3.2.2 双曲线的简单几何性质讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦双曲线的简单几何性质这一核心知识点，系统梳理标准方程、范围、对称性、顶点、轴长、渐近线、离心率等基础性质，衔接第二定义、直线与双曲线位置关系等进阶内容，构建从概念理解到应用的学习支架。 该资料通过多样化例题（如离心率计算、渐近线推导）和实际问题（冷却塔、拱桥模型），培养数学眼光（观察几何特征）、数学思维（逻辑推理）、数学语言（模型表达）。课中辅助分层教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用能力。

3.2.2 双曲线的简单几何性质 知识点1：双曲线的几何性质 1．双曲线的几何性质 标准方程 ＝1 (a>0，b>0) ＝1 (a>0，b>0) 图形 性质 范围 x≤－a或x≥a；y∈R y≤－a，或y≥a；x∈R 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 顶点坐标：A1(－a，0)，A2(a，0) 顶点坐标：A1(0，－a)，A2(0，a) 轴长 实轴长：2a；虚轴长：2b 渐近线 y＝ y＝ 离心率 e＝，e∈(1，＋∞) a，b，c的关系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0) 2．等轴双曲线 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为y＝±x，离心率为． 【注意】对于双曲线＝1： (1)顶点：是双曲线与实轴的交点，只有两个，与焦点在同一坐标轴上．线段A1A2叫做双曲线的实轴，也存在着虚轴B1B2(并不虚)．B1，B2不是双曲线上的点，不能称为顶点． (2)离心率：e表示双曲线的焦距与实轴长的比值．e越大，双曲线“张口”越开阔． (3)渐近线：是双曲线特有的性质，实际上，双曲线与它的渐近线无限接近，但永远不相交． 双曲线＝λ(λ≠0)的渐近线都是＝0． 巧设双曲线方程的方法 (1)渐近线为y＝±x的双曲线方程可设为＝λ(λ≠0，m＞0，n＞0)；如果两条渐近线的方程为Ax±By＝0，那么双曲线的方程可设为A2x2－B2y2＝m(m≠0，A＞0，B＞0)． (2)与双曲线＝1或＝1(a＞0，b＞0)共渐近线的双曲线方程可设为＝λ或＝λ(λ≠0)． (3)与双曲线＝1(a＞0，b＞0)离心率相等的双曲线系方程可设为＝λ(λ＞0)或＝λ(λ＞0)，这是因为由离心率不能确定焦点位置． 求渐近线的方法 (1)计算a，b的值代入渐近线方程． (2)利用＝或＝进行转化． 知识点2：双曲线定义及其应用 双曲线的第二定义：当点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e＝(e＞1)时，点M的轨迹是双曲线． 【注意】(1)定点和定直线是相对应的，如定点是(c，0)，则定直线为x＝． (2)距离比是离心率e，若e＞1，则点M的轨迹是双曲线，若0＜e＜1，则点M的轨迹是椭圆． 知识点3：直线与双曲线位置关系的判断 设直线l：y＝kx＋m(m≠0)，① 双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)，② 将①代入②， 得Ax2＋Bx＋C＝0． a．当A＝0时，直线l与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线C相交于一点． b．当A≠0时． ①Δ＞0⇒直线与双曲线有两个公共点，此时直线与双曲线相交； ②Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点，此时直线与双曲线相切； ③Δ＜0⇒直线与双曲线没有公共点，此时直线与双曲线相离． 【注意】(1)直线与双曲线相交时可能有一个或两个公共点；有一个公共点时，直线与双曲线可能相切或相交． (2)消元后注意二次项的系数，二次项系数可能为0，此时，直线与双曲线的渐近线平行． 考点一　双曲线的简单几何性质 考点二　由双曲线的几何性质求标准方程 考点三　双曲线的渐近线方程的问题 考点四　点和双曲线的位置关系 考点五　根据方程表示双曲线求参数 考点六　根据双曲线中x、y的范围求范围或最值 考点七　求双曲线的离心率或离心率的取值范围 考点八　由双曲线的离心率求参数的取值范围 考点九　直线与双曲线的位置关系 考点十　双曲线实际应用 考点一　双曲线的简单几何性质 1．（2026·北京大兴·三模）双曲线与双曲线的（    ） A．顶点相同 B．焦点相同 C．虚轴长相等 D．离心率相等 2．（25-26高三上·山东菏泽·期末）已知双曲线，则下列结论正确的是（） A．双曲线的焦距为5 B．双曲线的离心率为 C．双曲线的渐近线方程为 D．双曲线的实轴长为6 3．（25-26高二上·江西九江·期末）（多选）设双曲线：，则（   ） A．的虚轴长为1 B．的焦距为 C．的离心率为 D．的渐近线方程为 4．（25-26高二上·贵州遵义·期末）（多选）已知，分别为双曲线：的左、右焦点，为上的一点，则（   ） A．的虚轴长为 B． C．的焦距为3 D．的渐近线方程为 5．（25-26高二上·安徽阜阳·阶段检测）（多选）关于双曲线，下列结论正确的是（   ） A．实轴长为49 B．焦距为50 C．渐近线的斜率为± D．渐近线的方程为y=±x 6．（25-26高二下·陕西·期末）（多选）已知双曲线：，则（     ） A．双曲线的实轴长为 B．双曲线的虚轴长为 C．双曲线的离心率为 D．双曲线的渐近线的斜率为 考点二　由双曲线的几何性质求标准方程 7．（25-26高二下·全国·专题训练）已知双曲线过点，且与双曲线有相同的离心率，则双曲线的标准方程为______． 8．（25-26高二上·安徽宣城·阶段检测）与双曲线有相同离心率和相同渐近线的双曲线方程是（    ） A． B． C． D． 9．（2026高三·全国·专题练习）根据下列条件，求双曲线方程： (1)与双曲线有公共焦点，且过点； (2)与双曲线有公共渐近线，且过点． 10．（25-26高二下·全国·专题训练）求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)，经过点，焦点在轴上； (2)与双曲线有相同的焦点，且经过点； (3)过点，且焦点在坐标轴上． 11．（25-26高二上·山东潍坊·阶段检测）与双曲线有相同渐近线，且经过点的双曲线的方程是_________. 12．（25-26高二上·全国·课前预习）求适合下列条件的双曲线的标准方程. （1）焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为； （2）过点(2，0)，与双曲线离心率相等. 考点三　双曲线的渐近线方程的问题 13．（2026·广西·模拟预测）若双曲线的一条渐近线方程为，则（    ）. A． B． C． D． 14．（25-26高一下·北京延庆·期末）已知双曲线的一个焦点为，则双曲线的渐近线方程为______. 15．（25-26高二上·甘肃兰州·期末）（多选）已知双曲线与双曲线：有共同的渐近线，双曲线的两个焦点分别为，，点为上的一点，且，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 16．（25-26高二下·内蒙古赤峰·期末）已知双曲线：的一条渐近线方程为，则的离心率为_____________. 17．（2026·甘肃平凉·模拟预测）若双曲线虚轴的一端点与两顶点构成直角三角形，则C的渐近线方程为（） A． B． C． D． 18．（2026·河北·三模）已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，点P在C的右支上，且，若的中点在C的第一、三象限内的渐近线上，则C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 考点四　点和双曲线的位置关系 19．（25-26高二上·新疆和田·期中）已知双曲线焦点在x轴上，且焦距为6，，则 (1)求双曲线标准方程； (2)判断点在不在双曲线上，并说明理由. 20．（25-26高二上·河北石家庄·阶段检测）（多选）已知双曲线的离心率为，则（    ） A． B．双曲线的焦点坐标为和 C．点在双曲线上 D．若为双曲线的右焦点，为双曲线右支上任意一点，则 21．（2026·重庆·二模）若双曲线 与圆 交于 四点，且这四个点恰为正方形的四个顶点，则 _____. 22．（2026·河南周口·三模）已知点，，，中有3个点在双曲线上，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 考点五　根据方程表示双曲线求参数 23．（25-26高二上·甘肃兰州·期末）（多选）已知方程：（且），则下列结论正确的有（   ） A．“方程表示椭圆”是“”的充分不必要条件 B．若，则方程表示焦点在轴上的双曲线 C．存在，方程表示的曲线的离心率为 D．“”是“方程表示双曲线”的充要条件 24．（25-26高二上·福建厦门·期末）（多选）已知方程表示曲线，则（    ） A．曲线表示椭圆，则的取值范围是 B．时，曲线的离心率为 C．时，曲线的渐近线方程为 D．，曲线表示焦点在轴上的双曲线 25．（25-26高二上·广东东莞·期中）（多选）已知曲线：，则下列命题中，正确的是（   ） A．若，则曲线表示圆，且半径为 B．若，则曲线表示双曲线，且渐近线为 C．若，，则曲线表示两条直线 D．若，则曲线表示焦点在轴上的椭圆 26．（25-26高二上·安徽阜阳·期中）（多选）已知曲线：，下列说法正确的有（   ） A．当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆 B．当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线 C．当时，所给方程没有轨迹 D．当且时，曲线的焦距为8 27．（25-26高二上·山东临沂·期末）（多选）已知曲线的方程是.则（    ） A．若是双曲线，则或 B．若，则表示焦点在轴上的椭圆 C．若，则的离心率为 D．若是离心率为的双曲线，则的焦点到其渐近线距离为1 28．（25-26高二上·全国·阶段检测）（多选）已知曲线：，则（    ） A．若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则的焦距为 B．若曲线表示椭圆，则的取值范围是 C．若，则的焦点坐标是和 D．若，则的渐近线方程为 考点六　根据双曲线中x、y的范围求范围或最值 29．（25-26高二上·福建厦门·期末）已知双曲线的离心率为，左、右焦点为，，为双曲线上的一个动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 30．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知实数满足，则的最小值为（     ） A．96 B．81 C． D． 31．（25-26高二上·上海·期末）已知双曲线． (1)求上焦点的坐标； (2)若动点在双曲线的上支上运动，求点到的距离的最小值，并求此时的坐标； (3)若为双曲线的上顶点，直线与双曲线交于C、D两点（异于点），，求实数的值． 32．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知双曲线的实轴长为4，且与双曲线有公共的焦点. (1)求双曲线的方程； (2)已知，是双曲线上的任意一点，求的最小值． 考点七　求双曲线的离心率或离心率的取值范围 33．（2026高三·全国·专题练习）如图，双曲线的右顶点为A，左右焦点为，，点P是双曲线右支上一点，交左支于点Q，交渐近线于点R，M是的中点，若，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 34．（25-26高二下·广东深圳·期末）已知双曲线的左、右两个焦点分别为，为坐标原点，以为直径的圆与双曲线C在第二象限交于点， 直线与双曲线C右支交于点，，则双曲线C的离心率为（    ） A． B．2 C． D．3 35．（25-26高二下·安徽宿州·期末）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 36．（25-26高二下·河南许昌·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，在的右支上存在异于顶点的一点，使交轴于点，若为的角平分线，则的离心率的取值范围为____． 37．（2026·黑龙江大庆·二模）已知双曲线的左､右焦点分别是，过点的直线与双曲线的右支交于两点，若，则双曲线离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 38．（25-26高二上·安徽合肥·阶段检测）设、分别为具有公共焦点与的椭圆和双曲线的离心率，为两曲线的一个公共点，且满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 考点八　由双曲线的离心率求参数的取值范围 39．（2026·安徽合肥·三模）已知双曲线的左、右焦点分别为，离心率为，过的直线与C的右支交于A，B两点．若，则的值为（   ） A． B．3 C． D．2 40．（25-26高二上·山东临沂·期末）已知，椭圆与双曲线的离心率分别为、，若，则的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 41．（2026高二上·全国·专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的右支交于，两点，若，且双曲线的离心率为，则（    ） A． B． C． D． 42．（25-26高二上·湖南邵阳·期中）已知双曲线的离心率为，点在上，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 43．（25-26高二上·河南·期中）已知焦点在轴上的双曲线的离心率，则（    ） A．1 B． C． D．1或 44．（25-26高三上·浙江·阶段检测）已知双曲线的左顶点为，右焦点为，为双曲线右支上的点，若双曲线的离心率为2，且，则（    ） A． B． C． D． 考点九　直线与双曲线的位置关系 45．（25-26高三下·广东东莞·阶段检测）已知圆与双曲线，若在双曲线上存在一点，使得过点能作圆的两条切线，切点为，且，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 46．（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）已知焦点在轴上的双曲线，实轴长为，且过点． (1)求双曲线的标准方程； (2)直线，当为何值时，直线与双曲线相交？有一个公共点？ (3)过原点的直线与交于两点，已知直线和直线的斜率都存在，证明：直线和直线的斜率之积为定值． 47．（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）已知直线，双曲线 (1)求关于直线的对称直线； (2)若，求直线与双曲线相交所得的弦长； (3)若与双曲线有两个不同的交点，求双曲线的离心率的取值范围. 48．（2026·河南·模拟预测）已知，，动点M满足，设M的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的方程； (2)设直线与曲线C有两个交点A，B，求k的取值范围； (3)设直线与曲线C交于P，Q两点，求证：为定值． 49．（25-26高二上·贵州毕节·期末）在平面直角坐标系中，已知点，点，动点满足：直线与直线的斜率之积是. (1)求动点的轨迹的方程； (2)直线与（1）中轨迹相交于，两点，若为线段的中点，求直线的方程. (3)在（2）的条件下，求弦长. 50．（25-26高二上·江苏常州·期末）在平面直角坐标系中，已知双曲线，直线． (1)直线与双曲线C只有一个公共点，求的值； (2)若直线与双曲线有两个交点，，若为钝角，求的取值范围． 考点十　双曲线实际应用 51．（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）如图，双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小直径为米，塔底的直径为米，塔顶直径为米，最小直径处距塔底的垂直距离米，则该冷却塔的垂直高度约为（其中）（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 52．（25-26高二上·贵州·期中）在水泥粉磨系统中，双曲线型进料装置具有节能降耗的优点.某双曲线型进料装置的进料口的轴截面如图所示，它是双曲线的一部分，该双曲线的离心率为，实轴长等于进料口的下口宽度，下口宽度为，上､下口之间的高度为，则该进料口的上口宽度为（    ） A． B． C． D． 53．（25-26高二上·河北张家口·阶段检测）如图所示，某拱桥的截面图可以看作双曲线的图象的一部分，当拱顶到水面的距离为3米时，水面宽为米，则当水面宽度为米时，拱顶到水面的距离为（    ） A．3米 B．米 C．米 D．米 54．（25-26高二上·全国·课后作业）舰A在舰B的正东6 km处，舰C在舰B的北偏西30°方向，且与B相距4 km，它们准备围捕某海洋动物．在某时刻A发现动物信号，4 s后，B，C同时发现这种信号．设舰与动物均为静止的，动物信号的传播速度是1 km/s，试确定海洋动物的位置． 1．（25-26高二下·湖北随州·期末）已知椭圆和双曲线的焦点相同，则（    ） A． B． C．3 D．5 2．（2026·江苏连云港·模拟预测）椭圆：与双曲线：有公共的焦点，，为与的交点，则的面积为（    ） A． B． C．2 D．1 3．（2026·浙江金华·三模）双曲线的焦点到渐近线的距离为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 4．（2026·广东肇庆·二模）双曲线与双曲线的（    ） A．顶点相同 B．焦点相同 C．虚轴长相等 D．离心率相等 5．（2026高三·全国·专题练习）双曲线的实轴长、虚轴长与焦距的和为8，则半焦距的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·广东潮州·期末）双曲线的一条渐近线倾斜角为，则双曲线的离心率为（     ） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·河南驻马店·期末）直线与双曲线：（，）交于，两点，存在以为的中点，则的离心率的取值范围是（     ） A． B． C． D． 8．（2026·湖南怀化·二模）（多选）已知双曲线C：，则下列结论正确的是（   ） A．m的取值范围是 B．C的焦距与m的取值无关 C．若C的离心率不小于2，则m的取值范围为 D．存在实数，使得点在C上 9．（25-26高二上·河北·阶段检测）（多选）已知双曲线的焦距为4，则下列条件能使的方程为的是（   ） A．的离心率为 B．的渐近线方程为 C．的实轴长为 D．是上的点 10．（25-26高三下·江苏无锡·阶段检测）（多选）如图，双曲线的左右焦点分别为，，过的直线l与其右支交于P，Q两点，已知且，则下列说法正确的是（   ） A． B．双曲线的离心率为3 C． D．的面积为 11．（26-27高三上·湖北武汉·开学考试）已知双曲线的一条渐近线方程为，直线与交于，两点，分别过点，作的垂线，垂足为，．若四边形的面积为，则的虚半轴长为________． 12．（2026高三上·全国·专题练习）已知椭圆：（）与双曲线：（，）有相同的焦点，，以线段为边作正，若椭圆与双曲线的一个交点恰好是的中点，设椭圆和双曲线的离心率分别为和，则______. 13．（2026高三·全国·专题练习）两条渐近线为，的双曲线，则被直线截得弦长为，双曲线方程为__________． 14．（2026高三·全国·专题练习）已知点分别是双曲线的两个焦点，P为该双曲线上一点，若为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为____________． 15．（25-26高二下·广西桂林·期末）双曲线：的左、右焦点分别为，，为坐标原点，点是上一点．若，则的离心率为_____________． 16．（25-26高二上·天津西青·期末）已知双曲线的焦点在轴上，，且经过点. (1)求该双曲线的标准方程及渐近线方程； (2)过双曲线的右焦点，斜率为的直线交双曲线于两点，求弦长. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2.2 双曲线的简单几何性质 知识点1：双曲线的几何性质 1．双曲线的几何性质 标准方程 ＝1 (a>0，b>0) ＝1 (a>0，b>0) 图形 性质 范围 x≤－a或x≥a；y∈R y≤－a，或y≥a；x∈R 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 顶点坐标：A1(－a，0)，A2(a，0) 顶点坐标：A1(0，－a)，A2(0，a) 轴长 实轴长：2a；虚轴长：2b 渐近线 y＝ y＝ 离心率 e＝，e∈(1，＋∞) a，b，c的关系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0) 2．等轴双曲线 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为y＝±x，离心率为． 【注意】对于双曲线＝1： (1)顶点：是双曲线与实轴的交点，只有两个，与焦点在同一坐标轴上．线段A1A2叫做双曲线的实轴，也存在着虚轴B1B2(并不虚)．B1，B2不是双曲线上的点，不能称为顶点． (2)离心率：e表示双曲线的焦距与实轴长的比值．e越大，双曲线“张口”越开阔． (3)渐近线：是双曲线特有的性质，实际上，双曲线与它的渐近线无限接近，但永远不相交． 双曲线＝λ(λ≠0)的渐近线都是＝0． 巧设双曲线方程的方法 (1)渐近线为y＝±x的双曲线方程可设为＝λ(λ≠0，m＞0，n＞0)；如果两条渐近线的方程为Ax±By＝0，那么双曲线的方程可设为A2x2－B2y2＝m(m≠0，A＞0，B＞0)． (2)与双曲线＝1或＝1(a＞0，b＞0)共渐近线的双曲线方程可设为＝λ或＝λ(λ≠0)． (3)与双曲线＝1(a＞0，b＞0)离心率相等的双曲线系方程可设为＝λ(λ＞0)或＝λ(λ＞0)，这是因为由离心率不能确定焦点位置． 求渐近线的方法 (1)计算a，b的值代入渐近线方程． (2)利用＝或＝进行转化． 知识点2：双曲线定义及其应用 双曲线的第二定义：当点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e＝(e＞1)时，点M的轨迹是双曲线． 【注意】(1)定点和定直线是相对应的，如定点是(c，0)，则定直线为x＝． (2)距离比是离心率e，若e＞1，则点M的轨迹是双曲线，若0＜e＜1，则点M的轨迹是椭圆． 知识点3：直线与双曲线位置关系的判断 设直线l：y＝kx＋m(m≠0)，① 双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)，② 将①代入②， 得Ax2＋Bx＋C＝0． a．当A＝0时，直线l与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线C相交于一点． b．当A≠0时． ①Δ＞0⇒直线与双曲线有两个公共点，此时直线与双曲线相交； ②Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点，此时直线与双曲线相切； ③Δ＜0⇒直线与双曲线没有公共点，此时直线与双曲线相离． 【注意】(1)直线与双曲线相交时可能有一个或两个公共点；有一个公共点时，直线与双曲线可能相切或相交． (2)消元后注意二次项的系数，二次项系数可能为0，此时，直线与双曲线的渐近线平行． 考点一　双曲线的简单几何性质 考点二　由双曲线的几何性质求标准方程 考点三　双曲线的渐近线方程的问题 考点四　点和双曲线的位置关系 考点五　根据方程表示双曲线求参数 考点六　根据双曲线中x、y的范围求范围或最值 考点七　求双曲线的离心率或离心率的取值范围 考点八　由双曲线的离心率求参数的取值范围 考点九　直线与双曲线的位置关系 考点十　双曲线实际应用 考点一　双曲线的简单几何性质 1．（2026·北京大兴·三模）双曲线与双曲线的（    ） A．顶点相同 B．焦点相同 C．虚轴长相等 D．离心率相等 【答案】B 【分析】根据双曲线的标准方程及简单的几何性质判断即可. 【详解】因为为双曲线，所以，解得. 此时，双曲线方程可改写为. 对于，分别记，，，焦点在轴上，焦点为. 对于，分别记，，，焦点在轴上，焦点为. 对于A，第一个双曲线顶点为，第二个双曲线顶点为，只有当时，顶点相同，A错误. 对于B，两者焦点均为，B正确. 对于C，第一个双曲线虚轴长为，第二个双曲线虚轴长为2，只有当时，虚轴长相等，C错误. 对于D，第一个双曲线离心率为，第二个双曲线离心率为，只有当时，离心率相等，D错误. 2．（25-26高三上·山东菏泽·期末）已知双曲线，则下列结论正确的是（） A．双曲线的焦距为5 B．双曲线的离心率为 C．双曲线的渐近线方程为 D．双曲线的实轴长为6 【答案】D 【分析】根据题意，结合双曲线的几何性质，逐项判定，即可求解. 【详解】双曲线方程为，则，，所以. 焦距为，A错误， 离心率，B错误， 渐近线方程为，C错误， 实轴长为，D正确. 故选：D 3．（25-26高二上·江西九江·期末）（多选）设双曲线：，则（   ） A．的虚轴长为1 B．的焦距为 C．的离心率为 D．的渐近线方程为 【答案】ABD 【分析】根据虚轴、焦距、离心率、渐近线的定义逐一求出. 【详解】双曲线的标准方程为，则，，， 对于A， 虚轴长为，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，离心率为，故C错误； 对于D，的渐近线方程为，即，故D正确. 故选：ABD 4．（25-26高二上·贵州遵义·期末）（多选）已知，分别为双曲线：的左、右焦点，为上的一点，则（   ） A．的虚轴长为 B． C．的焦距为3 D．的渐近线方程为 【答案】AB 【分析】将双曲线方程化为标准方程，结合虚轴、定义、焦距、渐近线的定义求解. 【详解】双曲线的标准方程为，则 则虚轴长为，A正确； ，B正确； 焦距为，C错误； 渐近线方程为，故D错误. 故选：AB 5．（25-26高二上·安徽阜阳·阶段检测）（多选）关于双曲线，下列结论正确的是（   ） A．实轴长为49 B．焦距为50 C．渐近线的斜率为± D．渐近线的方程为y=±x 【答案】BD 【分析】根据双曲线的标准方程，求得的值，结合双曲线的几何性质，即可求解 【详解】由双曲线，可得， 所以，则， 对于A，双曲线的实轴长为，所以A不正确； 对于B，双曲线的焦距为，所以B正确； 对于C，双曲线的渐近线的斜率为，所以C不正确； 对于D，双曲线的渐近线方程为，所以D正确. 故选：BD. 6．（25-26高二下·陕西·期末）（多选）已知双曲线：，则（     ） A．双曲线的实轴长为 B．双曲线的虚轴长为 C．双曲线的离心率为 D．双曲线的渐近线的斜率为 【答案】ABD 【详解】由双曲线，得， 即， 所以双曲线的实轴长为，虚轴长为，离心率， 渐近线的斜率为，故A正确，B正确，C错误，D正确． 考点二　由双曲线的几何性质求标准方程 7．（25-26高二下·全国·专题训练）已知双曲线过点，且与双曲线有相同的离心率，则双曲线的标准方程为______． 【答案】 【分析】与双曲线共离心率的双曲线方程可设为或，代入点的坐标求解. 【详解】设与双曲线共离心率的双曲线方程为或， 因为双曲线过点，所以，（舍去）， 所以双曲线的方程为，即． 故答案为：． 8．（25-26高二上·安徽宣城·阶段检测）与双曲线有相同离心率和相同渐近线的双曲线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别求出双曲线的离心率和渐近线方程，然后逐项求解即可判断. 【详解】双曲线中，，，，渐近线， 对于A：，，，，渐近线，故A错误； 对于B ：，，，，渐近线，故B错误； 对于C ：，，，，渐近线，故C正确； 对于D：，，，，渐近线，故D错误.   故选：C. 9．（2026高三·全国·专题练习）根据下列条件，求双曲线方程： (1)与双曲线有公共焦点，且过点； (2)与双曲线有公共渐近线，且过点． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据双曲线有公共焦点得到，然后将点的坐标代入双曲线方程求解. （2）根据双曲线有公共渐近线得到，然后将点的坐标代入双曲线方程求解. 【详解】（1）解法1：设双曲线方程为. 由题意易求. 又双曲线过点， ， ， ， 故所求双曲线方程为， 解法2：设双曲线方程为， 将点代入得， ∴双曲线方程为. （2）解法1：设双曲线方程为. 由题意得，解得. 故双曲线方程为. 解法2：设所求双曲线方程为， 将点代入得. 所以双曲线方程为，即. 10．（25-26高二下·全国·专题训练）求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)，经过点，焦点在轴上； (2)与双曲线有相同的焦点，且经过点； (3)过点，且焦点在坐标轴上． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意设双曲线的标准方程为，代入点，计算求得，即得双曲线方程； （2）依题设所求双曲线方程为，代入点，计算求得的值，回代入方程即得双曲线方程； （3）依题意设双曲线的方程为，，代入点的坐标，求得的值，回代入方程即得双曲线方程. 【详解】（1）因为双曲线的焦点在轴上，且， 则可设双曲线的标准方程为， 因双曲线经过点，可得，解得， 故双曲线的标准方程为. （2）因所求的双曲线与双曲线有相同的焦点， 故可设所求双曲线方程为． 又双曲线过点，则得，解得或（舍去）． 故双曲线的标准方程为． （3）设双曲线的方程为，． 点，在双曲线上， 则有解得， 双曲线的标准方程为． 11．（25-26高二上·山东潍坊·阶段检测）与双曲线有相同渐近线，且经过点的双曲线的方程是_________. 【答案】 【分析】设双曲线方程为，将点坐标代入求值即可. 【详解】设双曲线方程为， 将点代入得，得， 故双曲线方程为. 故答案为： 12．（25-26高二上·全国·课前预习）求适合下列条件的双曲线的标准方程. （1）焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为； （2）过点(2，0)，与双曲线离心率相等. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）根据题意可得2b=8，e=，结合c2=a2+b2，求得，即可得出答案； （2）可设双曲线的方程为=λ(λ>0)，将点(2，0)代入求得λ，即可得出答案. 【详解】解：(1)设所求双曲线的标准方程为=1(a>0，b>0)，由题意知2b=8，e=， 从而b=4，c=a， 代入c2=a2+b2，得a2=9， 故双曲线的标准方程为=1. (2)由题意知，所求双曲线的焦点在x轴上， 故可设其方程为=λ(λ>0)， 将点(2，0)的坐标代入方程得， 故所求双曲线的标准方程为. 考点三　双曲线的渐近线方程的问题 13．（2026·广西·模拟预测）若双曲线的一条渐近线方程为，则（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【详解】的渐近线方程为， 故，平方得，故. 14．（25-26高一下·北京延庆·期末）已知双曲线的一个焦点为，则双曲线的渐近线方程为______. 【答案】 【分析】由已知可直接写出，进而利用双曲线参数关系，求出，再通过双曲线的渐近线方程公式即可解决本题. 【详解】焦点在轴上的双曲线的标准方程为，焦点坐标为，其中， 双曲线的一个焦点为可知， 则， 所以双曲线的渐近线方程为，即. 15．（25-26高二上·甘肃兰州·期末）（多选）已知双曲线与双曲线：有共同的渐近线，双曲线的两个焦点分别为，，点为上的一点，且，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由双曲线的定义求出，再根据双曲线共渐近线设出双曲线的方程，分焦点在轴上与在轴上两种情况进行分类讨论即可. 【详解】由题可知，解得. 当焦点在轴上时，可设双曲线的方程为， 则，此时双曲线方程为； 当焦点在轴上时，可设双曲线的方程为， 则，此时双曲线方程为. 故选：AC. 16．（25-26高二下·内蒙古赤峰·期末）已知双曲线：的一条渐近线方程为，则的离心率为_____________. 【答案】 【详解】双曲线的焦点在轴上，半轴长，则渐近线方程为， 因为双曲线的渐近线方程为， 所以，则，即半焦距， 因此的离心率为. 17．（2026·甘肃平凉·模拟预测）若双曲线虚轴的一端点与两顶点构成直角三角形，则C的渐近线方程为（） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】双曲线的顶点为，虚轴的一个端点为 由题意，这三点构成直角三角形，且直角顶点只能是. 则，即，整理得，即 双曲线的渐近线方程为，代入，得渐近线方程为. 18．（2026·河北·三模）已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，点P在C的右支上，且，若的中点在C的第一、三象限内的渐近线上，则C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设的中点为M，设，结合双曲线定义与正弦定理计算可得，再利用余弦定理可列出与、、有关齐次等式，即可得其渐近线方程. 【详解】设的中点为M，又O是的中点，则，则， 设，则， 在中，由正弦定理得， 则，得， 在中，由余弦定理得， 则，即， 结合，整理得， 所以C的渐近线方程为. 考点四　点和双曲线的位置关系 19．（25-26高二上·新疆和田·期中）已知双曲线焦点在x轴上，且焦距为6，，则 (1)求双曲线标准方程； (2)判断点在不在双曲线上，并说明理由. 【答案】(1) (2)点在双曲线上 【分析】（1）求得，由此求得双曲线的标准方程. （2）根据点的坐标满足方程，由此得点在双曲线上. 【详解】（1）因为双曲线的焦距为6，所以，又，所以， 又双曲线的焦点在轴上，所以双曲线的标准方程为； （2）因为，所以点的坐标满足双曲线的方程， 所以点在双曲线上. 20．（25-26高二上·河北石家庄·阶段检测）（多选）已知双曲线的离心率为，则（    ） A． B．双曲线的焦点坐标为和 C．点在双曲线上 D．若为双曲线的右焦点，为双曲线右支上任意一点，则 【答案】AD 【分析】对于A，根据离心率公式得到方程，求出；对于B，求出焦点坐标为和；对于C，代入可得，从而得到点不在双曲线；对于D，根据双曲线性质得到D正确. 【详解】对于A，由，可得，故A正确； 对于B，由于，故焦点坐标为和，故B错误； 对于C，由，可得点不在双曲线上，故C错误； 对于D，由双曲线的性质，有，，故D正确. 故选：AD. 21．（2026·重庆·二模）若双曲线 与圆 交于 四点，且这四个点恰为正方形的四个顶点，则 _____. 【答案】 【分析】设，则，代入双曲线方程可得，从而可得答案. 【详解】双曲线 与圆 交于 四点， 且这四个点恰为正方形的四个顶点， 设，则， 所以，解得， 所以，即, 故答案为：. 22．（2026·河南周口·三模）已知点，，，中有3个点在双曲线上，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线对称性可知点，，在双曲线上，代入点可得，即可得渐近线方程. 【详解】根据双曲线对称性可知点，，在双曲线上， 则，解得， 且双曲线的焦点在x轴上，所以双曲线的渐近线方程为. 考点五　根据方程表示双曲线求参数 23．（25-26高二上·甘肃兰州·期末）（多选）已知方程：（且），则下列结论正确的有（   ） A．“方程表示椭圆”是“”的充分不必要条件 B．若，则方程表示焦点在轴上的双曲线 C．存在，方程表示的曲线的离心率为 D．“”是“方程表示双曲线”的充要条件 【答案】ABC 【分析】根据圆锥曲线的标准方程及简单的几何性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A，若方程表示椭圆，则，解得且， 当且成立时，一定成立，反之不成立，所以， A选项正确； 对于B，若，方程：，表示焦点在轴上的双曲线，B选项正确； 对于C，时，方程：，表示焦点在轴上的椭圆，离心率为，C选项正确； 对于D，方程表示双曲线，则有，解得或， 所以“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件，D选项错误. 故选：ABC 24．（25-26高二上·福建厦门·期末）（多选）已知方程表示曲线，则（    ） A．曲线表示椭圆，则的取值范围是 B．时，曲线的离心率为 C．时，曲线的渐近线方程为 D．，曲线表示焦点在轴上的双曲线 【答案】BD 【分析】根据椭圆，双曲线的简单几何性质逐个判断即可. 【详解】对于A：若方程表示椭圆，所以，解得或，故A错误； 对于B：若，则曲线方程为，表示椭圆，所以，， 故，因此离心率，故B正确； 对于C：若，则曲线方程为，则， 故曲线的渐近线方程为，故C错误； 对于D：若，则，，此时方程表示焦点在轴上的双曲线，故D正确. 故选：BD. 25．（25-26高二上·广东东莞·期中）（多选）已知曲线：，则下列命题中，正确的是（   ） A．若，则曲线表示圆，且半径为 B．若，则曲线表示双曲线，且渐近线为 C．若，，则曲线表示两条直线 D．若，则曲线表示焦点在轴上的椭圆 【答案】ACD 【分析】结合已知条件及圆锥曲线方程逐项进行分析判断即可. 【详解】选项A：若，方程可化为，符合圆的标准方程，其中圆心坐标为，半径为，故选项A正确. 选项B：若，则、一正一负，此时曲线为双曲线. 若，，方程可化为，渐近线为； 若，，方程可化为，渐近线为； 故选项B错误. 选项C：若，，方程可化为，即，表示两条平行于轴的直线，故选项C正确. 选项D：若，方程可化为，由得，所以曲线表示焦点在轴上的椭圆，故选项D正确. 故选：ACD. 26．（25-26高二上·安徽阜阳·期中）（多选）已知曲线：，下列说法正确的有（   ） A．当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆 B．当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线 C．当时，所给方程没有轨迹 D．当且时，曲线的焦距为8 【答案】ACD 【分析】根据给定的曲线，结合椭圆与双曲线的意义逐项判断即得. 【详解】对于A，当时，，曲线表示焦点在轴上的椭圆，A正确； 对于B，，，曲线表示焦点在轴上的双曲线，B错误； 对于C，当时，等号左边为负数，方程不成立，所给方程没有轨迹，C正确； 对于D，当且时， 若时，曲线表示焦点在轴上的双曲线，半焦距，曲线的焦距为， 若时，曲线表示焦点在轴上的椭圆，半焦距，曲线的焦距为，D正确. 故选：ACD 27．（25-26高二上·山东临沂·期末）（多选）已知曲线的方程是.则（    ） A．若是双曲线，则或 B．若，则表示焦点在轴上的椭圆 C．若，则的离心率为 D．若是离心率为的双曲线，则的焦点到其渐近线距离为1 【答案】BCD 【分析】A选项，根据是双曲线得到不等式，求出；B选项，，故表示焦点在轴上的椭圆；C选项，求出，求出离心率；D选项，根据离心率得到方程，求出，得到焦点坐标和渐近线方程，得到答案. 【详解】A选项，若是双曲线，则，解得，A错误； B选项，若，， 则，所以表示焦点在轴上的椭圆，B正确； C选项，若，则，则， 的离心率为，C正确； D选项，若是离心率为的双曲线，， 故，解得， 的焦点坐标为，渐近线方程为， 焦点到其渐近线距离为，D正确. 故选：BCD 28．（25-26高二上·全国·阶段检测）（多选）已知曲线：，则（    ） A．若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则的焦距为 B．若曲线表示椭圆，则的取值范围是 C．若，则的焦点坐标是和 D．若，则的渐近线方程为 【答案】AC 【分析】根据椭圆和双曲线的方程特征，列方程组，判断AB； 代入和，得到曲线方程，根据性质判断CD. 【详解】A.由题可得，，解得，则，，，则C的焦距为，A正确； B.若曲线C表示椭圆，则 ，B错误； C.当时，曲线：，则，，则，所以的焦点坐标是和，C正确； D.当时，曲线：表示双曲线，则其渐近线方程为，D错误. 故选：AC 考点六　根据双曲线中x、y的范围求范围或最值 29．（25-26高二上·福建厦门·期末）已知双曲线的离心率为，左、右焦点为，，为双曲线上的一个动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据条件求出双曲线方程和焦点坐标，然后表示出，结合的范围求出最小值即可. 【详解】双曲线的离心率为. ，解得， 又，. 设点， 则且. . 的最小值为. 故选： 30．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知实数满足，则的最小值为（     ） A．96 B．81 C． D． 【答案】D 【分析】设，将P化为双曲线上任意一点；将M化为圆C：上任意一点，则，根据圆的性质可知，再利用二次函数性质即可求出最小值，从而得到答案. 【详解】设，则P为双曲线上任意一点， M为圆C：上任意一点，， 根据圆的性质可知， ， 又， 所以， 又或，所以根据二次函数性质可知，当时，， 所以， 所以. 故选：D. 31．（25-26高二上·上海·期末）已知双曲线． (1)求上焦点的坐标； (2)若动点在双曲线的上支上运动，求点到的距离的最小值，并求此时的坐标； (3)若为双曲线的上顶点，直线与双曲线交于C、D两点（异于点），，求实数的值． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）根据双曲线方程求解出的值，根据求解出的值，则坐标可知； （2）设出点坐标，然后表示出，根据点在双曲线上以及二次函数的性质求解出，代入于双曲线方程则可知，故点坐标可知； （3）设出坐标，联立直线与双曲线方程得到横坐标的韦达定理形式，然后将数量积关系转化为坐标关系，结合韦达定理可求解出的值. 【详解】（1）因为双曲线方程为， 所以，所以， 所以上焦点. （2）设，则， 所以， 当时，此时取得最小值且， 所以，所以， 所以. （3）因为为上顶点，所以， 由题意可知：不经过，所以， 设， 联立可得， 且，即， 所以， 因为，所以， 所以，所以， 所以， 化简可得：，解得或（舍）， 综上所述，. 32．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知双曲线的实轴长为4，且与双曲线有公共的焦点. (1)求双曲线的方程； (2)已知，是双曲线上的任意一点，求的最小值． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）根据题意设双曲线，由双曲线的性质即可求解； （2）设出坐标，根据双曲线的性质得出的范围，利用两点间距离公式求解. 【详解】（1）由双曲线的焦点在轴，坐标为，， 所以可设双曲线的方程为， 由已知，所以， 又因为双曲线与双曲线有公共的焦点，所以， 解得， 所以双曲线的方程为； （2） 由，可得或， 设，因为是双曲线上的任意一点， 所以，则或， ， 因为或， 所以当时，有最小值. 考点七　求双曲线的离心率或离心率的取值范围 33．（2026高三·全国·专题练习）如图，双曲线的右顶点为A，左右焦点为，，点P是双曲线右支上一点，交左支于点Q，交渐近线于点R，M是的中点，若，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】先求出点坐标，再求出点坐标，再根据点差法表示出，再由建立方程求解即可. 【详解】因为，所以在直角中，， 设，则，解得，即， 又，所以，则， 即，又因为，，所以 ，设，， 联立，两式相减化简得， 又M是的中点，， 即，又，所以， 又，所以， 化简得，又，解得， 即. 34．（25-26高二下·广东深圳·期末）已知双曲线的左、右两个焦点分别为，为坐标原点，以为直径的圆与双曲线C在第二象限交于点， 直线与双曲线C右支交于点，，则双曲线C的离心率为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】利用圆周角定理和等腰三角形的性质得到平行关系，再借助中位线性质确定有关线段长度；结合双曲线的定义求出焦半径，最后利用余弦定理求离心率． 【详解】因为在以为直径的圆上，所以． 又三点共线，故． 由，知为等腰三角形． 取的中点，则，从而． 在中，为的中点，所以为的中点，故 设，则，． 点在双曲线左支上，所以 点在双曲线右支上，且，所以即，解得． 因此 故为等边三角形，． 又，． 在中，由余弦定理，得 所以，故双曲线的离心率为 35．（25-26高二下·安徽宿州·期末）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据条件得到圆的方程以及渐近线方程，联立求出点的坐标，根据勾股定理和，建立关于的方程，进而求出离心率． 【详解】如图所示，以为直径的圆的方程为（其中）， 不妨设圆和渐近线的交点在第一象限， 联立，解得. 由直径所对圆周角为直角，可知，故是直角三角形. 由，可得， 即， 整理得， 所以，解得.    36．（25-26高二下·河南许昌·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，在的右支上存在异于顶点的一点，使交轴于点，若为的角平分线，则的离心率的取值范围为____． 【答案】 【分析】设点且，，从而有直线为，根据三角形角平分线的性质有，且，，得即可求范围. 【详解】设双曲线的焦距为，且，则，， 设点且，， 直线的方程为，令，得，， 所以，则在线段上， 由是的角平分线，在中， 由三点共线，则， 因为，则， 而点到右焦点的距离为， 所以，所以， 由，则，即， 综上，离心率的取值范围为. 37．（2026·黑龙江大庆·二模）已知双曲线的左､右焦点分别是，过点的直线与双曲线的右支交于两点，若，则双曲线离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，利用双曲线的定义，求得，再由双曲线的性质，得到，得出，结合离心率的定义，得出关于离心率的不等式，即可求解. 【详解】由双曲线的定义，可得，， 两式相加得， 因为，所以， 又因为，所以， 当轴时，此时最小，此时，所以， 因为，可得，整理得， 两边除以，可得，又因为，解得， 所以双曲线的离心率取值范围是. 故选：D    38．（25-26高二上·安徽合肥·阶段检测）设、分别为具有公共焦点与的椭圆和双曲线的离心率，为两曲线的一个公共点，且满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，不妨设，利用椭圆和双曲线的定义可得出，再利用勾股定理可求得结果. 【详解】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，不妨设， 由椭圆和双曲线的定义可得，所以，， 设，因为，则，由勾股定理得， 即，整理得，故. 故选：A. 考点八　由双曲线的离心率求参数的取值范围 39．（2026·安徽合肥·三模）已知双曲线的左、右焦点分别为，离心率为，过的直线与C的右支交于A，B两点．若，则的值为（   ） A． B．3 C． D．2 【答案】B 【分析】根据双曲线的定义，在直角三角形中利用勾股定理计算即可求解. 【详解】因为双曲线的离心率为，不妨设，则， 设，，则，， 在中，由勾股定理可得，解得， 则， 同理，在中，由勾股定理可得，解得， 所以. 40．（25-26高二上·山东临沂·期末）已知，椭圆与双曲线的离心率分别为、，若，则的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆、双曲线的离心率公式结合可得出关于的等式，求出的值，即可得出双曲线的渐近线方程. 【详解】设椭圆、双曲线的半焦距长分别为、， 由题意可知，椭圆、双曲线的焦点都在轴上，所以，， ，， 由可得，解得， 故双曲线的渐近线方程为，即. 故选：A. 41．（2026高二上·全国·专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的右支交于，两点，若，且双曲线的离心率为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由双曲线的定义结合已知条件求得，从而得，由余弦定理求得，由诱导公式得，设，则，再由余弦定理求得，从而利用余弦定理求解即可. 【详解】因为双曲线的离心率为，所以，因为， 所以， 由双曲线的定义可得， 所以， 在中， 由余弦定理得， 在中，， 设，则， 由 得， 解得，所以， 所以. 故选：D. 42．（25-26高二上·湖南邵阳·期中）已知双曲线的离心率为，点在上，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由双曲线的离心率为，得，将点代入双曲线方程，得，代入，得利用不等式的性质，可得其取值范围. 【详解】由的离心率为，得，所以． 所以双曲线的渐近线方程为. 因为点在上，所以，，， 所以， 因为，所以 故选：A. 43．（25-26高二上·河南·期中）已知焦点在轴上的双曲线的离心率，则（    ） A．1 B． C． D．1或 【答案】C 【分析】将双曲线的方程化为标准式，可得出，由离心率得出关于的等式，求解即可. 【详解】因为双曲线的焦点在轴上， 所以其标准方程为 所以， 所以解得． 又因为双曲线的离心率，所以． 又，所以， 即， 即，解得或（舍去）． 故选：C． 44．（25-26高三上·浙江·阶段检测）已知双曲线的左顶点为，右焦点为，为双曲线右支上的点，若双曲线的离心率为2，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，可设双曲线方程为，设点，过点作轴，在直角中，由，得到，联立方程组，求得点的坐标，进而求得，即可求解. 【详解】因为双曲线的离心率为，即，则， 不妨设双曲线方程为，则点，， 设点，过点作轴，垂足为，则， 在直角中，因为，可得，可得， 联立方程组，可得，即， 所以，所以. 故选：C.    考点九　直线与双曲线的位置关系 45．（25-26高三下·广东东莞·阶段检测）已知圆与双曲线，若在双曲线上存在一点，使得过点能作圆的两条切线，切点为，且，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据切线求得，根据双曲线的性质可得的不等式，从而得出的不等式，结合离心率公式求解即可． 【详解】如图： ，又，所以， 而是圆切线，则， 在中，，因此有， 从而， 而，所以， 在双曲线上，因此，所以， ∴，从而，所以， ∴双曲线的离心率. 46．（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）已知焦点在轴上的双曲线，实轴长为，且过点． (1)求双曲线的标准方程； (2)直线，当为何值时，直线与双曲线相交？有一个公共点？ (3)过原点的直线与交于两点，已知直线和直线的斜率都存在，证明：直线和直线的斜率之积为定值． 【答案】(1) (2) 当或时，直线与曲线相交； 当或时，直线与曲线有一个公共点； (3) 设，则， 因为点在曲线上，所以，则 ， 所以直线和直线的斜率之积为定值. 【分析】（1）设双曲线的标准方程为，求出即可； （2）联立直线与双曲线得方程，分二次项系数是否等于零两种情况讨论，再根据根的判别式求解即可； （3）设，则，利用双曲线方程和直线的斜率公式计算即可. 【详解】（1）由题意设双曲线的标准方程为， 则，解得， 所以双曲线的标准方程为； （2）联立，消得， 当，即时， 方程化为，此时直线与曲线有一个公共点且相交； 当时，， 令，即，解得，此时直线与曲线有一个公共点； 令，即，解得，此时直线与曲线相交， 综上所述，当或时，直线与曲线相交； 当或时，直线与曲线有一个公共点； （3）略 47．（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）已知直线，双曲线 (1)求关于直线的对称直线； (2)若，求直线与双曲线相交所得的弦长； (3)若与双曲线有两个不同的交点，求双曲线的离心率的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用相关点法，在直线上任取一点，可得点关于直线的对称的点，代入即可得结果； （2）联立直线与双曲线方程可得韦达定理，结合弦长公式运算求解； （3）联立直线与双曲线方程，根据题意结合判别式可得且，进而可求离心率. 【详解】（1）在直线上任取一点， 则点关于直线的对称点， 因为点在直线上，则，即， 所以直线的方程为. （2）若，双曲线方程为， 联立方程，消去y可得， 则，可知直线与双曲线相交，设交点坐标为， 可得，， 则所求弦长为， 所以直线与双曲线相交所得的弦长为. （3）联立方程，消去y可得， 若直线与双曲线相交，则，解得且， 又因为双曲线离心率， 当时，可得； 当时，； 综上所述：双曲线的离心率的取值范围为. 48．（2026·河南·模拟预测）已知，，动点M满足，设M的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的方程； (2)设直线与曲线C有两个交点A，B，求k的取值范围； (3)设直线与曲线C交于P，Q两点，求证：为定值． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）根据双曲线的定义以及双曲线的标准方程，可得答案； （2）联立直线与双曲线方程，写出韦达定理，结合判别式计算，可得答案； （3）联立直线与双曲线方程，写出韦达定理，应用弦长公式代入计算化简求解. 【详解】（1）设，为定值，所以点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支， 设双曲线方程为：，， 所以，曲线的轨迹方程是； （2）设， 由，消去得， 则. 整理得， 解得. （3）设， 由，消去得，， 则. ， 所以， 49．（25-26高二上·贵州毕节·期末）在平面直角坐标系中，已知点，点，动点满足：直线与直线的斜率之积是. (1)求动点的轨迹的方程； (2)直线与（1）中轨迹相交于，两点，若为线段的中点，求直线的方程. (3)在（2）的条件下，求弦长. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据斜率乘积得到方程，化简即可； （2）利用点差即可得到直线的斜率，再写出点斜式化简即可； （3）联立直线与双曲线方程，再利用弦长公式即可得到答案. 【详解】（1）因为点，点，点， 所以，， 因为直线与直线的斜率之积是，所以， 化简得，又因为直线、的斜率存在，则. 故动点的轨迹的方程为. （2）设，由题意，显然， 则有，，两式作差可得， 即有，又为线段AB的中点， 则有，代入得， 所以，所以直线的方程为，即. 将代入双曲线方程得，， 整理得，此时， 所以直线与双曲线有两个不同的交点， 所以直线的方程为. （3）由（2）可得， 所以弦长 . 50．（25-26高二上·江苏常州·期末）在平面直角坐标系中，已知双曲线，直线． (1)直线与双曲线C只有一个公共点，求的值； (2)若直线与双曲线有两个交点，，若为钝角，求的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据直线和双曲线的位置关系，联立方程组，由直线和双曲线交点的个数，判断方程组解的个数，对参数进行讨论，求出参数值； （2）根据向量夹角是钝角时的余弦值性质，设出点的坐标，联立方程组，根据韦达定理和向量数量积的坐标表示，列出不等式，求出参数范围即可. 【详解】（1）由题意可知直线与双曲线有且只有一个公共点， 所以方程组只有一组解，即只有一个解， 当，即时，满足题意； 当时，有，解得，符合题意； 所以的值有共4个. （2）联立，消去并整理得， 显然，且，解得且， 设，， 则， 显然直线不过原点，即与不共线， 由为钝角，可得， 即，解得， 又且，于是得，解得， 所以的取值范围． 考点十　双曲线实际应用 51．（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）如图，双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小直径为米，塔底的直径为米，塔顶直径为米，最小直径处距塔底的垂直距离米，则该冷却塔的垂直高度约为（其中）（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】利用双曲线的性质，结合已知条件求出双曲线方程，再求出塔顶的纵坐标，从而计算塔高． 【详解】 以双曲线虚轴为轴，最小直径处的水平线为轴，双曲线中心为原点， 最小直径为米， 实半轴，双曲线标准方程为， 塔底直径为米，最小直径处距塔底高度为米， 点在双曲线上，故，解得， 双曲线方程为， 塔顶直径为，设塔顶直径上点为， ，解得， 塔顶位于轴上方， ，故， 塔高：米，故B正确 故选：B． 52．（25-26高二上·贵州·期中）在水泥粉磨系统中，双曲线型进料装置具有节能降耗的优点.某双曲线型进料装置的进料口的轴截面如图所示，它是双曲线的一部分，该双曲线的离心率为，实轴长等于进料口的下口宽度，下口宽度为，上､下口之间的高度为，则该进料口的上口宽度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，建立平面直角坐标系，求得双曲线标准方程，当时，代入计算可解. 【详解】如图，建立平面直角坐标系，设该双曲线的方程为），焦距为， 由题意得，得， 所以双曲线的方程为1. 当时，， 所以该进料口的上口宽度为. 故选：B 53．（25-26高二上·河北张家口·阶段检测）如图所示，某拱桥的截面图可以看作双曲线的图象的一部分，当拱顶到水面的距离为3米时，水面宽为米，则当水面宽度为米时，拱顶到水面的距离为（    ） A．3米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】将代入双曲线得到，当得到，进而求得拱顶到水面的距离，即可判断. 【详解】根据题意，，，故，解得，即， 则当水面宽度为米时，即时，解得，， 因此，拱顶M到水面的距离为. 故选：D 54．（25-26高二上·全国·课后作业）舰A在舰B的正东6 km处，舰C在舰B的北偏西30°方向，且与B相距4 km，它们准备围捕某海洋动物．在某时刻A发现动物信号，4 s后，B，C同时发现这种信号．设舰与动物均为静止的，动物信号的传播速度是1 km/s，试确定海洋动物的位置． 【答案】海洋动物的位置在舰A的北偏东30°方向，且离舰A的距离为10 km． 【分析】根据题意，取AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立如图的平面直角坐标系，得A，B，C三点的坐标分别为(3，0)，(－3，0)，(－5，2)，且点P在线段BC的垂直平分线上，由于A，B两舰发现动物信号的时间差4 s，因此|PB|－|PA|＝4＜6，于是点P在双曲线的右支上，联立方程即可求解. 【详解】解　取AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立如图的平面直角坐标系， 易知A，B，C三点的坐标分别为(3，0)，(－3，0)，(－5，2)， 设动物所在位置为点P处，连接PB，PC．由于B，C同时发现动物信号，因此|PB|＝|PC|， 于是点P在线段BC的垂直平分线上， 线段BC的垂直平分线PD的方程为x－y＋7＝0， 连接PA，由于A，B两舰发现动物信号的时间差4 s，因此|PB|－|PA|＝4＜6， 于是点P在双曲线的右支上， 解方程组 得直线x－y＋7＝0与双曲线右支的交点P(8，5)，所以|AP|＝10，∠PAx＝60°． 因此，海洋动物的位置在舰A的北偏东30°方向，且离舰A的距离为10 km． 1．（25-26高二下·湖北随州·期末）已知椭圆和双曲线的焦点相同，则（    ） A． B． C．3 D．5 【答案】C 【详解】由题可知，所以. 2．（2026·江苏连云港·模拟预测）椭圆：与双曲线：有公共的焦点，，为与的交点，则的面积为（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】C 【分析】先由椭圆与双曲线共焦点得到与的关系，再联立两曲线方程求出交点纵坐标，结合焦距计算三角形面积. 【详解】 由题意知，双曲线的焦点在轴，且与椭圆共焦点，因此椭圆的焦点也在轴， 对椭圆，半焦距满足；对双曲线，半焦距满足，故，即， 联立两曲线方程，两式相加得，解得， 将代入椭圆方程，整理得，代入得， 因为的底为，高为，因此面积， 由，得，即， 所以，所以，的面积为. 3．（2026·浙江金华·三模）双曲线的焦点到渐近线的距离为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】根据题意得到焦点坐标及渐近线方程，再利用点到直线的距离公式求解． 【详解】解：双曲线， 由对称性，不妨取右焦点，其中一条渐近线方程为，即， 则焦点到渐近线的距离． 4．（2026·广东肇庆·二模）双曲线与双曲线的（    ） A．顶点相同 B．焦点相同 C．虚轴长相等 D．离心率相等 【答案】B 【分析】由题意确定的范围，进而逐项判断即可. 【详解】由表示双曲线， 得，得，所以焦点在轴上， 又， 所以顶点坐标，焦点坐标，虚轴长，离心率， 双曲线的顶点坐标，焦点坐标，虚轴长，离心率， 因此两个双曲线具有相同的焦点，其他选项均不能确定满足. 5．（2026高三·全国·专题练习）双曲线的实轴长、虚轴长与焦距的和为8，则半焦距的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据基本不等式，结合三者关系，求解即可. 【详解】设双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，半焦距为， 则，即，又 且,由基本不等式得 ,当且仅当 时等号成立，又，所以, 化简得,解得或（舍去） 因为在双曲线中，（可构成三角形），即, 解得,综上所述，. 6．（25-26高二下·广东潮州·期末）双曲线的一条渐近线倾斜角为，则双曲线的离心率为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用双曲线的渐近线为，可得，则，再利用离心率即可求解. 【详解】双曲线的渐近线为. 因为一条渐近线倾斜角为，所以，即. 所以双曲线的离心率. 7．（25-26高二下·河南驻马店·期末）直线与双曲线：（，）交于，两点，存在以为的中点，则的离心率的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由点差法求得，结合已知可得，求解即可. 【详解】设， 因为，两点在双曲线上，所以， 两式相减得， 又为的中点，所以， 所以，所以， 又双曲线的渐近线方程为，为的中点，所以， 所以，两边平方得，所以， 所以，所以，所以，又，所以， 所以的离心率的取值范围是. 8．（2026·湖南怀化·二模）（多选）已知双曲线C：，则下列结论正确的是（   ） A．m的取值范围是 B．C的焦距与m的取值无关 C．若C的离心率不小于2，则m的取值范围为 D．存在实数，使得点在C上 【答案】ABC 【分析】A.由求解判断；B.由C的焦距为2判断；C.由和求解判断；D.结合，由判断. 【详解】由题意得，则，A正确． 由题意知，故C的焦距为2，与m的取值无关，B正确． 由，解得，又，所以m的取值范围为，C正确． 假设存在实数，使得点在C上，则，． 当时，，则， 所以在上无实数解，D错误． 9．（25-26高二上·河北·阶段检测）（多选）已知双曲线的焦距为4，则下列条件能使的方程为的是（   ） A．的离心率为 B．的渐近线方程为 C．的实轴长为 D．是上的点 【答案】AD 【分析】根据双曲线的方程以及双曲线的几何性质，对选项逐一判断即可. 【详解】由题可知，，即，因此. 双曲线方程，等价于. 对于A：若的离心率，解得， 又因为，故，符合题意，故A正确； 对于B：若的渐近线方程为，则，即， 又因为，易解得，与题意不符，故B错误； 对于C：若的实轴长为，即，则，与题意不符，故C错误； 对于D：将代入，可得，又因为， 联立，可得，整理得：，解得或（舍去，因为），又因为，故，符合题意，故D正确. 故选：AD. 10．（25-26高三下·江苏无锡·阶段检测）（多选）如图，双曲线的左右焦点分别为，，过的直线l与其右支交于P，Q两点，已知且，则下列说法正确的是（   ） A． B．双曲线的离心率为3 C． D．的面积为 【答案】ACD 【分析】A.结合等角条件证明三角形相似；B.由三角形相似得到线段比例，求解离心率；C.借助余弦定理求解；D.由三角形的面积公式求解. 【详解】对于 A，因为，且 （公共角）， 所以，A 正确； 对于B，双曲线 ，， 因为 ，联立得：，， 由，得， 则，，所以， 又，即，得，故 ，B 错误； 对于 C，在中， ，，， 由余弦定理得，C 正确； 对于 D， ， 因为，所以, 又因为，， 所以 的面积 ，D 正确. 11．（26-27高三上·湖北武汉·开学考试）已知双曲线的一条渐近线方程为，直线与交于，两点，分别过点，作的垂线，垂足为，．若四边形的面积为，则的虚半轴长为________． 【答案】 【分析】通过四边形的面积计算，并得到点的坐标，代入双曲线的方程求解. 【详解】不妨设点在第一象限，如图， 直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，故， 因为，所以，由对称性易得四边形是平行四边形， 其面积为， 得，则，代入双曲线方程得，又， 解得，，则，即的虚半轴长为. 12．（2026高三上·全国·专题练习）已知椭圆：（）与双曲线：（，）有相同的焦点，，以线段为边作正，若椭圆与双曲线的一个交点恰好是的中点，设椭圆和双曲线的离心率分别为和，则______. 【答案】2 【分析】利用正三角形与中点条件得到焦点三角形两边长度，结合椭圆、双曲线定义分别求出离心率，再借助平方差公式化简乘积求值. 【详解】由题意，，则在椭圆中，则； 双曲线中，则； 所以. 13．（2026高三·全国·专题练习）两条渐近线为，的双曲线，则被直线截得弦长为，双曲线方程为__________． 【答案】 【分析】根据渐近线方程设出双曲线方程，与直线方程联立，结合弦长公式及韦达定理求解即可. 【详解】已知两条渐近线为，，即. 可设双曲线的方程为. 联立，整理得. ，则. 设方程的两根为，，则，， 代入弦长公式得， 即，，解得. 故双曲线方程为，即. 14．（2026高三·全国·专题练习）已知点分别是双曲线的两个焦点，P为该双曲线上一点，若为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为____________． 【答案】 【分析】结合双曲线定义可得或，然后由离心率公式求解即可. 【详解】由双曲线定义可知，所以或， 当时，则有，所以， 又因为，即，所以， 所以；同理可得当时，. 15．（25-26高二下·广西桂林·期末）双曲线：的左、右焦点分别为，，为坐标原点，点是上一点．若，则的离心率为_____________． 【答案】 【分析】由三角形中线长定理求出点到两焦点的距离与半焦距的关系，进而代入双曲线定义得出与的比例，即可求得离心率. 【详解】，， ， ， 则， 其中，所以，且， 所以， 由题意得，， ，整理得，即， 因为，所以，即，即， 则.    16．（25-26高二上·天津西青·期末）已知双曲线的焦点在轴上，，且经过点. (1)求该双曲线的标准方程及渐近线方程； (2)过双曲线的右焦点，斜率为的直线交双曲线于两点，求弦长. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）设出双曲线的方程，将，点的坐标代入即可求解； （2）由点斜式可得直线的方程，联立双曲线的方程，求得交点坐标，由两点间的距离公式可得弦长，或根据弦长公式求解. 【详解】（1）由已知焦点在轴上，可设双曲线的方程为， 将，点的坐标代入方程为，解得，， 所以双曲线的标准方程为， 渐近线方程为. （2）由（1）知，所以半焦距，右焦点为， 如图，作出符合题意的图形， 由点斜式可得直线的方程为， 由，消去得. 法一：解方程得， 将代入，得， 不妨取， 所以. 法二：设，则，， 所以. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $