满足即可，答案不唯一）. 【变式6-2】与双曲线有两个交点的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】双曲线的渐近线方程为：， 当直线与渐近线平行时，直线与双曲线只有一个交点， 故CD与双曲线只有一个交点错误； 对于A，联立，可得：，无解，故A错误； 对于B，联立，可得：， ，故B正确； 故选：B. 【变式6-3】已知双曲线，过点作直线与双曲线有且只有一个交点，这样的直线可以作_________条（填“条数”）． 【答案】4 【详解】由题双曲线的渐近线方程为， 因为点在第四象限，在双曲线外，且不在渐近线上， 所以如图过点作与双曲线有且只有一个交点的直线可以作出2条与双曲线右支相切的切线和2条分别与两条渐近线平行的直线. 故答案为：4. 题型 07 直线与双曲线的弦长计算问题 【例13】两条渐近线为，且截直线所得弦长为的双曲线方程为（） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由双曲线渐近线为，即， 可设双曲线方程为（）， 直线即，代入双曲线方程得， 整理得二次方程， 设直线与双曲线交点为、，由韦达定理得，， 直线斜率，弦长公式为， 代入已知弦长，得，两边平方得， 化简得，即，解得满足， 代回设的方程得，两边同除以，即得双曲线方程为. 【例14】过双曲线的左顶点作倾斜角为的直线与交于另一点，则___________． 【答案】 【详解】双曲线的左顶点为，则， 联立，消去可得， 则或，由，故，则， 故. 故答案为：. 变｜式｜巩｜固 【变式7-1】已知双曲线，过右焦点的直线与双曲线交于两点，且，这样的直线有（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】D 【详解】根据双曲线的性质，如果在同一支上，则的最小值为通径，即， 如果在两支上，则的最小值为实轴长，即． 因为，所以根据双曲线的性质，这样的直线有4条,如图. 故选：D．      【变式7-2】两条渐近线为，的双曲线，则被直线截得弦长为，双曲线方程为__________． 【答案】 【详解】已知两条渐近线为，，即. 可设双曲线的方程为. 联立，整理得. ，则. 设方程的两根为，，则，， 代入弦长公式得， 即，，解得. 故双曲线方程为，即. 【变式7-3】已知双曲线的右焦点为，点在上，且轴． (1)求双曲线的方程； (2)过点且倾斜角为的直线交于两点，求线段的长． 【答案】(1) (2)3 【分析】 【详解】（1）因为点在上，所以， 又为的右焦点，轴，则，故， 所以，因此的方程为． （2）由题意，直线的方程为， 联立，整理得， 设，此时， 由韦达定理得， 所以． 题型 08 双曲线中点弦与点差法应用 【例15】在双曲线中，过左焦点的直线与双曲线同一支交于不同的两点，，线段的中点为．若直线的斜率为，则直线的一般式方程为___________． 【答案】 【详解】由双曲线的方程可知,设， 则，两式相减可得，即， 所以， 因为直线的斜率为，所以,所以， 直线的方程为，即，经检验符合题意. 故答案为： 【例16】已知斜率为2的直线交双曲线于两点，线段的中点为，直线的斜率等于__________. 【答案】/0.5 【详解】依题意，设，直线的斜率分别为， 则，两式相减，整理得， 因是线段的中点，则， 代入上式整理得：， 依题意，，则得， 即，因，则. 故答案为：. 变｜式｜巩｜固 【变式8-1】（多选）对任意有序正实数对，若存在过点的直线与双曲线交于两点，且为线段的中点，则称该数对为有效数对，否则称为无效数对，则下列数对中是有效数对的有（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】设直线的斜率为，， 则有，， 两式相减得，即， 又为的中点，即，且， 所以，且直线与双曲线有两个交点， 对于A：此时数对为，则，直线，双曲线， 联立，得， ，满足直线与双曲线有两个交点，故A正确； 对于B：此时数对为，则，直线，双曲线， 联立，此时无解，不满足直线与双曲线有两个交点，故B错误； 对于C：此时数对为，则，直线，双曲线， 联立，得， ，不满足直线与双曲线有两个交点，故C错误； 对于D：此时数对为，则，直线，双曲线， 联立，得， ，满足直线与双曲线有两个交点，故D正确； 故选：AD. 【变式8-2】过点的直线与双曲线相交于，两点，且为的中点，则直线的方程为______． 【答案】 【详解】设，，则，， 两式相减得, 因为为的中点，所以，, 所以，即所求直线的斜率为1， 所以直线的方程为，即． 【变式8-3】已知，直线，相交于点，且它们的斜率之积是4． (1)求点的轨迹的方程． (2)过点能否作一条直线与轨迹交于，两点，且是线段的中点？若能，求出直线的方程；若不能，说明理由． 【答案】(1) (2)不能，理由： 假设存在符合题设的直线，设， 则，两式相减整理得． 又因为为线段的中点，所以，， 所以直线的斜率． 由点斜式方程可知，直线的方程为，即． 由消去，整理得，（*） 判别式， 所以方程（*）无解，故直线与轨迹无交点，因此假设不成立， 故过点不能作直线，使得与交于，两点，且是线段的中点． 【分析】 【详解】（1）设点， 则直线的斜率，直线的斜率， 由题意知，即，化简整理得， 所以点的轨迹的方程为． （2）略 题型 09 双曲线中的定点问题 【例17】已知双曲线的左顶点为，离心率为，是上的两点． (1)求的标准方程； (2)若（不在直线上)，证明：直线过定点． 【答案】(1)； (2) 证明：设直线的方程为，，. 由，得， 则，，， 又，则，， 因为，所以， 即， 即， 即， 整理得，解得或， 当时，直线，直线过点，不符合题意，舍去； 当时，直线，则直线过定点. 综上，直线过定点． 【分析】 【详解】（1）因为，， 所以，故的标准方程为. （2）略 【例18】在平面直角坐标系中，已知，动点满足直线和直线的斜率之积是． (1)求动点的轨迹方程，并指出该轨迹是什么曲线； (2)当时，为的轨迹上的两个动点，记直线的斜率分别为，若，试判断直线是否过定点，若过定点，求出该定点；若不过定点，请说明理由． 【答案】(1) 点的轨迹方程为：. 当时，该轨迹表示双曲线（去掉点）； 当或时，该轨迹表示椭圆（去掉点）； 当时，该轨迹表示圆（去掉点）. (2)直线过定点. 【分析】 【详解】（1）设点，则由题意可得：，整理可得 所以点的轨迹方程为：. 当时，该轨迹表示双曲线（去掉点）； 当或时，该轨迹表示椭圆（去掉点）； 当时，该轨迹表示圆（去掉点）. （2）当时，点的轨迹方程为， 由点在双曲线上得，由轨迹定义可知， 则，又，所以. 方法一：依题直线斜率不为0， 设直线方程为 联立方程组， 整理得 则 又 即， 代入韦达定理可得：， 解得或（舍去）；所以直线的方程为， 即直线过定点. 方法二：依题直线不过点，则设直线方程为 方程化为， 整理有 联立直线方程，利用代换1齐次化： 整理可得：， 从而，解得， 所以直线的方程为，即 所以直线过定点. 变｜式｜巩｜固 【变式9-1】在平面直角坐标系xOy中，，曲线上有两点A，B，当时，. (1)求曲线E方程； (2)若点A在曲线E的右支上，点B在曲线E的左支上，点A，B，F三点不共线，且，试判断直线AB是否恒过一个定点，若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)过定点， 【分析】 【详解】（1）由得，又， 所以，故点在曲线E上，所以，解得， 故的方程为. （2）判断：直线AB恒过一个定点； 由图形关系可知点A，B在x轴异侧， 故由可得直线AF，BF的斜率互为相反数 设，    联立，可得 所以 而直线AF，BF的斜率之和为 即 =， 而，故， 所以直线AB过定点. 【变式9-2】已知双曲线的离心率为，点在上． (1)求的方程； (2)设斜率为且不经过点的直线交于两点，记直线的斜率分别为，，若，证明：直线过定点． 【答案】(1) (2) 如图，设直线的方程为，， 联立得， 由题意可得，且， 化简得， 由韦达定理得． 因为， 所以， 整理得， 即， 化简得，因为直线不经过点，所以， 此处需要排除当直线经过点时满足的参数关系． 所以，即，满足， 所以直线的方程为，即直线过定点． 【分析】 【详解】（1）因为点在双曲线上，所以， 由离心率为可得，解得， 所以的方程为． （2）略 【变式9-3】已知双曲线与椭圆的焦点相同，且离心率之比为. (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线的左､右两支分别交于两点，记点关于轴的对称点为，证明：直线过定点，并求出该定点的坐标. 【答案】(1) (2)证明：设，则， 联立 消去整理得，所以， 所以， 又直线的斜率，所以直线的方程为， 由对称性易知，若直线过定点，则该定点在轴上， 令，得， 所以直线过定点，且该定点的坐标为. 【分析】 【详解】（1）由题知，，化简得. 解得， 所以双曲线的方程为. （2）略 题型 10 双曲线中的定值问题 【例19】已知双曲线C：的焦距为8，点在双曲线C的一条渐近线上.过双曲线C的左焦点F作直线l交双曲线C的左支于A，B两点. (1)求双曲线C的方程； (2)已知点，直线交直线于点Q，设直线，的斜率分别为，，求证：为定值. 【答案】(1) (2)由（1）知双曲线的左焦点为， 由题意设直线的方程为， 由直线，得， 设，则，又， 所以 ， 由，得，其中， 则，，，所以. 因为，所以， 所以 . 即为定值. 【分析】 【详解】（1）由题意知，则，所以， 因为点在双曲线的一条渐近线上， 所以点在双曲线的渐近线上，所以， 综上可得， 故双曲线的方程为. （2）略 【例20】已知双曲线的左、右焦点分别为，直线过点且与双曲线交于第一象限的点. (1)若直线与双曲线的左半支交于点，，且，求实数的值； (2)若点的横坐标为，且满足，证明：直线的斜率为定值. 【答案】(1) (2) 方法一：设直线的斜率为，则直线， 联立，整理得. 因为点的横坐标为，所以恰是该方程的解， ， 整理得，即. 又，所以， 直线过点且与双曲线交于第一象限的点， ，即直线的斜率为定值. 方法二：点的横坐标为，在第一象限，且在双曲线上， ，解得，故， 因为直线过点，所以直线的斜率为. 因为，所以直线的斜率为，即直线的斜率为定值. 【分析】 【详解】（1）点在双曲线右支上，， 由，得. 又直线与双曲线的左半支交于点，所以，得， 在中由余弦定理得 ， 整理得，解得或（舍去）. 实数的值为. （2）略 变｜式｜巩｜固 【变式10-1】已知分别为双曲线的左，右顶点，为双曲线上异于的任意一点，直线，斜率之积为，的焦距为． (1)求的方程； (2)过点作直线与双曲线交于，两点（不与重合），记的斜率分别为，证明：为定值． 【答案】(1) (2)由（1）知，设，． 因为不与重合，所以可设直线． 联立，消得：， 故，，，， ，， 可得， ． 【分析】 【详解】（1）设，，，且， 则． 又焦距为，则，， 双曲线的标准方程为：． （2）略 【变式10-2】已知双曲线的右焦点为，且经过点. (1)求双曲线的方程； (2)过的两条直线分别交的右支于A，B两点和C，D两点，且，证明：直线与直线的斜率之和是定值. 【答案】(1) (2) 由题意可知直线都存在斜率且不为零，且不相等， 设直线的斜率为，方程为，与双曲线方程联立，得 ，不等于0. 所以有， 设， ，解得， 同理， 所以 ， 设直线的斜率为， 同理可得：， 因为， 所以， 因为，所以， 因此直线与直线的斜率之和是定值. 【分析】 【详解】（1）因为双曲线的右焦点为，且经过点， 所以，因此双曲线的方程为； （2）略 【变式10-3】已知双曲线：（，）的右焦点到一条渐近线的距离为1，且点在双曲线上． (1)求双曲线的方程； (2)斜率为的直线与双曲线的右支交于、两点（异于点）．求证：直线、的斜率之和为定值． 【答案】(1) (2)如图，设点、，设直线的方程为， 因为点不在直线上，则，可得， 联立，消去可得， 则，解得或， 由题意可得，所以且， 所以 ， 即直线、的斜率之和为. 【分析】 【详解】（1）双曲线的右焦点为，渐近线方程为，即， 所以焦点到一条渐近线的距离为， 因为点在双曲线上，所以，解得， 故双曲线的标准方程为. （2）略. 基础通关 一、单选题 1．双曲线的一条渐近线方程为，，分别为其左、右焦点，M是C上的一点，且，则（） A．1 B．3 C．7 D．9 【答案】D 【详解】由题意得，，得， 则， 若在左支，则；若在右支，则； 因为，所以在左支，则，得. 2．已知双曲线的一条渐近线的斜率为，则双曲线的离心率为（ ） A．2 B． C． D．3 【答案】B 【详解】根据双曲线渐近线的方程满足，所以. 所以双曲线的离心率为 3．设双曲线的离心率分别为．若，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【详解】由 可知，则，， 又，所以．由可知， 则由 ，解得． 4．已知双曲线的左右焦点分别为是上一点，且，若的内切圆半径与的比值为，则的离心率为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】D 【详解】令，其中，则，得， 因为，所以， 则由双曲线的定义可知，， 则的面积为， 周长为， 则，则， 则的离心率为. 5．设点为坐标原点，过双曲线的右焦点作其一条渐近线的垂线，垂足为点，则（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【详解】如图所示，由双曲线方程可知，， 则其右焦点的坐标为，渐近线方程为， 取其中一条渐近线，过右焦点作渐近线的垂线，垂足为， 则右焦点到该渐近线的距离为，且为直角三角形，， 所以， 因此. 6．椭圆：与双曲线：有公共的焦点，，为与的交点，则的面积为（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】C 【详解】 由题意知，双曲线的焦点在轴，且与椭圆共焦点，因此椭圆的焦点也在轴， 对椭圆，半焦距满足；对双曲线，半焦距满足，故，即， 联立两曲线方程，两式相加得，解得， 将代入椭圆方程，整理得，代入得， 因为的底为，高为，因此面积， 由，得，即， 所以，所以，的面积为. 二、多选题 7．已知双曲线的两个焦点分别为，，则（   ） A． B．，在轴上 C．的离心率为 D．直线与没有公共点 【答案】ACD 【详解】双曲线中，故A正确； 在轴上，故B错误； 离心率，故C正确； 是的渐近线，与没有公共点,故D正确． 8．在平面直角坐标系中，双曲线的左、右焦点分别为，直线与E在第一象限内相交于点P，过点P作x轴的平行线与E相交于另一点Q，若，，则（    ） A． B．E的渐近线方程为 C． D．的外接圆半径为 【答案】ABD 【详解】显然，由得， ， 由余弦定理得， ，于是，故选项A正确； 由勾股定理得，， 由定义得，，， 故渐近线方程为，故选项B正确； 显然的横坐标满足，，由曲线对称性可知，故选项C错误； ， ∴由正弦定理得的外接圆半径，故选项D正确． 三、填空题 9．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过右焦点的直线交双曲线右支于，两点，若为正三角形，则双曲线的离心率__________. 【答案】 【详解】如图所示： 若为正三角形，则有，根据双曲线的对称性，可知轴， 即，又因为，则. 又因为，所以，. 而，由，可得，即， 所以. 10．双曲线的一条渐近线上的点关于另一条渐近线的对称点恰为右焦点，则__________， 【答案】 【详解】由点在双曲线的一条渐近线上，可得， 记坐标原点为，则，即． 因为，所以，解得，则. 故答案为：. 四、解答题 11．已知双曲线的渐近线方程为，点在双曲线上． (1)求双曲线的焦距； (2)过双曲线的右焦点且倾斜角为的直线与交于两点，求． 【答案】(1) (2)4 【分析】 【详解】（1）由题意得： ， 又，可得， ，则双曲线的焦距为． （2）双曲线的方程为， 右焦点坐标为， 设直线的斜率为． 直线的方程为：， 联立，整理得， 因 设，则 ． 12．已知双曲线的右顶点为，实轴长为4，过双曲线的左焦点作直线，当直线与轴垂直时，直线与双曲线的两个交点分别为，此时为等腰直角三角形． (1)求双曲线的标准方程； (2)当直线与双曲线的渐近线平行时，求直线与双曲线的交点坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】 【详解】（1）由题意得，解得， 所以双曲线的方程为：. （2）      渐近线方程为， 当直线与平行时，直线的方程为：， 联立解得. 当直线与平行时，直线的方程为：， 联立解得， 所以直线与双曲线的交点坐标为或. 素养提升 1．已知双曲线：（，）的左右焦点分别为，，过的直线与的左支交于，两点，，则的离心率为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由双曲线的定义可知，又因为， 所以，所以 在和中 ， 即， 所以，所以. 2．地铁已成为市民必不可少的交通工具，某地铁线路A，B，C三站点自左向右位于同一条直线上，某市民要步行去地铁站乘地铁前往C站，已知该市民在圆锥曲线E左侧时去A站到达C站更快，反之则去B站更快，若地铁平均速度是该市民的3倍，且A，B两站等候时间期望相同，则E的离心率为（    ） A． B． C． D．3 【答案】D 【详解】设为圆锥曲线上任意一点，由题意可知当该市民位于点时，去站和去站到达站的时间相等， 设该市民的步行速度为，则地铁的平均速度为， 设两站间的距离为，即， 所以该市民从点去站到达站的时间为：， 该市民从点去站到达站的时间为：，其中为等候时间， 由，， 所以，即， 化简整理得，即， 所以点的轨迹是以点为焦点的双曲线，设， 所以，即双曲线的离心率. 3．已知为双曲线：（，）右支上一点，，分别为左、右焦点，直线交轴于点，为坐标原点．若满足，，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，连接，由双曲线定义，， 因，则， 由对称性可知，，设， 在等腰三角形中，，即（*） 在中，由余弦定理，， 即， 将（*）代入，可得， 整理得，则有， 故. 4．已知双曲线左、右焦点分别为，．过的直线的斜率为，直线交双曲线右支于点．点在双曲线左支上，且．若双曲线离心率，则比值为（　　） A． B． C．1 D． 【答案】D 【详解】设双曲线的半焦距为． 由得 又，所以 于是 直线的方程为 联立，消去，得 因为在双曲线右支上，所以其横坐标为. 代入直线方程得，故. 因为，所以垂直于轴． 又，故平行于轴，即点的纵坐标也为． 将代入双曲线方程，得所以 由于在左支上，故 因此，从而 5．已知双曲线：的离心率为2，过的右顶点作轴的垂线，与的两条渐近线分别交于点，，且． (1)求的方程； (2)过点作两条互相垂直的直线，，分别交于点，（，均异于），证明：直线过定点． 【答案】(1) (2)易得，设：，，． 由得， 则，，且，， 所以，． 则 ． 因为，所以，解得（舍去）或， 所以：，故直线过定点． 【分析】 【详解】（1）的渐近线方程为和， 将分别代入渐近线方程，得，所以． 又，所以． 又的离心率，得， 故的方程为． （2）略． 6．已知椭圆C经过点，且与双曲线共焦点. (1)求椭圆C的方程； (2)过椭圆C右焦点作直线l交椭圆C于，两点，交轴于点，且记，，求证：为定值. 【答案】(1)； (2)设点、，， 由题意可知，直线的斜率存在，可设直线的方程为， 联立，可得， 由于点在椭圆的内部，直线与椭圆必有两个交点， 由韦达定理可得，， ，，， 得，， ，， . 【分析】 【详解】（1）因为双曲线的焦点坐标为，则， 设椭圆的方程为， 又椭圆过点，， 可得，，椭圆的标准方程为：； （2）略. 7．双曲线经过点． (1)求双曲线的渐近线方程； (2)双曲线的右焦点为，经过的直线与的右支交于两点A，B（不同于点），设直线AQ，AB，BQ的斜率分别为，若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由题意可得，解得，即， 故双曲线的渐近线方程为． （2）由（1）可知双曲线的方程为，右焦点的坐标为， 将直线AB的方程代入， 消去可得，， 则， 由韦达定理可得， 由可得即， 变形可得所以，或， 当时，直线AB经过点，不符合题意； 所以，即，解得． 迁移创新 1．已知椭圆和双曲线有相同的焦点，，是它们的一个公共点，且，若椭圆的离心率为，则双曲线的离心率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，设椭圆，双曲线， 因为它们有相同的焦点，所以， 不妨设点在第一象限，且， 因为点在椭圆上，所以， 即，又因为， 所以，所以， 因为，所以， 又因为点在双曲线上，所以， 即，又因为， 所以，所以，可得， 所以双曲线的离心率为. 2．已知双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为2，过点的直线交的右支于，两点，且当与轴垂直时，． (1)求的方程． (2)证明：点在以为直径的圆外． (3)在轴上是否存在点，使为等边三角形？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)由（1）得，，设直线的方程为，点，，联立方程整理得，则，，由直线与双曲线的右支交于，两点，得． 要证点在以为直径的圆外，只需证即可， 又，， 又，， 所以 ， 由，得， 所以， 所以，即点在以为直径的圆外． (3)不存在，理由如下： 假设在轴上存在点，使为等边三角形，设线段的中点为， 则，且， 由上，． 因为，所以直线的斜率， 所以． 又， 所以， 因为方程无解， 所以在轴上不存在点，使为等边三角形． 【分析】 【详解】（1）设双曲线的半焦距长为， 当直线与轴垂直时，，两点的横坐标为， 所以，解得，即， 所以， 又，，得，，， 故的方程为． （2）略 （3）略 3．已知双曲线，、分别是其左、右焦点，直线l与双曲线C的右支交于A、B两点． (1)求双曲线C的渐近线方程； (2)若M是双曲线上在第一象限的点，，求的面积； (3)已知直线l过点，P是双曲线C上一点且位于第一象限，且满足的点Q在线段上，若，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）对于双曲线，， 故双曲线C的渐近线方程为，即； （2）设，由题意可知， 则， 由，得， 即， 又M在双曲线上，故，则， 结合，得，则， 由于，故， 又，故的面积. （3）设，由知 若直线斜率不存在，则，此时，不符合题意，舍去； 设直线方程为：， 与双曲线联立化简得， 显然成立，设交点， 由韦达定理： 由得， 从而，即，即， 将韦达定理代入 化简得（※）， 因为，即， 由已知在双曲线上，得， 从而得代入（※）式， 得， 化简得，即， 解得，结合，解得， 则点的坐标为. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $